SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN THPT CHUYÊN
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngày thi 23/10/2014
Câu 1 (2,5 điểm).
Cho dãy số thực
( )
n
x
xác định bởi
1
3x =
và
1
21 2 6
n n
x x
+
= + +
với mọi
1,2, n =
Chứng minh rằng dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn . Tính giới hạn đó.
Câu 2 (1,5 điểm).

Chứng minh rằng nếu
, , 0a b c >
, thì
5 6 7 5 6 7 5 6 7 18
ab bc ca a b c
a b c b c a c a b
+ +
+ + ≤
+ + + + + +
.
Câu 3 (2,0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương
( )
,x y
với
,x y
nguyên tố cùng nhau và thỏa
mãn phương trình
( )
3 3
2 x x y y− = −
.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho đường tròn
( )τ
tâm
O
và
,AB
CD

là hai đường kính của đường tròn đó. Tiếp
tuyến với đường tròn
( )τ
tại
B
cắt
AC
tại
.P
Gọi
G
là giao điểm thứ hai của đường
thẳng
DP
với đường tròn
( ).τ
Gọi
I
là trung điểm của
.AP
Chứng minh rằng
a) Các điểm
, , ,O B C I
cùng nằm trên một đường tròn
b) Ba đường thẳng
, ,AG BC OP
đồng qui.
Câu 5 (1,0 điểm).
Tập hợp
M

có các phần tử là số thực được gọi là "Đặc biệt" nếu nó thỏa mãn đồng
thời hai tính chất sau đây.
)
a
Với mỗi
, ,x y M x y∈ ≠
thí các số
x y
+
và
.x y
đều khác không và có đúng một số
trong chúng là số hữu tỷ.
)
b
Với mỗi
2
,x M x∈
là số vô tỷ.
Một tập hợp "Đặc biệt"có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ? Bạn hãy lấy ra một ví dụ
minh họa.
………. Hết……….
- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh ………………………………………….Số báo
danh………………….
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN THPT CHUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Gồm 04 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm
của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả
sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Câu 1. (2,5 điểm)
Nội dung Điểm
Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được
3 1,2,
n
x n≥ ∀ =
0,25
Ta có
1 2 1
3, 21 2 6 21 4 5x x x= = + + ≤ + =
Giả sử
5
n
x ≤
. Khi đó
1

21 2 6 21 4 5
n n
x x
+
= + + ≤ + =
theo nguyên lý quy
nạp suy ra
*
5,
n
x n≤ ∀ ∈¥
. Tóm lại ta đã chứng minh được
3 5, 1,2,
n
x n≤ ≤ ∀ =

( )
1
0,5
Ta có
1 2
.x x<
. Giả sử
1
.
n n
x x
−
<
khi đó


( ) ( )
2 2
1
1
1
1
1 1 1
21 2 6 21 2 6
2 6 2 6
0
n n
n n
n n
n n
n n n n n n
x x
x x
x x
x x
x x x x x x
−
−
+
+
+ + +
+ + − + +
+ − +
−
− = = = >

+ + +
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học suy ra dãy số đã cho là dãy số tăng.
0, 5
Dãy
( )
n
x
tăng và bị chặn trên do đó dãy có giới hạn hữu hạn. Đặt
lim
n
L
→+∞
=
0,25
3 5L
≤ ≤
. Từ
1
21 2 6, 1, 2,
n n
x x n
+
= + + ∀ =
cho
n → +∞
ta được
0,5
/>2
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
( )

21 2 6 . 2L L= + +
Với điều kiện
3 5L≤ ≤
ta có
( )
( )
( )
2 2
2 21 2 6 25 4 2 6 0L l L l⇔ = + + ⇔ − + − + =
( )
( )
2
10 2 2
25 0 5 5 0
4 2 6 4 2 6
L
L L L
L L
−
 
⇔ − + = ⇔ − + + − =
 
+ + + +
 

( )
3
Dễ thấy
2
5 0 3 5

4 2 6
L L
L
+ − > ∀ ≤ ≤
+ +
. Vậy phương trình
( )
3
có nghiệm
duy nhất
5L
=
. Từ đó
lim 5
n
n
x
→+∞
=
Kết luận: dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn và và
lim 5
n
n
x
→+∞
=

