Chương 1
THIẾT KẾ CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐƯỜNG Ô TÔ


1.1. Các vấn đề chung
1.1.1. Đặc điểm của sự chuyển động của ô tô trong đường cong
Khi chạy trong đường cong tròn, xe phải chịu nhiều điều kiện bất lợi hơn so với khi
chạy trong đường thẳng. Những điều kiện bất lợi đó là:
a. Khi chạy trong đường cong xe phải chịu thêm lực li tâm, lực này nằm ngang trên
mặt phẳng thẳng góc với trục chuyển động, hướng ra phía ngoài đường cong và có giá
trị
C =
R
vm
2
.
(kG) (1.1)
Trong đó:
C – lực ly tâm
m – khối lượng của xe (kg)
v – tốc độ xe chạy (m/s)
R – bán kính đường cong tại vị trí tính toán (m)
Lực ly tâm có tác dụng xấu, có thể gây ra những khó khăn sau :
 Xe có khả năng bị lật hoặc trượt ngang về phía lưng đường cong.
 Gây khó khăn cho việc điều khiển xe, gây khó chịu cho hành khách, gây đổ
vỡ hàng hoá vận chuyển.
 Gây biến dạng ngang của lốp xe nên làm cho săm lốp chóng hao mòn hơn.
 Làm tăng sức cản do đó làm tiêu hao nhiên liệu nhiều hơn.
b. Xe chạy trong đường cong yêu cầu có bề rộng phần xe chạy lớn hơn trên đường
thẳng thì xe mới chạy được bình thường.

Hình 1.1 - Các lực tác dụng khi xe chạy trong đường cong

c. Xe chạy trong đường cong dễ bị cản trở tầm nhìn nhất là khi bán kính đường cong
nhỏ, ở đoạn đường đào. Tầm nhìn ban đêm của xe chạy trong đường cong cũng bị hạn
chế do pha đèn chiếu thẳng một đoạn ngắn hơn.
1.1.2. Lực ngang và hệ số lực ngang
a. Lực ngang
Khi xe chuyển động trong đường cong thì ôtô chịu hai lực tác dụng:
- Trọng lượng bản thân G của xe có hướng vuông góc với mặt phẳng nằm ngang.
- Lực ly tâm C hướng ra ngoài đường cong và vuông góc với trục chuyển động,
lực ly tâm có giá trị:
R
V
g
G
C
2
=
. (1.2)
Chiếu các lực tác dụng lên ô tô theo phương song song với mặt đường được công thức
tính lực ngang Y tác dụng lên ôtô:
Y = C.cosα
±
G.sinα (1.3)
Dấu “+” : trong trường hợp bình thường, mặt đường hai mái và xe chạy ở làn
ngoài (xe chạy phía lưng đường cong).
Dấu “−” : trong trường hợp cấu tạo siêu cao, dốc đổ về phía bụng đường cong (xe
chạy phía bụng đường xong).
α : là góc nghiêng của mặt đường so với phương nằm ngang.

h : là chiều cao trọng tâm của xe tới mặt đường.
b : chiều rộng của hai bánh xe.
Vì góc α rất nhỏ ⇒ cosα=1; sinα ≈ tgα ≈ i
n
: là độ dốc ngang của mặt đường.
⇒
n
iG
R
V
g
G
Y
2
±=
đặt
µ
=
G
Y
(1.4)
α
α
α
C
y
y
h
G
b

⇒
µ
=±=
n
i
Rg
V
G
Y
.
2
(1.5)
với
G
Y
=
µ
: là hệ số lực ngang, đặc trưng cho lực ngang tác dụng trên một đơn vị trọng
lượng của xe và dùng trong thiết kế đường.
Trong đó: Y là tổng lực ngang.; G là trọng lượng của ô tô.
Từ đó tính được bán kính đường cong nằm R theo hệ số lực đẩy ngang và vận tốc xe
chạy:
⇒
).(
2
n
ig
v
R


µ
=
(m) v : (m/s) (1.6)
⇒
).(127
2
n
i
V
R

µ
=
(m) V: (km/h) (1.7)
“+” khi xe chạy phía bụng đường cong
“-“ khi xe chạy phía lưng đường cong

b. Hệ số lực ngang
Lực ngang, tuỳ theo hệ số của nó, có thể gây ra những tác động bất lợi cho xe chạy
trong đường cong:
- Làm lật xe qua điểm tựa là bánh xe ở phía lưng đường cong.
- Làm cho xe bị trượt ngang trên đường.
- Gây cảm giác khó chịu cho hành khách và người lái xe.
- Làm tiêu hao thêm nhiên liệu và tăng hao mòn săm lốp.
Vì vậy cần phân tích từng mặt của vấn đề ta sẽ lựa chọn được hệ số lực ngang tính toán
cần thiết để đảm bảo cho xe chạy an toàn và kinh tế.

+ Điều kiện ổn định chống lật.
Dưới tác dụng của lực ly tâm thì xe có thể bị lật quanh bánh xe phía ngoài:
Điều kiện ổn định giữa mô men lật và mô men giữ :

)
2
.(. ∆−≤
b
GhY

h
b
G
Y
.2
.
2 ∆−
≤⇒

h
b
.2
.2 ∆−
≤⇔
µ
(1.8)
b : khoảng cách giữa hai tâm bánh xe.
h: chiều cao của trọng tâm xe.
Thực nghiệm có được
∆: độ dịch ngang của thân xe ô tô so với bánh, thường lấy ∆≈0,2.b
thông thường:
32 ÷=
h
b

đối với xe du lịch.
= 1,7÷3 đối với xe buýt.
Nếu lấy giá trị (b/h=2) thì ta có µ≤0,6
Như vậy khi
µ≤
0,6 thì điều kiện trên luôn đảm bảo.

+ Điều kiện ổn định chống trượt ngang.
Phân tích các lực tác dụng vào các bánh xe
Để đảm bảo xe không bị trượt ngang trên mặt đường thì :
Y≤ G.ϕ
2
(1.9)
Trong đó:
G.ϕ
2
: là lực bám giữa bánh xe và mặt đường theo phương ngang
G : trọng lượng của ô tô.
ϕ
2
: hệ số bám theo chiều ngang giữa bánh xe và mặt đường.
Y : tổng lực ngang tác dụng lên xe.
G
Y
≥⇒
2
ϕ
Như vậy μ ≤ φ
2
ϕ


: hệ số bám giữa bánh xe với mặt đường (gồm hệ số bám dọc và ngang).

