- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 10
Đáp án Đề đề xuất thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc (khối chuyên) năm học 20132014
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (79.65 KB, 4 trang )
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN MÔN TOÁN HSG 10 - CHUYÊN
Câu 1 (3,0 điểm)
Ý
Nội dung trình bày
Điểm
a
(1,5điểm)
0, 2 0, 7 0y xy xy y
.
0y
không thoả mãn hệ.
0y
chia hai vế phương trình thư nhất trong hệ cho y và
chia hai vê phương trình thứ hai trong hệ cho
y
ta được
0.25
7 7
3 8 3 6 3 8 3 6
7 7 7
1 3 1 5 3 2 2 3 3 21 1 25
x y xy x y xy
y y
x xy x y x y xy
y y y
0.50
Đặt
7
3
3 6
a x y
y
b xy
0.25
Hệ có dạng
2
8
2 2 16 25
a b
a a b
0.25
8 3
; 11;3 ; 1;1 , ;
3 8
a b x y
0.25
b
(1,5điểm)
Nhận xét
2
2f x x
thoả mãn
1 3, 3 11, 5 27f f f
0.50
Xét đa thức
Q x P x f x
là đa thức bậc 4 có các nghiệm là
1, 3, 5x x x
0.25
Nên
1 3 5Q x x x x x m
0.25
Ta có
2 2 2 216 105 , 6 6 6 128 15P Q f m P Q f m
0.25
Vậy
2 7 6 216 105 7 128 15 1112P P m m
0,25
Câu 2 (1,5 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm
2
2 2 4 2
4 7 17 7PT x y x y
0.25
2
2
4 2 2 2 2 2
16 8 7 7 0 4 7 0x x y y x y
0.25
2 2
4 7 0 2 2 7x y x y x y
0.25
Do
,x y
nguyên dương nên
2 2x y x y
và
2 0x y
0.25
Vậy
2 7
; 2;3
2 1
x y
x y
x y
0.25
Vậy phương trình có nghiệm
; 2;3x y
0.25
Câu 3 (3,0 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm
1) (1,5 điểm).
Ta có
0 0
1
90 90
2
OAC AOC ABC BAH
mà AI là phân giác góc A nên
HAI OAI
, suy ra
tam giác ANA' cân tại A.
0,25
Gọi L là giao điểm của MA và BC.
Ta có
0
90 'HKN HNK HAM LAA
, suy ra tứ giác ALA'K nội tiếp.
Do đó
'. .MA MK ML MA
(1)
0,5
Dễ thấy ngay hai tam giác
MCL
và
MAC
đồng dạng, suy ra
2
.ML MA MC
(2)
0,25
Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên
MI MC
(3).
0,25
Từ (1), (2), (3) suy ra
2 0
. 90MN MK MI NIK
. Vậy tứ giác NHIK nội tiếp.
0,25
2) (1,5 điểm)
* Từ tứ giác NHIK nội tiếp suy ra
'IHK INK IA M IAD
. Suy ra tứ giác AIHS nội tiếp. Do
0,25
C
M
L
K
N
I
H
A'
O
A
B
C
M
l
T
S
D
L
K
N
H
A'
O
A
B
đó
0
90AIS IHS
.
Gọi T là trung điểm của cạnh SA. Khi đó
TIA TAI INK MIK
, suy ra ba điểm
, ,T I K
thẳng
hàng (4).
0,25
* Tiếp theo ta sẽ chứng minh L là trung điểm của SK.
Ta có
AI AB
IL BL
và
1
2 2
BL AB BL AB AB
BL AB
LC AC BC AB AC BC
Do đó
2
AI
IL
(5)
0,50
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ASL với cát tuyến TIK ta có:
. . 1
TA KS IL
TS KL IA
(6). Từ (5) và (6) suy ra
2KS KL
, tức L là trung điểm của SK (7).
Từ (4) và (7) suy ra I là trọng tâm tam giác AKS (đpcm).
0,50
Câu 4 (1,5 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm
Ta có
2
2
2 4 1
4
c
ac a
0.25
2
2
2
4
d
bd b
0.25
2
3
8 2
c d
cd
cd
0.25
Cộng vế
1 , 2 , 3
ta có
2 2
2 2
2 2 2 2
3
2 4 4 8
4 4 2 8 8
c d c d
c d cd
P ac bd cd a b a b
0.25
1
8 ; ; ; ;1;2;2
2
P a b c d
. Vậy giá trị lớp nhất cảu P bằng 8.
0,25
Câu 5 (1,0 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm
Đặt
2014n
. Giả sử các phần tử của M thoả mãn
1 2
n
a a a
Đặt
0 1 2
0, 0
m m
S S a a a m n
.
Gọi P là tập tất cả những số
i
s
được xác định trong đề bài.
0.25
Kí hiệu
1
|
m m m
P s P S s S
với
1,2,3, ,m n
. Ta chứng minh cách chia P thành các tập
m
P
như vậy thoả mãn điều kiện bài toán. Muốn vậy ta chỉ cần chứng minh
m
b P
thì
2
m
S b
0.25
Thật vậy
1 1 2 1
m m
b S a a a
và
1
k
h
i
k
b a
nên phai tồn tại
k
i
để
k
i m
0.25
Vậy
1
2
k
i m m m m m
b a a S S S b b S
0.25
Hết