0, 5
Câu 2. (1,5 điểm)
Nội dung Điểm
Ta chứng minh cho bài toán tổng quát
, 0, 0
2 2
ab bc ca a b c p p
m n
ma nb pc mb nc pa mc na pb m n p
+ +
 
+ + ≤ > > > >
 ÷
+ + + + + + + +
 
(ở bài toán này thì
5, 6, 7m n p= = =
)
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 2 2 2
p p
m n p p
ab m n p
ab

p p p p
ma nb pc
m a n b c a b c
 
   
− + − + +
 ÷  ÷
 
+ +
   
 
=
+ +
   
− + − + + + +
 ÷  ÷
   
0,25

2 2
2 2
p p
m n
p p
ab
a b c a b c
 
− −
 ÷
≤ + + +

 ÷
+ +
 ÷
 

2 2
2 2
p p pab pab
m a n b
c a b c
   
= − + − + +
 ÷  ÷
+ +
   

( )
1
0,25
Tương tự
( )
2
2 2
2 2
m n p
p p pbc pbc
bc m b n c
mb nc pa a b c a
+ +
   

≤ − + − + +
 ÷  ÷
+ + + +
   

( )
2

( )
2
2 2
2 2
m n p
p p pca pca
ca m c n a
mc na pb a b b c
+ +
   
≤ − + − + +
 ÷  ÷
+ + + +
   

( )
3
0,25
Từ
( ) ( ) ( )
1 , 2 , 3
suy ra

( )
2
ab bc ca
m n p
ma nb pc mb nc pa mc na pb
 
+ + + +
 ÷
+ + + + + +
 
0,25
/>3
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC

( ) ( ) ( )
2
2 2
p p
m a b c n a b c p a b c
   
≤ − + + + − + + + + +
 ÷  ÷
   

( ) ( )
m n p a b c= + + + +

ab bc ca a b c
ma nb pc mb nc pa mc na pb m n p
+ +

⇒ + + ≤
+ + + + + + + +
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
a b c= =
0,25
Câu 3. (2,0 điểm)
Nội dung Điểm
Áp dụng đẳng thức
( )
( )
3 3 3 2 2 2
3a b c abc a b c a b c ab bc ca+ + − = + + + + − − −
.Từ giả
thiết
( ) ( )
( )
( )
3
3 3 2 2 2
2 . 3 . . 2x x y x y x x y x x y x x xy yx x x y x y⇔ + + − = − ⇔ + − + + − + + + − = −
0,5
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 1 3 *x y x y xy x y⇔ − + + − =
( )
2
3
2

2 3
2 6
2 3 2
x y x y
x y x
x y x x y

−

⇒ ⇒ −

− −


,mặt
khác
( )
( )
3
2 ,6 2 ,6x y x x y− = −
( do
( ) ( )
( )
3
, 1 2 , 1 2 , 1x y x y x x y x= ⇒ − = ⇒ − =
)
{ }
2 1,2,3,6x y− ∈
( do từ
( )

*

*
2x y− ∈¥
)
0, 5
Trường hợp 1.
2 1 2 1x y y x− = ⇔ = −
thay vào phương trình đã cho ta được
( )
( ) ( ) ( )
3 2
3
2 2 1 2 1 6 1 0 1 1x x x x x x x y− = − − − ⇔ − = ⇒ = ⇒ =
0,25
Trường hợp 2. .
2 2 2 2x y y x− = ⇔ = −
thay vào phương trình đã cho ta được
( )
( )
2
1 3 1 0 1 0x x x x y− − + = ⇒ = ⇒ =
( loại )
0,25
Trường hợp 3. .
2 3 2 3x y y x− = ⇔ = −
thay vào phương trình đã cho ta được
( )
3
1 4 0 4 5x x x y− − = ⇒ = ⇒ =