Hình 1.2 - Các lực tác dụng lên bánh xe
2
2
2
1
ϕϕϕ
+=
(1.10)
với ϕ
1
là hệ số bám dọc của bánh xe và mặt đường. ϕ
1
=(0,7-0,8).ϕ
thay vào ta có ϕ
2
=(0,6-0,7).ϕ
Như vậy ta có các điều kiện của μ như sau :
- Mặt đường khô ráo μ ≤ 0,36
- Mặt đường khô, ẩm sạch μ ≤ 0,24
- Mặt đường ẩm có bùn bẩn μ ≤ 0,12

+ Điều kiện êm thuận và tiện nghi với hành khách.
Khi chịu tác dụng của lực li tâm, hành khách cảm thấy khó chịu, nhiều khi sợ hãi có
cảm giác xe bị lật đổ. Điều tra theo thực nghiệm cho ta các kết quả như sau :
µ ≤0,1 thì hành khách không cảm thấy xe chạy trên đường cong.
µ =0,15 thì hành khách hơi cảm thấy trên đường cong.
µ =0,2 thì hành khách cảm thấy khó chịu.

µ =0,3 thì hành khách cảm thấy bị xô dạt về một phía
Để đảm bảo êm thuận và thoải mái cho hành khách nên chọn µ
≤
0,15 và trong điều
kiện khó khăn, khi hành khách có chuẩn bị cho phép dùng tới 0.25.

+ Điều kiện tiết kiệm nhiên liệu và săm lốp.
Dưới tác dụng của lực ngang thì lốp xe bị biến dạng và bị lệch sang một phía, do đó
đúng ra thì bánh xe phải hợp với trục dọc của xe một góc α khi xe vào đường cong
nhưng thực tế bánh xe không quay hết góc α mà chịu một góc lệch δ so với trục
chuyển động của xe.
Theo nghiên cứu thực nghiệm góc lệch này rất nhỏ và tỉ lệ với lực ngang:
n
K
Y
=
δ
(1.11)
K
n
: hệ số biến dạng ngang của lốp xe, phụ thuộc vào độ đàn hồi của lốp
Với xe con: K
n
= 40-70 (kG/độ)
Với xe tải: K
n
= 110-120 (kG/độ)
Góc lệch δ càng lớn thì tiêu hao nhiên liệu càng nhiều và hao mòn lốp xe càng tăng
lên.
Nghiên cứu cho thấy nên dùng µ

≤
0,1 ( công suất tiêu thụ tăng 15%; hao mòn lốp gấp
5 lần).

+ Lựa chọn hệ số lực ngang tính toán
Đây là một bài toán kinh tế - kỹ thuật, khi thiết kế phải đảm bảo an toàn và tiện nghi
với hành khách và phương tiện, hàng hoá, đồng thời lại phải bám sát địa hình để đảm
bảo khối lượng công tác là ít nhất, giá thành hạ.
Xét tổng hợp 4 điều kiện trên thì trong trường hợp thông thường nên đảm bảo µ≤0,1;
trường hợp khó khăn có thể lấy µ = 0,15; trường hợp đặc biệt khó khăn dùng µ= 0,2
trong qui phạm thường tính toán với µ = 0,15.
Đối với đường cao tốc, vì xe chạy với tốc độ cao nên quy định về hệ số lực ngang cũng
nhỏ để đảm bảo an toàn và thuận lợi µ = 0,03 -:- 0,08

1.2. Thiết kế bình đồ
1.2.1. Bán kính đường cong nằm
a. Bán kính đường cong nằm tối thiểu giới hạn
).(127
max
2
min
sc
i
V
R
+
=
µ
, m (1.12)
Trong đó:

V - Tốc độ xe chạy tính toán (km/h)
μ - Hệ số lực ngang, lấy μ = 0,08-0,15
(chọn giá trị μ nhỏ đối với đường cấp cao và địa hình thuận lợi)
i
scmax
- Độ dốc siêu cao lớn nhất
b. Bán kính đường cong nằm tối thiểu thông thường
).(127
2
min
sctt
i
V
R
+
=
µ
, m (1.13)
Trong đó:
V - Tốc độ xe chạy tính toán (km/h)
μ - Hệ số lực ngang, lấy μ = 0,05-0,08
i
sctt
- Độ dốc siêu cao thông thường i
sctt
=i
scmax
-2%
c. Bán kính đường cong nằm tối thiểu không cần bố trí siêu cao
).(127

2
n
ksc
i
V
R
−
=
µ
, m (1.14)
Trong đó:
V - Tốc độ xe chạy tính toán (km/h)
μ - Hệ số lực ngang, lấy μ = 0,04-0,05 để cải thiện điều kiện xe chạy
i
n
- Độ dốc ngang mặt đường (i
n
=2-4%)
Lựa chọn bán kính đường cong nằm tính toán
Đây là bài toán kinh tế-kỹ thuật, khi thiết kế cần vận dụng bán kính đường cong lớn để
cải thiện điều kiện xe chạy, đảm bảo an toàn, tiện lợi đồng thời cũng đảm bảo giá thành
xây dựng nhỏ nhất. Chỉ khi khó khăn mới vận dụng bán kính đường cong nằm tối
thiểu, khuyến khích dùng bán kính tối thiểu thông thường trở lên, luôn tận dụng địa
hình để nâng cao chất lượng chạy xe.
Bán kính đường cong bằng được lựa chọn theo các nguyên tắc:
- Lớn hơn các giá trị giới hạn
- Phù hợp với địa hình, càng lớn càng tốt (thường R=3 đến 5 lần R
min
)
- Đảm bảo sự nối tiếp giữa các đường cong

- Đảm bảo bố trí được các yếu tố đường cong như : chuyển tiếp, siêu cao
- Đảm bảo phối hợp hài hoà các yếu tố của tuyến, phối hợp tuyến đường với cảnh
quan.
Quy định của TCVN 4054-05 các giá trị giới hạn của bán kính
Bảng 1.1. Bán kính đường cong nằm tối thiểu
Cấp đường
I
II
III
IV
V
VI
Tốc độ thiết kế (km/h)
120
100
80
60
60
40
40
30
30
20
Bán kính đường cong nằm:
(m)

- tối thiểu (giới hạn)
650
400
250

125
125
60
60
30
30
15
- tối thiểu thông thường
1000
700
400
250
250
125
125
60
60
50
- tối thiểu không siêu cao
5500
4000
2500
1500
1500
600
600
350
350
250


1.2.2. Các yếu tố kỹ thuật của đường cong nằm
1.2.2.1. Siêu cao – đoạn nối siêu cao
Siêu cao, tác dụng của siêu cao
Trở lại công thức tính lực ngang, hệ số lực ngang và bán kính đường cong
Y = C.cosα
±
G.sinα ;
2
.
n
v
i
gR
µ
= ±
;
).(
2
n
ig
v
R

µ
=

Khi xe chạy trong đường cong, những xe chạy bên nửa phía lưng đường cong kém ổn
định hơn những xe chạy phía bụng đường cong, ngoài ra việc điều khiển xe cũng khó
khăn hơn. Hiện tượng này càng bất lợi khi đường cong có bán kính nhỏ và tốc độ xe
chạy lớn.


