Giáo trình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH
I. ĐẠO HÀM
1) Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) =
1x
|x|
+
tại x
0
= 0.
2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+1, có đồ thò (C).
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Cho (C) : y = f(x) = x
4
− 2x
2
.
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hoành độ bằng
2
.
2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007

4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d
2
: y =
10x
24
1
−
.
4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x
2
− 2x − 3 đi qua M
1
(5;3).
5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x
3
–3x+1 kẻ từ M(3; − 1).
6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x − 2+
1x
4
−
đi qua A(0;3).
7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)=
1x
1x
+
−
đi qua H(1;1).
8) Tìm đạo hàm các hàm số
a) y = ( x
3

– 3x + 2 ) ( x
4
+ x
2
– 1 ) b) y =
1xx
x2x
2
3
++
−
c) y =
qpx
cbxax
2
+
++
9) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y = ( 5x
3
+ x
2
– 4 )
5
b) y = sin
2
(cos 3x)
c) y = ln
3
x d) y = e

sinx
e) y = e
4x + 5
f) y =
1x2
2
x
a
++
(0< a ≠ 1)
10) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y= ln ( x +
2
x1+
) b) y = log
3
( x
2
– sin x )
c) y = e
x
– ln ( sin x) d) y = tg ( 2x+3)
e) y = tg
2
x . sinx f) y =
2
x
tg
g) y = cotg ( 5x
2

+ x – 2 ) h) y = cotg
2
x + cotg2x

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 2 - Soạn cho lớp LTĐH
11) Tính đạo hàm của hàm số
f(x) =



≥
<
0x nếu x
0x nếu x
2
3
tại điểm x
0
= 0
12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau :
a) y = lnx b) y = e
Kx
c) y = sin x
d) y = cos x e) y = ln (x
2
+ x – 2 )
13) Chứng minh rằng :
a) Với y= 3 +
x

5
( x ≠ 0), ta có xy’ + y = 3
b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0
c) Với y = ( x +1 ) e
x
ta có : y’ – y = e
x
d) Với y= e
sin x
ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0
e) Với y = ln
x1
1
+
ta có xy’ + 1 = e
y
14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm:
a) Cho hàm số y =
xcos.xsin1
xcosxsin
33
−
+
. Chứng minh rằng: y’' = −y
b) Cho y = ln(sinx) . Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg
2
x
= 0
c) Cho y = e
4x

+2e
−
x
. Chứng minh rằng : y’’’−13y’−12y = 0
d) Cho y =
4x
3x
+
−
. Chứng minh rằng : 2(y’)
2
= (y−1)y’’
e) Cho y =
73xgxcotxgcot
3
1
3
++++−
. Chứng minh rằng: y’ = cotg
4
x
15) Cho f(x) =
xsin1
xcos
2
2
+
. Chứng minh rằng :
3)
4

('f3)
4
(f =
π
−
π
16) Cho f(x) =
2
2
x
e.x
−
. Chứng minh rằng :
)
2
1
(f3)
2
1
(f2
'
=
17) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x +sin x + x.
b) f(x) = (x
2
+2x−3)e
x
c)


f(x) = sinx.e
x
d) f(x) =
xxcosxsin3 +−
18) Giải bất phương trình f
/
(x) < 0 với f(x) =
3
1
x
3
−2x
2
+ π .
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 3 - Soạn cho lớp LTĐH
19) Cho các hàm số f(x) = sin
4
x + cos
4
x; g(x) =
x4cos
4
1
Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), ∀x∈R
20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) f(x) = ln (sinx) tại x
0
=
4

π
. b) f(x) = x. cosx tại x
0
=
3
π
21) Tìm vi phân của mỗi hàm số:
a) f(x) =
1x
2
+
b) f(x) = x.lnx. c) f(x) =
x
xsin
.
22) Biết rằng ln 781 = 6,6606 , hãy tính gần đúng ln 782.
II.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+
5
x
3
+
.
24) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x
3
−3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2

−x
4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−
.
e) y = f(x) = x+2sinx trên ( −π ; π). f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) =
)5x(x
3
2
−
. h) y= f(x) = x
3
−3x
2
.
i)
1x
3x3x
f(x) y

2
−
+−
==
. j) y= f(x) = x
4
−2x
2
.
k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π].
25) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1. Đònh m để hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó. Kq:1 ≤ m ≤ 0
b) Nghòch biến trên khoảng ( −1;0). Kq: m ≤
3
4
−
c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤
3
1
26) Đònh m∈Z để hàm số y = f(x) =
mx
1mx
−
−
đồng biến trên các khoảng xác đònh của
nó. Kq: m = 0

27) Đònh m để hàm số y = f(x) =
2x
2x6mx
2
+
−+
nghòch biến trên nửa khoảng [1;+∞).
Kq: m ≤
5
14
−
28) Chứng minh rằng :
x1e
x
+>
, ∀x > 0.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 4 - Soạn cho lớp LTĐH
29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng
khoảng xác đònh) của nó :
a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)
1x
1xx
y
2

−
−−
=
.
c)
1x2
1x
y
+
−
=
.
30) Tìm m để hàm số
( ) ( )
x7mx1m
3
x
y
2
3
−−−−=
:
a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞)
31) Tìm m để hàm số :
mx
2mmx2x
y
2
−

++−
=
luôn đồng biến trên từng khoảng xác
đònh của nó.
32) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
luôn đồng biến trên khoảng (1;+∞).
Kq:
223m −≤
33) Tìm m để hàm số y = x
2
.(m −x) −m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥3
34) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1 −
2
x
2
, với x > 0 .
II. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
35) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:
a) y = x
3
. b) y = 3x +
x

3
+ 5. c) y = x.e
−
x
. d) y =
x
xln
.
36) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 2:
a) y = sin
2
x với x∈[0; π ] b) y = x
2
lnx. c) y =
x
e
x
.
37) Xác đònh tham số m để hàm số y=x
3
−3mx
2
+(m
2
−1)x+2 đạt cực đại tại x=2.
( Đề thi TNTHPT 2004
−
2005) Kết quả : m=11
38) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3

−3x
2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trò. Kết quả : m ≥1
b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1
c. Có đồ thò (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò (đạt cực trò 4 khi x = 0).
Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 5 - Soạn cho lớp LTĐH





=
≠
=
b)a(f
0)a(''f
0)a('f
Kết quả : m=0
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.
Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1
39) Đònh m để hàm số y = f(x) =
x1
mx4x
2

−
+−
a. Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m>3
b.Đạt cực trò tại x = 2. Kết quả : m = 4
c.Đạt cực tiểu khi x = −1 Kết quả : m = 7
40) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =
mx
1mx)1m(mx
422
−
+−−+
luôn có cực trò.
41) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
−mx
2
+(m
2
−m+1)x+1. Có giá trò nào của m để hàm số
đạt cực tiểu tại x = 1 không? Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không
42) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
−mx
2

+(m+2)x−1. Xác đònh m để hàm số:
a) Có cực trò. Kết quả: m <−1 V m > 2
b) Có hai cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2
c) Có cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m <−2 V m > 2
43) Biện luận theo m số cực trò của hàm số y = f(x) = −x
4
+2mx
2
−2m+1.
Hd và kq : y’=−4x(x
2
−m)
 m ≤ 0: 1 cực đại x = 0
 m > 0: 2 cực đại x=
m±
và 1 cực tiểu x = 0
44) Đònh m để đồ thò (C) của hàm số y = f(x) =
1x
mxx
2
+
+−
có hai điểm cực trò nằm
khác phía so với Ox. Kết quả : m >
4
1
45) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−6x
2

+3(m+2)x−m−6 có 2 cực trò và hai giá trò cực
trò cùng dấu. Kết quả :
4
17
−
< m < 2
46) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x) =2x
3
−3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1 luôn
đạt cực trò tại hai điểm x
1
và x
2
với x
2
−x
1
là một hằng số.
47) Tìm cực trò của các hàm số :
a)
x
1
xy +=
. b)
6x2
4
x
y

2
4
++−=
. c) y =
21x
3
+−

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 6 - Soạn cho lớp LTĐH
48) Đònh m để hàm số có cực trò :
a)
2mxx3xy
23
−+−=
. Kết quả: m<3
b)
1x
2mmxx
y
22
−
−++−
=
. Kết quả: m<−2 V m>1
49) Đònh m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) =
3
x
3
−mx

