- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 10
Đáp án Đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán Cụm Lạng Giang tỉnh Bắc Giang năm học 20132014
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (115.19 KB, 4 trang )
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ
MÔN TOÁN - LỚP 10 - NĂM HỌC 2013– 2014
Dưới đây chỉ là sơ lược cách giải và phân chia điểm; bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận chặt
chẽ, chi tiết. Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm từng phần tương ứng.
1. Tìm m để hàm số
( )
2
1 2 2y m x mx m= − − + +
nghịch biến trên
( )
;2−∞
+Nếu 1 2 3m y x= ⇒ = − + nghịch biến trên
ℝ
. Do đó
1m = th
ỏ
a mãn
đề
bài
0.5
+ N
ế
u 1m ≠ . Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
( )
;2−∞
khi và ch
ỉ
khi
1 0
1 2
2
1
m
m
m
m
− >
⇔ < ≤
≥
−
1.0
+ Kết luận 1 2m≤ ≤ là kết quả cần tìm.
0.5
2. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1 2
;
x x
thỏa
mãn
1 2
2 2x x− = .
+ (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
( )
2
1 2 2 0m x mx m− − + + =
có hai nghiệm phân biệt
( )( )
2
1 0
' 1 2 0
m
m m m
− ≠
⇔
∆ = − − + >
1 2m⇔ ≠ <
0.5
+ Theo Viet ta có
1 2 1 2
2 2
;
1 1
m m
x x x x
m m
+
+ = =
− −
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t
1 2
2 2x x− = , tính
đượ
c
( ) ( )
1 2
4 2 2 2
;
3 1 3 1
m m
x x
m m
− +
= =
− −
0.5
T
ừ
đ
ó thu
đượ
c:
( ) ( )
7
4 2 2 2 2
.
2
3 1 3 1 1
m
m m m
m
m m m
= −
− + +
= ⇔
=
− − −
0.5
+ Kết hợp điều kiện, kết luận 7m = − là kết quả cần tìm.
0.5
Câu2
1. Giải phương trình:
2 1
2 1
1 3
x
x
x x
+
= −
+ − −
+ Điều kiện:
1 3
1
x
x
− ≤ ≤
≠
0.5
+ Khi đó phương trình tương đương với
( )
2 1 1 3
2 1
2 2
x x x
x
x
+ + + −
= −
−
( )
2 2
2 2
2 2 2 2 3 4 6 2
4 2 3 2 2 3 12 0
x x x x x
x x x x
⇔ + + − + + = − +
⇔ − + + + − + + − =
0.5
( )
2
2
2
2 3 2
2 7
4 8 3 0
3
2
2 3
2
x x vl
x x x
x x
− + + = −
±
⇔ ⇔ − − = ⇔ =
− + + =
0.5
+ Đối chiếu điều kiện và kết luận
2 7
2
x
±
=
0.5
2. Gi
ả
i h
ệ
( ) ( )
( )( )
2 2 2
2 2
1 2 1 3
1
x y y x x
x x y y
+ + + + =
+ + =
+ H
ệ
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( ) ( )
( )( )
2
2 3
1
xy x xy y
xy x xy y
+ + + =
+ + =
0.5
+
Đặ
t
;u xy x v xy y= + = +
, ta
đượ
c
2
2 3
1
u v
uv
+ =
=
Gi
ả
i h
ệ
thu
đượ
c
1
1
u
v
=
=
ho
ặ
c
2
1
2
u
v
= −
= −
0.5
+ Với
1
1
u
v
=
=
1
1
xy x
xy y
+ =
⇒
+ =
. Gi
ải được
1 5
2
x y
− −
= =
0.5
+ Với
2
1
2
u
v
= −
= −
2
1
2
xy x
xy y
+ = −
⇒
+ = −
. Gi
ải được
5 1
2
x y
−
= = và k
ết luận
0.5
Câu 3
1. Giải bất phương trình:
2 2
2 1 2 4 1 5
x x x x x
− + + + + ≥
+ Điều kiện 0x ≥
0.5
+Ta thấy 0x = không là nghiệm của bất phương trình, do đó bất phương trình
tương đương với:
1 1
2 1 2 4 5x x
x x
− + + + + ≥
Đặt
1
2 1, 0t x t
x
= + − >
, ta được
2
5 5t t+ + ≥
0.5
+Giải bất phương trình trên kết hợp với 0t > , ta được 2t ≥ .
