HỒ XUÂN TRỌNG

TẬP 9
1000 ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN

NĂM 2014-2015

hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐĂK NÔNG
KỲ THI KHẢO SÁT LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút;
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2.0 điểm) Cho hàm số
2 1
1
x

y
x
+
=
+
có đồ thị
( )C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
, biết tiếp tuyến có hệ số góc 1k = .
Bài 2. (1.0 điểm) Tính tích phân
1
2
0
( 1)I x x dx= −
∫
Bài 3. (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm
(1; 2;3)M −
và mặt
phẳng
( )P
có phương trình
2 2 5 0x y z− + − =
.

1. Tính khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
( )P
.
2. Viết phương trình mặt phẳng
( )Q
đi qua điểm
M
và song song với mặt phẳng
( )P
.
Bài 4. (1.0 điểm) Cho lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
, có đáy
ABC
là tam giác vuông cân
tại B . Biết
3 AB cm=
, ' 3 2 BC cm= .
1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho;
2. Tính góc hợp bởi đường thẳng
'BC
và
( ' ')mp ACC A
.
Bài 5. (1.0 điểm) Giải phương trình
2
sin 2 sin
4 4 2

x x
π
π
   
− + + =
   
   
.
Bài 6. (1.0 điểm) Với các chữ số của tập hợp
{
}
0;1;2;3;4;5 , viết được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có hai chữ số 1, ba chữ số còn lại khác nhau từng đôi và
khác 1.
Bài 7. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm
( 2; 2)A
,
(2 2;0)B
và
( 2; 2)C −
. Các đường thẳng (d
1
) và (d
2
) cùng đi qua gốc tọa độ và hợp với nhau góc
45
o
. Biết rẳng (d
1
) cắt đoạn AB tại M và (d

2
) cắt đoạn BC tại N. Khi tam giác OMN có
diện tích bé nhất, hãy tìm M và viết phương trình các đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
Bài 8. (1.0 điểm) Giải hệ phương trình sau
( )
2 2
3 2 4 3 4
4 2 2 2
x y xy x y
x y x y xy

+ + = −


+ + = + −


.
Bài 9. (1.0 điểm) Với các số dương x và y có tổng bé hơn 1.
Chứng minh rằng
1 4 9
36
1x y x y
+ + ≥
− −
.

ĐỀ CHÍNH THỨC
3
hoctoancapba.com
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐĂK NÔNG
KỲ THI KHẢO SÁT LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút;
(không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài

Đáp án Điểm
1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
.
1,0
Tập xác định:
{

}
\
1D = −»
Giới hạn: lim 2
x
y
→+∞
= , lim 2
x
y
→−∞
= , suy ra 2y = là tiệm cận ngang của đồ thị
1 1
lim , lim
x x
y y
+ −
→− →−
= −∞ = +∞ , suy ra
1x = −
là tiệm cận đứng của đồ thị
0,25
Đạo hàm:
( )
2
1
' 0, 1
1
y x
x

= > ∀ ≠ −
+

Bảng biến thiên:
2
-∞
+∞
+
+∞
-1
2
+
-∞
y
y'
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ − và
( )
1;− +∞
Hàm số không có cực trị
0,25
Đồ thị:
Với x = 0 ta có y = 1
Với x = – 2 ta có y = 3
0,5
ĐỀ CHÍNH THỨC
4
hoctoancapba.com

2
2. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
, biết tiếp tuyến có hệ số góc 1k = .
1,0
Giả sử
( )
0 0
;
M
x y là tọa độ tiếp điểm.
Theo giả thiết ta có
( )
0
0
2
0
0
0
1
'( ) 1 1
2
1
x
y x
x
x
=

= ⇔ = ⇔


= −
+

0,5
Với
0 0
0 1x y= ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến là:
1y x= +

0,25
Với
0 0
2 3x y= − ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến là:
5y x= +

0,25
2
Tính tích phân
1
2
0
( 1)I x x dx= −
∫
1,0
Ta có
1
3 2
0
( 2 )I x x x dx= − +

∫
0,25
1
4 3 2
0
2
4 3 2
x x x
 
= − +
 
 
0,5
1
12
I =
0,25
3
1. Khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
( )P
là:
( )
( )
1 2( 2) 2.3 5
, 2
1 4 4
d M P
− − + −

= =
+ +
(đơn vị độ dài)
0,5
2. Viết phương trình mặt phẳng ( )Q đi qua điểm
M
và song song với mặt
phẳng ( )P .
0,5
Mặt phẳng
( )P
có véctơ pháp tuyến
( )
1; 2;2n = −

. Vì
( )
/
/( )Q P nên
( )
1; 2;2n = −

cũng là một véctơ pháp tuyến của
( )Q
.
0,25
Phương trình của mặt phẳng
( )Q
là:
1.( 1) 2.( 2) 2( 3) 0x y z− − + + − =


Hay
2 2 11 0x y z− + − =

0,25
4 1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho;
0,5
Vẽ hình: 0,5
5
hoctoancapba.com
3
H
C'
B'
A'
C
B
A
Diện tích đáy của khối lăng trụ:
9
2
S = (cm
2
)
Chiều cao của khối lăng trụ:
2 2
' ' 3h CC BC BC= = − = (cm)
0,25
Thể tích của khối lăng trụ đã cho:
( )

3
9 27
. .3
2 2
V S h cm= = =
0,25
2. Tính góc hợp bởi đường thẳng
'BC
và
( ' ')mp ACC A
.
0,5
Gọi H là trung điểm của cạnh
AC
, suy ra
'HC
là hình chiếu của
'BC
lên
mặt phẳng
( )
' 'ACC A .
0,25
Do đó
( )
( )

( )