2
+(m+3)x−5m+1.
Kết quả: m = 4
50) Cho hàm số : f(x)=
3
1
−
x
3
−mx
2
+(m−2) x−1. Đònh m để hàm số đạt cực đại tại x
2
,
cực tiểu tại x
1
mà x
1
< −1 < x
2
< 1. Kết quả: m>−1
51) Chứng minh rằng : e
x
≥ x+1 với ∀x∈|R.
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
52) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x
2
−2x+3. Kq:
R
Min

f(x) = f(1) = 2
53) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
−2x+3 trên [0;3].
Kq:
]3;0[
Min
f(x)=f(1)=2 và
]3;0[
Max
f(x)=f(3)=6.
54) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) =
1x
4x4x
2
−
+−
với x<1.
Kết quả :
)1;(
Max
−∞
f(x) = f(0) = −4
55) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m
3
, có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp)
mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi
xây ít tốn vật liệu nhất? Kết quả : Các kích thước cần
tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m
56) Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y =

1xx
x
24
2
++
. Kết quả :
R
Max
y = f(±1) =
3
1
(Chọn vào lớp 10 chuyên Tỉnh năm học 03-04- vòng 1)
57) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1 nghòch biến trên
khoảng( −1;0). Kết quả : m ≤
3
4
−

58) Tìm trên (C): y =
2x
3x
2
−
−
điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục
tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0;

2
3
)

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 7 - Soạn cho lớp LTĐH
59) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
60) Tìm GTLN: y=−x
2
+2x+3. Kết quả:
R
Max
y=f(1)= 4
61) Tìm GTNN y = x – 5 +
x
1
với x > 0. Kết quả:
);0(
Min
±∞
y=f(1)= −3
62) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 +
2
x4 −
.
Kết quả:
522)2(fyMax
]2;2[
−==
−

;
7)2(fyMin
]2;2[
−=−=
−
63) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x
3
+3x
2
−1 trên đoạn






− 1;
2
1
Kết quả:
4)1(fyMax
]1;
2
1
[
==
−
;
1)0(fyMin
]1;

2
1
[
−==
−
64) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. Kết quả:
R
Min
y=f(±1)=2; Không có
R
Max
y
b) y = x
4
+4x
2
+5. Kết quả:
R
Min
y=f(0)=5; Không có
R
Max
y
c)
2xcos

1xsin22
y
+
−
=
. Kết quả:
R
Min
y=
3
7
−
;
R
Max
y=1
d)
1xx
3x3x
y
2
2
++
++
=
. Kết quả:
R
Min
y=
3

1
;
R
Max
y=3
65) Cho hàm số
2xx
1x3
y
2
++
+
=
. Chứng minh rằng :
1y
7
9
≤≤−

66) Cho hàm số
( )
π∈α
+α−
α+−α
= ;0
1cosx2x
cosx2cosx
y
2
2

. Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1
Hướng dẫn:y’=0 ⇔ 2sin
2
α . x
2
−2sin
2
α =0 ⇔ x=−1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1
Dựa vào bảng biến thiên kết luận −1≤ y ≤ 1.
67) Đònh x để hàm số sau đạt giá trò nhỏ nhất và tính giá trò nhỏ nhất :
y =f(x)= lg
2
x +
2xlg
1
2
+
Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg
2
x, t≥0, ⇒ hàm số
y=g(t)=t+
2t
1
+
xác đònh trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 ⇔
t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên
[0;+∞ ) ⇒
);0[
Min
+∞

g(t) = g(0) =
2
1
⇒
);0(
Min
+∞
f(x) = f(1) =
2
1

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 8 - Soạn cho lớp LTĐH
68) Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx−
xsin
3
4
3
trên đoạn [0;π]
(Đề thi TNTH PT 2003
−
2004)
Kết quả:
];0[
Max
π
f(x)=f(π /4)= f(3π /4)=
3
22
;

];0[
Min
π
f(x)=f(0)=f(π )=0
IV. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
69) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thò các hàm số :
a) y = f(x) = x
4
−6x
2
+1 b) y = f(x) =
x
4xx
2
+−
70) Đònh m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
3
−3(m−1)x
2
+m
2
x−3 nhận I(1;−1) làm điểm uốn.
Kết quả: m = 2 .
71) Đònh m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
4
−6mx

2
+ 3
a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0
b) Không có điểm uốn. Kết quả: m ≤ 0
72) Chứng minh rằng đồ thò (C):
1xx
1x2
y
2
++
+
=
có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết
phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này.
Hướng dẫn và kết quả:
(C) có 3 điểm uốn A(−2;−1), B(−
2
1
;0), C(1;1).
→−→−
= AC
2
1
AB
⇒ A, B, C thẳng hàng.
Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc
3
2
xx
yy

k
AC
AC
=
−
−
=
nên có
phương trình : y = k(x-x
C
)+y
C
=
3
2
(x-1)+1⇔ y=
3
2
x +
3
1
.
73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x
2
−3x+2
Kết quả: Lõm trên các khoảng (−∞;1) và (2; +∞). Lồi trên khoảng (1;2).
Điểm uốn : I
1
(1;0) và I
2

(2;0)
74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax
3
+bx
2
+cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểm
cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox.
b) Tìm m để (C
m
):y = x
3
−3mx
2
+2m(m−4)x+9m
2
−m cắt trục hoành tại 3 điểm cách
đều nhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng).
Hướng dẫn và kết quả:
a) Cho y = 0⇔ ax
3
+bx
2
+cx+d = 0 có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, lập thành cấp số cộng ⇒
2x

2
= x
1
+x
3
⇒ 3x
2
= x
1
+x
2
+x
3
=
a
b
−
⇒ x
2
=
a3
b
−
. Vậy điểm uốn I(x
2
;0)∈Ox.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH
b) Tìm I(m;m

2
−m).
Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m
2
−m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1.
Điều kiện đủ : Chọn m = 1.
75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :
a) y=x
3
−3x
2
+2. b)
2x
4xx
y
2
+
+−
=
.
76) Chứng minh rằng đồ thò của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có
điểm uốn:
a)
2x
1x
y
−
+
=
. b) y = x +

x
1
.
77) Tìm tham số để:
a) (C
m
) : y=x
3
−3x
2
+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn.
b) (C
a,b
) : y=ax
3
+bx
2
+x+1 nhận I(1;−2) làm điểm uốn.
c) Biện luận theo m số điểm uốn của (C
m
) :y=x
4
+mx
2
+m−2 .
78) Tìm m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
3
−3x

2
−9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có
hoành độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11.
79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thò (C) :
y=x
3
−3x
2
−9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC.
Hướng dẫn và kết quả :
• Lập phương trình hoành độ giao điểm :
ax+b = x
3
−3x
2
−9x+1⇔ f(x) = x
3
−3x
2
−(a+9)x+1−b = 0.(1)
• Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thò hàm số (1) là
I(1;−a−b−10)∈Ox ⇒ −a−b−10 = 0 ⇒ a+b = −10.
• Điều kiện đủ : a+b = −10 ⇒ f(x) = (x−1).g(x) = 0 với
g(x) = x
2
−2x+b−1. YCBT ⇔



≠−=

>−=∆
02b)1(g
0b2
g
⇔ b<2
Kết luận :



<
−=+
2b
10ba
80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thò (C):y=
1x
1x
2
+
+
.
Kq:y =
4
3
x
4
1
+
81) Tìm m để (C
m
):y = x

3
−3mx
2
+2m(m−4)x+9m
2
−m có điểm uốn :
a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kết quả : m = 0 V m = 2 .
b) Đối xứng với M(−3;−6) qua gốc tọa độ O. Kết quả : m= 3 .

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 10 - Soạn cho lớp LTĐH
c) Đối xứng với N(5;−20) qua Ox. Kết quả : m= 5 .
d) Đối xứng với P(−7;42) qua Oy. Kết quả : m= 7 .
V. TIỆM CẬN
82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thò các hàm số :
a) y =
2x3x
1x2
2
2
+−
−
. Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2
b) y =
2x
1xx
2
+
+−
. Kết qua û: x = −2 và y = x−3

83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thò các hàm số :
a) y = 1+
x
2
e
−
. Kết quả: y = 1
b) y =
x
1xx
2
++
. Kết quả: y = ±1
84) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y =
1x
2
+
.Kết qua û: y = ±x
85) Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số: y =
3
32
xx3 −
. Kết quả : y = −x+1.
86) Cho (C
m
) :
( )
1x
mmx1mx
y

222
+
++++
=
.
a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thò (C
m
).
b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò (C
m
) đi qua I(1;2).
87)Tìm trên đồ thò (C):y =
1x
2x
+
+
điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai
tiệm cận là nhỏ nhất.
88) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) =
2x
1x3x
2
−
−+
. Chứng minh rằng tích các
khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d
1
.d
2
=

2
9
.
VI. KHẢO SÁT HÀM SỐ
89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = x
3
-3x+1 b) y = 3x
2
-x
3
c) y = x
3
+3x−4 d) y = (1-x)
3
e) y =
2
1
x
2
x
2
4
+−
f) y = x
4
+x
2
-2.
g) y=2x