Hình 3.4 Bố trí siêu cao trong đường cong
Vì vậy, để đảm bảo an toàn và tiện lợi trong việc điều khiển ô tô ở các đường cong bán
kính nhỏ thì phải làm siêu cao, tức là làm cho mặt đường có độ dốc ngang nghiên về
phía bụng của đường cong.
Siêu cao là cấu tạo đặc biệt trong các đường cong có bán kính nhỏ, phần đường phía
lưng đường cong được nâng cao để mặt đường có độ dốc ngang một mái nghiêng về
phía bụng đường cong đảm bảo xe chạy an toàn, êm thuận.
Tác dụng của siêu cao:
- Siêu cao có tác dụng làm giảm lực ngang, do đó giảm các tác hại của lực ly tâm,
đảm bảo xe chạy an toàn trong đường cong
In %
L3
§êng cong chuyÓn tiÕp
b
In %
-In%
In %
L1
L2
0 %
e
§êng cong trßn
0
R
In %
In %
In %
Isc %
In %

0%
Isc %
Lsc
- Siêu cao có tác dụng tâm lý có lợi cho người lái, làm cho người lái tự tin điều khiển
xe khi vào trong đường cong
- Siêu cao có tác dụng về mỹ học và quang học, làm cho mặt đường không bị cảm
giác thu hẹp giả tạo khi vào đường cong
Độ dốc siêu cao
Độ dốc siêu cao có thể tính được theo biểu thức
2
.
sc
v
i
gR
µ
= −
(1.15)
Như vậy, nếu V lớn và R nhỏ thì đòi hỏi độ dốc siêu cao lớn.
Nếu chọn độ dốc siêu cao lớn, đối với những xe tải và xe thô sơ có tốc độ thấp có khả
năng bị trượt xuống dưới, theo độ dốc mặt đường. Độ dốc siêu cao quá lớn đòi hỏi phải
kéo dài đoạn nối siêu cao, điểm này sẽ gặp khó khăn đối với đường vùng núi vì sẽ
không đủ đoạn chêm giữa 2 đường cong trái chiều.
Độ dốc siêu cao khi thiết kế được tra trong quy trình phụ thuộc vào tốc độ thiết kế và
bán kính đường cong.
Bảng 3.1 - Độ dốc siêu cao (%) theo bán kính đường cong nằm (m) và tốc độ thiết kế
(km/h)
Isc

%)

V(km/h
)
8 7 6 5 4 3 2
Không
làm
siêu
cao
120
650
÷
800
800
÷
1000
1000
÷
1500
1500
÷
2000
2000
÷
2500
2500
÷
3500
3500
÷
5500
≥

5500
100
400
÷
450
450
÷
500
500
÷
550
550
÷
650
650
÷
800
800
÷
1000
1000
÷
4000
≥
4000
80
250
÷
275
275

÷
300
300
÷
350
350
÷
425
425
÷
500
500
÷
650
650
÷
2500
≥
2500
60 -
125
÷
150
150
÷
175
175
÷
200
200

÷
250
250
÷
300
300
÷
1500
≥
1500
40 - - 60
÷
75 75
÷
100
100
÷
600
≥
600
30 - 30
÷
50 50
÷
75
75
÷
350
≥
350

20 - 25
÷
50
50
÷
75
75
÷
150
150
÷
250
≥
250
TCVN 4054-05 quy định về độ dốc siêu cao:
- Độ dốc siêu cao lớn nhất : 8%
- Độ dốc siêu cao nhỏ nhất : bằng độ dốc ngang mặt đường hai mái
- Độ dốc siêu cao thông thường : 4%
- Những đường cong có bán kính lớn R>R
ksc
thì không cần bố trí siêu cao
Ngoài ra, ở vùng núi, những đường cong ôm vực, cần có các biện pháp đảm bảo an
toàn vì độ dốc siêu cao nghiêng về phía vực, có thể bố trí các tường phòng hộ, hoặc
hạn chế độ dốc siêu cao đến 4%. Nhiều trường hợp người ta còn bố trí siêu cao ngược,
quay về phía lưng đường cong (phía núi)
Đoạn nối siêu cao và các phương pháp nâng siêu cao
Đoạn nối siêu cao được thực hiện với mục đích chuyển hoá một cách điều hoà từ mặt
cắt ngang thông thường hai mái sang mặt cắt ngang đặc biệt có siêu cao.
Việc chuyển hoá này sẽ làm phía lưng đường cong có độ dốc dọc phụ thêm i
f


- Khi V
tt
=20
÷
40 km/h thì i
f
= 1%.
- Khi V
tt

≥
60 km/h thì i
f
= 0,5%.
Trước khi vào đoạn nối siêu cao cần có một đoạn dài 10m để nâng lề có độ dốc ngang
bằng độ dốc ngang mặt đường, riêng phần lề đất không gia cố phía lưng đường cong
vẫn dốc ra phía lưng đường cong.
Đoạn nối siêu cao, đoạn nối mở rộng đều được bố trí trùng với đường cong chuyển
tiếp. Khi không có đường cong chuyển tiếp, các đoạn nối này bố trí một nửa trên
đường cong và một nửa trên đường thẳng

1. Phương pháp quay quanh tim đường
Đây là phương pháp thường hay được sử dụng nhất, phương pháp này được quy định
trong quy trình hiện hành TCVN 4054-05
Trình tự các bước :
- Quay mái mặt đường bên lưng đường cong quanh tim đường cho đạt độ dốc ngang
mặt đường i
n
;

- Tiếp tục quay cả mặt đường quanh tim đường cho đạt độ dốc i
sc
.
Theo hình 3.5 có thể tính được chiều dài đoạn nối siêu cao Lsc và chiều dài các đoạn
đặc trưng như sau :
f
sc
i
H
L =
mà
2
)(
22
nsc
nsc
iib
i
b
i
b
H
+
=+=
;
12
1
1
;
2

LL
i
bi
i
h
L
f
n
f
===

từ đó suy ra các công thức :
f
nsc
sc
i
iib
L
2
).( +
=
;
f
n
i
ib
LL
2
.
21

==
;
f
nsc
sc
i
iib
LLLL
2
)(
)(
213
−
=+−=
(1.16)
Trong đó : b : chiều rộng mặt đường (m)
L
1
: Chiều dài đoạn nâng lưng đường cong từ -i
n
đến 0
L
2
: Chiều dài đoạn nâng lưng đường cong từ 0 đến i
n

L
3
: Chiều dài đoạn nâng mặt đường từ in đến i
sc

.