', ' ' ', 'BC ACC A BC HC=

0,25
Ta có tam giác
'BHC
vuông tại H , cạnh
3 2
2
BH cm= .
0,25
Ta có
 
1
sin ' ' 30
' 2
o
BH
HC B HC B
BC
= = ⇒ = . Vậy
( )
( )

', ' ' 30
o
BC ACC A =
0,25
5 Biến đổi phương trình đã cho thành
sin 2 sin sin
4 4 4
x x
π

π π
   
− − = − +
   
   

0,25đ
⇔
( )
2cos sin sin
4 4
x x x
π
π
   
− − = − +
   
   
⇔
( )
2cos sin cos
4 4
x x x
π
π
   
− = −
   
   
0,25đ

Với
cos 0
4
x
π
 
− =
 
 
, ta có
4 2
x k
π
π
π
− = + hay là
4
x k
π
π
= − +
0,25đ
6
hoctoancapba.com
4
Với
( )
1
sin x
2

=
, ta có
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +



= +


Ta có 3 họ nghiệm
4
2
6
5
2
6
x k
x k

x k
π
π
π
π
π
π

= − +



= +



= +


0,25đ
6 Trường hợp trong số tự nhiên có chữ số 0:
Có
2 2
4 4
4. . 288C A = số tự nhiên
(Có 4 cách đưa số 0 vào các hàng của số tự nhiên, mỗi cách chọn số 0 ta
có
2
4
C cách đưa số 1 vào hai hàng của số tự nhiên. Còn lại 2 hàng, có

2
4
A cách chọn 2 chữ số (trong các chữ số 2, 3, 4, 5) để đưa vào).
0,5đ
Trường hợp trong số tự nhiên không có chữ số 0:
Có
2 3
5 4
. 240C A = số tự nhiên.
Kết quả có 528 số tự nhiên.
0,5đ
7 Gọi α là góc giữa (d
1
) với chiều dương trục hoành, β là góc giữa (d
2
) với
chiều dương trục hoành, với α + β = 45
o
.
Ta có
2
cos
2
cos
OM
ON
α
β

=





=


.
Như vậy tam giác OMN có diện tích là
1
. . .sin45
2
o
S OM ON=
Hay là
2
2cos .cos
S
α
β
=
Hay là
( )
2
cos45 cos
o
S
α
β
=

+ −
0,25đ
Tam giác OMN có diện tích bé nhất với điều kiện
( )
cos 1
α
β
− =
, tức là
α
β
= .
Và ta có
8
π
α
β
= =
0,25đ
Lúc này (d
1
) là phân giác của góc

AOB
, do đó điểm M chia đoạn AB theo
tỷ số
1
2
OA
k

OB
= − = −
Tọa độ điểm M sẽ là
2
2( 2 1)
M
M
x
y
=



= −


0,25đ
7
hoctoancapba.com
5
Phương trình đường thẳng
1
( ) : tan
8
d y x
π
= hay là
( )
1
( ) : 2 1d y x= −

,
Đường thẳng (d
2
) đối xứng với (d
1
) qua trục hoành nên phương trình
đường thẳng
( )
2
( ) : 2 1d y x= − +
.
0,25đ
Xét hệ phương trình sau
( )
2 2
3 2 4 3 4
(*1)
(*2)
4 2 2 2
x y xy x y
x y x y xy

+ + = −


+ + = + −


.
Ta phân tích phương trình (*1):

2 2
3 2 4 3 4x y xy x y+ + = −
Trở thành
( )( )
3 2 2 1 0x y y x+ − + =
Hay là
3 2 0
2 1 0
x y
y x
+ =


− + =

0,25đ
Còn phương trình (*2):
( )
4 2 2 2x y x y xy+ + = + −
được phân tích thành
( )
2
2 0x y+ − =
Hay là
2 0x y+ − =
0,25đ
Xét hệ
3 2 0
2
x y

x y
+ =



+ =


, ta có hệ vô nghiệm
0,25đ
Xét hệ
2 1 0
2
y x
x y
− + =



+ =


, ta có
23 8 7
11 4 7
x
y

= −



= +


0,25đ
Đặt
1 x y z− − =
, ta có
1x y z+ + =
, ta cần chứng minh
1 4 9
36
x y z
+ + ≥
.
0,25đ
Do
1x y z+ + =
, nên ta đặt lại
a
x
a b c
=
+ +
,
b
y
a b c
=
+ +

và
c
z
a b c
=
+ +
, với a, b và
c là các số dương. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
4( ) 9( )
36
a b c a b c a b c
a b c
+ + + + + +
+ + ≥
0,25đ
Hay là
4 4 9 9
1 4 9 36
b c a c a b
a a b b c c
+ + + + + + + + ≥
Hay là
4 4 9 9
22
b c a c a b
a a b b c c
+ + + + + ≥
0,25đ
Hay là
4 9 4 9

22
b a c a c b
a b a c b c
     
+ + + + + ≥
     
     

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si 3 lần ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra:
1 4 9
36
x y z
+ + =
khi và chỉ khi
4 9 4 9
22
b a c a c b
a b a c b c
     
+ + + + + =
     
     

Như vậy
2
3
b a
c a
=



=

. Lúc này
1
6
1
3
x
y

=




=


.
0,25đ

8
hoctoancapba.com
TRNGTHPTS3BOTHNG THI THPTQUCGIA NM2015
NgyThi:19032015 Mụn:TON
THITHLN1 Thigianlmbi:180phỳt,khụngkthigianphỏt
Cõu1(2,0i m) Chohms
2 1