2
−x
4
-1 h) y=x
4
-1
i) y =
1x
1x
−
+
j) y =
2x
x2
+

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 11 - Soạn cho lớp LTĐH
k) y =
1x
x
2
−
l) y =
2x
4
1x
+
−−


m) y =
x1
)2x(
2
−
−
n) y =
2x
1
2x
+
+−−
VII.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thò:
a) (C): y =
2x
3x6x
2
+
+−
và d: y = x−m. Hd: Lý luận x=
2
m8
3m2
−≠
−
+
b) (H):
1x
1x

y
−
+
=
và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành
độ giao điểm.
91) A.Vẽ đồ thò (C) hàm số y = x
3
+3x
2
−2
B.Biện luận bằng đồ thò (C) số nghiệm của pt: x
3
+3x
2
−(m−2) = 0
92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=
4
1
x+3 và tiếp
xúc với đồ thò (C) hàm số y= −x
3
+3x
2
−4x+2.
93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C): y=x
3
+3x
2
+1 biết tiếp tuyến đi qua

gốc toạ độ O.
94) Dùng đồ thò (C): y = x
3
−3x
2
+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x
3
−3x
2
− 9x+1−m = 0.
95) Cho parabol (P): y=x
2
−2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m.
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (P)
b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P).
c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn
AB.
96) Cho hàm số
1x
1x
y
−
+
=
, có đồ thi (H).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (H).
b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập
hợp trung điểm I của MN.
97) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số y=f(x)=x

3
−3x
2
+1 nhận điểm uốn của nó
làm tâm đối xứng.
98) Cho hàm số y = x
4
−4x
3
−2x
2
+12x−1.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 12 - Soạn cho lớp LTĐH
a) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số có trục đối xứng.
b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox.
Hướng dẫn và kết quả:
a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thò (C) : Tìm đến y
(3)
và cho y
(3)
= 0 , tìm được
nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng
của (C).
b) Cho Y= 0, tìm được X=
104
±±
⇒ y=0 và x =1
104

±±
.
99) Chứng minh rằng (C): y =
1x
3x
+
−
có hai trục đối xứng.
Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I(−1;1). Suy luận có hai đường phân giác
y=−x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C). Chứng
minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C).
100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C): y =
2x
2x
+
−
. Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy
suy ra đồ thò của các hàm số:
a) (C
1
): y = f
1
(x) =
2x
2x
+
−
b) (C
2
): y = f

2
(x) =
2x
2x
+
−
c) (C
3
): y = f
3
(x) =
2x
2x
+
−
d) (C
4
): |y| = f
4
(x) =
2x
2x
+
−
e) (C
5
): y = f
5
(x) =
2x

2x
+
−
f) (C
6
): |y| = f
6
(x) =
2x
2x
+
−
101) a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) hàm số : y = f(x) = x
3
−3x
2
+2.
b) Từ đồ thò (C), suy ra đồ thò (C’): y = g(x) = | x|
3
−3x
2
+2. Từ đó biện luận theo
m số nghiệm của phương trình: | x|
3
−3x
2
+1 − m = 0.
102) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=x

2
+(2m+1)x+m
2
−1 (1) luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình đường thẳng đó.
Lời giải 1:
1. Dự đoán đường thẳng cố đònh:
Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm+x
2
+x−1−y=0, phương trình này
có ∆= (x)
2
−1.(x
2
+x−1−y)=0 ⇔ −x+1+y=0 ⇔ y= x−1 là đường thẳng cố đònh.
Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm=−x
2
−x+1+y (2)
Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 ⇔ m=−x, thay trở lại (2):y=x−1 là đường
thẳng cố đònh.
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với đường thẳng cố đònh: ( Bắt đầu lời giải)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d:y=x−1 là:


Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 13 - Soạn cho lớp LTĐH
x
2
+(2m+1)x+m
2
−1=x−1 ⇔ x
2
+2mx+m
2
=0
⇔ (x+m)
2
=0 ⇔ x=−m (nghiệm kép)
Vậy (C
m
) luôn tiếp xúc d:y=x−1.
Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc
nhau
⇔
phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” .
Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc.
Lời giải 2:

Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố đònh. d tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ
khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m:
x

2
+(2m+1)x+m
2
−1= ax+b⇔ x
2
+(2m+1−a) x+m
2
−b−1=0 có nghiệm kép với ∀ m
⇔ ∆ =(2m+1−a)
2
−4.1(m
2
−b−1)=0 với ∀ m⇔−4(a−1)m+(a−1)
2
+4b+4=0 với ∀ m
⇔



=++
=−
044b1)-(a
01a
2
⇔



−=
=

1b
1a
.
Vậy d:y=x−1 là đường thẳng cố đònh mà (C
m
) luôn tiếp xúc.
103) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=
mx
mmx)1m3(
2
+
+−+
(1), m ≠ 0 luôn tiếp xúc với hai
đường thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình hai đường thẳng đó.
1. Dự đoán các đường thẳng cố đònh: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m:
m
2
+(y−1−3x)m+(y−1)x=0 (2), đặt t=y−1 ta có phương trình: m
2
+(t−3x)m+tx=0(3)
Phương trình (3) có ∆=0 ⇔ (t−3x)
2
−4tx=0 ⇔ t
2
−10xt+9x
2
=0⇔ t=9xV t=x.
Thay t=y−1,suy ra hai đường thẳng d

1
:y=9x+1, d
2
:y=x+1 cố đònh tiếp xúc (C
m
)
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với d
1
, và tiếp xúc d
2
: ( Bắt đầu lời giải)
• d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:







=
+
+=
+
+−+

9
)mx(
m4
1x9
mx
mmx)1m3(
2
2
2
⇔ (3x+m)
2
=0 ⇔ x= −
3
m
Vậy d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hoành độ x= −
3
m
(m ≠ 0).
• Tương tự : d
2
:y=x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hoành độ x= m (m ≠ 0).
104) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=mx

3
−3(m+1)x
2
+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng
cố đònh tại một điểm cố đònh.
Hướng dẫn giải: Tìm được (C
m
) đi qua hai điểm cố đònh A(0;1) và B(3;−23) và tiếp
tuyến của (C
m
) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố đònh.
105) Chứng tỏ rằng (d
m
): y=(m+1)x+m
2
−m luôn tiếp xúc với một parabol cố đònh.
Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P):y=
4
1
x
2
3
x
4
1
2
−+−
là parabol cố
đònh và chứng tỏ (d
m

) tiếp xúc (P) tại x=1−2m.

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 14 - Soạn cho lớp LTĐH
VIII.TÍCH PHÂN
106) Cho f(x)=
3
2
)1x(
3xx
−
−+
, tìm A, B và C sao cho:
f(x)=
1x
C
)1x(
B
)1x(
A
23
−
+
−
+
−
. Kq: A= -1; B=3 và C=1
2) Từ đó tính
dx
)1x(

3xx
3
2
∫
−
−+
107) Tính
dx
)2x(
2xx
3
3
∫
−
−+
108) Tính
∫
+−
−
2x3x
dx)3x2(
2

109) Tính
∫
−1x
dxx3
3
2
110) Tìm A, B , C để sinx−cosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx−2sinx) +C

Kq: A=
5
1
−
; B=
5
3
−
và C=
5
8
111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả
a) y=
x
1x +
b) y=2
2
x
sin
2
)1
3
x
(x2 +
+C
x−sinx+C
c) y=
xcos.xsin
1

22
d) y=
xsinxcos
x2cos
+
tgx−cotgx+C
sinx+cosx+C

112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x
3
−x
2
+2x−1 biết rằng F(0) = 4.
Kết quả: F(x) =
3
x
4
x
34
−
+x
2
−x+4
113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx.
Kết quả: F(x) = x. l nx-x+C
114) Tìm A và B sao cho với mọi x≠ 1 và x≠2 , ta có:
1x
B
2x
A

2x3x
1x
2
−
+
−
=
+−
+

Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:
2x3x
1x
)x(f
2
+−
+
=
Kết quả:A=3; B= −2. F(x) = 3 l nx−2−2 l nx−1+ C= l n
2
3
)1x(
2x
−
−
+C
115) Tính các tích phân:

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 15 - Soạn cho lớp LTĐH

Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
dx.gxcot
b)
∫
dx.xgcot
2
c)
∫
xdxcos.xsin
2
l nsinx+C
−cotgx−x+C
3
1
sin
3
x+C
d)
∫
dx
xln.x
1
e)
∫
+3xcos2
e
.sinxdx
f)

∫
xsin
dx
l n l n x+C
3xcos2
e
2
1
+
−
+C
l n
2
x
tg
+C
116) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
+
2
1
2
2
dx
x2
2x
b)
∫