0.5
+ Từ đó ta có
1
2 1 2x
x
+ − ≥
, giải bất phương trình với điều kiện 0x > , ta được
5 17
0
2
5 17
2
x
x
−
< <
+
≥
. K
ế
t lu
ậ
n.
0.5
2. Rút g
ọ
n
+ − + +
=
+ − +
x x x x
P
x x x x x
4 4 2 2
2 2 2 2 2
(sin cos 1)(tan cot 2)
cos .cot 3cos cot 2sin
Ta có
= + − + +
A x x x x
4 4 2 2
(sin cos 1)(tan cot 2)
( ) ( )
= + − − + +
x x x x x x
2
2 2 2 2 2 2
sin cos 2sin .cos 1 tan cot 2
( )
= − + −x x x x
4 4 2 2
2 sin cos 4sin .cos
( )
= − + = −x x
2
2 2
2 sin cos 2
1.0
= + − +B x x x x x
2 2 2 2 2
cos .cot 3cos cot 2sin
( ) ( )
= + − + +x x x x x
2 2 2 2 2
cos . cot 1 cot 2 sin cos
= − + =x x
x
2 2
2
1
cos . cot 2 2
sin
0.5
Vậy P=-1. 0.5
Câu 4
1.
Cho hình vuông ABCD. Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC sao cho BM=BN.
Gọi H là hình chiếu của B trên CM. Chứng minh HD vuông góc với HN.
+ Gọi
a
là độ dài cạnh của hình vuông và
= =MBH BCH
α
H
A
D
B
C
M
N
0.5
+ Ta có:
( )( )
= + +HN HD HB BN HC CD.
= +
HB CD BN HC. .
(vì ⊥ ⊥HB HC BN CD, )
0.5
= +HB BA BN HC. .
=
− +HB a BN HC. .cos . .cos
α α
0.5
=
− +BM a NB a
2 2
. .cos . .cos
α α
=0 (do BM=BN)
Do
đó
⊥HB HD
.
0.5
2. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu
( ) ( )
2 2 2 2
sin 2sin .cos
0
A B C
b b a c c a
=
− + − =
+Từ
sin 2sin .cosA B C=
chỉ
ra tam giác ABC cân t
ạ
i A
1.0
+ T
ừ
( ) ( )
2 2 2 2
0b b a c c a− + − = ch
ỉ
ra tam giác ABC có góc A b
ằ
ng 60
0
.
0.5
+K
ế
t lu
ậ
n tam giác ABC
đề
u 0.5
3. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy
, vi
ết phương trình các cạnh của tam giác ABC
biết trực tâm H(1;0), chân đường cao hạ từ B là K(0;2) và trung điểm của AB
là M(3;1).
H
M
K
A
C
B
+ Viết được phương trình đường thẳng AC: x-2y+4=0 và BK: 2x+y-2=0
0.5
+ Vì
A AC∈
nên
( )
2 4;A a a−
,
B BK
∈
nên
( )
;2 2
B b b
−
T
ừ M là trung điểm của AB suy ra A(4;4), B(2;-2).
0.5
+ Viết được phương trình AB:3x-y-8=0 0.5
+ Viết được phương trình BC:3x+4y+2=0 và kết luận. 0.5
Câu 5
Cho , ,a b clà 3 số thực dương thỏa mãn:
2 2 2
3
4
a b c+ + ≤ . Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
bi
ể
u th
ứ
c:
2 2 2
1 1 1
8P abc
a b c
= + + +
1
đ
i
ể
m
+ Áp d
ụ
ng AM-GM ta có
2 2
1 4 1 4
4 4
a a a a
+ ≥ ⇒ ≥ −
T
ươ
ng t
ự
ta có:
2 2
1 4 1 4
4; 4
b b c c
≥ − ≥ −
Do
đ
ó
4 4 4
8 12P abc
a b c
≥ + + + −
0.5
+ Theo AM-GM, ta có:
1 1 1
8 4
2 2 2
abc
a b c
+ + + ≥ ;
0.5
+ Ch
ứ
ng minh
đượ
c
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +
Do
đ
ó
( )
63
4
2
P
a b c
≥ +
+ +
0.5
+ Ch
ứ
ng minh
đượ
c
( )
( )
2
2 2 2
9 3
3
4 2
a b c a b c a b c+ + ≤ + + = ⇒ + + ≤
T
ừ
đ
ó suy ra MinP=25,
đạ
t
đươ
c khi
1
2
a b c= = = .
0.5