1
x
y
x
-
=
- +
cúth(C)
1. Khosỏtvvthcahms(C)
2. Tỡmm ngthng 2y x m = - + ctth(C)tihaiimphõnbitcúhonh
1 2
,x x saocho
1 2 1 2
7
4( )
2
x x x x - + =
Cõu2(1,0i m) Giiphngtrỡnh
2
x
sinx 2 3 os + 3
2
0
2sin 3
c
x
-
=
+
Cõu3(1,0i m) Tớnhtớchphõn

( )
2
1
ln
1 2ln
e
x
I dx
x x
=
+
ũ
Cõu 4(1,0im)
1. Chosphczthamón iukin
1 3
(1 2 ) 2
1
i
i z i
i
-
- + = -
+
.Tớnhmụuncaz.
2. Tỡmhskhụngchaxtrongkhaitrin
15
3
2
( )f x x
x

ổ ử
= +
ỗ ữ
ố ứ
Cõu 5(1,0im) Trongkhụnggian vihtaOxyz,cho ( 12 1)A - - vmtphng
( )
: 2 2 1 0x y z a + - - = . Vit phng trỡnh mt phng
( )
b song song vi mt phng
( )
a sao cho
khongcỏchtimAtimtphng
( )
a bng khongcỏchtimAtimtphng
( )
b
Cõu6(1,0im)ChohỡnhchúpS.ABCDcú ỏyABCDlhỡnh thoicnhbnga. SABltamgiỏc cõn tiSv
nmtrongmtphngvuụnggúcviỏy ,gúcgiacngSCvmtphng(ABCD)bng
0
60
,cnhAC=a.Tớnh
theo a thtớchkhichúp S.ABCD vkhongcỏcht A nmtphng(SBC).
Cõu 7(1,0im) Giihphngtrỡnh:
3 3 2
2 1 3 1 2
3 2 2
x y y x x y
x x y y
ỡ
- - + + = + +

ù
ớ
- + = -
ù
ợ
Cõu8(1,0im)TrongmtphngtaOxychohỡnhvuụngABCDcútõm
7 3

2 2
O
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.im
( )
66M
thuccnhABv
( )
8 2N - thuccnhBC.Tỡmtacỏcnhcahỡnhvuụng.
Cõu 9(1,0im)
Chox, y,z lcỏcsthc thuc
( )
01 thamón iukin

( )
3 3
( ) (1 )(1 )x y x y xy x y + + = - -
.Tỡmgiỏtr
ln nhtcabiuthc :
2 2
2 2
1 1
3 ( )
1 1
P xy x y
x y
= + + - +
+ +


HT
9
hoctoancapba.com
ĐÁPÁNVÀHƯỚNGDẪNCHẤM
Câu Ý Đápán Điểm
I
1
1,0
− TXĐ:D=R
−Sựbiếnthiên
+Chiềubiếnthiên
( )
2
1

' 0, 1
1
y x
x
= > " ¹
- +
Vậy:Hàmsốđồngbiếntrênmỗikhoảng(¥ ;1)và(1;+¥ )
0,25
+Cựctrị:
Hàmsốkhôngcócựctrị
+Giớihạn:
lim 2; lim 2 2
x x
y y y
®-¥ ®+¥
= - = - => = -
làđườngtiệmcậnngang
1 1
lim ; lim 1
x x
y y x
- +
® ®
= +¥ = -¥ => =
làđườngtiệmcậnđứng
0.25
+Bảngbiếnthiên:
0,25
· Đồthị:
−Đồthị:

ĐồthịhàmsốgiaovớiOx:(
1
2
;0)
ĐồthịhàmsốgiaovớiOy:(0;1)
0,25
2
1,0
2
2 ( 4) 1 0 (1)
2 1
2
1
1
x m x m
x
x m
x
x
ì
- + + + =
-
= - + Û
í
- +
¹
î
Đường thằng 2y x m = - + cắt(C)tạihaiđiểmphânbiệt Û phươngtrình(1)có
hainghiệmphânbiệtkhác1
0,25

( )
2
2
4 8( 1) 0
8 0,
1 0
m m
m m
ì
+ - + >
ï
Û Û + > "
í
- ¹
ï
î
0,25
10
hoctoancapba.com
Vậy
m "
đườngthẳng
y x m = +
luôncắtđồthị(C)tạihaiđiểmphânbiệtcó
hoànhđộ
1 2 1 2
, ,x x x x ¹
Theoviet:
1 2 1 2
4 1

, .
2 2
m m
x x x x
+ +
+ = =
0.25
1 2 1 2
7 1 4 7 22
4( ) 4( )
2 2 2 2 3
m m
x x x x m
+ +
- + = Û - = Û = -
Vậy
22
3
m = - thìđườngthẳng 2y x m = - + cắtđồthị(C)tạihaiđiểmphânbiệt
cóhoànhđộ
1 2
,x x
và
1 2 1 2
7
4( )
2
x x x x - + =
0,25
2 1.0

ĐK:
3
sin
2
x ¹
;
2
x
sinx 2 3 os + 3
2
0 s inx 3 osx=0
2sin 3
c
c
x
-
= Û -
+
0.25
1 3
sinx osx=0 os x+ 0
2 2 6
c c

p

æ ö
Û - Û =
ç ÷
è ø

0.25
x= ,
3
k k Z

p
p
Û + Î 0.25
KếthợpĐKtacó x k2 ,k Z
3
p
= + p Î lànghiệmcủa phươngtrình 0.25
3 1.0
( )
( )
( )
2
1 1 1
2ln 1
1 4ln 1 1 1 1
4 1 2ln 4 4 1 2ln
e e e
x dx
x dx
I dx
x x x x x
-
- +
= = +
+ +

ò ò ò
0.25
( ) ( )
( )
( )
1 1
2ln 1
1 1
2ln 1 2ln 1
8 8 1 2ln
e e
d x
x d x
x
+
= - - +
+
ò ò
0.25
( ) ( )
2
1 1
1 1
2ln 1 ln 1 2ln
16 8
e e
x x
æ ö
= - + +
ç ÷