Hình3.5. Diễn biến nâng siêu cao và sơ đồ tính chiều dài Lsc
theo phương pháp quay quanh tim đường
Tính lại độ dốc dọc phụ thêm
sc
nsc
f
L
iib
i
2
).( +
=
(1.17)
Bằng hình học tìm được công thức tính độ dốc ngang i tại mặt cắt ngang bất kỳ trong
đoạn nối siêu cao cách đầu đoạn một khoảng cách x như sau :
+ Nếu x≤L
1
thì mặt cắt nằm trong đoạn 1 :
Độ dốc bên bụng đường cong i=i
n

Độ dốc bên lưng đường cong
1
1
)(

L
xLi
i
n
−
−=

+ Nếu L
1
≤x≤L
1
+L
2
thì mặt cắt nằm trong đoạn 2 :
Độ dốc bên bụng đường cong i=i
n

Độ dốc bên lưng đường cong
2
1
)(
L
Lxi
i
n
−
=

+ Nếu (L
1

+L
2
) ≤x≤ Lsc thì mặt cắt nằm trong đoạn 3 :
Độ dốc cả mặt đường
32
1
)(
LL
Lxi
i
sc
+
−
=
; hoặc
3
21
)(
).(
L
LLx
iiii
nscn
+−
−+=

2. Phương pháp quay quanh mép đường
- Quay mái mặt đường bên lưng đường cong quanh tim đường cho đạt độ dốc i
n
;

- Tiếp tục quay quanh mép trong mặt đường (khi chưa mở rộng) cho đạt độ dốc i
sc
.
Bằng cách tương tự, theo hình 3.7 có thể tính được chiều dài đoạn nối siêu cao Lsc và
chiều dài các đoạn đặc trưng như sau :
f
sc
sc
i
ib
L
.
=
;
f
n
i
ib
LL
2
.
21
==
;
f
nsc
sc
i
iib
LLLL

)(
)(
213
−
=+−=
(1.18)
Tính lại độ dốc dọc phụ thêm
sc
sc
f
L
ib
i
.
=
(1.19)
Tính toán độ dốc ngang i tại mặt cắt ngang bất kỳ trong đoạn nối siêu cao cũng tương
tự như phương pháp trên.















Hình 3.7 Diễn biến nâng siêu cao và sơ đồ tính chiều dài Lsc theo phương pháp
quay quanh mép trong mặt đường
3. Các phương pháp nâng siêu cao cho đường cao tốc, đường có dải phân cách.
Đối với đường cao tốc, đường có nhiều làn xe thì có các phương pháp nâng siêu cao
như hình 3.8.
a. Hình 3.8a là mặt cắt ngang trên đoạn thẳng .
b. Hình 3.8b quay quanh tim đường (tim phần dải phân cách giữa) chiều dài đoạn nối
siêu cao và cách tính giống như phần 1 ở trên với bề rộng b là khoảng cách giữa 2 mép
đường.
c. Hình 3.8c nâng siêu cao hai phần đường riêng quanh 2 mép giữa đường giáp giải
phân cách :
Tương tự, có thể tính được chiều dài đoạn nối siêu cao Lsc và chiều dài các đoạn đặc
trưng như sau :
f
nsc
sc
i
iib
L
).( +
=
;
f
n
i
ib
LL
.

21
==
;
f
nsc
sc
i
iib
LLLL
)(
)(
213
−
=+−=
(1.20)
Tính lại độ dốc dọc phụ thêm
sc
nsc
f
L
iib
i
).( +
=
(1.21)
Độ dốc ngang mặt đường i tại mặt cắt bất kỳ trong đoạn nối siêu cao cách đầu đoạn
một khoảng cách x như sau :
+ Nếu x≤L
1
thì mặt cắt nằm trong đoạn 1 :

Độ dốc phần đường bên trái (bên bụng) i=in
Độ dốc phần đường bên phải (bên lưng)
1
1
)(
L
xLi
i
n
−
−=

+ Nếu L
1
≤x≤L
1
+

L
2
thì mặt cắt nằm trong đoạn 2 :
Độ dốc phần đường bên trái i=in
Độ dốc phần đường bên phải
2
1
)(
L
Lxi
i
n

−
=

+ Nếu (L
1
+L
2
) ≤x≤ Lsc thì mặt cắt nằm trong đoạn 3 :
Độ dốc nâng cả 2 phần trái và phải
32
1
)(
LL
Lxi
i
sc
+
−
=


d. Hình 3.8d quay quanh mép trong đường chiều dài đoạn nối siêu cao và cách tính
giống như phần 2 ở trên với bề rộng b là khoảng cách giữa 2 mép đường.



e. Hình 3.8e nâng siêu cao hai phần đường riêng quanh 2 tim của từng phần đường :
Chiều dài đoạn nối siêu cao Lsc và chiều dài các đoạn đặc trưng được tính như sau
f
nsc

sc
i
iib
L
2
).( +
=
;
f
n
i
ib
LL
2
.
21
==
;
f
nsc
sc
i
iib
LLLL
2
)(
)(
213
−
=+−=

(1.22)
Tính lại độ dốc dọc phụ thêm
sc
nsc
f
L
iib
i
2
).( +
=
(1.23)
Độ dốc ngang mặt đường i tại mặt cắt bất kỳ trong đoạn nối siêu cao tính cũng tương
tự như phần c trên.
f. Hình 3.8f nâng siêu cao hai phần đường riêng quanh 2 mép ngoài của từng phần
đường :
Các công thức tính cũng giống như trường hợp hình 3.8c
f
nsc
sc
i
iib
L
).( +
=
;
f
n
i
ib

LL
.
21
==
;
f
nsc
sc
i
iib
LLLL
)(
)(
213
−
=+−=
(1.24)
Tính lại độ dốc dọc phụ thêm
sc
nsc
f
L
iib
i
).( +
=