0,25
Trường hợp 4 .
2 6 2 6x y y x− = ⇔ = −
thay vào phương trình đã cho ta được
3 2
12 36 35 0x x x− + − =
do
{ }
, 3, 35 5,7,35y x x x
+
∈ > ⇒ ∈Z
thử lại không có giá
trị nào thỏa mãn. Vậy các cặp
( ) ( ) ( ) ( )
, 1 , 1 à , 4 , 5x y v x y= =
0,25
Câu 4. (3,0 điểm)
Nội dung Điểm
a) (1,0 điểm).
/>4
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
Ta có
BPOI //
nên
.90
0
=∠=∠ OBPIOB
Mà
0

90=∠BCI
suy ra 4 điểm
ICBO ,,,
nằm trên đường tròn
)(
ω
đường kính
.BI
1,0
b) (1,0 điểm).
Gọi
'I
là trung điểm của
.PC
Ta có
DPOI //'
nên
).1(' CDGCOI ∠=∠
Mà
).2(CAGCDG ∠=∠
Tam giác
CGP
vuông tại
G
có
CPCIGI
2
1
'' ==
suy r

'' OGIOCI
∆=∆
(c.c.c), do đó
).3('' OGICOI ∠=∠
0,5
Từ (1),(2),(3) ta có
OGICAG '∠=∠
suy ra 4 điểm
GOAI ,,,'
nằm trên một
đường tròn
).'(
ω
Ta có
0
)'/()/(
=℘=℘
ωω
OO
0,5
Hơn nữa
)'/()/(
'.'2.
2
1
.
ωω
PP
PIPAPIPAPCPI ℘====℘
suy ra

OP
là trục đẳng
phương của hai đường tròn
)(
ω
và
).'(
ω
0,5
AG
là trục đẳng phương của hai đường tròn
)(
τ
và
).'(
ω
BC
là trục đẳng
phương của hai đường tròn
)(
τ
và
).(
ω
Vậy ba đường thẳng
OPBCAG ,,
đồng qui tại S là tâm đẳng phương của ba
đường tròn
),(
τ

)(
ω
và
).'(
ω
0,5
Câu 5. (1,0 điểm)
Nội dung Điểm
Ta chứng minh tập “ Đặc biệt”
M
có nhiều nhất bốn phần tử
{ }
2 1, 2 1, 2 2, 2 2M = − + − − −
0,25
Từ hai điều kiện ban đầu thì tập đặc biệt
M
là tập hợp có các phần tử là số
/>5
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
vô tỉ. Ta có các nhận xét sau
Nhận xét 1. Nếu
, ,x y z
là ba phần tử phân biệt của
M
thì cả ba số
, ,x y y z z x+ + +
không đồng thời là số hữu tỷ. Ngược lại ta có
( )
2 x y z x y z x+ + ∈ ⇒ + + ∈ ⇒ ∈¤ ¤ ¤
Vô lý ( từ đ/k số 2)

0,25
Nhận xét 2. Nếu
, ,x y z
là ba phần tử phân biệt của
M
thì cả ba số
, ,xy yz zx

không đồng thời là số hữu tỷ. Ngược lại ta có
( ) ( )
2
àx yz xy xz v yz= ∈ ∈¤ ¤
2
x⇒ ∈¤
Vô lý ( từ đ/k số 2)
Nhận xét 3. Nếu
,x y M xy∈ ⇒ ∈¤
, với mỗi
, àz M x z v y z∈ + ∈ + ∈¤ ¤
.
Ngược lại theo nhận xét 1 và 2 ở trên thì ta có
àx z v yz+ ∈ ∈¤ ¤
hoặc
à .y z v yz+ ∈ ∈¤ ¤
, với trường hợp đầu do
( )
àxy v yz xy yz y x z∈ ∈ ⇒ + = + ∈¤ ¤ ¤
vì
0,x z y+ ≠ ∈¤
vô lí trường hợp hai

tương tự
0,25
Giả sử rằng tồn tại tập “ đặc biệt” có 5 phần tử là
, , , ,a b c d e
theo nhận xét
1 ta có ít nhât hai phần tử có tổng là số vô tỉ chẳng hạn là
àa v b
.Cho nên
ab∈¤
theo nhận xét 3 thì
, ,a c a d a e+ + +
là các số hữu tỷ. Vì thế cho nên
theo nhận xét 1 các số
, ,c d c e d e+ + +
không đồng thời là số hữu tỷ và theo
các khẳng định trên thì tất cả ba số
, ,cd ce de
là số hữu tỷ vô lý với nhận xét
2
0,25
……. Hết……….
ĐỀ CHÍNH THỨC THAY BỞI CÁC CÂU SAU
Câu 1.Cho hai dãy số
( ) ( )
,
n n
x y
xác định bởi
1 1
1 1