è ø
0.25
1
ln 3
8
= 0.35
4 1.0
1 3 1 7
(1 2 ) 2
1 5 5
i
i z i z i
i
-
- + = - Û = +
+
0,25
2z => =
0,25
15
15 5
15 15
5
3
3 62
15 15
0 0
2
( ) . .2 .2 . ,(0 15, )
k k

k
k k k k
k k
f x x C x x C x k k Z
x
-
-
-
= =
æ ö
= + = = £ £ Î
ç ÷
è ø
å å
0,25
Hệsốkhôngchứaxứngvớikthỏamãn:
5
5 0 6
6
k
k - = Û = =>
hệsố:320320
0,25
5
1,0
( )
4
( , )
3
d A a = 0,25

Vì
( )
b //
( )
a nênphươngtrình
( )
b códạng:
2 2 0, 1x y z d d + - + = ¹ -
0,25
( ) ( )
5
4
( , ) ( , )
3 3
d
d A d A
+
a = b Û = Û
0,25
1
9
9
d
d
d
= -
é
Û = -
ê
-

ë
(d=1loại)=>
( )
b : 2 2 9 0x y z + - - =
0,25
6
1,0
11
hoctoancapba.com
Gi I l trung im ca on AB => ,( ) ( ) ( )SI AB SAB ABCD SI ABCD ^ ^ => ^
nờn
ã
( )
ã
0
, ( ) 60 ,SCI SC ABCD = =
0
3 3
tan 60
2 2
a a
CI SI CI= => = =
GiMltrungimcaonBC,NltrungimcaonBM
3 3
2 4
a a
AM IN = => =
Tacú
2 2 3
.

3 1 3 3 3
2 . .
2 3 2 2 4
ABCD ABC S AB CD
a a a a
S S V
D
= = => = =
0.5
tacú
, ( )BC IN BC SI BC SIN ^ ^ => ^
Trongmtphng(SIN)k ( ),IK SN K SN ^ ẻ .Tacú
( ) ( ,( ))
IK SN
IK SBC d I SBC IK
IK BC
^
ỡ
=> ^ => =
ớ
^
ợ
Licú:
2 2 2
1 1 1 3 13 3 13 3 13
( ,( )) ( ,( ))
26 26 13
IS
a a a
IK d I SBC d A SBC

IK IN
= + => = => = => =
0.5
7 1.0
K:
2 1 0
2 0
0
1
3
x y
x y
x
y
- -
ỡ
ù
+
ù
ù
> ớ
ù
ù
-
ù
ợ
(1) 2 1 3 1 2 0
1 1
0
2 1 3 1 2

x y x y x y
x y x y
x y x y x y
- - - + + - + =
- - - -
- =
- - + + + +
( )
1 1
1
2 1 3 1 2
x y
x y x y x y
ổ ử
- - -
ỗ ữ
ỗ ữ
- - + + + +
ố ứ
1 (3)
2 1 3 1 2 (4)
y x
x y x y x y
= -
ộ

ờ
- - + = + + +
ờ
ở

0,25
1
(4) 2 1 3 1 2 3 1 (5)
3
x
x y x y x y x y y
-
- - + = + + + = + =
0,25
A
B
C
D
S
I
M
N
K
12
hoctoancapba.com
T(3)v(2)tacú:
( )
2 3 2 2
1
( 1) ( 2) 2( 1) ( 1) ( 1) 5 0
5
x
x x x x x x
x
=

ộ
- + = - - - - - =
ờ
=
ở
1 0 5 4x y x y = => = = => =
0,25
T(5)v(2)tacú:
( )
2 3 2 2
2 1
( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) 25 59 0 1
27 9
x x x x x x x - + = - - - - + = = (dox>0)
Vyhóchocúnghim:( ) (10)( ) (54)x y x y = =
0,25
8
1
1,0
GiGlimixngcaMquaO (1 3)G CD => = - ẻ
GiIlimixngcaNquaO
( 15)I AD => = - ẻ
0,25
PhngtrỡnhcnhMOquaMvcúVTCP MO
uuuur
l: 9 5 24 0x y - - =
=>PhngtrỡnhcnhNEquaNvvuụnggúcMOl: 5 9 22 0x y + - =
GiElhỡnhchiucaNtrờnMG=>
163 39


53 53
E NE MG E
ổ ử
= ầ => =
ỗ ữ
ố ứ
0,25
Licú
( 0, ) ( 13)
NJ MG
NE MG k k R J
NE kNJ
=
ỡ
ù
^ => ạ ẻ => -
ớ
=
ù
ợ
uuur uuur
(Vỡ
,NE NJ
uuur uuur
cựngchiu)
SuyraphngtrỡnhcnhAD:
9
1 0
2
x OK + = => = .VỡKA=KO=KDnờn

K,O,DthucngtrũntõmK ngkớnhOK
ngtrũntõmKbỏnkớnhOKcúphngtrỡnh:
( )
2
2
3 81
1
2 4
x y
ổ ử
+ + - =
ỗ ữ
ố ứ
0,25
VytaimAvDlnghimcah:
( )
2
2
1
3 81
6
1
2 4
1
1 0
3
x
y
x y
x

x
y
ộ = -
ỡ
ỡ
ớ
ờ
ổ ử
=
+ + - =
ù ợ
ờ
ỗ ữ

ớ
ố ứ
ờ
= -
ỡ
ù
ờ
+ =
ớ
ợ
= -
ờ
ợ
ở
Suyra ( 16) ( 1 3) (8 3) (86)A D C B - - - => - .Trnghp ( 16) ( 1 3)D A - - -
loidoMthuc CD.