+
3
1
2
dx
x
x4x
c)
∫
−
−
2
2
2
dx|1x|
d)
∫
π
4
0
2
xdxtg
1
12
4
4
4 π−
e)
∫
π

π
−
3
4
2
2
dx
xcos
xgcot23
f)
∫
π
π
−
4
6
2
3
dx
xsin
xsin1
g)
∫
π
2
0
2
xdxcosxsin
3
15311 −

2
223 −+
3
1
117) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
+
1
0
1x
dx
b)
∫
−
2
1
2
)1x2(
dx
c)
dx
1xx
2x4
1
0
2
∫
++

+
d)
∫
π
4
0
tgxdx

e)
∫
+
2ln
0
x
x
3e
dxe
f)
∫
π
2
0
3
dx.xcos
ln2
3
1
2ln3
ln
2

ln
4
5
3
2
g)
dx
xcos31
xsin
2
0
∫
π
+
h)
∫
π
π
2
6
2
3
dx.
xsin
xcos
i)
∫
π
π
−

+
2
3
dx.
xcosxsin
xcosxsin
j)
∫
+−−
1
0
2
dx.1xx)1x2(
k)
∫
e
1
2
dx
x
xln
3
2
ln2
2
1
ln(
3
+1)
0

3
1

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH
118) Chứng minh rằng:
a)
2xsin23
dx
4
4
3
4
2
π
≤
−
≤
π
∫
π
π
b)
108dx)x117x(254
11
7
≤−++≤
∫
−
119) Tính các tích phân:

Tích phân Kết quả
a)
∫
π
4
0
dx.x2sin
b)
dx
x
x
e
∫
+
1
ln1
c)
33
2
0
sin
cos
xdx
x
π
∫
d)
∫
π
4

0
4
xdxtg
e)
2
4
4
sin
dx
x
π
π
∫
f)
1
3
0
1 xdx
−
∫
g)
dx1xx
1
0
2
∫
+
h)
∫
++

1
0
2
1xx
dx
k)
1
0
1
x
x
e dx
e
+
∫
l)
∫
π
2
0
3
dxxcos xsin
2
1
)122(
3
2
−
2
1

12
83 −π
3
4
4
3
)122(
3
1
−
33
π
)21e(2 −+
4
3
120) Tính các tích phân:

Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 17 - Soạn cho lớp LTĐH
Tích phân Kết quả
m)
∫
−
2
2
2
1xx
dx
n)
3

2
3
9 x dx
−
−
∫
o)
∫
−
1
0
2
x4
dx
p)
∫
−
1
0
22
dxx1x
q)
∫
+
3
0
2
1x
dx
r)

1
2
2
1
2
1 x
dx
x
−
∫
s)
∫
+
1
0
x
e1
dx
t)
∫
π
+
2
0
xcos1
dx
u)
∫
π
3

0
2
xcos
xdxsin
v)
∫
π
+
2
0
2
dx
xcos1
xsin
w)
∫
e
1
4
dx
x
xln
Nhân tử số và mẫu số cho x.Kq:
12
π
2
9π
6
π
x=sint. Kq:

16
π
)32ln(
2
1
3 ++
3
33 π−
TS+e
x
−e
x
.Kq:l n
1e
e2
+
1
1
4
π
5
1
121) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
∫
1
0
2
dxxe

x
b)
2
0
( 1)cosx xdx
π
−
∫
4
1e
2
+
2
2
−
π
c)
∫
e
1
xdxln
d)
4
2
0
cos
xdx
x
π
∫

1
2ln
4
−
π
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 18 - Soạn cho lớp LTĐH
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
e)
2
0
sin .cosx x xdx
π
∫
f)
∫
e
1
2
dx)x(ln
g)
∫
+
1
0
2
dx)x1ln(
8
π
e−2

ln2−2+
2
π
h)
1
2
0
ln(1 )x x dx+
∫
i)
cos
0
( )sin
x
e x xdx
π
+
∫
j)
2
0
sin
x
e xdx
π
∫
ln2−
2
1
π+

−
e
1e
2
2
1e
2
+
π
122) Chứng minh rằng:
a)
∫∫
ππ
=
2
0
2
0
dx)x(cosfdx)x(sinf
Hd: x=
2
π
−t
b)
∫∫
−=
b
0
b
0

dx)xb(fdx)x(f
Hd: x=b−t
c)
∫∫
=
2
a
0
a
0
23
dx)x(xf
2
1
dx)x(fx
(a>0) Hd: t=x
2
d)
∫∫
ππ
=
2
0
2
0
dx)gx(cotfdx)tgx(f
Hd: x=
2
π
−t

e)
∫∫
π
π
π=
2
00
dx)x(sinfdx)x(sinxf
. Áp dụng, tính:
∫
π
+
0
2
dx
xcos1
xsin.x
Hướng dẫn: Lần 1, đặt x=π −t. Lần 2, để tính
∫
π
π
2
dx)x(sinf
ta đặt x=
2
π
+s và kết
quả bài 118a). Tính
∫
π

+
0
2
dx
xcos1
xsin.x
= π
∫
π
+
0
2
dx
xcos1
xsin
, đặt t=cosx, kq:
4
2
π
123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [−a;a] (a>0)
thì:
∫∫
−
=
a
0
a
a
dx)x(f2dx)x(f
. Hd: t=−x

124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [−a;a] (a>0)
thì:
0dx)x(f
a
a
∫
−
=
. Hd: t=−x
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 19 - Soạn cho lớp LTĐH
125) Chứng minh rằng:
0xdxsinx
8
8
76
∫
π
π
−
=
. Áp dụng bài 124).
126) Chứng minh rằng:
∫∫
−
=
1
0
xcos
1

1
xcos
dxe2dxe
. Áp dụng bài 123).
127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì:
∫∫
−
−
=
x
a
x
a
dt)t(fdt)t(f
. Hd: t=−x
128) Chứng minh rằng
0dx)x(cosf.xsin
a
a
∫
−
=
. Áp dụng bài 124)
129) Chứng minh rằng
∫∫
−
=
a
0
2

a
a
2
dx)x(f.xcos2dx)x(f.xcos
. Áp dụng bài 123).
130) Chứng minh rằng
∫∫
−=−
1
0
mn
1
0
nm
dx)x1(xdx)x1(x
. Hd:x=1−t
131) Tính các tích phân sau:
Tích phân Kết quả
a)
∫
−
++
2
2
2
dx)1xxln(
b)
∫
π
π

+
+
2
6
dx
xcos1
xsinx
c)
∫
2
1
5
dx
x
xln
d)
∫
−
2ln
0
x
dxe.x
e)
∫
e
e
1
dx|xln|
f)
∫

+
1
0
2
3
dx
1x
x
g)
∫
π
2
0
6
dx .sinxcosx-1
Hs lẻ: 0
)31(
6
+
π
64
2ln
256
15
−
2
e
ln
e
)1e(2 −

2
e
ln
7
6
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 20 - Soạn cho lớp LTĐH
Tích phân Kết quả
h)
∫
+
3ln
0
3x
x
)1e(
dxe
k)
∫
−
++
0
1
3
x2
dx)1xe(x
l)
∫
π
+

4
0
dx
x2cos1
x
m)
∫
π
+
−
4
0
2
dx
x2sin1
xsin21
n)
∫
+
32
5
2

4xx
dx
o)
∫
1
0
23

dx x-1x
p)
∫
−
5ln
2ln
x
x2
dx
1e
e
q)
∫
2
0
2
dx |x-x|

r)
∫
1
0
2
x3
dx ex
s)
∫
+
e
l

2
dx .lnx
x
1x
12 −
7
4
e4
3
2
−
)2ln
2
(
4
1
−
π
2ln
3
5
ln
4
1
15
2
3
20
1
u=x

2
, dv=?.
2
1
)3e(
4
1
2
+
132) Cho I
n
=
∫
1
0
xn
dx.ex
(n∈ N)
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n
−
1
(n≥1)
b) Áp dụng tính I
3
=
∫
1