Độ dốc ngang trong đoạn nâng siêu cao cũng tương tự.
4. Nhận xét :
- Tuỳ từng trường hợp cụ thể và tuỳ từng quan điểm mà chọn phương pháp nâng siêu

cao tính toán và bố trí đoạn nối siêu cao thích hợp. Phương pháp nâng siêu cao phụ
thuộc vào địa hình, điều kiện và biện pháp thoát nước, chiều rộng mặt đường, kích
thước và cấu tạo dải phân cách giữa, …
- Nên sử dụng phương pháp quay quanh tim đường để nâng siêu cao và bố trí đoạn
nối siêu cao. Với phương pháp này cao độ tim đường không thay đổi nên dễ dàng
thể hiện trên trắc dọc và tổng quát được khi lập các chương thiết kế trên máy tính.
Phương pháp này còn đặc biệt thuận lợi với trường hợp tuyến uốn lượn gồm nhiều
đường cong ngược chiều liên tiếp.
- Với đường cao tốc, đường nhiều làn xe thì nên thiết kế theo các phương pháp ở
hình 3.8b và 3.8c các phương pháp này đảm bảo tạo được độ đều đặn về thị giác khi
nhìn từ xa.
5. Trình tự tính toán nâng siêu cao :
- Xác định độ dốc siêu cao i
sc
, độ dốc dọc phụ thêm i
f
: Theo quy trình quy định phụ
thuộc vào cấp đường và bán kính đường cong.
- Chọn phương pháp nâng siêu cao : Phương pháp nâng siêu cao phụ thuộc vào địa
hình, điều kiện thoát nước, chiều rộng mặt đường, kích thước và cấu tạo dải phân
cách giữa, …
- Lựa chọn chiều dài đoạn bố trí siêu cao L
SC
: Thông thường chiều dài đoạn bố trí
này phụ thuộc vào địa hình và lấy bằng giá trị lớn nhất trong các giá trị tính toán :
Chiều dài đoạn nối siêu cao - L
SC
, chiều dài đường cong chuyển tiếp - L
CT
, chiều

dài đoạn nối mở rộng - L
MR
và theo bảng 3.2; là bội số của 5 (để dễ dàng cắm và
thiết kế các mặt cắt ngang trong đường cong).
- Từ chiều dài L
BT
đã chọn tính lại i
f
và tính các đoạn đặc trưng L
1
, L
2
, L
3

- Tính độ dốc phần mặt đường trong đoạn nối siêu cao
- Tính các độ dốc lề đường (lề đất, lề gia cố), độ dốc dải phân cách tại các mặt cắt
ngang trong đoạn nối siêu cao phụ thuộc vào độ dốc ngang mặt đường và phương
pháp nâng siêu cao.
- Kết hợp tính toán đường cong chuyển tiếp và mở rộng trong đường cong thiết kế
trắc ngang trên cơ sở các độ dốc ngang đã xác định được.
Bảng 3.2 - Độ dốc siêu cao i
sc
và chiều dài đoạn chuyển tiếp nối siêu cao L(m) phụ
thuộc vào bán kính đường cong R(m) và tốc độ thiết kế Vtk(km/h)
Tốc độ thiết kế (km/h)
120
100
80
60

R
isc
L
R
isc
L
R
isc
L
R
isc
L
650
÷

800
0,08 125
400
÷

450
0,08 120
250
÷

275
0,08 110
125
÷


150
0,07 70
800
÷

1000
0,07 110
450
÷

500
0,07 105
275
÷

300
0,07 100
150
÷

175
0,06 60
1000
÷
1500
0,06 95
500
÷
550
0,06 90

300
÷

350
0,06 85
175
÷

200
0,05 55
1500
÷
2000
0,05 85
550
÷

650
0,05 85
350
÷

425
0,05 70
200
÷

250
0,04 50
2000

÷
2500
0,04 85
650
÷

800
0,04 85
425
÷

500
0,04 70
250
÷

300
0,03 50
2500
÷

3500
0,03 85
800
÷

1000
0,03 85
500
÷


650
0,03 70
300
÷

1500
0,02 50
3500
÷
5500
0,02 85
1000
÷

4000
0,02 85
650
÷

2500
0,02 70 - - -

Tốc độ thiết kế (km/h)
40
30
20
R
isc
L

R
isc
L
R
isc
L
65 ÷ 75
0,06
0,05
35
30
30 ÷ 50
0,06
0,05
33
27
15 ÷50
0,06
0,05
20
15
75 ÷100
0,04
0,03
25
20
50 ÷ 75
0,04
0,03
22

17
50 ÷ 75

0,04 10
100 ÷
600
0,02 12
75 ÷ 350

0,02 11
75 ÷
150
0,03 7
Ghi chú bảng 3.2:
Trị số chiều dài L trong bảng áp dụng đối với đường hai làn xe. Đối với đường cấp I
và II nếu đường có trên hai làn xe thì trị số trên phải nhân với 1,2 đối với ba làn xe;
1,5 đối với 4 làn xe và 2 đối với ≥ 6 làn xe.

1.2.2.2. Mở rộng phần xe chạy - đoạn nối mở rộng
Tính toán độ mở rộng
Khi xe chạy trên đường cong, mỗi bánh xe chuyển động theo quỹ đạo riêng, chiều rộng
dải đường mà ô tô chiếm trên phần xe chạy rộng hơn so với khi xe chạy trên đường
thẳng. Để đảm bảo điều kiện xe chạy trên đường cong tương đương như trên đường
thẳng, ở những đường cong có bán kính nhỏ cần phải mở rộng phần xe chạy.

Hình 3.9. Sơ đồ mở rộng mặt đường trong đường cong
Để xác định độ mở rộng ta giả thiết quỹ đạo chuyển động của ô tô trong đường cong là
đường tròn.
Xét chuyển động của ô tô trong đường cong như hình vẽ. Theo hệ thức lượng tam giác
vuông CAD ta có CB

2
= AB.BD
trong đó: CB = L
A
– chiều dài từ đầu xe tới trục bánh xe sau, m;
AB = e – chiều rộng cần mở thêm của 1 làn xe, m;
BD = 2R – AB ≈ 2R

Hình 3.10 . Sơ đồ tính độ mở rộng mặt đường trong đường cong
Do đó:
R2
L
e
2
A
=
(0.1)
Công thức trên được xác định theo sơ đồ hình học mà chưa xét đến khả năng thực tế
khi xe chạy, khi xe chạy với tốc độ cao, xe còn bị lắc ngang sang hai bên, như vậy ta
phải bổ sung số hạng hiệu chỉnh :
m,
R
0,05.V
2R
L
e
2
A
+=
(0.2)

Độ mở rộng mặt đường E cho đường có 2 làn xe được tính gần đúng theo công thức:
m,
R
0,1.V
R
L
E
2
A
+=
(0.3)
trong đó: V – tốc độ xe chạy, km/h.
Đối với những đường cấp cao có bán kính lớn và được bố trí các đường cong chuyển
tiếp clothoid phù hợp với quỹ đạo chạy xe nên không cần thiết phải bố trí mở rộng
phần xe chạy.
3.6.2 Bố trí độ mở rộng mặt đường trong đường cong:
Đoạn nối mở rộng làm trùng với đoạn nối siêu cao hoặc đường cong chuyển tiếp. Khi
không có hai yếu tố này, đoạn nối mở rộng được cấu tạo:
- Một nửa nằm trên đường thẳng và một nửa nằm trên đường cong.
- Trên đoạn nối, mở rộng đều (tuyến tính). Mở rộng 1m trên chiều dài tối thiểu 10m.
Độ mở rộng bố trí ở cả hai bên, phía lưng và bụng đường cong. Khi gặp khó khăn, có
thể bố trí một bên, phía bụng hay phía lưng đường cong .
Thông thường để mép mặt đường được trơn tru, êm thuận, thì trị số độ mở rộng E
n
tại
một điểm bất kỳ được tính theo công thức:
E
n
=(4K
3