0,25
13
hoctoancapba.com
9 1,0
( )
2 2
3 3
( ) (1 )(1 ) ( ) (1 )(1 ) (1)
x y
x y x y xy x y x y x y
y x
æ ö
÷
ç
÷
+ + = - - Û + + = - -
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
Tacó:
2 2
( ) 4
x y
x y xy
y x
æ ö

÷
ç
÷
+ + ³
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
và
(1 )(1 ) 1 ( ) 1 2x y x y xy xy xy - - = - + + £ - +
1
1 2 4 0
9
xy xy xy xy => - + ³ Û < £
0.25
Dễchứngminh:
( )
2 2
1 1 1
; ; (0;1)
1
1 1
x y
xy
x y
+ £ Î
+

+ +
2 2
2 2
1 1 1 1 2 2
2 2
1
1 1
1
1 1
xy
x y
xy
x y
æ ö
æ ö
+ £ + £ =
ç ÷
ç ÷
+
+ +
+
è ø
+ + è ø
0.25
2 2 2
3 ( ) ( )xy x y xy x y xy - + = - - £
2 2 1
, ,0
9
1 1

P xy t t xy t
xy t
æ ö
=> £ + = + = < £
ç ÷
+ + è ø
0.25
Xéthàmsố
2 1 1 6 10 1 1
( ) , 0 max ( ) ( ) , 0;
9 9 10 9 9
1
f t t t f t f t
t
æ ö æ ù
= + < £ => => = = + Î
ç ÷ ç
ú
+
è ø è û
0.25
__________HẾT__________
14
hoctoancapba.com

Cõu 1 (2,0 im). Cho hm s
2
x m
y
x




(C
m
)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m=1.
b) Tỡm cỏc giỏ tr thc ca tham s m ng thng d: 2x+2y -1= 0 ct th (C
m
) ti hai im
phõn bit A, B sao cho tam giỏc
OAB
cú din tớch bng 1 (O l gc to ).
Cõu 2 (1,0 im).
a) Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s
2
x x 1
f(x)
x 1



trờn on
1
;2
2



.

b) Tớnh tớch phõn:
0
2
1
2
dx
I
(x 1) 3 2x x




.
Cõu 3 (2,0 im). Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)




21x2log1xlog
3
2
3

.
b)
3sin 2x 2sin x
2
sin 2x cos x



.
Cõu 4 (1,0 im).
a) Cho s phc z tha món:
1 i
(2 i)z 5 i.
1 i



Tớnh mụ un ca s phc
2
w z z

.
b) Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5 học sinh để
lập một tốp ca hát chào mừng ngày thành lập Quân đội nhân dân Việt Nam(22 tháng 12).
Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, mt bờn SAB l tam
giỏc vuụng cõn ti nh S v nm trong mt phng vuụng gúc vi mt phng ỏy. Tớnh theo a th
tớch khi chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng SB v AC.
Cõu 6 (1,0 im). Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD. im
11
F ;3
2



l
trung im ca cnh AD. ng thng EK cú phng trỡnh

19x 8y 18 0

vi E l trung im ca
cnh AB, im K thuc cnh DC v KD = 3KC. Tỡm ta im C ca hỡnh vuụng ABCD bit
im E cú honh nh hn 3.
Cõu 7 (1,0 im). Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng


P : 2x 2y z 4 0

v
mt cu


2 2 2
S : x y z 2x 4y 6z 11 0

. Chng minh rng mt phng (P) ct mt cu (S) theo
mt ng trũn. Xỏc nh to tõm v tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ú.
Cõu 8 (1,0 im). Cho
, ,
a b c
l ba s thc dng. Chng minh rng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 4 4
a b c
b c a a b b c c a




.
Hết
đề thi thử kỳ thi thpt quốc gia năm 2015

Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
S
GD & T THI NGUY
ấN

TRNG THPT LNG NGC QUYN
15
hoctoancapba.com
1

Hớng dẫn chấm
thi thử kỳ thi thpt quốc gia năm 2015
môn Toán
Lu ý khi chm bi:
- ỏp ỏn ch trỡnh by mt cỏch gii bao gm cỏc ý bt buc phi cú trong bi lm ca hc sinh.
Khi chm nu hc sinh b qua bc no thỡ khụng cho im bc ú.
- Nu hc sinh gii cỏch khỏc, giỏm kho cn c cỏc ý trong ỏp ỏn cho im.
- Trong bi lm, nu mt bc no ú b sai thỡ cỏc phn sau cú s dng kt qu sai ú khụng
c im.
- Hc sinh c s dng kt qu phn trc lm phn sau.
- Trong li gii cõu 5, nu hc sinh khụng v hỡnh hoc v sai hỡnh thỡ khụng cho im.
- im ton bi tớnh n 0,25 v khụng lm trũn.
Câu Nội dung

Điểm
I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)
Câu 1
Cho hm s
2
x m
y
x



(C
m
)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m=1.
b) Tỡm cỏc giỏ tr thc ca tham s m ng thng d: 2x+2y -1= 0 ct th
(C
m
) ti hai im phõn bit A, B sao cho tam giỏc
OAB
cú din tớch bng 1 (O
l gc to ).
a)
1
2



x
y

x
,
TX:



-Gii hn :
lim 1 ; lim 1


x x
y y
. ng thng y = -1 l tim cõn ngang ca
th hm s

2 2
lim ; lim



x x
y
. ng thng x = -2 l tim cn ng ca th hm
s
0,25
-Chiu bin thiờn
2
3
' 0 2
( 2)

y x
x



Hm s nghch bin trờn mi khong
( ; 2)

v
( 2; )


Hm s khụng cú cc tr
0,25
Bng bin thiờn
x
2
-

y'
||


y
1



1


0,25
a. 1,0
b. 1,0
th
Sở giáo dục và đào tạo thái nguyên

Trờng thpt lơng ngọc quyến
D \ 2
WWW.VNMATH.COM
16
hoctoancapba.com
2
*Giao với trục Ox tại
A(1;0)
*Giao với trục Oy tại
1
B(0; )
2
* Đồ thị nhận I(-2;-1) giao
của hai tiệm cận làm tâm
đối xứng
8
6
4
2
2
4
6
8
15 10 5 5 10 15

O
-2
-1
0,25
b)
Phương trình hoành độ giao điểm:
1
2 2
x m
x
x
 
  

2
2
2 2 2 0 (1)
 



   

x
x x m
Đường thẳng (d) cắt (C
m
) tại 2 điểm A,B

(1) có hai nghiệm phân biệt

2
x
 

0,25
2
17
1 8(2 2) 0
17 16 0
16
2
2.( 2) ( 2) 2 2 0
2
m
m
m
m
m
m

    
 




  
  
 
     




 

0,25
1 1 2 2
1 1
A x ; x ,B x ; x
2 2
   
   
   
   
trong đó x
1
; x
2
là hai nghiệm phân biệt của
phương trình (1), theo viet ta có
1 2
1 2
1
x x
2
x .x m 1


 




 

2 2 2
2 1 1 2 2 1 1 2
2(17 16m)
AB (x x ) (x x ) 2 (x x ) 4x x
2

       
 
 
0,25
 
1
d O,d
2 2

;
OAB
2(17 16m)
1 1 1 47
S AB.d(O,d) . . 1 m
2 2 2 16
2 2



    

(t/m)
Vậy:
47
m
16


0,25
C©u 2
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
x x 1
f(x)
x 1
 


trên đoạn
1
;2
2
 
 
 
.
b) Tính tích phân:
0
2
1
2

dx
I
(x 1) 3 2x x


  

.
a) 0,5
b) 0,5
a) Hàm số f(x) liên tục trên
đoạn
1
;2
2
 
 
 
.
+)
2
2
2
'( )
( 1)
x x
f x
x




,
1
0 ;2
2
'( ) 0
1
2 ;2
2

 
 

 
 

 

 
  

 
 

x
f x
x
0,25
D  \ 2
WWW.VNMATH.COM

17
hoctoancapba.com
3
+)
1 7
2 6




f
;
7
(2)
3
f

Vy:
1
;2
2
7
min ( )
6





x

f x
khi
1
2

x
;
1
;2
2
7
max ( )
3





x
f x
khi x=2.
0,25
b)
0 0 0
2
1 1 1
2
2 2 2
dx dx dx
I

(x 1) (x 1)(3 x) 3 x
(x 1) 3 2x x
(x 1)
x 1







t:
3 x
t
x 1



2
dx 1
tdt
(x 1) 2


. i cn:
1
x t 7;x 0 t 3.
2

0,25


3
7
1 1
I dt 7 3
2 2


0,25
Câu 3
Gii cỏc phng trỡnh sau:
a)




2
3
3
log x 1 log 2x 1 2 (1)

.
b)
3sin 2x 2sin x
2
sin 2x cos x


(2).
a) Đk:

1
1
2







x
x
0,25



3 3
(1) 2log x 1 2log 2x 1 2


3 3
log x 1 2x 1 log 3

0,25


x 1 2x 1 3















2
2
1
x 1
x 1
hoac
2
2x 3x 2 0
2x 3x 4 0(vn)
0,25

x 2

(tha món iu kin)
Vy: x=2
0,25
b) K:
k
sin 2x 0 x (k )

2



0,25
(2)

3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx

2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0
0,25


x k2
cos x 1
k2
sin 2x sin x
x
3 3














0,25
a) 1,0
b) 1,0
i chiu vi iu kin
Vy : phng trỡnh cú nghim


2
3
kx

0,25
Câu 4
a) Cho s phc z tha món:
1 i
(2 i)z 5 i.
1 i



Tớnh mụ un ca s phc
2
w z z

(3).
b) Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm chọn
ra 5 học sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày thành lập Quân đội nhân dân
Việt Nam(22 tháng 12). Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ.


D \ 2
WWW.VNMATH.COM
18
hoctoancapba.com
4
a) (3)
(2 i)z 5 z 2 i

0,25
w 5 5i w 5 2

0,25
b) Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong 35 học sinh của lớp, có
5
35

C
(cách)
Gọi A là biến cố: Chọn đợc 5 học sinh trong đó có ít nhất một em nữ
Suy ra
A
là biến cố: Chọn đợc 5 học sinh trong đó không có hs nữ nào
Ta có số kết quả thuận lợi cho
A
là
5
20
C


0,25
a) 0,5
b) 0,5

5
20
5
35

C
P A
C


5
20
5
35
2273
1 1 0,95224
2387
C
P A P A
C


0,25
Câu 5
Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, mt bờn SAB l tam giỏc
vuụng cõn ti nh S v nm trong mt phng vuụng gúc vi mt phng ỏy. Tớnh

theo a th tớch khi chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng SB v AC.
d
H
A
C
B
S
J
K
+) Theo bi ta cú:
( )
2







SH ABC
a
SH
0,25
+)
2
3
4


ABC

a
S
3
.
3
24
S ABC
a
V

0,25
+) Dng ng thng d i qua B v d // AC
( , ) ( ;( , )) 2 ( ;( ; ))
d AC SB d A SB d d H SB d


K on thng HJ sao cho
HJ d, J d

; K on thng HK sao cho
HK SJ, K SJ


+)
( ;( , ))
d H SB d HK

0,25
2 2 2 2
1 1 1 28 3

3
2 7
a
HK
HK HJ SH a

3
( , ) 2
7
d AC SB HK a
0,25
1.0
Ghi chỳ : hc sinh cú th gii bng cỏch ta húa bi toỏn
D \ 2
WWW.VNMATH.COM
19
hoctoancapba.com
5
C©u 6
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm
11
F ;3
2
 
 
 
là
trung điểm của cạnh AD. Đường thẳng EK có phương trình
19x 8y 18 0
  

với
E là trung điểm của cạnh AB, điểm K thuộc cạnh DC và KD = 3KC. Tìm tọa
độ điểm C của hình vuông ABCD biết điểm E có hoành độ nhỏ hơn 3.

P
I
F
E
C
A
B
D
K
H
+) Gọi AB=a (a>0)
2
EFK ABCD AEF FDK KCBE
5a
S S S S S
16
   
     
EFK
1
S FH.EK
2


,
25 a 17

FH d(F, EK) ;EK a 5
4
2 17
    
ABCD là hình vuông cạnh bằng 5
5 2
EF
2
 
0,25
+) Tọa độ E là nghiệm:
2
2
11 25
( 3)
2 2
19 8 18 0

 
   

 

 

  

x y
x y


2
58
(loai)
17
5
2
 













x
x
y
5
2;
2
 

 
 

E
0,25
+) AC qua trung điểm I của EF và AC

EF

AC:
7 29 0
x y
  

Có :
 
10
7 29 0
3
19 8 18 0 17
3



  


   
 
  






x
x y
AC EK P
y
y
10 17
;
3 3
 

 
 
P

0,25
1.0
Ta xác định được:
9
(3;8)
5
 
 
IC IP C
0,25
C©u 7
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng



P : 2x 2y z 4 0
   
và mặt
cầu


2 2 2
S : x y z 2x 4y 6z 11 0
      
. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt
cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn
đó.
1,0
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R=5
D  \ 2
WWW.VNMATH.COM
20
hoctoancapba.com
6
2.1 2.2 3 4
d(I,(P)) 3
4 4 1
  
 
 

0,25
Vì d(I,(P)) <R nên (P) cắt (S) theo đường tròn.
0,25
- Gọi H là hình chiếu của điểm I trên (P) thì H là giao của mp(P) với đường

thẳng d qua I, vuông góc với (P).
- Phương trình đường thẳng d:
x 1 2t
y 2 2t
z 3 t
 


 


 





d (P) H H 3;0;2 .
  

0,25
Bán kính đường tròn là:
2 2
r R IH 4
  
0,25
C©u 8
Cho
, ,
a b c

là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 4 4
a b c
b c a a b b c c a
  
    
  
.
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
4 4 4 4 4 4
a b c
VT
b b c c a a
     
     
     
     


2 2 2 2 2 2
1
2 2 2 2
a b c a b c
b c a b c a

 
     
 
 

0,25
Mặt khác:
2 2 2
1 2 1 2 1 2
; ;
a b c
b a b c b c a c a
     
Cộng theo vế các BĐT trên ta được:
2 2 2
1 1 1
a b c
b c a a b c
    
Suy ra:
0,25
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4
VT
a b c a b b c c a
 
       
        
       
 

       
 
0,25
1,0
VT
1 4 4 4 1 1 1
4
VP
a b b c c a a b b c c a
 
      
 
     
 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
1
a b c
  

0,25
21
hoctoancapba.com
SỞ GD & ĐT ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
1
x

y
x


(1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Tìm m để đường thẳng
y x m
 
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có
diện tích bằng
3
, với I là giao điểm của hai tiệm cận.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình:
2
sin 2 2cos 3sin cos
x x x x
  
.
b) Giải phương trình:
1
2 2
log (4 4).log (4 1) 3
x x
  
.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
1
1

ln d .
e
I x x x
x
 
 
 
 

Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện


2 5
z i z i
   
. Tính mô đun của số phức
2
1
w iz z
  
.
b) Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 5 tấm
thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ
mang số chia hết cho 4.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm



2;5;1
A
và mặt phẳng
( ) :6 3 2 24 0
P x y z
   
. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Viết
phương trình mặt cầu (S) có diện tích
784

và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm
trong mặt cầu.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết
2 3
SD a
 và góc tạo bởi đường thẳng SC
và mặt phẳng (ABCD) bằng
0
30
. Tính theo
a
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến
mặt phẳng (SAC).
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AD, BC.
Biết


2;3
B

và
AB BC

, đường thẳng AC có phương trình
1 0
x y
  
, điểm


2; 1
M
 
nằm trên
đường thẳng AD. Viết phương trình đường thẳng CD.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
3 3 2
3
3 4 2 0
( , )
3 2 2
x y y x y
x y
x x x y

     



    




.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho
, ,
a b c
là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
3.
ab bc ca
  
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 1
.
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
a b c b c a c a b abc
  
     
Hết
Học sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
22
hoctoancapba.com
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2015
Câu Đáp án Điểm
1
(2,0đ)
a) (1,0 điểm)
 Tập xác định



\ 1
D 

.
 Sự biến thiên: - Chiều biến thiên:
 
2
1
' 0,
1
y x D
x
    

.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng


;1

và


1;

.
0,25
- Giới hạn và tiệm cận:
lim lim 1

x x
y y
 
 
.

tiệm cận ngang:
1
y

.
1 1
lim ; lim
x x
y y
 
 
   
.

tiệm cận đứng:
1
x

.
0,25
- Bảng biến thiên:
x

1


y' - -
y 1



1
0,25
 Đồ thị:
x
y
1
0,25
b) (1,0 điểm)
Gọi
:
d y x m
 
.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:
1
x
x m
x
 






1
x x x m
   
(Vì
1
x

không phải là nghiệm của phương trình)


2
2 0
x m x m
    
(1)
0,25
Ta có
2
4 0,
m m
    
nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị ( C) tại hai điểm phân biệt A,
B với mọi
m
.
0,25
Khi đó,