0
x3
dx.ex
. Kết quả: 6−2e
133) Cho I
n
=
∫
π
4
0
n
dx.xtg
(n∈ N )
a) Chứng minh rằng I
n
> I
n+1
. Hd: In>In+1,∀x∈(0;
4
π
)
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 21 - Soạn cho lớp LTĐH
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n+2
và I
n
.
Hướng dẫn: I

n+2
=
∫
π
−
4
0
2
n
dx).1
xcos
1
(xtg

⇒

I
n +
I
n+2
=
1n
1
+
.
134) Tính I
n
=
∫
π

0
n
dx.nxcos.xcos
(n∈ N )
Hướng dẫn: đặt



=
=
dx.nxcosdv
xcosu
n
, tìm được I
n
=
2
1
I
n
−
1
=…=
1n
2
1
−
I
1
=

n
2
π
.
135) Tính I
n
=
∫
π
2
0
n
dx.xcos
(n∈ N )
Hướng dẫn: đặt



=
=
−
dx.xcosdv
xcosu
1n
, tìm được I
n
=
n
1n −
I

n
−
2
.
Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
• n=2k ( n chẵn): I
n
=
2
.
n 4.2
)1n (3.1 π−
• n=2k+1 ( n lẻ): I
n
=
n 5.3
)1n (4.2 −
136) Cho I
n
=
∫
π
2
0
n
dx.xsin
(n∈ N )
a) Chứng minh rằng I
n+2
=

2n
1n
+
+
I
n
.
b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).I
n
.I
n+1
là hàm hằng.
c) Tính I
n
.
Hướng dẫn:
a) Đặt



=
=
+
dx.xsindv
xsinu
1n
b) Chứng minh f(n+1)=f(n)⇒ f(n)=…=f(0)=
2
π
c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :

• n=2k ( n chẵn): I
2k
=
2
.
k2 4.2
)1k2 (3.1 π−
• n=2k+1 ( n lẻ): I
2k+1
=
)1k2 (5.3
k2 4.2
+
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 22 - Soạn cho lớp LTĐH
137)a) Tính I
0
=
∫
−
−
1
0
2xx
dx.e).1x2(
, Kết quả: a= 0
b) Chứng minh rằng I
n
=
∫

−+
−
1
0
2
xx1n2
dx.e.)1x2(
=0 Hd: b) Truy hồi.
138) Tìm liên hệ giữa I
n
=
∫
π
2
0
n
dx.xcos.x
và J
n
=
∫
π
2
0
n
dx.xsin.x
và tính I
3
.
Kết quả:

63)
2
(
3
+π−
π
139) Giải phương trình:
∫
x
0
t
dt.e
= 0. Kq: 0
140) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= −x
2
+3x−2, d
1
:y = x−1 và
d
2
:y=−x+2 Kq :
12
1
141) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x
3
−3x và đường thẳng y=2.
Kq :
4
27
142) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

1x
2
5
xy:)P(
2
1
+−=
1x
2
3
-xy:)P( và
2
2
++=
Kq :
3
8
143) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=x(3−x)
2
, Ox và x=2; x= 4. Kq: 2
144) Cho hai đường cong :
2
:)2:)(
2
1
x
yxyP ==
2
(Pvà
.

a) (P
1
) và (P
2
) cắt nhau tại O, M tính tọa độ điểm M.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P
1
) và (P
2
). Kq :
3
4
145) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y
2
-2y+x = 0 và (d) : x+y = 0.
Hướng dẫn: Ta có (P) : x = -y
2
+2y và (d) : x = -y.Tung độ giao điểm của (P) và
(d) là nghiệm phương trình y
2
-3y = 0 ⇔ y=0 V y=3. Vậy diện tích hình phẳng cần
tìm là:
2
9
dy)y3y(dy)xx(S
3
0
2
3
0

dP
==+−=−=
∫∫
146) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) (C): y = cosx ; y = 0 ;
π=
π
= x;
2
x
. Kq : 1
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 23 - Soạn cho lớp LTĐH
b) (C): y = x
2
– 2x + 3 ; (d): y = 5 – x . Kq :
2
9
c) (C): y = 2x
3
– x
2
– 8x + 1 ; (d): y = 6. Kq :
96
2401
d) (P): y = − x
2
+ 6x – 8 và tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung. Kq : 9
e) (C): y = x
3

– 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x =
2
1
−

Kq :
64
27
f) (C): y=
2
1
x
2
−2x+2 và các tiếp tuyến với (C) kẻ từ






−1;
2
5
M
. Kq :
8
9
g)
1x;
x

ey;
2x
e
1
y =
−
=
−
=
. Kq:
2
3
e
1
e
2
1
2
−+
h) y = x ; y = 0 ; y = 4 – x. Kq: 4
i) y
2
= 2x + 1; y = x – 1 . Kq:
3
16
j) y = lnx ; y = 0 ; x = 2. Kq: 2ln2−1
147) Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
quay quanh trục Ox:

2

2
x
2
1
2
2
2
2
3
e :Kq 0y,2x,1x,.exyf)
61 :Kq 1
4
y
9
x
:(E)e)
3
32
: Kq xy,4xyd)
6
625
:Kq 0y,x5xyc)
14
23
:Kq 1x,0x,0y,1xyb)
12 :Kq 4x,1x,0y,
x
4
ya)
π====

π=+
π
==
π
=−=
π
===+=
π====

π=== :Kq 0y,1x,x.eyg)
x
148) Cho (E) : 9x
2
+ 25y
2
= 225 ;(d):y =
2
3
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(d) và phần trên d của (E). Kq: 5π−
4
315
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 24 - Soạn cho lớp LTĐH
149) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=2−x
2
, (C): y=
2
x1−
và Ox.

Kq:
23
28 π
−
150) Tính V của vật thể do (H) giới hạn bởi: y
2
= x
3
(y≥0) , y = 0, x= 1
a) Quay quanh trục Ox. Kq:
4
π
b) Quay quanh trục Oy. Kq:
7
4π
151) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=
1x
1x
−
+
., tiệm cận ngang của (C)
và các đường thẳng x = –1; x = 0. Kq: 2ln2
IX.ĐẠI SỐ TỔ HP

152) Cho 7 chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a) Từ 7 chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5
chữ số khác nhau? Kết quả:
5
7
A 2520=


b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:6.5.4.3.3=1080
c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số
7? Kết quả: 5.
1800A
4
6
=
153) Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Từ các chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau? Kết quả:
720A
5
6
=
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ? Kết quả:
3603.A
4
5
=
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2?
Hướng dẫn và kết quả: Liệt kê 4 tập con có chứa 1 và 2, có thể tạo 4.5!= 480 số.
154) Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9.
a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác
nhau? Kết quả:
96A.4
3
4
=
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:

421.A.31.A
2
3
3
4
=+
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3?
Hướng dẫn và kết quả: Chọn trong tập chứa các phần tử chia hết cho 3 là
A={0,3,6,9} Vậy có 3
18!3.3A.
3
3
==
số chia hết cho 3.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 25 - Soạn cho lớp LTĐH
155) Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5.
a) Tư ø các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau? Kết quả: 5.
600A
4
5
=
b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ? Kết quả: 600
−
4.
3.A
3
4
(lẻ)=312c)

Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0?
Hướng dẫn và kết quả: Hoán vò các phần tử trong tập A={1,2,3,4,5} ta có 5!=120
số không có mặt chữ số 0. Phần bù: 600
−
120=480 số có mặt chữ số 0.
156) Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3 và 4,
Hỏi có bao nhiêu số :
a) Được tạo thành Kết quả: 4!=24
b) Bắt đầu bởi chữ số 1? Kết quả: 1.3!=6
c) Không bắt đầu bằng chữ số 2? Kết quả: P
4
−
1.P
3
=18.
157) Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9.
Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số :
a) Bắt đầu bởi 19? Kết quả: 1.1.3!=6
b) Không bắt đầu bởi 135? Kết quả: 5!
−
1.1.1.2!=118
158) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1,2,3,
4, 5 và 6 và lớn hơn 300.000 Kết quả: 4.5!=480
159) Có bao nhiêu sốtự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3
chữ số này bằng 9. Kết quả: Có 3 tập X
1
={1;2;6} ,
X
2
={1;3;5} và X

3
={2;3;4} có tổng các phần tử bằng 9. Vậy có 3.3!=18 số.
160) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong
đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1: Xếp chữ số 0 trước: 7 cách (bỏ ô đầu).Xếp chữ số 2: còn 7. Xếp
chữ số 3: còn 6. Xếp chữ số 4: còn 5. Xếp chữ số 5: còn 4. Xếp chữ số 1
vào 3 ô còn lại: 1 cách (Không thứ tự). Vậy có: 7.7.6.5.4.1=5080 số.
Hoặc: 1 0 1 2 3 1 5 4
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 0, 2, 3, 4 và 5 vào 5 trong 8 ô
vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại (không thứ tự ). Vậy có
67201.A
5
8
=
số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu ( có
840A.1
4
7
=
số).
Có 6720
−
840=5880 số.
161) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong
đó chữ số 1 có mặt 2 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Hướng dẫn và kết quả: Có
360
!2
!6