-3K
4
)E (0.4)
Trong đó: E là độ mở rộng trong đường cong tròn

MR
n
L
L
K =
với L
MR
là chiều dài đoạn nối mở rộng
L
n
là khoảng cách từ đầu đoạn nối mở rộng đến điểm đang xét
Phương của độ mở rộng là phương đường pháp tuyến của tim đường xe chạy.
Độ mở rộng được đặt trên diện tích phần lề gia cố. Dải dẫn hướng (và các cấu tạo khác
như làn phụ cho xe thô sơ, …) phải bố trí phía tay phải của độ mở rộng. Nền đường khi
cần phải mở rộng, đảm bảo phần lề đất còn ít nhất là 0,5 m.

Hình 3.11 Bố trí mở rộng phần xe chạy về hai phía của đường cong
tc
b
p
n®
t®
nc
O
R

E/2
®
E/2
§uêng cong chuyÓn tiÕp
Bảng 3.3 Độ mở rộng phần xe chạy 2 làn xe trong đường cong nằm, m.[1]
Dòng
xe
Bán kính đường cong nằm (m)
250
÷
200
< 200
÷
150
< 150
÷
100
< 100
÷
70
< 70
÷
50
< 50
÷
30
< 30
÷
25
< 25

÷
20
Xe
con
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,8 2,2
Xe tải
0,6
0,7
0,9
1,2
1,5
2,0
-
-
Xe
moóc
tỳ
0,8 1,0 1,5 2,0 2,5 - - -
Khi phần xe chạy có trên 2 làn xe, thì mỗi làn xe thêm phải mở rộng 1/2 trị số trong
bảng 3.11 và có bội số là 0,1 m.
Các dòng xe có xe đặc biệt, phải kiểm tra lại các giá trị trong bảng 3.11.

1.2.2.3. Đường cong chuyển tiếp
Tác dụng của đường cong chuyển tiếp
Khi xe chạy từ đường thẳng vào đường cong, xe phải chịu các thay đổi
- Bán kính ρ giảm dần từ +ở ngoài đường thẳng đến R trong đường cong
- Lực ly tâm C tăng dần từ 0 đến
R
mv
C

2
=

- Góc α hợp thành giữa trục bánh trước và trục xe
tăng dần từ 0 đến α
Những biến đổi đột ngột đó gây cảm giác khó chịu cho
lái xe và hành khách và làm cho việc điều khiển xe khó
khăn hơn.

Để đảm bảo tuyến đường phù hợp với quỹ đạo thực tế
xe chạy và để đảm bảo điều kiện xe chạy không bị thay
đổi đột ngột ở hai đoạn đầu đường cong, người ta bố trí
đường cong chuyển tiếp - ĐCCT.
Quy trình Việt Nam, Trung Quốc và một số nước quy
định với các đường có V
tt
≥ 60 km/h thì phải bố trí
ĐCCT. Theo AASHTO thì chỉ thiết kế ĐCCT khi
đường ô tô được thiết kế với tốc độ V ≥ 50 km/h
Các tác dụng của ĐCCT
- Thay đổi góc ngoặt của bánh xe phía trước một cách từ từ để đạt được góc quay cần
thiết ở đầu đường cong tròn
- Giảm mức độ tăng lực ly tâm do đó tránh được hiện tượng người trên xe bị xô
ngang khi vào đường cong tròn
- Tuyến có dạng hài hoà, lượn đều không bị gãy khúc, phù hợp với quỹ đạo thực tế
xe chạy, tăng mức độ tiện lợi êm thuận và an toàn xe chạy.
LA
α
R
Xác định chiều dài của ĐCCT

Để cấu tạo ĐCCT người ta giả thiết:
- Tốc độ xe chạy trên ĐCCT không thay đổi và bằng V
tt

- Trên suốt chiều dài của ĐCCT từ S=0 đến S=L
ct
gia tốc ly tâm thay đổi đều từ 0
đến
R
v
2
đồng thời bán kính đường cong ρ giảm dần từ + đến R tỷ lệ bậc nhất với
chiều dài ĐCCT.
Ta thấy, gia tốc ly tâm tăng đều tức là độ tăng của gia tốc ly tâm theo thời gian bằng
hằng số :
constsm
Rt
v
I == )/(
3
2
(0.5)
Trong đó:
I - Độ tăng của gia tốc ly tâm (m/s
3
)
v - Tốc độ xe chạy (m/s)
R - Bán kính đường cong tròn
t - Thời gian xe chạy từ đầu đến cuối ĐCCT ;
v

L
t
ct
=

Thay t vào (3.33) ta có
RI
v
L
RL
v
I
ct
ct
.
33
=⇒=
với [v]=m/s (0.6)
hoặc
RI
V
L
ct
47
3
=
với [V]=km/h (0.7)
Độ tăng của gia tốc ly tâm I theo thời gian được quy định tuỳ theo từng nước
- Theo quy trình Mỹ : 0,30-0,90 m/s
3


- Pháp : 0,65-1,00 m/s
3

- Liên xô (cũ) và Việt Nam : 0,5 m/s
3

- Thụy Điển, Anh, Ý : 0,8 m/s
3

Như vậy, với I=0,5 m/s
3
ta có công thức dùng để tính toán chiều dài tối thiểu của
đường cong chuyển tiếp
3
ct
V
L
23,5.R
=
(0.8)
Chiều dài của ĐCCT còn được xác định từ điều kiện thời gian hành trình trên ĐCCT.
Với lái xe có trình độ chuyên môn trung bình thì thời gian này bằng 3s và ta được công
thức L
ct
= 3.v = 0,83V (m).
Nghiên cứu dạng hình học của đường cong chuyển tiếp
Đường cong chuyển tiếp là đường cong quá độ có bán kính cong thay đổi dần thích
ứng với quỹ đạo xe chạy biến đổi, được dùng khi nối đường thẳng với đường cong tròn
hoặc giữa hai đường cong tròn có bán kính khác nhau.