1 1 2 2
; , ;
A x x m B x x m
 
, với
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình (1).
Ta có:
   
1;1 ,
2
m
I d I AB 
.
và
     
 
2 2 2
2
2 1 2 1 1 2 1 2
2 8 2 4
AB x x x x x x x x m
        
.
0,25
Ta có:
 

2
4
1
. ,
2 2
IAB
m m
S AB d I AB

 
. Theo giả thiết, ta có:
2
4
3 3 2
2
IAB
m m
S m

     
.
0,25
23
hoctoancapba.com
2
(1,0đ)
a) Phương trình đã cho tương đương
2
2sin 3sin 2 2sin cos cos 0
x x x x x

    




2sin 1 sin cos 2 0
x x x
    
0,25

sin cos 2 0
x x
  
: Phương trình vô nghiệm

2
6
2sin 1 0 ( )
7
2
6
x k
x k
x k





  


   


 




Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
7
2 , 2 ( ).
6 6
x k x k k
 
 
     


0,25
b)


1
2 2 2 2
log (4 4).log (4 1) 3 2 log (4 1) .log (4 1) 3
x x x x
       

0,25

Đặt
2
log (4 1)
x
t
 
, phương trình trở thành:
 
1
2 3
3
t
t t
t


  

 


2
1 log (4 1) 1 4 1 2 0
x x
t x
        
.

2
1 7

3 log (4 1) 3 4 1 4
8 8
x x x
t
           
: Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
0
x

.
0,25
3
(1,0đ)
Ta có:
1 1 1
1 1
ln d ln d ln d .
e e e
I x x x x x x x x
x x
 
   
 
 
  
0,25
 Tính
1
ln d

e
x x x

. Đặt
ln
u x

và
dv xdx

. Suy ra
1
du dx
x

và
2
2
x
v 
Do đó,
2
2 2 2 2
1 1
1 1
1
ln d ln d
2 2 2 4 4 4
e
e e

x x e x e
x x x x x
     
 
0,25
 Tính
1
1
ln d .
e
x x
x

Đặt
1
ln
t x dt dx
x
  
. Khi
1
x

thì
0
t

, khi
x e


thì
1
t

.
Ta có:
1
1
2
1 0
0
1 1
ln d tdt .
2 2
e
t
x x
x
  
 
0,25
Vậy,
2
3
.
4
e
I



0,25
4
(1,0đ)
a) Đặt


,z a bi a b  

. Từ giả thiết ta có:
3 5 1
1 2
a b a
a b b
  
 

 
    
 
.
Do đó
1 2
z i
 
.
0,25
Suy ra





2
2
1 1 1 2 1 2 3
w iz z i i i i
         
. Vậy
3
w

.
0,25
b) Số phần tử của không gian mẫu là:


5
20
15504
n C  
.
Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho 4, 5
tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4.
0,25
Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có:


3 1 1
10 5 5
. . 3000
n A C C C 

.
Vậy, xác suất cần tính là:
 


 
3000 125
15504 646
n A
P A
n
  

.
0,25
24
hoctoancapba.com
C
H
A
B
D
S
I
K
5
(1,0đ)

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Suy ra:
2 6

: 5 3
1 2
x t
d y t
z t
 


 


 


Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) nên
( )
H d P
 
.
Vì
H d

nên


2 6 ;5 3 ;1 2
H t t t
  
.
0,25

Mặt khác,
( )
H P

nên ta có:






6 2 6 3 5 3 2 1 2 24 0 1
t t t t
         

Do đó,


4;2;3
H 
.
0,25
Gọi
I
, R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng
784

, suy ra
2

4 784 14
R R
 
  
.
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên
( )
IH P I d
  
.
Do đó tọa độ điểm I có dạng


2 6 ;5 3 ;1 2
I t t t
  
, với
1
t
 
.
0,25
Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:
     
     
2 2 2
2 2 2
6 2 6 3 5 3 2 1 2 24
1
14

( ,( )) 14
6 3 ( 2)
1
3
14
2 2
6 3 2 14
t t t
t
d I P
t
t
AI
t
t t t

     
 





 

  
   
 
  




 
  

   



Do đó,


8;8; 1
I

.
Vậy, mặt cầu
     
2 2 2
( ): 8 8 1 196
S x y z     

0,25

6
(1,0đ)

Gọi H là trung điểm của AB. Suy ra
( )
SH ABCD



và

0
30
SCH 
.
Ta có:
2 3
SHC SHD SC SD a
     
.
Xét tam giác SHC vuông tại H ta có:
0
0
.sin .sin30 3
.cos .cos30 3
SH SC SCH SC a
HC SC SCH SC a
  
  

0,25
Vì tam giác SAB đều mà
3
SH a

nên
2

AB a

. Suy ra
2 2
2 2
BC HC BH a
  
. Do đó,
2
. 4 2
ABCD
S AB BC a 
.
Vậy,
3
.
1 4 6
.
3 3
S ABCD ABCD
a
V S SH 
.
0,25
Vì
2
BA HA

nên









, 2 ,
d B SAC d H SAC


Gọi I là hình chiếu của H lên AC và K là hình chiếu của H lên SI. Ta có:
AC HI

và
AC SH

nên


AC SHI AC HK
  
. Mà, ta lại có:
HK SI

.
Do đó:


HK SAC


.
0,25
Vì hai tam giác SIA và SBC đồng dạng nên
. 6
3
HI AH AH BC a
HI
BC AC AC
   
.
Suy ra,
2 2
.HS HI
HK
HS HI
 

66
11
a
.
Vậy ,
 
 
 
 
2 66
, 2 , 2
11

a
d B SAC d H SAC HK  

0,25
25
hoctoancapba.com