3, 2
2 3 , 2 , 1,2,
n n n n n n
x y
x x y y x y n
+ +
= =


= + = + =

Với mỗi số nguyên dương ,đặt
n
n
n
x
z
y
=
. Chứng minh rằng dãy
( )
n
x
hội tụ và tìm giới
hạn đó
/>6
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
Câu 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố
( )
,p q

sao cho
7 1p +
chia hết cho
q
và
7 1q +

chia hết cho
p
.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH
THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC
2014-2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát
đề
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Tìm tập xác định của hàm số
( )
2014
2015cot
1 sin
f x x
x
= +
−
.

b) Giải phương trình:
( )
( )
2
2
sin cos 2sin sin 2 3 sin 4 3
2
x
x x x x+ + = + −
.
Câu 2 (1,0 điểm). Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác
nhau và có dạng
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác suất để số
được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa mãn
1 2 3 4 5 6
.a a a a a a> > > > >
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển Niu – tơn của biểu thức
( )
2
2
, 0
n
x x
x
 

+ ≠
 ÷
 
, biết rằng
n
là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức:
( )
1 2 3
2 3 4 1 111
n
n n n n
C C C n C+ + + + + =
.
Câu 4 (1,0 điểm). Cho dãy số
( )
n
u
được xác định bởi:
1 1
1, , 1,2,3,
1
n
n
n
u
u u n
u
+
= = =
+

Tính:
( ) ( ) ( )
1 2
2014 1 1 1
lim
2015
n
u u u
n
+ + +
.
Câu 5 (1,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình ẩn
x
sau luôn có nghiệm dương:
5
2014 2015 0x x− − =
.
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không là
tam giác vuông, nội tiếp trong đường tròn (I). Kẻ đường kính AM của đường tròn (I).
/>7
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
Đường thẳng
∆
đi qua đỉnh A, vuông góc với BC và
∆
cắt đường tròn (I) tại điểm N
(N khác A). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng
( ) ( )
5;3 , 4;4M N
, đường thẳng BC đi

qua điểm
( )
4;2P
, đường thẳng AC đi qua điểm
3 5
;
2 2
Q
 
 ÷
 
và hoành độ điểm B lớn hơn
3.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành,
,SA SC SB SD= =
. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B, trọng tâm tam giác SAC và song song với AC. Mặt
phẳng (P) cắt các đường thẳng AD, CD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng SO vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và B là trung điểm của đoạn thẳng MN (với O là giao
điểm của AC và BD).
Câu 8 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có
SA SB SC
= =
,
·
0
60ASB =
,
·
0
90BSC =

,
·
0
120ASC =
. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AC, BC và gọi L là hình chiếu vuông
góc của H lên đường thẳng SK. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và HL vuông
góc với mặt phẳng (SBC).
Câu 9 (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực dương
,a b
ta có bất đẳng thức
sau:
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 1a b a b a b ab+ − ≥ + −
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo
danh……………………
SỞ GD&ĐT VĨNH
PHÚC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC
2014-2015
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm
bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương
ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
/>8
(Đáp án có 05 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
Câu Nội dung trình bày Điểm
1 (2,0 điểm)
a.(1,0 điểm)
Hàm số
( )
f x
xác định khi và chỉ khi
1 sin 0 sin 1
sin 0 sin 0
x x
x x
− ≠ ≠
 
⇔
 
≠ ≠
 
0,5
2
2
x k
x k
π

π
π

≠ +

⇔


≠

( )
2 2
2 2
x k x k
k
x k x k
π π
π π
π π
 
≠ + ≠ +
 
⇔ ⇔ ∈
 
 
≠ ≠
 
¢
0,25
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là:

\ 2 ,
2
S k k k
π
π π
 
= + ∈
 
 
¢¡
0,25
b.(1,0 điểm)
( )
( )
2
2
sin cos 2sin sin 2 3 sin 4 3
2
x
x x x x+ + = + −
2
1 2sin cos 1 cos 2 3 sin 4sin 3 sinx x x x x x⇔ + + − = + −
( ) ( )
( )
2
2 4sin 2sin cos cos 2 3sin 3sinx x x x x x⇔ − + − = −
0,25
( ) ( ) ( )
2 1 2sin cos 2sin 1 3sin 2sin 1x x x x x⇔ − + − = −
( )

( )
2sin 1 3 sin cos 2 0x x x⇔ − − + =
2sin 1 0
3 sin cos 2 0
x
x x
− =

⇔

− + =

0,25
+)
3 1
3 sin cos 2 0 sin cos 1 sin 1
2 2 6
x x x x x
π
 
− + = ⇔ − = − ⇔ − = −
 ÷
 
2 2 ,
6 2 3
x k x k k
π π π
π π
⇔ − = − + ⇔ = − + ∈¢
.

0,25
+)
( )
2
1
6
2sin 1 0 sin
5
2
2
6
x k
x x k
x k
π
π
π
π

= +

− = ⇔ = ⇔ ∈


= +


¢
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm

( )
5
2 , 2 , 2
3 6 6
x k x k x k k
π π π
π π π
= − + = + = + ∈¢
0,25
2 (1,0 điểm)
Gọi A là biến cố “chọn ra được một số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời
thỏa mãn
1 2 3 4 5 6
a a a a a a> > > > >
”. Khi đó:
( )
5
9
9.n M A=
(số có sáu chữ số đôi
một khác nhau thì
1
a
có chín cách chọn,
2 3 4 5 6
a a a a a
là chỉnh hợp chập 5 của 9
phần tử nên có
5
9

A
).
0,25
TH1:
6
0a =
thì
1 2 3 4 5
a a a a a
có
5
9
C
cách chọn.
TH2:
6
2a =
thì
1 2 3 4 5
a a a a a
có
5
7
C
cách chọn.
TH3:
6
4a =
thì
1 2 3 4 5

a a a a a
có
5
5
C
cách chọn.
0,5
/>9
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
( )
5 5 5
9 7 5
148n A C C C= + + =
Do đó
( )
( )
( )
5
9
148 37
9. 34020
n A
P A
n A
= = =
Ω
. 0,25
3 (1,0 điểm)
Nhận xét.
( )

( )
( ) ( )
1 1
1 1
. 1 !
!
.
! ! 1 ! !
k k k k
n n n n
n n
n
kC k nC kC nC
k n k k n k
− −
− −
−
= = = ⇒ =
− − −
. 0,25
Ta có
( )
1 2 3
2 3 4 1 111
n
n n n n
C C C n C+ + + + + =
1 2 3 1 2 3
1 2 3 111
n n

n n n n n n n n
C C C nC C C C C⇔ + + + + + + + + + =
( )
0 1 2 1
1 1 1 1
1 1 1 111
n
n
n n n n
nC nC nC nC
−
− − − −
⇔ + + + + + + − =
( )
0 1 2 1
1 1 1 1
2 1 111
n n
n n n n
n C C C C
−
− − − −
⇔ + + + + + − =
1
.2 2 112
n n
n
−
⇔ + =
(1).

+) Nếu
1 4 5
5 .2 2 5.2 2 112
n n
n n
−
> ⇒ + > + =
vô lí.
+) Nếu
1 4 5
5 .2 2 5.2 2 112
n n
n n
−
< ⇒ + < + =
vô lí.
Do đó
5n =
.
0,5
Theo khai triển nhị thức Niu – tơn ta có:
( )
5
5 5
5
2 2 10 3
5 5
0 0
2 2
2

k
k
k k k k
k k
x C x C x
x x
−
−
= =
   
+ = =
 ÷  ÷
   
∑ ∑
Hệ số của
4
x
ứng với
10 3 4 2k k
− = ⇔ =
. Do đó hệ số của
4
x
là:
2 2
5
2 40.C =
0,25
4 (1,0 điểm)
Do