Có một số dạng đường cong toán học có thể thỏa mãn các yêu cầu trên với những mức
độ nhất định. Đó là các đường cong xoắn ốc bức xạ hay gọi là clothoid; đường hoa thị
Lemniscat Becnulli; đường parabol bậc 3 và bậc 4, Người ta sử dụng một phần của
các đường cong toán học này để làm ĐCCT.
Tiêu chuẩn để lựa chọn sử dụng loại đường cong toán học nào làm ĐCCT phụ thuộc
vào 2 điều kiện cơ bản:
- Dạng đường cong phù hợp với quỹ đạo chuyển động của xe
- Tính toán và cắm đường cong được đơn giản và dễ dàng
Đường cong clothoid.
1. Phương trình của đường cong clothoid.
Đường clothoid là đường phù hợp nhất để làm đường cong chuyển tiếp trong số các
đường cong đã được nghiên cứu từ trước đến nay. Khi xây dựng các con đường ôtô có
tốc độ tính toán từ 60km/h trở lên người ta sử dụng đường clothoid không chỉ để làm
đường cong chuyển tiếp mà còn sử dụng làm yếu tố tuyến để làm đẹp thêm hình ảnh
đường.
Xét một điểm B bất kỳ trên đường cong chuyển tiếp có toạ độ cong tính từ gốc đường
cong là S, tại đó có bán kính đường cong ρ, bán kính ρ này giảm dần đều từ + (S=0)
đến R (S=L).
Ta có
ρρ

33
I
v
S
S
v
I =⇒=
(0.9)
v, I không đổi

S
CC
S =⇒=⇒
ρ
ρ
(0.10)
Phương trình (3.38) là cơ sở lý thuyết để tính toán đường cong clothoid
Hằng số
2
3
AR.L
I
v
C ===
và người ta gọi A là thông số Clothoid
Phương trình (3.38) được viết dưới dạng toạ độ cực, vì vậy việc cắm tuyến còn khó
khăn. Người ta chuyển sang hệ toạ độ Descarte nhờ phương trình sau:

422403366

345640
10
11
6
7
2
3
8
9
4

5
++−=
++−=
A
S
A
S
A
S
Y
A
S
A
S
SX
(0.11)
Phương trình (3.39) hội tụ nhanh nên chỉ cần 2 số hạng đầu là đủ chính xác, nhưng đối
với những đường cong dài thì phải tính tới 3 số hạng. Hiện nay phương trình (3.39)
được lập sẵn trong máy tính cầm tay (PPC) để tính toạ độ ĐCCT ngoài thực tế.

Hình 3.14 Sơ đồ tính đường cong chuyển tiếp
Điểm cuối của ĐCCT có S=L ứng với toạ độ (X
0
, Y
0
)
Góc φ hợp bởi tiếp tuyến của điểm cuối ĐCCT và đường tang chính được xác định như
sau:
,
R2

L
6620,63hayrad,
R2
L
C
dS.SdSdS
d
L
0
L
0
=ϕ=ϕ⇒=
ρ
=ϕ⇒
ρ
=ϕ
∫∫
độ (0.12)
Từ các biểu thức trên ta có thể lập các công thức thể hiện mối liên quan giữa thông số
A, bán kính R, chiều dài đường cong clothoid L và góc tiếp tuyến φ như bảng sau:
Bảng 3.5 Quan hệ giữa các yếu tố đường cong clothoid
A
L
R
φ
2
2
RL
L
R

φ
φ

ϕ
ϕ
2A
.R2
R
A
2

ϕ
ϕ
2
A
2
L
L
A
2

2
2
2
2
R2
A
A2
L
R2

L

2. Đặc điểm của đường cong clothoid.
Thông số A của đường cong clothoid có chức năng giống hệt như bán kính R của
đường cong tròn, nó phục vụ cho việc phóng to thu nhỏ đường cong. Có một số lượng
vô hạn đường clothoid tương tự nhau về mặt hình học, khi phóng to hoặc thu nhỏ thì
chiều dài của đường cong thay đổi tỉ lệ thuận với thông số A, tất cả các góc và những
trị số tương quan khác giữ nguyên không đổi (hình 3.15).
a) Nghiªn cøu d¹ng ®êng cong chuyÓn tiÕp b) §êng clothoid trong täa ®é vu«ng gãc
ρ=
c/s
ρ=
ϕ
-L
A
R=0
8
L=
A
2
-
π
π
A
2
-
2
π
-X
0

8
§êng tang chÝnh
R=
-Y
L= 0
_
+
π
+
A
A
50
grad
+L
2
π
2
+
A
2
8
R=0
L=
+Y
π
+X

Hình 3.15 Các nhánh đường clothoid có độ lớn khác nhau (A1<A2<A3) và
chung một đường tang
Các vị trí đặc trưng và các vị trí về hình dạng của đường clothoid

Một điểm trên đường clothoid mà tại đó có R=L=A gọi là điểm đặc trưng. Góc giữa
các đường tang ở vị trí này bằng: φ=0.5 hoặc φ=31.8310 grad. Nhờ điểm đặc trưng có
thể xác định được thông số của bất kỳ một đường clothoid nào bằng cách đo chiều dài
L đến điểm tiếp xúc của đường tang có góc φ=0.5 (31.8310 grad) (hình 3.16). Ngoài ra
còn các điểm hình dạng, những điểm ấy có các số tròn số khi tính tỷ số A/R.

Hình 3.16 Các vị trí đặc trưng và các vị trí định dạng của đường clothoid
Theo hình 3.16 được biết là đường clothoid từ điểm xuất phát (điểm chuyển) đến điểm
hình dạng 6 và 4 (góc 1 grad hoặc 2 grad) không phù hợp để làm đường cong chuyển
tiếp. Ngược lại đoạn đường clothoid vượt quá điểm đặc trưng 1 có sự thay đổi bán kính
quá lớn. Nó rất ít khi được sử dụng để cấu tạo những đường cong trong đường ô tô,
trong đường tầu điện đôi khi người ta có dùng. Phạm vi sử dụng thông thường nhất của
đường clothoid với tư cách là yếu tố tuyến trong xây dựng đường ô tô nằm giữa các
điểm đặc trưng 3 và 1 (φ ≥0.0556 đến ≤ 0.500 hoặc φ ≥3.5 grad đến ≤ 32 grad). Quy
định này đúng đối với các điều kiện vạch tuyến thông thường trung bình. ở những điều
kiện địa hình rất khó hoặc là ở nút giao thông thì thường sự thay đổi hướng sẽ lớn hơn
ϕ − ϕ − ϕ
8
R=
1
L
1 2 3
ϕ
2
ϕ
1
1
R
2
L

R
L
3
2
3
ϕ
R
3
3
R
1
4
ϕ
ϕ
A=
A=
A=
( ~ 2 grad)
( ~ 1,3 grad)
( ~ 1 grad)
ϕ
ϕ
8
R=
A=
4
5
6
R
6

1
1
5
1
R
R
0,50 ( = 127,32 grad)
0,71 ( = 63,66 grad)
A = R = L
=0,5 (31,381 grad)
( ~ 3,5 grad)
( ~ 14 grad)
ϕ
( ~ 8 grad)
ϕ
A=
3
2
2
R
1
3
2
A=
R
1
ϕ
1,5
ϕ
0,40 ( = 198,76 grad)

A = 2 . R
2
5
A=
R
ϕ
A = 2 . R
ϕ
đến mức phải sử dụng đường clothoid quá điểm đặc trưng 1 (ví dụ quay đầu ở địa hình
núi).
Như vậy ta có thêm điều kiện để xác định thông số của đường clothoid dùng làm yếu
tố tuyến đường ô tô rút ra từ các khả năng sử dụng trung bình của đường clothoid. Nó
dựa chủ yếu trên những yêu cầu về hình dáng đường. Từ những yêu cầu đã nói trên các
nhánh clothoid nằm giữa các điểm đặc trưng 3 và 1 nên được sử dụng, chúng ta có điều
kiện:

R
3
1
A =
đến R hoặc
A = L đến 3L.
Khi các bán kính đường cong tròn nhỏ nên chọn các thông số ở cận trên.
Độ cong xác định theo công thức sau:
d1
k
dS R
ϕ
= =
(0.13)

Hình 3.17 thể hiện độ cong k của đường cong clothoid

Hình 3.17 Biểu đồ thay đổi độ cong K của đường cong clothoid
Từ tính chất tương tự nhau về hình học, trước đây khi thiết kế đường cong người ta đã
tính sẵn cho đường cong clothoid với thông số A=1, khi tính với các thông số A khác
chỉ việc nhân với A ở các cột. Hiện nay bằng máy tính người ta dễ dàng tính được tọa
độ đường cong bất kỳ, bảng đường cong clothoid đơn vị này chỉ có ý nghĩa khi thiết kế
sơ bộ (bảng 3.6) .
Ví dụ: đường cong có bán kính R=400m, chiều dài ĐCCT Lct =100m, thông số
A=200. Tọa độ điểm cuối ĐCCT ứng với S=100m. S/A=0,5. Tra bảng ta có
Xo/A=0,499219; Yo/A=0,020810 từ đó xác định tọa độ Xo=0,499219x200= 99,84m
và Yo=0,020810x200= 4,16m.
Bảng 3.6 Bảng tọa độ đường cong chuyển tiếp đơn vị
s/A x/A Y/A S/A x/A y/A
0.01 0.010000 0.000000 0.51 0.509138 0.022082
0.02 0.020000 0.000001 0.52 0.519050 0.023404
0.03
0.030000
0.000004
0.53
0.528955
0.024778
X
R
k=
1
8
=0
k
R=

8
k =
X
X
R
1
R
1
L
E
k =
E
E
R
X
s/A x/A Y/A S/A x/A y/A
0.04
0.040000
0.000011
0.54
0.538853
0.026204
0.05
0.050000
0.000021
0.55
0.548743
0.027684
0.06 0.060000 0.000036 0.56 0.558625 0.029218
0.07 0.070000 0.000057 0.57 0.568498 0.030807

0.08
0.080000
0.000085
0.58
0.578361
0.032453
0.09 0.090000 0.000121 0.59 0.588215 0.034156
0.10
0.100000
0.000167
0.60
0.598059
0.035917
0.11
0.110000
0.000222
0.61
0.607892
0.037737
0.12 0.119999 0.000288 0.62 0.617714 0.039617
0.13
0.129999
0.000366
0.63
0.627523
0.041557
0.14
0.139999
0.000457
0.64

0.637321
0.043560
0.15 0.149998 0.000562 0.65 0.647105 0.045625
0.16
0.159997
0.000683
0.66
0.656876
0.047754
0.17 0.169996 0.000819 0.67 0.666633 0.049947
0.18 0.179995 0.000972 0.68 0.676374 0.052206
0.19
0.189994
0.001143
0.69
0.686100
0.054530
0.20 0.199992 0.001333 0.70 0.695810 0.056922
0.21 0.209990 0.001543 0.71 0.705503 0.059382
0.22
0.219987
0.001775
0.72
0.715178
0.061910
0.23 0.229984 0.002028 0.73 0.724834 0.064508
0.24 0.239980 0.002304 0.74 0.734472 0.067177
0.25
0.249976
0.002604

0.75
0.744089
0.069917
0.26 0.259970 0.002929 0.76 0.753686 0.072728
0.27
0.269964
0.003280
0.77
0.763261
0.075613
0.28
0.279957
0.003658
0.78
0.772813
0.078571
0.29 0.289949 0.004064 0.79 0.782342 0.081604
0.30
0.299939
0.004499
0.80
0.791847
0.084712
0.31
0.309928
0.004964
0.81
0.801326
0.087896
0.32 0.319916 0.005460 0.82 0.810780 0.091156

0.33
0.329902
0.005988
0.83
0.820206
0.094494
0.34 0.339886 0.006549 0.84 0.829605 0.097910
0.35 0.349869 0.007144 0.85 0.838974 0.101405
0.36
0.359849
0.007774
0.86
0.848314
0.104980
0.37 0.369827 0.008439 0.87 0.857622 0.108634
0.38 0.379802 0.009142 0.88 0.866898 0.112370
0.39
0.389774
0.009882
0.89
0.876141
0.116187
0.40 0.399744 0.010662 0.90 0.885350 0.120086
0.41 0.409710 0.011481 0.91 0.894523 0.124068
0.42
0.419673
0.012341
0.92
0.903660
0.128133

0.43 0.429633 0.013243 0.93 0.912758 0.132283
0.44 0.439588 0.014188 0.94 0.921818 0.136516
0.45
0.449539
0.015176
0.95
0.930838
0.140835
0.46 0.459485 0.016210 0.96 0.939816 0.145239
0.47
0.469427
0.017289
0.97
0.948752
0.149730
0.48
0.479363
0.018415
0.98
0.957643
0.154306
0.49 0.489294 0.019588 0.99 0.966490 0.945620
0.50
0.499219
0.020810
1.00
0.975289
0.953460

Đường hoa thị Lemniscat Becnulli

Đường cong toán học Lemniscat có dạng như cánh hoa thị. Nếu thay chiều dài đường
cong clothoid S từ phương trình
S
C
=ρ
bằng chiều dài dây cung a, thì ta có phương trình
a
C
=ρ
đây là phương trình đường cong Lemniscat Bernoulli.
Phương trình đường hoa thị Lemniscat viết ở tọa độ có dạng sau:
α
2
= 3Χ.σιν(2α) (0.14)