=
số.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 26 - Soạn cho lớp LTĐH
Hoặc: 1 5 1 2 4 3
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 2, 3, 4 và 5 vào 4 trong 6 ô vuông,
sau đó xếp chữ số 1 vào 2 ô còn lại (không có thứ tự ). Vậy có
3601.A
4
6
=
số
162) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết rằng tổng của 3 chữ số
này bằng 12?
Kết quả: Có 7 tập hợp chứa 3 phần tử khác 0 có tổng 12 và có 3 tập hợp chứa 3
phần tử có phần tử 0 có tổng 12.Vậy có 7.3!+3.(2.2.1)=54 số.
163) Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 có bao nhiêu cách lập những số gồm 4 chữ số khác
nhau, biết:
a) Các số này < 5000? Kết quả: 2.
3
Ï5
A
=120 số.
b) Các số này chẵn < 7000? Kết quả: x=
abcd
: d=8 có 4.4.3.1= 48
số ; d
≠
8 có 3.4.3.2=72 số. Vậy có 48+72=120 số
164) Từ tập hợp A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập được bao nhiêu số mà mỗi số

có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
Kết quả: x=
abcd
: a=5 có 1.6.5.4.3= 360 số ; a≠5 có 4(5.5.4.3)=1200 số. Vậy có
360+1200=1560 số Hoặc: 6.
4
5
4
6
A.5A −
(không có chữ số 5)=1560
165) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta lập thành bao nhiêu số có 4 chữ số
khác nhau? Kết quả:
3024A
4
9
=

166) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau
và không chia hết cho 5. Kết quả: 54 số.
167) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau được lập nên từ
các chữ số 1,2,3,4,5,6,7? Chứng minh rằng tổng của tất cả các số này chia hết cho
9. Kết quả: 7!=5040 số. S=2520.8888888
M
9
168) Có bao nhiêu số có các chữ số khác nhau có thể lập thành từ các chữ số 2, 4,
6 và 8. Kết quả:
64AAAA
4
4

3
4
2
4
1
4
=+++
số
169) Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9
chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt cả 2 chữ số 0 và 1?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1: Tư ø A={2,3,4,5,6,7,8,9} có thể lấy ra
7
8
C 8=
tập con có 7 phần tử
không có 0 và 1. Hợp mỗi tập con này với {0,1} ta có 8 tập con có 9 phần tử
trong đó có 0 và 1. Từ mỗi tập hợp này có thể tạo 8.8!=322560. Vậy có
8.322560=2580480 số.
Cách 2: Cho 0 xuất hiện trước: Có 8 cách ( vì 0 không được đứng đầu). Cho 1
xuất hiện kế tiếp: Có 8 cách. Tiếp theo ta xếp 8 chữ số còn lại vào 7 vò trí còn
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 27 - Soạn cho lớp LTĐH
lại: Có
7
8
A 40320=
cách. Vậy có: 8.8.40320=2580480 số.
Cách 3: Có 3 loại số trong
8

9
9.A 3265920=
số tạo được có 9 chữ số khác nhau:
Có số chỉ xuất hiện 0 (không có 1), chỉ xuất hiện 1 (không có 0), có số xuất
hiện cả 0 và 1. Có 9!=362880 số chỉ xuất hiện 1 (không có 0) và có 9!−8!
=322560 số chỉ xuất hiện 0 (không có 1). Vậy
có:3265920−(362880+322560)=2580480 số có cả 0 và 1.
170) Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau, trong đó:
a) 2 chữ số 1và 2 đứng cạnh nhau?
b) 2 chữ số 1và 2 không đứng cạnh nhau?
Hướng dẫn và kết quả:
a) Giai đoạn 1: Cho 2 chữ số 1 và 2 vào 2 ô liền nhau, 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 ô còn
lại: Có 4!=24 cách xếp.
Giai đoạn 2: Vì 1 và 2 nằm trong 2 ô liền nhau nên có 2!=2 cách xếp.
Theo quy tắc nhân, có 24.2=48 số.
b) Có 5!=120 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập nên từ 5 chữ số đã cho
trong đó có thể có 1 và 2 đứng cạnh nhau; hoặc 1 và 2 không đứng cạnh nhau. Vậy
có 120−48=72 số trong đó 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
171) Từ 4 chữ số 0,1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số , trong đó
chữ số 3 xuất hiện 4 lần, các chữ số 0, 1, 2 chỉ xuất hiện 1 lần.
Hướng dẫn và kết quả: Tương tự bài 8b): Có
3 2
7 6
A .1 A 180− =
số. Ta có thể giải
bằng cách khác: Với 7 ô :       
Giai đoạn 1: Ta lắp chữ số 0 vào trước: Có 6 cách (bỏ ô đầu tiên).
Giai đoạn 2: Ta lắp chữ số 1 vào 6 ô còn lại: Có 6 cách.
Giai đoạn 3: Ta lắp chữ số 2 vào 5 ô còn lại: Có 5 cách.

Giai đoạn 4: Ta lắp chữ số 3 vào 4 ô còn lại: Có 1 cách (không thứ tự).
Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.1=180 số.
172) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, sao cho 2 chữ số kề nhau phải khác
nhau? Kết quả: 9.9.9.9.9=59049.
173) Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số
khác nhau sao cho luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1?
Kết quả: 1.3.
2
5
A
=60 số (1 cách xếp chữ số 1, 3 cách xếp chữ số 7 và
2
5
A
cách xếp
2,3,4,5,6 vào 2 vò trí còn lại).
174) a) Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số
mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau? Kết quả:
4
5
A
=120
b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên? Kết quả:60X155554 = 9333240
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 28 - Soạn cho lớp LTĐH
175) Cho 5 chữ số:1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số
khác nhau từ 5 chữ số trên? Kết quả: 4.3.2.3=72
176) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ
số: 0, 1, 2, 3, 4? Kết quả: 5+4.5+4.25+4.125= 625
177) Với 10 chữ số từ 0 đến 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ

số, mà các chữ số đó đều khác nhau? Kết quả: 9.8.7.1+8.8.7.4=2296
178) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết tổng ba chữ số
này bằng 8. Kết quả: Có 2 tập có tổng 3 phần tư ûbằng 8. Vậy có 2.3!=12 số.
179) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự
nhiên :
a) Gồm 4 chữ số khác nhau và là số chẵn. Kết quả: 5.4.3.1+4.4.3.2=156
b) Gồm 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 3000 . Kết quả: 2.5.4.3=120
c) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4. Kết quả:
1 2 3 4 3 4
a a a a 4 a a 4⇔M M
.Có
72 số
d) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Kết quả: 108
e) Gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 Kết quả: 216
180) Cho 5 quả cầu trắng bán kính khác nhau và 5 quả cầu xanh bán kính khác
nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 quả cầu đó thành 1 dãy từ trái sang phải,
sao cho không có 2 quả cầu cùng màu đứng cạnh nhau? Kết quả:28800
181) Hội đồng quản trò của 1 xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ
hội đồng quản trò đó người ta muốn lập ra 1 ban thường trực, trong đó ít nhất 1 người
nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thường trực có 3 người? Kết quả: 161
182) Nhân ngày sinh nhật, các bạn tặng Hồng Nhung 1 bó hoa gồm 10 bông hồng
trắng và 1 bó hoa gồm 10 bông hồng nhung. Hồng Nhung muốn chọn ra 5 bông để
cắm bình. Hỏi Hồng Nhung có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 bông ấy phải có ít
nhất :
a) 2 bông trắng và 2 bông nhung . Kết quả:10800
b) 1 bông trắng và 1 bông nhung . Kết quả:15000
183) Lúc khai mạc 1 hội nghò có 5 đại biểu. Các đại biểu đều lần lượt bắt tay nhau.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay? Kết quả: 10
184) Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người đàn ông, 2 người đàn bà ngối trên 1 ghế dài
sao cho những người cùng phái ngồi cạnh nhau? Kết quả: 24

185) Gieo 3 hột xúc xắc vào trong 1 cái chén, hỏi có bao nhiêu kết quả khác nhau cả
thảy ? Kết quả: 6
3
=216
186) Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành phố Y và Z.
Muốn đi từ X đến Z phải qua Y .
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z? Kết quả: 20
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 29 - Soạn cho lớp LTĐH
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng những
con đường khác nhau? Kết quả: (5X4)X(3X4)=240
187) Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác lồi? Kết quả: 35
188) Vẽ 5 đường thẳng song song trên một tờ giấy. Sau đó vẽ tiếp 6 đường thẳng
song song khác cắt cả 5 đường thẳng vẽ lúc đầu. Có bao nhiêu hình bình hành tạo
được? Kết quả:
150C.C
2
6
2
5
=
189) Cho tập P gồm 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng :
a) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy trong P nếu không có 3 điểm nào lấy
trong P thẳng hàng? Kết quả:
3
10
C 120
=
b) Cũng câu hỏi như câu a) nếu trong P có đúng 4 điểm thẳng hàng.
Kết quả:

3 3
10 4
C C 116− =
190) Một nhóm gồm 10 học sinh ( 7 nam và 3 nữ ) . Có bao nhiêu cách xếp 10 học
sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng liền nhau
Kết quả: 4!.7!=120960
191) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ
ở đòa điểm A; 2 người ở đòa điểm B và 4 người trực nhật tại đồn . Có bao nhiêu cách
phân công? Kết quả:
3 2
9 6
C .C .1 1260=
192) Có 10 câu hỏi ( 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập ) . Một đề thi gồm có 3 câu có
cả lý thuyết và bài tập. Có bao nhiêu cách tạo đề thi? Kết quả: 96(có 2 t.h)
193) Lớp học có 40 học sinh ( 25 nam và 15 nữ) . Cần chọn một nhóm gồm 3 học
sinh . Hỏi có bao nhiêu cách :
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ . Kết quả:
3
40
C
=9880
b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và hai nữ . Kết quả: 2625
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam. Kết quả: 9425
194) Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì
thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có
bao nhiêu cách làm như vậy. Kết quả:
3 3 3 3
6 5 6 5
C .C .3! C .A
=

195) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
khác nhau, trong đó phải có mặt đồng thời 2 chữ số 1 và 2?
Kết quả:720−240=480 số.
196) Tìm n sao cho:
a)
.48C.A
1n
n
2
n
=
−
Kết quả: n = 4
b)
23
24
CA
A
4n
n
3
1n
4
n
=
−
−
+
. Kết quả:n = 5
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều

Giáo trình Giải tích 12 - Trang 30 - Soạn cho lớp LTĐH
c)
n
6
n
5
n
4
C
1
C
1
C
1
=−
. Kết quả:n = 2
d)
210
AP
P
4n
1n3
2n
=
−
−
+
. Kết quả:n = 5
e)
6

1
P
PP
1n
1nn
=
−
+
−
. Kết quả: n = 2 V n = 3
197) Giải các phương trình:
a)
8x.Px.P
3
2
2
=−
. Kết quả: x = −1 V x = 4
b)
Nx,A50A2
2
x2
2
x
∈=+
Kết quả: x = 5
c)
x
2
7

CCC
3
x
2
x
1
x
=++
. Kết quả:x = 4
198) Giải các phương trình:
a)
2
2x
2
1x
3
1x
A
3
2
CC
−−−
=−
Kết quả: x=9
b)
1
4x
2
1x
1

x
C6
7
C
1
C
1
++
=−
Kết quả: x = 3 V x = 8
199) Giải phương trình
2n
n
3
n
CA
−
+
=14n. Kết quả:n=2.
200) Giải phương trình
4
n
3
n
C2A −
= 3
2
n
A
Kết quả: n=6 V n=11

201) Giải hệ phương trình:



=
=
12A
6C
y
x
y
x
Kết quả:x=4 và y=2
202) Tìm n biết:
8CA
1
n
2
n
<−
. Kết quả: n = 2 V n = 3
203) Giải hệ phương trình:




=
=
−
−−

1y
x
y
x
1y
x
2y
x
CC
C3C5
Kết quả: x = 7 và y = 4
204) Tính hệ số của số hạng chứa
3
x
trong khai triển của:
743
)1x()1x3()1x2()x(P +++−+=
. Kết quả:−65
205) Khai triển của
n
x
1
x






−

có tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28. Tìm số
hạng thứ 5 của khai triển đó. Kết quả:126x
206) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của:
10
x
1
x2






−
. Kết quả: −8064
207) Khai triển: (x+2)
4
Kết quả: x
4
+8x
3
+24x
2
+32x+16
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 31 - Soạn cho lớp LTĐH
208) Tìm hệ số a
5
b
3

trong khai triển (a + b)
8
. Kết quả:56.
209) Tìm hai số hạng chính giữa trong khai triển:(x
3
– xy)
15
.
Kết quả: T
8
= − 6435.x
31
y
7
; T
9
= 6435 x
29
y
8
210) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
12
x
1
x









+
Kết quả:T
9
=495
211) Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển:
).3n(7CC : biếtx
x
1
n
3n
1n
4n
n
5
3
+=−






+
+
+

+
Kết quả: n = 12 và a
9
=495
211) Đa thức P(x) = ( 1+x)
9
+ (1+x)
10
+ … + (1+x)
14
có dạng khai triển là
P(x) = a
0
+ a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ … + a
14
x
14
. Tính hệ số a
9.
Kết quả:3003
212) Xét khai triển của:
.)xyx(

153
+
Tính hệ số của hạng tử chứa
.yx
1221
Kết quả: 455
213) Tìm n biết trong khai triển ( x +
2
1
)
n
thành đa thức đối với biến x, hệ số của
x
6
bằng bốn lần hệ số của x
4
. Kết quả: n=10
214) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển nhò thức
12
1
( )x
x
+
. Kết quả: 495
215) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển : (x
2
+
x
3
1

)
10
. Kết quả: 210.
216) Tìm hệ số của x
101
y
99
trong khai triển (2x−3y)
200
. Kết quả:
99101
99
200
3.2.
C
217) Chứng minh rằng:
a)
C
0
n2
+
C
2
n2
+… +
C
n2
n2
=
C

1
n2
+
C
3
n2
+…+
C
1n2
n2
−

Hướng dẫn: Khai triển (a+b)
2n
với a = 1 , b = −1
b)
C
1
n
+2
C
2
n
+3
C
3
n
+…+n
C
n

n
= n2
n
−
1
.
Hướng dẫn: Lấy đạo hàm y= (1+x)
n
rồi thay x=1.
218) Chứng minh rằng:
nn2
n2
3
n2
2
n2
1
n2
0
n2
4C CCCC
=+++++
219) Chứng minh rằng:
1n
12
C
1n
1
C
3

1
C
2
1
C)b
x)(1f(x) với (1)''f'(1)'f' Lấy :dẫn Hướng
2)nn(Cn C3C2C1)a
1n
n
n
2
n
1
n
0
n
n
2n2n
n
23
n
22
n
21
n
2
+
−
=
+

++++
+=+
+=++++
+
−
220) Tính S=
0 1 6
6 6 6
C C C+ + +

Hướng dẫn: Xét (x+1)
6
và thay x=1. Kết quả: 64
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 32 - Soạn cho lớp LTĐH
221) Tính T=
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5
2 2 2 2 2C C C C C C+ + + + +

Hướng dẫn: xét với (1+x)
5
với x=2. Kết quả: 243
222) Viết khai triển của biểu thức ( 3x –1 )
16
. Từ đó chứng minh rằng
16 0 15 1 14 2 16 16
16 16 16 16
3 3 3 2C C C C− + − + =
.Hướng dẫn: Thay x=1

223) Tìm k∈N để
k
14
C
,
1k
14
C
+
,
2k
14
C
+
lập thành một cấp số cộng.Kết quả: k=4 V k=8.
224) Tìm số tự nhiên x sao cho:
8
x
9
x
10
x
A9AA
=+
Kết quả: x=11
Phụ lục về lượng giác
I. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: Với ∀k∈Z :
sin
2
α + cos

2
α = 1; tgα =
α
α
cos
sin
; cotgα =
α
α
sin
cos
1 + tg
2
α =
α
2
cos
1
,
π+
π
≠α k
2

1 + cotg
2
α =
α
2
sin

1
,
π≠α k
tgα.cotgα = 1,
2
k
π
≠α
II. Công thức cộng :
sin(a± b) = sina.cosb ± cosa.sinb. cos(a± b) = cosa.cosb

sina.sinb.
tg(a± b) =
tgb.tga1
tgbtga

±
(điều kiện xem như có đủ)
III. Công thức nhân :
1.Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa. tg2a =
atg1
tga2
2
−
.
cos2a = cos
2
a− sin
2

a= 2cos
2
a−1= 1−2sin
2
a
2.Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina−4 sin
3
a. cos3a = 4cos
3
a− 3cosa.
tg3a =
atg31
atgtga3
2
3
−
−
.
3. Công thức hạ bậc:
sina.cosa=
2
1
sin2a. sin
2
a=
2
a2cos1−
cos
2

a=
2
a2cos1+
tg
2
a=
a2cos1
a2cos1
+
−
sin
3
a=
4
asin3a3sin +−
cos
3
a=
4
acos3a3cos +
4.Biểu diễn theo t=tg
2
a
:
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 33 - Soạn cho lớp LTĐH
sina =
2
t1
t2