1
0 0, *
n
u u n> ⇒ > ∀ ∈ ¥
. Ta có
1
1
1 1 1
1
1
n
n n
n n n
u
u u
u u u n
+
+
= ⇔ − = ⇒ =
+
,
1,2, n =
0,5
( ) ( ) ( )
1 2
1 1 1 2 3 1
1 1 1 1 1 1 . 1
1 2 1 2
n
n

u u u n
n n
+
    
+ + + = + + + = = +
 ÷ ÷  ÷
    
0,25
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1
2014 1
2014 1 1 1 2014 1
2014
lim lim lim
2015 2015 2015 2015
n
u u u n
n
n n
 
+
 ÷
+ + + +
 
= = =
Vậy
( ) ( ) ( )
1 2

2014 1 1 1
2014
lim
2015 2015
n
u u u
n
+ + +
=
.
0,25
5 (1,0 điểm)
Đặt
( )
5
2014 2015f x x x= − −
. Tập xác định
( )
D f x= ⇒¡
liên tục trên
¡
. 0,25
Ta có
( ) ( )
5
0 2015, 8 8 2014.8 2015 14641f f= − = − − =
suy ra
( ) ( )
0 8 0f f <
. 0,5

Do đó phương trình
5
2014 2015 0x x− − =
có ít nhất một nghiệm trong khoảng
( )
0;8
.
0,25
6 (1,0 điểm)
Do
·
0
90ANM AN MN= ⇒ ⊥
, kết hợp với AN vuông góc BC suy ra BC song
song với MN hay đường thẳng MN có vtcp là
( )
1;1MN = −
uuuur
. Do đó phương
0,25
/>10
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
trình đường thẳng
4 2
: 6 0
1 1
x y
BC x y
− −
= ⇔ + − =

−
.
AH vuông góc với MN nên AH có vtpt là
( )
1;1MN = −
uuuur
suy ra phương trình
đường thẳng AH:
( ) ( )
1 4 1 4 0 0x y x y− − + − = ⇔ − =
.
Gọi K là giao điểm của AH và BC suy ra K là trung điểm HN và tọa độ K là
nghiệm của hệ phương trình:
( )
0 3
3;3
6 0 3
x y x
K
x y y
− = =
 
⇔ ⇒
 
+ − = =
 
, kết hợp với K là trung điểm HN suy ra
( )
2;2H
.

0,25
Gọi E là trung điểm BC, do tứ giác BHCM là hình bình hành suy ra E là
trung điểm HM suy ra
7 5
;
2 2
E
 
 ÷
 
.
B thuộc đường thẳng BC nên
( )
;6B t t−
, kết hợp với E là trung điểm của BC
suy ra
( )
7 ; 1C t t− −
. Ta có
( )
2 11 7 2
; , 2 ; 4
2 2
t t
CQ BH t t
− −
 
= = − −
 ÷
 

uuur uuur
0,25
Do H là trực tâm tam giác ABC nên
( ) ( ) ( ) ( )
. 0 2 11 2 7 2 4 0CQ BH t t t t= ⇔ − − + − − =
uuur uuur
2
5
4 30 50 0
5
2
t
t t
t
=


⇔ − + − = ⇔

=

, kết hợp với
3 5t t> ⇒ =
. Vậy tọa độ các đỉnh
của tam giác ABC là
( ) ( ) ( )
5;1 , 2;4 , 1;1B C A
(A là giao của đường thẳng AH và
AC)
0,25

Q
P
I
E
K
M
N
H
C
B
A
7 (1,0 điểm)
/>11
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
Tam giác SAC cân tại S, O là trung điểm của AC suy ra SO vuông góc với
AC.
Tam giác SBD cân tại S, O là trung điểm BD suy ra SO vuông góc với BD.
Do đó SO vuông góc với (ABCD).
0,25
Mặt phẳng qua B, G (trọng tâm tam giác SAC) song song với AC cắt SA,
SC, SD lần lượt tại E, F, H. Do AC||(EFH) suy ra AC||EF.
M là giao của (EFH) với AD suy ra M là giao của EH và AD, N là giao của
(EFH) với CD suy ra N là giao của FH với CD.
0,25
Do B, M, N là điểm chung của hai mặt phẳng (EFH) và (ABCD) nên B, M,
N cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng này suy ra B, M, N thẳng hàng.
0,25
Do AC||(EFH) suy ra AC||MN
GE GH GF
BM HB BN

⇒ = =
(1).
EF||AC suy ra
GE SG GF
GE GF
OA SO OC
= = ⇒ =
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
BM BN=
hay B là trung điểm của MN.
0,25
H
F
E
N
M
O
G
D
C
B
A
S
8 (1,0 điểm)
Theo định lí hàm số cô sin trong các tam giác SAB, SAC, SBC ta được:
2 2 2
, 2, 3AB a BC a AC a AC AB BC= = = ⇒ = + ⇒
tam giác ABC vuông tại B.
0,25

H là trung điểm AC nên SH vuông góc với AC,
2 2 2 2 2
1 3
,
2 2 2
a a
BH AC SH SA HA SB SH HB= = = − = ⇒ = + ⇒
SH vuông góc với
0,5
/>12
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
BH suy ra SH vuông góc với mặt phẳng (ABC).
H, K là trung điểm CA, CB suy ra HK||AB
HK BC⇒ ⊥
(1).
Mặt khác SH vuông góc (ABC) suy ra
SH BC⊥
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
( )
BC SHK BC HL⊥ ⇒ ⊥
, kết hợp với
( )
HL SK HL SBC⊥ ⇒ ⊥
.
0,25
L
H
K
C

B
A
S
9 (1,0 điểm)
Đặt
2
, 4a b x ab y x y+ = = ⇒ ≥
, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được
viết lại dưới dạng:
( )
( )
2 2
2 2 1y x y x y− − ≥ −
(1).
TH1. Nếu
1 2y x> ⇒ >
thì
2 2
1 2 1 0xy y y y− + > − + >
( )
( )
( )
( )
2 2 2 3 2 2 3 2
2 2 1 1 2 2 2 2 . 1 2 2y x y x y x xy y y y y y y y y y− − − − = − + − − ≥ − + − −
( ) ( ) ( )
2
2 1 1 1 0y y y y y= − + + + ≥
suy ra (1) đúng.
0,5

TH2. Nếu
1y ≤
thì
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 2 1 4 2 2 1 2 1x y y x y x y y y y x y y y− − − − ≤ − − − − = − − −
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 1 2 2 1
2 1 1 1 0
x y y y y y
y y y y y
= − − ≤ − −
= − − + − + ≤
Do đó (1) đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1a b
= =
.
0,5
Hết
/>13
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2011-2012
MÔN TOÁN LỚP 10
Thời gian làm bài 150 phút
( Đề thi có 01 trang, gồm 4 câu)

Câu 1. a) Giải phương trình:
2
7 10 2 2x x x− + = −
.
b) Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 2 3
2 2 4
x y x y
y xy x

− − + = −


− + = −


.
Câu 2. Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c và có diện tích bằng 1.
Chứng minh rằng:
2 2 2

2012 2010 1005 4 2010a b c+ − ≥
.
Câu 3. a) Xác định hình dạng tam giác ABC biết các góc A, B, C của tam giác
đó thỏa mãn hệ thức:
sin
2
cos
C
SinA B
=
.
b) Cho hình thoi ABCD, biết đường thẳng AB, AC lần lượt có phương
trình 2x – y + 7 = 0, 3x – y + 8 = 0 và đường thẳng BC đi qua điểm
M(-4;
13
2
). Lập phương trình đường thẳng CD.
Câu 4. Các số thực x, y, z dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z =
3
2
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: M =
2 2 2 2
2 2
4 1 4 1 4 1
x xy y y yz z
z zx x
yz zx xy
+ + + +
+ +

+ +
+ + +
.
Hết
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Giám thị không được giải thích gì thêm.
/>14
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10,11,12 TỈNH VĨNH PHÚC
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………………………
Số báo danh :………………………………………………………………….
Hết
Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác ở đây:
(GIỮ PHÍM CTRL VÀ CLICK VÀO ĐƯỜNG LINH MÀU XANH NÀY):
/> />15