+
cosa =
2
2
t1
t1
+
−
tga =
2
t1
t2
−
IV. Công thức biến đổi :
1.Tích thành tổng:
cosa.cosb=
2
1
[cos(a+b)+cos(a−b)] sina.sinb=
2
1
[cos(a−b)−cos(a+b)]
sina.cosb=
2
1
[sin(a+b)+sin(a+b)] cosasinb=
2
1
[sin(a+b) − sin(a−b)]
2.Tổng thành tích:

cosα + cosβ = 2cos
2
β+α
cos
2
β−α
cos α−cosβ= −2sin
2
β+α
sin
2
β−α
sinα + sinβ = 2sin
2
β+α
cos
2
β−α
sin α−sinβ=2cos
2
β+α
sin
2
β−α
tg α ± tg β =
βα
β±α
cos.cos
)sin(
cotg α ± cotg β =

βα
α±β
sin.sin
)sin(
V. Phương trình lượng giác:
1. Phương trình cơ bản:
Cho k,l ∈ Z, ta có:
sinu = sinv ⇔ u = v + k2 π V u = π − v + l 2 π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2 π
tgu = tgv V cotgu = cotgv ⇔ u = v + k π
2. Phương trình bậc hai af
2
(x) + b f(x)+c=0 , a
≠
0:
Với f(x) là một hàm số chứa sinx, cosx, tgx hoặc cotgx.
Phương pháp giải :
 Đặt t= sinx V t=cosx, điều kiện |t|≤1 hoặc t=tgx, t=cotgx ⇒ at
2
+ bt+c=0
giải tìm t thích hợp.
 Sau đó giải f(x)=t để tìm x.
3. Phương trình asinu + b cosu = c , a
≠
0, b
≠
0: Với u là 1 hàm số theo x.
Phương pháp giải :
 Kiểm nghiệm điều kiện phương trình có nghiệm⇔ a
2

+b
2
≥ c
2
.
 Sau đó chia 2 vế phương trình cho a≠0 hoặc
22
ba +
≠0 đưa đến phương
trình sin(x ± α) = sin β hoặc cos(x ± α) = cos β để giải.
4. Phương trình asin
2
x+ bsinx cosx + c cos
2
x = 0 :
Phương pháp giải :
Nếu a≠0 thì cosx≠0 ⇔ x=
2
π
+kπ,k∈Z không thể là nghiệm, chia 2 vế
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 34 - Soạn cho lớp LTĐH
 phương trình cho cos
2
x≠0 ⇒ atg
2
x+btgx+c=0.
 Nếu c≠0 thì sinx≠0 ⇔ x= kπ,k∈Z không thể là nghiệm, chia 2 vế phương
trình cho sin
2

x≠0 ⇒ c.cotg
2
x+b.cotgx+a=0.
5. Phương trình a(sin x ± cosx) + bsinx cosx + c = 0 :
Phương pháp giải:
 Đặt t=sin x ± cosx =
2
sin(x ±
4
π
), điều kiện |t|≤
2
.
 Bình phương để tính sinx.cosx theo t ⇒ phương trình bậc hai ẩn t. Giải tìm
t thích hợp.
 Sau đó giải lại
2
sin(x ±
4
π
) = t để tìm x.
Phụ lục về Tam thức bậc hai & Phương trình bậc 2, 3
I) Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (1) :
1) Công thức nghiệm: Tính ∆ = b
2
− 4ac
@ ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm.
@ ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x

1
= x
2
=
a2
b
−
@ ∆ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x
1,2
=
a2
b ∆±−
* Chú ý :
@ Nếu b chẵn thì đặt b’=
2
b
và tính ∆’ = b’
2
− ac
o ∆’ < 0: Phương trình vô nghiệm.
o ∆’= 0: Phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=
a
'b
−
o ∆’ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x
1,2

=
a
''b ∆±−
@ Nếu a, c trái dấu thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
@ Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a≠0) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì:
ax
2
+ bx + c = a(x−x
1
)(x−x
2
).
@ Nếu a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x=1 V x=
a
c
.
@ Nếu a−b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x = −1, x = −
a
c
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 35 - Soạn cho lớp LTĐH
2) Đònh lý Viet : Nếu phương trình ax
2
+bx+c= 0 (1) (a ≠ 0) có 2 nghiệm x

1
, x
2
(điều kiện
∆ ≥ 0 ) thì tổng và tích các nghiệm là: S= x
1
+ x
2
=
a
b
−
và P = x
1
. x
2
=
a
c
3) Đònh lý đảo Viet: Nếu hai số x và y nghiệm đúng hệ thống x+y=S và xy=P (S
2
−4P≥0)
thì x, y là nghiệm của phương trình bậc hai dạng:X
2
– SX + P = 0 (phương trình tổng tích)
4) Xét dấu các nghiệm x
1 ,
x
2
của phương trình (1):

@ x
1.
x
2
< 0 ⇔ P < 0
@ 0 < x
1
≤ x
2
⇔ ∆ ≥ 0 và S > 0 và P > 0
@ x
1
≤ x
2
< 0⇔ ∆ ≥ 0 và S < 0 và P > 0
@ x
1 .
x
2
> 0 ⇔ ∆ ≥ 0 và P > 0. Với ∆ = b
2
−4ac ; S =
a
b
−
và P =
a
c
Các biểu thức đối xứng thường gặp:
P2Sxx

22
2
2
1
−=+
;
PS3Sxx
33
2
3
1
−=+
;
P
S
x
1
x
1
21
=+
5) Dấu của tam thức bậc 2:
a) Dấu của tam thức bậc 2 : f(x) = ax
2
+bx+c (a≠0):Tính ∆ = b
2
−4ac. Ta có:
 ∆ < 0 : f(x) vô nghiệm⇒ af(x) > 0 , ∀x∈|R
 ∆ = 0 : f(x) có nghiệm kép x
1

= x
2
=
a2
b
−
⇒ af(x) > 0, ∀x∈|R\ {
a2
b
−
}
 ∆ > 0 : f(x) có 2 nghiệm phân biệt : x
1,2
=
a2
b
∆±−
(giả thiết x
1
< x
2
)
b) Điều kiện cho f(x) = ax
2
+bx+c ( a
≠
0 ):
• f(x) > 0 ∀ x ∈ R




<∆
>
⇔
0
0a
• f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R



≤∆
>
⇔
0
0a
•f(x) < 0 ∀ x ∈ R



<∆
<
⇔
0
0a
• f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ R



≤∆
<

⇔
0
0a
c) Đònh lý đảo về dấu của tam thức bậc 2: f(x) = ax
2
+bx+c (a
≠
0):
Nếu có số α làm cho af(α) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
và
x
2
(x
1
< x
2
) và x
1
< α < x
2
d) So sánh số
α
với các nghiệm của f(x)= ax
2
+bx+c = 0 (a
≠
0) :
Tính af(α); ∆ = b
2

−4ac và
α−−=α−
a2
b
2
S
.
1. x
1
< α < x
2
⇔ af(α) < 0
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 36 - Soạn cho lớp LTĐH
2. α < x
1
< x
2
⇔
0
2
S
0)(af
0
>α−
>α
>∆
Với
a2
b

2
S
−=
3.









α<−=
>α
>∆
⇔α<<
a2
b
2
s
0)(af
0
xx
21
4. f(α) = 0 ⇔ x
1
= α V x
2
=

α−−
a
b
5.Từ 4 trường hợp cơ bản này ta có thể so sánh các số α và β với các nghiệm
của phương trình f(x) = ax
2
+bx+c = 0.
Lưu ý : Nếu có af(α) < 0 thì không cần điều kiện ∆ > 0.
Trường hợp Điều kiện
α < x
1
< β < x
2
af(α) > 0 và af(β) < 0
x
1
< α < β < x
2
af(α) < 0 và af(β) < 0
x
1
< α < x
2
< β af(α) < 0 và af(β) > 0
(α ; β) có chứa 1 nghiệm và
nghiệm kia ngoài đoạn [α ; β]





<βα
≠
0)(f).(f
0a
α < x
1
< x
2
< β
∆ > 0 và af(α) > 0 và af(β) > 0 và
α <
2
S
< β
II . Phương trình bậc 3: ax
3
+bx
2
+cx+d=0 (a
≠
0) (2) :
1. Giải và biện luận: Phương trình (2)⇔(x−α)(ax
2
+b
1
x+c
1
)=0⇔x=α V ax
2
+b

1
x+c
1
=0 (2’)
Biện luận:
@ Phương trình (2’) nghiệm .
@ Phương trình (2’) có nghiệm kép.
@ Phương trình (2’) có 1 nghiệm x=α.
@ Phương trình (2’) có 2 nghiệm nghiệm phân biệt khác x=α
2. Hệ thức Viet: Giả sử phương trình (1) có ba nghiệm x
1
; x
2
và x
3
thì: x
1
+ x
2
+ x
3
=
a
b
−
;
x
1
.x
2

.x
3
=
a
d
−
; x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
=
a
c
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều