SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài toán Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
Pháön 1
ÂÀÛT VÁÚN ÂÃÖ
Năm 1619 , Rơ-nê Đêcac (RENÉ DESCARTES 1596-1650 ) sáng tạo ra môn hình
học giải tích ,chứa đựng dưới dạng phôi thai nhiều ý kiến thúc đẩy việc cách mạng hoá toán
học và vật lý học .Cơ sở của môn này là phương pháp tọa độ(PPTĐ)do chính ông phát
minh .Nó cho phép nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ và phương pháp của đại số , qua đó
ông đã kết hợp và mở rộng cả hai môn đại số và hình học . Ăngghen đã gọi phát minh của
Đêcac là “ Bước ngoặt trong sự phát triển của Toán học thế giới “
Kể từ khi PPTĐ được phát minh và công bố rộng rãi thì nó nhanh chóng được ứng
dụng vào trong nhiều lĩnh vực của tất cả các ngành khoa học .Và cũng từ đó , nó ngày càng
được phát triển và càng có nhiều ứng dụng quan trọng , là nền tảng cho nhiều phát minh và
khám phá ra các qui luật tự nhiên trong các ngành khoa học , đặc biệt là toán học . PPTĐ
nhanh chóng trở thành một phương pháp quan trọng , phổ biến trong toán học ,và bộ môn
hình học giải tích sớm trở thành một phần chính không thể thiếu trong chương trình giảng dạy
toán học ở bậc đại học và đặc biệt là ở bậc PTTH .
Trong cấu trúc của chương trình toán THPT hiện hành ( không phân ban ) , PPTĐ
trong mặt phẳng đã được đưa vào ở lớp 10 với việc nghiên cứu véctơ và các kiến thức liên
quan ,bước đầu để học sinh làm quen với PPTĐ và làm cơ sở cho việc HS sẽ được tiếp tục
học kỷ hơn sau này. Chương trình HÌNH HỌC LỚP 12 chính là HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
( phẳng và không gian ) , được trình bày khá trọn vẹn với các kiến thức cơ bản nhất .
PPTĐ, ngoài việc giải quyết các nội dung cơ bản của hình học giải tích thuần tuý , nó
đã được người ta nghiên cứu và vận dụng nhiều vào việc giải quyết các kiến thức ,nội dung
toán học khác như : chứng minh bất đẳng thức ; tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một
hàm số ; bài toán cực trị trong hình học ; giải phương trình và bất phương trình …Đặc biệt ,
phương pháp tọa độ đã giải quyết được nhiều bài toán hình học không gian mà HS được
học ở năm l1 – Đây là loại toán khó và đòi hỏi ở học sinh khả năng tư duy tưởng tượng
phong phú , nên trong thực tế đa số học sinh đều “sợ “ môn học này .
Cũng trên tinh thần đổi mới và khẳng định vị thế , vai trò của hình học giải tích và
PPTĐ trong chương trình toán PTTH hiện nay , nên những năm gần đây trong các bộ đề
tuyển sinh đại học trên toàn quốc đã có nhiều bài toán hình học không gian –mà nếu như thí

sinh dùng PPTĐ hoặc kết hợp phương pháp này cùng phương pháp hình học truyền thống đơn
thuần thì bài toán sẽ trở nên dễ giải hơn .
Như vậy ,việc áp dụng được và biết cách áp dụng phương pháp tọa độ một cách có
hiệu quả vào việc giải quyết một số bài toán hình học không gian trở thành một nhu cầu
của học sinh cuối cấp PTTH hiện nay .
Tuy vậy , qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh đã gặp một số khó khăn sau:
*Khi gặp một bài toán hình học không gian thì những “dấu hiệu” , “tín hiệu”
nào để nhận biết “phát hiện “ được rằng nó có thể giải bằng PPTĐ ?
*Nếu dùng PPTĐ thì HS phải tự xây dựng một hệ toạ độ Đêcac để giải
toán .Vấn đề là xây dựng hệ toạ độ đó như thế nào ?
1
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
*Vấn đề còn lại là từ đề bài bằng ngơn ngữ hình học tổng hợp thuần t như
vậy , nếu chuyển đổi qua “ngơn ngữ “ tọa độ thì chuyển đổi thế nào ,vận dụng được
những kiến thức nào mà các em đã được học trong bộ mơn hình học giải tích khơng
gian ?
Qua thời gian giảng dạy , tơi đã tích luỹ được một vài kinh nghiệm nhằm giúp
học sinh giải quyết một phần các khó khăn trên.
Hỉåíng ỉïng phong tro viãút sạng kiãún kinh nghiãûm do Såí GDÂT Thnh phäú Â
Nàơng phạt âäüng cũng như mong muốn được đóng góp một phần nhỏ bé của mình vào
việc nâng cao chất lượng dạy tốt - học tốt , nay tơi viết đề tài này với tên gọi :
“Một số kinh nghiệm
Giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp toạ độ “
Ỉåïc må thç låïn nhỉng kh nàng v kinh nghiãûm cng
nhỉ sỉû têch ly kiãún thỉïc chỉa phi l nhiãưu , nhỉỵng
pháưn täi trçnh by tiãúp theo, chàõc l v âỉång nhiãn
cn nhiãưu khiãúm khuút . Täi ráút mong qu tháưy cä v
bản b âäưng nghiãûp giụp âåỵ, âọng gọp kiãún cho
chun âãư ny , âãø täi cọ thãø tiãúp tủc hon chènh nọ
trong quạ trçnh ging dảy ca mçnh.

Giạo viãn thỉûc hiãûn
LÃ THỈÌA THNH
Pháưn 2
2
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
GI ẢI QUY ẾT V ẤN Đ Ề
A. TĨM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ
PHỈÅNG PHẠP TA ÂÄÜ TRONG KHÄNG GIAN
I.VECTÅ TRONG KHÄNG GIAN:
Ở lớp 10, học sinh đã biết khái niệm về vectơ trong mặt phẳng và các phép
tốn trên các vectơ. Đó là những khái niệm sau đây : vectơ, các vectơ cùng phương ,
các vectơ cùng hướng , độ dài vectơ , vectơ bằng nhau , phép cộng vectơ và các tính
chất , phép trừ vectơ và các tính chất , phép nhân vectơ với một số, tích vơ hướng của
hai vectơ và các tính chất của chúng .
Lên lớp 11 ,học sinh được học HHKG mà các đối tượng mà các đối tượng
nghiên cứu của nó có thể khơng cùng nằm trong nằm trong một mặt phẳng. Chẳng hạn
nếu ta lấy ba vectơ
, ,AB AC AD
uuur uuuur uuuur
trên ba cạnh của tứ diện ABCD thì được ba vectơ
khơng cùng nằm trên một mặt phẳng. Từ đó hình thành khái niệm vectơ trong khơng
gian mà HS được học ở lớp 12.
Tuy nhiên , khái niệm vectơ trong khơng gian và những phép tốn trên nó đều
được định nghĩa hồn tồn như trong hình học phẳng. Do đó , để tập trung vào nội
dung chính cần trình bày , ở đây tơi sẽ khơng nhắc lại các định nghĩa của các khái
niệm nói trên ,chỉ trình bày thêm phần khái niệm các vectơ đồng phẳng .
BA VECTÅ ÂÄƯNG PHÀĨNG:
a) ÂN : Ba vectå
a
,

b
,
c
âỉåüc gi l âäưng phàóng nãúu
ba âỉåìng thàóng chỉïa chụng cng song song våïi mäüt màût
phàóng.
b) Cạc âënh lê: Cho
a
,
b
,
c
våïi
b
,
c
khäng cng phỉång.
a
,
b
,
c
âäưng phàóng ⇔ ∃!(m, n) våïi m,n∈ R :
a
= m.
b
+ n.
c
Bäún âiãøm A, B, C, D âäưng phàóng ⇔
AD,AC,AB

âäưng phàóng
c) Phán têch mäüt vectå theo ba vectå khäng âäưng phàóng : Cho
a
,
b
,
c
khạc
0
v khäng âäưng phàóng. Khi âọ: Våïi
u
l
mäüt vectå báút kç thç
u
ln âỉåüc phán têch mäüt cạch duy
nháút dỉåïi dảng :
u
= x.
a
+ y.
b
+ z.
c
IV. ÂỈÅÌNG THÀĨNG TRONG KHÄNG GIAN
3
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
Trong khọng gian coù hóỷ truỷc toỹa õọỹ Oxyz
1- PHặNG TRầNH CUA ặèNG THểNG
1.1 PHặNG TRầNH THAM S - PHặNG TRầNH CHấNH TếC.
ổồỡng thúng d qua õióứm M

0
(x
0
, y
0
, z
0
) vaỡ coù mọỹt vectồ chố
phổồng
d
= (a, b, c)
a) Phổồng trỗnh tham sọỳ laỡ:
x = x
0
+ ta
d : y = y
0
+ tb t : tham sọỳ ; t R
z = z
0
+ tc a
2
+ b
2
+ c
2


0
b) Phổồng trỗnh chờnh từc :

d :
c
zz
b
yy
a
xx
000

=

=

(a, b, c 0)
Qui ổồùc rũng : vồùi phỏn sọỳ
B
A
, nóỳu B = 0 thỗ
A = 0
1.2. PHặNG TRầNH TỉNG QUAẽT CUA ặèNG THểNG
ổồỡng thúng d õổồỹc xem laỡ giao tuyóỳn cuớa hai mỷt
phúng :
(
1
): A
1
x + B
1
y + C
1

z + D
1
= 0 vaỡ (
2
) : A
2
x + B
2
y + C
2
z +
D
2
= 0 nón coù PTrỗnh :

( õióửu kióỷn la ỡ
2
i
2
i
2
i
CBA ++
0,i = 1,2 vaỡ A
1
: B
1
: C
1
A

2
: B
2
: C
2
)
Mọỹt vectồ chố phổồng cuớa d õổồỹc xaùc õởnh nhổ sau:
'd
=








22
11
22
11
22
11
BA
BA
;
AC
AC
;
CB

CB

2- Vậ TRấ TặNG I CUA ặèNG THểNG VAè MT PHểNG
Cho õổồỡng thúng d:
c
zz
b
yy
a
xx
000

=

=

(= t)
vaỡ mỷt phúng () : Ax + By + Cz + D = 0
d cừt ()

Aa +Bb +Cc

0
d // ()




+++
=++

0
0
000
DCzByAx
CcBbAa
4
d :



=+++
=+++
)2(0
)1(0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
d
⊂
(α)
⇔



=+++
=++
0
0

000
DCzByAx
CcBbAa
Âàût biãût : d
⊥
(α)
⇔
a : b : c =A : B : C
* Cọ thãø dng cạch sau âãø xẹt vë trê tỉång âäúi ca
âỉåìng thàóng v màût phàóng:
Xẹt phỉång trçnh :
A(x
0
+ ta) + B(y
0
+ tb) + C(z
0
+ tc) + D = 0
⇔ mt + n = 0 (áøn t) (1)
Säú giao âiãøm ca d v (α) l säú nghiãûm ca (1)
3. VË TRÊ TỈÅNG ÂÄÚI CA HAI ÂỈÅÌNG THÀĨNG
• Giỉỵa hai âỉåìng thàóng trong khäng gian cọ hai vë trê
tỉång âäúi, âọ l:
+ Hai âỉåìng thàóng khäng âäưng phàóng (cn gi chẹo
nhau)
+ Hai âỉåìng thàóng âäưng phàóng : Trong trỉåìng håüp
ny hai âỉåìng thàóng cọ thãø càõt nhau, song song nhau
hồûc trng nhau.
Cho hai âỉåìng thàóng : d
1

qua M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) cọ phỉång
1
v

= (a
1
, b
1
, c
1
) v d
2
qua M
2
(x
2
, y
2
, z
2
) cọ phỉång
2

v
= (a
2
, b
2
,
c
2
)
d
1
v d
2
âäưng phàóng
⇔
[ ]
0.,
2121
=MMVV
rrr
d
1
v d
2
càõt nhau
⇔
[ ]




≠
=
222111
2121
::::
0.,
cbacba
MMVV
rrr
d
1
// d
2

⇔
)(:)(:)(::::
121212222111
zzyyxxcbacba −−−≠=
d
1

≡
d
2

⇔
)(:)(:)(::::
121212222111
zzyyxxcbacba −−−==
d

1
v d
2
chẹo nhau
⇔
[ ]
0.,
2121
≠MMVV
rrr
4- GỌC GIỈỴA ÂỈÅÌNG THÀĨNG V MÀÛT PHÀĨNG:
d cọ mäüt vectå chè phỉång
v
= (a, b, c) ,(α) cọ
mäüt phạp vectå
n
= (A, B, C)
Gọc nhn
ϕ
giỉỵa d v (α) âỉåüc tênh båíi :
5
d
1
d
2
d
2
d
2
d

1
d
1
Sin
ϕ
= |cos (
v
,
n
)| =
222222
CBAcba
|cCbBaA|
++++
++

2
∆
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
5- GỌC GIỈỴA HAI ÂỈÅÌNG THÀĨNG :
d
1
cọ vectå chè phỉång
1
v
= (a
1
, b
1
, c

1
)
d
2
cọ vectå chè phỉång
2
v
= (a
2
, b
2
, c
2
)
Gọc nhn
ϕ
giỉỵa d
1
, d
2
tênh båíi :
6. KHONG CẠCH TỈÌ MÄÜT ÂIÃØM ÂÃÚN MÄÜT ÂỈÅÌNG THÀĨNG:
Våïi I(x
0
, y
0
, z
0
) v d :
c

zz
b
yy
a
xx
111
−
=
−
=
−
a) Cạch 1:
Viãút phỉång trçnh màût phàóng
)(
α
qua I v
)(
α
⊥ d
Xạc âënh giao âiãøm H ca d v
)(
α

Khi âọ : d (I, d) = IH
b) Cạch 2 :
Âỉåìng thàóng d âi qua âiãøm A(x
1
, y
1
, z

1
) v cọ VTCP
);;( cbau =
r
Khong cạch tỉì I âãún âỉåìng thàóng d l :
[ ]
u
uAI
dId
r
r
r
,
),(
=
7.KHONG CẠCH GIỈỴA HAI ÂỈÅÌNG THÀĨNG CHẸO NHAU:
Cho hai âỉåìng thàóng
21
, ∆∆
chẹo nhau
(
1
∆
)
1
∆


qua M(x
1

, y
1
, z
1
) cọ phỉång
1
V
= (a
1
,
b
1
, c
1
)
(
2
∆
)

2
∆
qua N(x
2
, y
2
, z
2
) cọ phỉång
2

V
r
= (a
2
, b
2
,
c
2
)
Gi d(
21
, ∆∆
) l khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng
21
, ∆∆
thç:
[ ]
[ ]
21
21
21
,
.,
),(
VV
NMVV
d
rr
rrr

=∆∆
6
d
1
d
2
ϕ
ϕ
α
d
d'
I
H
d
I
A
d
H
u
r

Cos
ϕ
= cos(
1
v
,
2
v
)| =

2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
.
||
cbacba
ccbbaa
++++
++
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
V-MÀÛT CÁƯU
Trong khäng gian Oxyz
1. PHỈÅNG TRÇNH CA MÀÛT CÁƯU:
a)
Tám I(a, b, c), bạn kênh R
b)
Tám I(a, b, c), bạn kênh R =
dcba
222
−++

(Våïi âiãưu kiãûn a
2
+ b
2
+ c
2
- d > 0)
2. VË TRÊ TỈÅNG ÂÄÚI CA MÀÛT PHÀĨNG V MÀÛT CÁƯU
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 Màût cáưu (S) tám I(a, b, c),
bạn kênh R
Âàût d = d (I, (P)) =
222
CBA
|CcBbAa|
++
++
a) Nãúu d > R thç (P) khäng càõt (S)
b) Nãúu d = R thç (P) tiãúp xục (S) tải 1 âiãøm T
(P) cn gi l tiãúp diãûn ca (S) tải âiãøm T.
c) Nãúu d < R thç (P) càõt (S) theo giao tuún l mäüt
âỉåìng trn (C) cọ phỉång trçnh l :

(C ) cọ tám H l hçnh chiãúu vng gọc ca I trãn (P)
bạn kênh r =
22
dR −
3. VË TRÊ TỈÅNG ÂÄÚI CA ÂỈÅÌNG THÀĨNG V MÀÛT CÁƯU:
x = x
0
+ ta

1

∆
: y = y
0
+ ta
2
, (S) : (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z -
c)
2
= R
2
z = z
0
+ ta
3

Xẹt phỉång trçnh :
(x
0
- a + ta
1
)
2
+ (y
0

- b + ta
2
)
2
+ (z
0
- c + ta
3
)
2
= R
2

⇔
0
2
=++
γβα
tt
(*)
Säú giao âiãøm ca
∆
v (S) l säú nghiãûm ca (*)
7
I
H M N
d
R
(S) : (x - a)
2

+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R
2

(S) : x
2
+ y
2
+ z
2
- 2ax - 2by - 2cz + d = 0
(C):



=+++
=+−−−++
0
0222
222
DCzByAx
dczbyaxzyx
y
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
•
• Nãúu
∆

càõt (S) tải hai âiãøm M,
N thç âäü di âoản MN âỉåüc
tênh båíi : MN = 2
22
dR −
B. QUI TRÇNH GII BI TOẠN HHKG BÀỊNG
PHỈÅNG PHẠP TA ÂÄÜ
I.XÁY DỈÛNG HÃÛ TA ÂÄÜ ÂÃƯ CẠC VNG GỌC
trong mäüt bi toạn Hçnh hc
Khäng gian:
Nhỉỵng bi toạn hçnh hc khäng gian cọ thãø gii
bàòng phỉång phạp ta âäü ;m theo hỉåïng gii quút ny
s dãù thỉûc hiãûn hån so våïi cạch gii hçnh hc truưn
thäúng thäng thỉåìng ,khi trong gi thiãút bi toạn cọ
chỉïa âỉûng hồûc cọ thãø lm xút hiãûn mäüt tam diãûn
vng.Khi âọ ta chn âènh tam diãûn lm gäúc ta âäü ,cn
cạc trủc honh ,trủc tung,trủc cao ca hãû thäúng s
láưn lỉåüt nàòm trãn cạc cảnh ca tam diãûn vng âọ.Do
âo,ï phỉång phạp ta âäü ny hay âỉåüc sỉí dủng âãø gii
quút cạc váún âãư vãư âënh tênh,âënh lỉåüng ca cạc úu
täú v dỉỵ liãûu trong mäüt hçnh láûp phỉång,hçnh häüp chỉỵ
nháût,hồûc ca mäüt váût thãø khäng gian âỉåüc càõt ra tỉì
cạc hçnh âọ,hồûc trong mäüt hçnh chọp hay làng trủ cọ
dảng âàûc biãût, Váún âãư âàût ra l phi “khẹo lẹo”
chn ( v âáy l c mäüt”nghãû thût” ) hãû ta âäü
vng gọc Oxyz sao cho cạc gi thiãút bi toạn,cạc u
cáưu âãư bi âỉåüc chuøn qua ngän ngỉỵ ta âäü mäüt cạch
dãù dng v thûn tiãûn.
Dỉåïi âáy l mäüt säú vê dủ vãư cạch chn hãû trủc
ta âäü Âãư cạc vng gọc trong khäng gian thỉåìng gàûp:

Vê dủ 1:
Cho hçnh häüp chỉỵ nháût ABCD.A’B’C’D’ cọ cạc kêch thỉåïc
láưưn lỉåüt l :
AB = a; AD = b; AA’ = c.
Ta láûp hãû ta âäü Axyz cọ:
Ax chỉïa AB , chiãưu dỉång tỉì A âãún B
Ay chỉïa AD , chiãưu dỉång tỉì A âãún D
Az chỉïa AA’ , chiãưu dỉång tỉì A âãún A’
Våïi hãû ta âäü Axyz âọ thç :
A(0;0;0) , B(a;0;0) , C(a;b;0)
D(0;b;0) , A’(0;0;c) , B’(a;0;c)
C’(a;b;c) , D’(0;b;c)

Våïi hçnh láûp phỉång ABCD.A’B’C’D’ cọ cảnh bàòng
a .Ta cng láûp hãû ta âäü Âãư cạc vng gọc nhỉ
trãn v ta âäü cạc âiãøm l:
8
A
B C
A’
B’
C’
D’
D
c
a
b
x
z
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH

A(0;0;0) , B(a;0;0) , C(a;a;0) , D(0;a;0) ,
A(0;0;a) ,
B(a;0;a) , C(a;a;a) vaỡ D(0;a;a)
Vờ duỷ 2:
Cho tổù dióỷn ABCD coù caùc caỷnh AB,AC,AD õọi mọỹt
vuọng goùc vồùi nhau vaỡ AB = m ; AC = n ; AD = p.
Ta lỏỷp hóỷ toỹa õọỹ Axyz coù :
Ax chổùa AB , chióửu dổồng tổỡ A õóỳn B
Ay chổùa AC , chióửu dổồng tổỡ A õóỳn C
Az chổùa AD , chióửu dổồng tổỡ A õóỳn D;
Thỗ coù:
A(0;0;0) , B(m;0;0) ,
C(0;n;0) , D(0;0;p)
Vồùi hỗnh choùp õốnh S coù õa giaùc ỏy nũm trón mỷt phúng
(P) thỗ ta thổồỡng xỏy dổỷng hóỷ toỹa õọỹ óử caùc vuọng goùc
trong khọng gian nhổ sau:
* Xaùc õởnh hỗnh chióỳu vuọng goùc H cuớa õốnh S trón
(P)
* Trón mp (P),choỹn (dổỷng) hai õổồỡng thúng a,b vuọng
goùc vồùi nhau taỷi H
* Dổỷng hóỷ toỹa õọỹ vuọng goùc Hxyz vồùi Hx nũm trón
õổồỡng thúng a ,Hy nũm trón õổồỡng thúng b , Hz nũm trón
õổồỡng thúng HS
Vờ duỷ 3: Hỗnh choùp S.ABCD coù õaùy ABCD laỡ
hỗnh vuọng caỷnh a vaỡ SA = SB = SC = SD = a
2
.
Goỹi I,J lỏửn lổồỹt laỡ trung õióứm cuớa AD vaỡ BC.

Goỹi O laỡ tỏm hỗnh vuọng ABCD .

Tổỡ giaớ thióỳt ,ta coù:
SA=SB=SC=SD=BD=AC= a
2
nón
caùc tam giaùc SAC vaỡ
SBD laỡ caùc tam giaùc õóửu.
=>SO

AC vaỡ SO

BD
=>SO

mp (ABCD)
Xỏy dổỷng hóỷ truỷc
toỹa õọỹ vuọng goùc
Oxyz nhổ hỗnh veợ .
Vồùi hóỷ toỹa õọỹ naỡy ta coù :
9
z
y
S
D
A
B
C
O
I
J
x

z
D
B
C
x
A
p
n
m
y
B
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
O(0;0;0) , A(0;-a
2
2
;0) , B(a
2
2
;0;0) , C(0; a
2
2
;0) , D(-a
2
2
;0;0) , S(0;0;a
2
6
) ; I(-a
4
2

;-a
4
2
;0)
vaỡ J(a
4
2
; a
4
2
;0)
*Tuy vỏỷy , coù khi choỹn gọỳc toỹa õọỹ khọng phaới laỡ hỗnh
chióỳu H cuớa S trón (P) maỡ laỡ mọỹt õióứm õỷc bióỷt naỡo
õoù trón (P) (thổồỡng laỡ mọỹt õốnh cuớa õa giaùc õaùy) cuỡng
caùch choỹn cỷp õổồỡng thúng a,b trón (P) vuọng goùc vồùi
nhau taỷi õióứm gọỳc õoù mọỹt caùch hồỹp lyù thỗ vióỷc tỗm
toỹa õọỹ caùc õióứm seợ trồớ nón dóự daỡng hồn vaỡ toỹa õọỹ
caùc õióứm cuợng coù daỷng õồn giaớn hồn.
Vờ duỷ 4:
Cho hỗnh choùp S.ABC , õaùy ABC laỡ tam giaùc vuọng
cỏn õốnh C ; CA=CB=a; õốnh S coù hỗnh chióỳu trón õaùy laỡ
troỹng tỏm G cuớa tam giaùc ABC ; SG=h
Ta coù thóứ lỏỷp hóỷ toỹa õọỹ óử caùc vuọng goùc trong
khọng gian nhổ sau:
Caùch 1: Lỏỷp hóỷ truỷc toỹa õọỹ vuọng goùc Gxyz , coù
Gx // CB ,chióửu dổồng tổỡ C õóỳn B ; Gy // AC ,chióửu
dổồng tổỡ A õóỳn C ; Gz coù chióửu dổồng tổỡ G õóỳn S.
Ta coù : G(0;0;0)
A(-
3

a
;-2
3
a
;0)
B(2
3
a
;
3
a
;0) C(-
3
a
;
3
a
;0) , S(0;0;h)
Caùch 2: Lỏỷp hóỷ truỷc toỹa õọỹ vuọng goùc Axyz ,
coù Ax // CB ,chióửu dổồng tổỡ C õóỳn B ; Ay
chổùa AC ,chióửu dổồng tổỡ A õóỳn C ; Az coù
chióửu dổồng tổỡ G õóỳn S . Khi õoù ta coù:
A(0;0;0) ,
B(a;a;0) ,
C(0;a;0) ,
S(
3
a
;2
3

a
;h)
10
S
A
G
x
S
z
y
G
C
A
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
*Nháûn xẹt:
Våïi cạch 2 thç ta âäü cạc âiãøm cáưn dng dãù tçm hån
v cọ dảng âån gin hån
II. SỈÛ CHUØN ÂÄØI TỈÌ "NGÄN NGỈỴ" HÇNH HC THÄNG
THỈÅÌNG SANG "NGÄN NGỈỴ" TA ÂÄ Ü:
Âáy l váún âãư cäút li v âënh hỉåïng âãø ngỉåìi
gii toạn xạc láûp cạc úu täú cáưn thiãút, hçnh thnh
nãn “ dn “ ca näüi dung cạch gii bàòng PPTD , tỉì
âọ váûn dủng hiãûu qu cạc âënh l, cäng thỉïc tênh
toạn â cọ sàơn trong phỉång phạp ta âäü : tçm ta âäü
âiãøm v vectå, phỉång trçnh âỉåìng thàóng v màût phàóng,
tênh diãûn têch tam giạc, thãø têch tỉï diãûn v thãø têch
hçnh häüp, cạc vë trê tỉång âäúi giỉỵa âỉåìng thàóng v
âỉåìng thàóng, âỉåìng thàóng v màût phàóng, màût phàóng v
màût phàóng, màût phàóng v màût cáưu, cạc cäng thỉïc tênh
gọc, cäng thỉïc tênh khong cạch vo gii toạn.

Viãûc lm ny âỉåüc thỉûc hiãûn theo hỉåïng:
+Bàòng ngän ngỉỵ hçnh hc thäng thỉåìng, ta täøng håüp
cạc cạch gii quút cọ thãø cọ, tỉång ỉïng våïi viãûc
xáy dỉûng cạc biãøu tỉåüng trỉûc quan.
+Trãn cå såí phán têch täøng håüp de tim cac moi lien he
cua cac yeu to hinh hoc thong qua cạc biãøu tỉåüng trỉûc quan
,hçnh thnh nãn sỉû diãùn âảt bàòng "ngän ngỉỵ" ta âäü
Âãø lm r âiãưu ny, täi xin minh ha bàòng bi
toạn :
Tçm khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo nhau AB v CD.
a.TÄØNG HÅÜP CẠC HỈÅÏNG GII QUÚT:
Khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo nhau AB v
CD âỉåüc xạc âënh bàòng cạc cạch sau:
Cạch 1: Khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo nhau
AB v CD bàòng âäü di ca âoản thàóng MN, våïi MN l
âỉåìng vng gọc chung ca AB v CD (hçnh 1)
Cạch 2: Khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo nhau
AB v CD bàòng khong cạch tỉì mäüt trong hai âỉåìng thàóng
âọ tåïi màût phàóng âi qua âỉåìng thàóng thỉï hai v song
song våïi âỉåìng thàóng thỉï nháút (hçnh 2).
Cạch 3: Khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo nhau
AB v CD bàòng khong cạch giỉỵa hai màût phàóng song song
láưn lỉåüt chỉïa hai âỉåìng thàóng âọ (hçnh 3).
11
Hçnh 2 Hçnh 3
Hçnh 1
A M
B
C


N

D

A K
B
C D H p
P
C D F
Q
E
A B
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
Cạc cạch xạc âënh nãu trãn
âỉåüc phạt biãøu bàòng "ngän ngỉỵ"
hçnh hc täøng håüp ph håüp våïi
biãøu tỉåüng trỉûc quan tỉång ỉïng
thãø hiãûn trãn cạc mä hçnh 1, 2, 3.
PHỈÅNG PHẠP TA ÂÄÜ
Viãûc xạc âënh khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng
chẹo nhau AB v CD bàòng PPTÂ cọ thãø tiãún hnh theo
hỉåïng chuøn trỉûc tiãúp cạch xạc âënh diãùn âảt bàòng
"ngän ngỉỵ" hçnh hc thong thuong ra "ngän ngỉỵ" ta âäü
nhåì sỉí dủng cạc biãøu tỉåüng trỉûc quan hçnh thnh trãn
cå såí phán têch täøng håüp cạc hçnh 1, 2, 3.Cu the la :

ÅÍ hçnh 1: Âỉåìng thàóng MN vng gọc våïi AB v CD, do
váûy MN ⊥ mp (R) song song AB v CD, k hiãûu ∆ l âỉåìng
thàóng vng gọc våïi mp (R) thç MN // ∆, nghéa l âỉåìng
thàóng MN cọ phỉång hon ton xạc âënh.

Âãø tênh âäü di âoản thàóng MN ta
tçm cạch xạc âënh âỉåìng thàóng MN l
âỉåìng vng gọc chung ca hai âỉåìng
thàóng chẹo nhau AB v CD (hçnh 4).
Sỉí dủng kiãún thỉïc â biãút vãư âỉåìng thàóng kãút
håüp våïi sỉû phan tich hçnh 4 ta cọ âỉåüc cạc biãøu tỉåüng
khạc nhau vãư cạc cạch xạc âënh âỉåìng thàóng trong khäng
gian "Âỉåìng thàóng âỉåüc xạc âënh båíi hai màût phàóng;
Âỉåìng thàóng xạc âënh båíi mäüt âiãøm v vng gọc våïi
mäüt màût phàóng hay song song våïi mäüt âỉåìng thàóng. Âỉåìng
thàóng xạc âënh båíi hai âiãøm phán biãût.
Âãø lm r vai tr "chè dáùn" ca biãøu tỉåüng trỉûc
quan, trong mäùi cạch gii sau, trỉåïc hãút toi xin âỉåüc
nãu biãøu tỉåüng trỉûc quan sau âọ l näüi dung cạch gii
bàòng PPTÂ.
K hiãûu cạc vectå chè phỉång ca cạc âỉåìng thàóng
AB, CD v ∆ tỉång ỉïng l
c,b,a
våïi
c
= [
b,a
]. Âäü di MN
cọ thãø tênh bàòng cạc cạch sau:

12
Hçnh 4
A M
B
C


N

D

C

A'

B'

D

R

∆

SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
* Caùch 1:
Bióứu tổồỹng trổỷc quan: ổồỡng thúng MN laỡ giao
tuyóỳn cuớa mỷt phúng chổùa AB song song vaỡ mỷt phúng
chổùa CD song song .
Nọỹi dung caùch giaới bũng PPT:
+Lỏỷp phổồng trỗnh mp () chổùa A coù cỷp vectồ chố
phổồng
c,b
.
+Hóỷ hai phổồng trỗnh mp () vaỡ mp () laỡ phổồng trỗnh
õổồỡng thúng MN.
+Toỹa õọỹ caùc õióứm M vaỡ N laỡ nghióỷm cuớa caùc hóỷ

phổồng trỗnh gọửm phổồng trỗnh õổồỡng thúng MN tổồng ổùng
vồùi phổồng trỗnh caùc õổồỡng thúng AB vaỡ CD.
* Caùch 2:
Bióứu tổồỹng trổỷc quan: Xaùc õởnh mp (R) song song vồùi
AB, CD, veợ õổồỡng thúng mp (R); Xaùc õởnh mp () chổùa
AB song song vồùi , N laỡ giao õióứm cuớa õổồỡng thúng CD
vồùi mp (). ổồỡng thúng MN xaùc õởnh bồới õióửu kióỷn õi
qua õióứm N song song vồùi ().
Nọỹi dung caùch giaới bũng PPT: Lỏỷp phổồng trỗnh mp
() chổùa coù cỷp vectồ chố phổồng
a
vaỡ
c
. Tỗm toỹa õọỹ
giao õióứm N cuớa õổồỡng thúng CD vồùi mp (). Lỏỷp phổồng
trỗnh õổồỡng thúng MN õi qua N coù vectồ chố phổồng laỡ vectồ
c
. Xaùc õởnh M laỡ giao õióứm cuớa õổồỡng thúng MN vaỡ õổồỡng
thúng AB.
* Caùch 3:
Bióứu tổồỹng trổỷc quan: M thuọỹc õổồỡng thúng AB, N
thuọỹc õổồỡng thúng CD. ổồỡng thúng MN vuọng goùc AB vaỡ
CD.
Nọỹi dung caùch giaới bũng PPT: Lỏỷp phổồng trỗnh tham
sọỳ t
1
, t
2
cuớa caùc õổồỡng thúng AB vaỡ CD. Xaùc õởnh toỹa
õọỹ M thuọỹc AB theo t

1
, xaùc õởnh toỹa õọỹ N thuọỹc CD theo
t
2
. Tờnh toỹa õọỹ vectồ
MN
. Bióứu dióựn õióửu kióỷn MN AB,
MN CD dổồùi daỷng toỹa õọỹ õóứ tờnh t
1
, t
2
tổỡ õoù tờnh õổồỹc
toỹa õọỹ caùc õióứm M, N vaỡ tờnh õổồỹc khoaớng caùch giổợa
hai õióứm M vaỡ N.
* hỗnh 2:
Bióứu tổồỹng trổỷc quan: MN bũng khoaớng caùch tổỡ
õổồỡng thúng AB tồùi mp (P) chổùa CD song song vồùi AB.
Nọỹi dung caùch giaới bũng PPT:
+Lỏỷp phổồng trỗnh mp (P) chổùa CD song song vồùi AB.
+Choỹn K thuọỹc AB.
+Lỏỷp cọng thổùc tờnh khoaớng caùch tổỡ K tồùi mp (P).
* hỗnh 3:
Bióứu tổồỹng trổỷc quan: MN bũng khoaớng caùch giổợa
hai mỷt phúng song song: mp (P) chổùa CD song song vồùi AB
vaỡ mp (Q) chổùa AB song song vồùi CD.
Nọỹi dung caùch giaới bũng PPT:
13
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
+Lỏỷp phổồng trỗnh mp (P) chổùa CD song song vồùi AB.
+Lỏỷp phổồng trỗnh mp (Q) chổùa AB song song vồùi CD.

Lỏỷp cọng thổùc tờnh khoaớng caùch giổợa hai mỷt phúng song
song laỡ mp (P) vaỡ mp (Q).
*
* * *
Túm li , theo ý kin ch quan ca cỏ nhõn tụi thỡ quy trỡnh gii mt bi toỏn hỡnh
hc khụng gian bng PPT cú th gm cỏc bc c bn sau :
*Xõy dng mt h tr trc ta khụng gian Oxyz thớch hp v thun li trong vic
biu din ta ca cỏc im v cỏc vect cú liờn quan trong vic gii quyt ni dung chớnh
ca bi toỏn .
*Phõn tớch bi chuyn cỏc gi thit ,yờu cu t ngụn ng hỡnh hc thụng thng
qua ngụn ng ta thụng qua cỏc biu tng trc quan ó c hỡnh thnh trc ú.õy l
bc quan trng ,l dn ý ca ni dung gii bng PPT.
*Vn dng cỏc kin thc ca PPT trong khụng gian (nhu vit PT ng thng ,mt
phng ,ta im v vect, tớnh din tớch tam giỏc, th tớch t din v th tớch hỡnh hp , cỏc
v trớ tng i , cỏc cụng thc tớnh gúc v khong cỏch .) vo vic hon chnh cỏc ni
dung ó t ra trờn.
III.CC V D MINH HA :
Sau õy l mt s bi toỏn HHKG cdựng PPT( hoc phi hp cựng
PPHH thụng thng ) gii quyt .
Baỡi toaùn 1:
Cho hỗnh họỹp chổợ nhỏỷt
ABCD.A'B'C'D' coù AB = a, BC
= b, CC' = c. Tờnh khoaớng
caùch giổợa hai õổồỡng thúng
BC' vaỡ CD'.
Lồỡi giaới:
Choỹn hóỷ toỹa õọỹ Oxyz, vồùi C B,
truỷc Ox, Oy, Oz tổồng ổùng laỡ :
BA, BC, BB'. Ta coù B (0, 0, 0) ;
C' = (0, b, c); C = (0, b, 0); D' = (a, b, c);

)c,0,a('CD;)c,b,0('BC ==
Mat phang () laỡ mt phngi qua C va coù cỷp vectồ chố
phổồng laỡ
'BC
vaỡ
'CD
nón coù mọỹt vectồ phaùp tuyóỳn laỡ n
= [ BC,CD ] = (bc , ac , -ab)
Vỗ vỏỷy mp () coù phổồng trỗnh laỡ: (): bcx + acy - abz
- abc = 0.
Khoaớng caùch giổợa BC' vaỡ CD' bũng khoaớng caùch tổỡ B
tồùi mp ().
d(B,()) =
222222
accbba
|abc|
++

=
222222
accbba
abc
++
Baỡi toaùn 2:
14
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
Cho mäüt làng trủ tam giạc
âãưu ABC.A'B'C' cọ táút c cạc
cảnh âãưu bàòng a. Hy tênh khong
cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng A'B v

B'C.
Låìi gii:
V BB
1
// B'C, v B'K ⊥ A'B
1
Theo gi thiãút B'B ⊥ (A'B'C')
⇒ B'B ⊥ A'B
1
nãn (B'BK) ⊥ (BA'B
1
) (1),
v B'H ⊥ BK (2)
Tỉì (1) v (2): B'H ⊥ (BA'B
1
)
Do (BA'B
1
) // B'C nãn
khong cạch giỉỵa hai âỉåìng
thàóng B'C v BA' bàòng khong
cạch tỉì B' tåïi mp (BA'B
1
) tỉïc
l bàòng B'H.
Xẹt hãû ta âäü Oxyz våïi
O ≡ B'; trủc Ox trng våïi
B'B
1
, Oy ⊥ B'B

1
, trủc Oz trng
våïi B'B.
Ta cọ B'(0, 0, 0) ; B(0, 0, a) ; A' = (
2
3a
;a
2
1 −
−
, 0)
C(-a, 0, a) ;
C'B
= (-a, 0, a);
B'A
= (
2
3a
;a
2
1 −
, a)
Gi (α) l màût phàóng chỉïa B' cọ càûp vectå chè
phỉång l
C'B
,
B'A
⇒ (α) cọ mäüt vectå phạp tuún l :
n = (
3;3;3

).

Gi (β) l màût phàóng chỉïa B cọ càûp vectå chè phỉång
l
C'B
,
B'A
⇒ mp(β)//mp(α) nãn (β) χυνγ cọ mäüt vectå phạp
tuún l n
Phỉång trçnh màût phàóng (α) va mp (β) :
mp (α) :
z3y3x3 ++
= 0
mp (β) :
z3y3x3 ++
-
3a
= 0
Vi mp (α) // mp (β)nãn khong cạch giỉỵa B'C v A'B
bàòng khong cạch giỉỵa hai mp (α) v mp (β).Tuc la :
d((α), (β)) =
5
5a
5
a
)3(3)3(
|3a|
222
==
++

−
BI 3: Cho gọc tam diãûn vng Oxyz. Trãn Ox,
Oy,Oz láúy láưn lỉåüt cạc âiãøm A, B, C cọ OA = a, OB =
B, OC = c (a, b, c > 0).
1) C/m ràòng tam giạc ABC cọ ba gọc nhn.
2) Gi H l trỉûc tám ca tam giạc ABC. Hy
tênh OH theo a, b, c.
15
z
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
3) C/m rũng bỗnh phổồng dióỷn tờch tam giaùc ABC
bũng tọứng bỗnh phổồng dióỷn tờch caùc mỷt coỡn
laỷi cuaớ tổù dióỷn OABC.
(H An Ninh - Khọỳi D)
Giaới:1.Theo õởnh lyù cosin ta coù: cosA=
ACAB
BCACAB
.2
222
+
=
( ) ( )
ACAB
cbcaba
.2
)(
222222
++++
=
ACAB

a
.2
2
2
>0 =>
A

nhoỹn
Tổồng tổỷ cuợng chổùng minh õổồỹc
CB

,

õóửu nhoỹn
2.ổa vaỡo hóỷ toaỷ õọỹ óử caùc vuọng goùc
Oxyz : O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;b;0)
C(0;0;c)
H laỡ trổỷc tỏm cuớa
HABC
laỡ giao õióứm cuớa
2 õổồỡng cao AK,CI
Theo õởnh lyù ba õổồỡng vuọng goùc ,ta coù:
AB

OI,BC

AK=> AB

mp (COI),
BC


mp(AOK) => AB

OH,BC

OH
=>OH

mp(ABC) .Tổỡ õoù OH laỡ khoaớng
caùch tổỡ O õóỳn mp (ABC).
Ta coù phổồng trỗnh cuớa mp(ABC) laỡ:
0
1
=++
=++
abcabzacybcx
c
z
b
y
a
x
Vỏỷy OH =
222222222222
000
accbba
abc
bacacb
abc
++

=
++
++
3.Ta coù S
OAB
=
2
1
ab ;S
OBC
=
2
1
bc;S
OCA
=
2
1
ac
S
2
OAB
+S
2
OBC
+S
2
OCA
=
( )

222222
4
1
accbba ++
Ta coù V
OABC
=
ABC
SOH
ab
c .
3
1
2
.
3
1
=
)(
4
1
4
1
.
4
1
222222
2
222
2

22222
accbba
OH
cba
S
SOHcba
ABC
ABC
++==
=
Tổỡ õoù:

2222
OCAOBCOABABC
SSSS ++=
(õpcm)
BAèI 4: Cho hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
, bióỳt baùn kờnh hỗnh
cỏửu nọỹi tióỳp trong tổù dióỷn ACB
1
D
1
laỡ r.

Tờnh dióỷn tờch toaỡn phỏửn cuớa tổù dióỷn ACB
1
D
1
vaỡ
thóứ tờch hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.
(HY Thaùi Bỗnh)
Giaới :
ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
laỡ hỗnh lỏỷp phổồng
nón tỏm I cuớa hỗnh cỏửu nọỹi tióỳp
trong tổù dióỷn ACB
1
D
1

laỡ giao õióứm
16
C
K
B
y
A
x
O
H
I
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
caùc õổồỡng cheùo cuớa hỗnh lỏỷp
phổồng.
ổa vaỡo hóỷ toỹa õọỹ óử caùc
vuọng goùc Dxyz : gọỳc taỷi D(0; 0; 0),
A(a; 0; 0), C(0; a; 0) , D
1
(0; 0; a),
trong õoù seợ tờnh a theo r sau. Khi
õoù coù I






2
a
;

2
a
;
2
a
vaỡ mỷt phúng (ACD
1
)
coù phổồng trỗnh :
a
z
a
y
a
x
++
= 1 x + y + z - a = 0
Ta coù r laỡ khoaớng caùch tổỡ I õóỳn mỷt phúng (ACD
1
)
r =
32a
32
a
111
a
2
a
2
a

2
a
222
==
++
++
r
Dóự nhỏỷn thỏỳy rũng 4 mỷt cuớa tổù dióỷn laỡ 4 tam
giaùc õóửu bũng nhau coù caỷnh laỡ
r622a =
, suy ra dióỷn
tờch mọựi tam giaùc õoù bũng :

2
r36r62
2
3
.r62
2
1
=








Vỏỷy dióỷn tờch toaỡn phỏửn cuớa tổù dióỷn ACB

1
D
1
laỡ :
S =
2
r36
x 4 =
2
r324
Thóứ tờch hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
laỡ : V = a
3
= (
3
)r62
=
3
r648
BAèI 5 : Cho hỗnh lỏỷp phổồng ABCD. A'B'C'D' vồùi caỷnh bũng
a. Giaớ sổớ M vaỡ N lỏửn lổồỹt laỡ trung õióứm cuớa BC
vaỡ DD'.
1/ C/m rũng MN song song vồùi mỷt phúng (A'BD).

2/ Tờnh khoaớng caùch giổợa hai õổồỡng thúng BD vaỡ MN
theo a. (H Ngoaỷi thổồng HCM - Khọỳi A, B)
Giaới :
17
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
ổa vaỡo hóỷ toỹa õọỹ óử caùc Axyz : A(0; 0; 0) ,
B(a; 0; 0) , D(0; a; 0), A'(0; 0; a)
1/ Mỷt phúng (A'BD) coù phổồng trỗnh :

1
a
z
a
y
a
x
=++
x + y + z - a = 0
vaỡ coù vectồ phaùp tuyóỳn
n
= (1; 1; 1)
Ta coù : M(a ;
2
a
; 0) , N(0; a;
2
a
)
MN
= (-a;

2
a
;
2
a
) =
2
a
(-2, 1, 1)
Tổỡ õoù
MN.n
=
2
a
[(-2). 1 + (1).1 + (1).1] = 0
Vỏỷy MN song song vồùi mỷt phúng (A'BD)
2/ MN // mp (A'BD), mp (A'BD) chổùa BD nón khoaớng caùch
giổợa hai õổồỡng thúng BD vaỡ MN bũng khoaớng caùch tổỡ mọỹt
õióứm bỏỳt kỗ thuọỹc MN õóỳn mp (A'BD), khoaớng caùch õoù laỡ:
d = d(M, (A'BD)) =
6
3a
111
a0
2
a
a
222
=
++

++
BAèI 6: Cho tổù dióỷn SABC coù SC = CA = AB =
2a
. SC (ABC),
tam giaùc ABC vuọng taỷi A, caùc õióứm M thuọỹc SA vaỡ N thuọỹc
BC sao cho AM = CN = t (0 < t , 2a)
a) Tờnh õọỹ daỡi õoaỷn thúng MN.
b) Tỗm giaù trở cuớa t õóứ õoaỷn MN ngừn nhỏỳt.
c) Khi õoaỷn thúng MN ngừn nhỏỳt, chổùng minh MN laỡ
õổồỡng vuọng goùc chung cuớa BC vaỡ SA.
(H aỡ Nụng - Khọỳi A)
Giaới :
ổa vaỡo hóỷ toỹa õọỹ óử caùc
vuọng goùc Axyz, Az // SC A(0; 0;
0), C(
2a
; 0; 0), B(0;
2a
; 0) ,
S(
2a
; 0;
2a
)
a) Dóự daỡng tờnh õổồỹc M (
2
2t
; 0 ;
2
2t

),
N(
2a
-
2
2t
;
2
2t
; 0)
Tổỡ õoù MN
2
= (
2a
-
2t
)
2
+
2
t
2
+
2
t
2
= 3t
2
- 4at +
2a

2

18
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
MN =
22
a2at4t3 +
b) MN ngừn nhỏỳt MN
2
õaỷt giaù trở nhoớ nhỏỳt
t =
3
a2
3.2
a4
=
c) Khi t =
3
a2
(MN ngừn nhỏỳt) ta coù
AM
= (
3
2a
; 0 ;
3
2a
) =
3
2a

(1; 0; 1)
CN
= (-
3
2a
;
3
2a
; 0) =
3
2a
(-1; 1; 0)
MN
= (
3
2a
;
3
2a
; -
3
2a
) =
3
2a
(1 ; 1; -1)
Tổỡ õoù ta coù :
AM
.
MN

=
9
a2
2
[1.1 + 0.1 + 1.(-1)] = 0
CN
.
MN
=
9
a2
2
[(-1). 1 + 1.1 + 0(-1)] = 0
Vỏỷy MN SA, MN CB (õpcm)

BAèI 7: Cho tổù dióỷn OABC coù caùc caỷnh OA, OB, OC õọi mọỹt
vuọng goùc vồùi nhau vaỡ OA = OB = OC = a. Kờ hióỷu K, M, N
lỏửn lổồỹt laỡ trung õióứm cuớa caùc caỷnh AB, BC, CA.
Goỹi E laỡ õióứm õọỳi xổùng cuớa O qua K vaỡ I laỡ giao
õióứm cuớa CE vồùi mỷt phúng (OMN).
1/ Chổùng minh CE vuọng goùc vồùi mỷt phúng (OMN).
2/ Tờnh dióỷn tờch cuớa tổù giaùc OMIN theo a.
(H Huóỳ - Khọỳi A, V, B)
Giaới :
ổa vaỡo hóỷ truỷc toỹa õọỹ óử
caùc vuọng goùc Oxyz : O(0; 0; 0) ,
A(0; 0; a), B(a; 0; 0), C(0; a; 0)
K(
2
a

; 0;
2
a
), M(
2
a
;
2
a
; 0), N(0;
2
a
;
2
a
), E(a; 0; a)
1/
OM
= (
2
a
;
2
a
; 0) ,
ON
=
(0;
2
a

;
2
a
)

CE
= (a; -a; a) = a(1;
-1; 1)
19
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
Vectồ phaùp tuyóỳn cuớa mp (OMN) laỡ
n
= [
OM
,
ON
] = (
4
a
2
; -
4
a
2
;
4
a
2
)
=

4
a
2
(1; -1; 1) =
4
a
.
CE
Vỏỷy CE mp (OMN)
2/ mp (OMN) coù phổồng trỗnh : x - y + z = 0
ổồỡng thúng CE coù phổồng trỗnh :
1
z
1
ay
1
x
=


=
Toỹa õọỹ giao õióứm I cuớa CE vaỡ mp (OMN) laỡ nghióỷm
cuớa hóỷ :
x - y + z = 0
1
z
1
ay
1
x

=


=
Tổỡ õoù :
IM
= (
6
a
;-
6
a
; -
3
a
) =
6
a
(1; -1; -2)
IN
= (-
3
a
; -
6
a
;
6
a
) =

6
a
(-2; -1; 1)
Vỏỷy dióỷn tờch tổù giaùc OMIN laỡ :
S
OMIN
= S
OMN
+ S
MIN
=
2
1
|[
ON,OM
]| +
2
1
|[
IM
,
IN
]|
=
6
3a
333
72
a
111

8
a
2
222
2
222
2
=+++++
BAèI 8: Cho hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
coù caùc caỷnh bón AA
1
,
BB
1
, CC
1
, DD
1
, vaỡ õọỹ daỡi caỷnh AB = a. Cho caùc õióứm
M, N trón caỷnh CC
1
sao cho CM = MN = NC
1

. Xeùt mỷt cỏửu
(K) õi qua 4 õióứm A, B
1
, M vaỡ N.
a) Chổùng minh rũng caùc õốnh A
1
vaỡ B thuọỹc mỷt cỏửu
(K).
b) Tờnh õọỹ daỡi cuớa baùn kờnh mỷt cỏửu (K) theo a.
(H An Giang - Khọỳi A, B)
Giaới :
ổa vaỡo hóỷ toỹa õọỹ óử caùc
vuọng goùc, õỷt gọỳc taỷi A, AB
trón Ay, AD trón Ax, AA
1
trón Az.
Goỹi I laỡ tỏm mỷt cỏửu (K).
Khi õoù I thuọỹc giao õióứm cuớa ba
mỷt phúng trung trổỷc cuớa MN, AB
1
,
AM.
Dóự nhỏỷn thỏỳy mỷt phúng
trung trổỷc cuớa MN laỡ Z =
2
a
(do
CC
1
// A

1
A)
20
I(
)
3
a
;
3
a2
;
3
a
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
Ta coù B
1
(0; a; a), do õoù AB
1
laỡ :
0(x - 0) + a(y -
2
a
) + a(z -
2
a
) = 0 y + z - a =
0
ióứm M coù toỹa õọỹ M(a; a;
3
a

), do õoù AM coù vectồ chố
phổồng
AM
= (a; a;
3
a
)
phổồng trỗnh mỷt phúng trung trổỷc cuớa AM laỡ :
a(x -
2
a
) + a(y -
2
a
) +
3
a
(z -
6
a
) = 0 x + y +
3
1
z -
18
a19
= 0
Vỏỷy toỹa õọỹ cuớa I laỡ nghióỷm cuớa hóỷ :
z =
2

a

y + z - a = 0
x + y +
3
1
-
18
a19
= 0
a) A
1
coù toỹa õọỹ A
1
(0; 0; a) IA
1
=
222
2
a
2
a
18
a7







+






+






= IA
B coù toỹa õọỹ B(0; a; 0) IB =
222
2
a
2
a
18
a7






+







+






= IA
Vỏỷy A
1
, B thuọỹc mỷt cỏửu (K)
b) Baùn kờnh mỷt cỏửu (K) laỡ IA =
222
2
a
2
a
18
a7







+






+






=
18
211a
Baỡi 9 : Cho hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.ABCD coù caỷnh bũng
a(a>0).
1.Tờnh goùc vaỡ khoaớng caùch giổợa hai õổồỡng thúng AD
,DC.
2.Goỹi M laỡ trung õióứm cuớa BC ,I laỡ tỏm cuớa mỷt bón
CDDC.Tờnh dióỷn tờch cuớa thióỳt dióỷn taỷo bồới mỷt
phúng (AMI) vaỡ hỗnh lỏỷp phổồng.
Giaới:
Xỏy dổỷng hóỷ toaỷ õọỹ nhổ hỗnh veợ:
1.Tờnh chỏỳt hỗnh lỏỷp phổồng cho ta:
C(a;a;0),C(a;a;a),D(0;a;a)
21

I(
18
a7
;
2
a
;
2
a
)
A
B
C
D
A
B C
D
P
I
N
Mx
y
z
K
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
);0;(');;;0(' aaDCaaAD ==
rr
Goỹi

laỡ goùc giổợa AD vaỡ DC.

Ta coù
0
2
2
60
2
1
2
cos ===

a
a
2.Ta coù : M(a;
2
1
a;0) ,I(
2
1
a;a;
2
1
a)
[ ]
)3;2;1(
4
)
4
3
;
2

;
4
(,
)
2
;;
2
(),0;
2
;(
2222
==
==
aaaa
IAMA
a
a
a
IA
a
aMA
rr
rr
)3;2;1( = n
r
laỡ mọỹt phaùp vectồ cuớa (AMI)
=>(AMI) : x - 2y + 3z = 0
(AMI) cừt CC : x=y=a taỷi õióứm N(a;a;
3
1

a)
vaỡ cừt DD :



=
=
ay
x 0
taỷi õióứm P(0;a;
3
2
a)
Thióỳt dióỷn laỡ tổù giaùc AMNP coù dióỷn tờch: S=S
AMN
+S
ANP
Vồùi
)
3
;;(),0;
2
;(
a
aaNA
a
aMA ==
rr
[ ]
12

14
36
14
4936
,
2
4444
2
a
S
aaaa
ANMA
AMN
=
=++=
r
[ ]
6
14
9
14
9
4
9
,)
3
2
;;0(
2
4

4
44
2
aS
a
a
aa
PANA
a
aPA
ANP
=
=++==
rrr
vỏỷy dióỷn tờch AMNP laỡ S =
4
14
6
14
12
14
222
aaa
=+

Di õy l mt s toỏn cng cú th gii bng PP ta , dựng lm ti liu
hc sinh luyn tõp :
BAèI 1: Cho hỗnh choùp tổù giaùc S.ABCD coù õaùy ABCD laỡ hỗnh
thang vuọng taỷi caùc õốnh A vaỡ D. Bióỳt rũng AB = 2a, AD =
CD = a (a > 0). Caỷnh bón SA = 3a vuọng goùc vồùi õaùy.

1) Tờnh dióỷn tờch tam giaùc SBD theo a.
2) Tờnh thóứ tờch tổù dióỷn SBCD theo a.
(H Dỏn lỏỷp ọng ọ - Khọỳi A, V)
BAèI 2: Cho hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.A'B'C'D' coù caỷnh bũng a. Hai
õióứm M, N chuyóứn õọỹng trón hai õoaỷn thúng BD vaỡ B'A tổồng
ổùng sao cho BM = B'N = t. Goỹi vaỡ lỏửn lổồỹt laỡ caùc goùc
taỷo bồới õổồỡng thúng MN vồùi caùc õổồỡng thúng BD vaỡ B'A.
1) Tờnh õọỹ daỡi õoaỷn MN theo a vaỡ t. Tỗm t õóứ õọỹ daỡi MN
õaỷt giaù trở nhoớ nhỏỳt.
2) Tờnh vaỡ khi õọỹ daỡi õoaỷn MN õaỷt giaù trở nhoớ nhỏỳt.
22
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
3) Trong trỉåìng håüp täøng quạt, chỉïng minh hãû thỉïc:
cos
2
α + cos
2
β =
2
1

(ÂHSP Vinh - Khäúi D, M, T)
BI 3: Cho hçnh láûp phỉång ABCD.A'B'C'D' cọ cảnh bàòng a.
Trãn AB láúy âiãøm M, trãn CC' láúy âiãøm N, trãn D'A'
láúy âiãøm P sao cho AM = CN = D'P = x (0 ≤ x ≤ a).
Chỉïng minh ràòng tam giạc MNP l tam giạc âãưu. Tênh
diãûn têch tam giạc MNP theo a v x. Tçm x âãø diãûn têch
áúy nh nháút khi x =
2
a

, hy tênh thãø têch khäúi tỉï diãûn
B'MNP v tênh bạn kênh màût cáưu ngoải tiãúp tỉï diãûn áúy.
(ÂH Hng Hi - Khäúi A)
BI 4: Cho hçnh häüp chỉỵ nháût ABCD.A'B'C'D' våïi AB = a, BC =
b, AA' = c.
1) Tênh diãûn têch tam giạc ACD' theo a, b, c.
2) Gi sỉí M v N láưn lỉåüt l trung âiãøm ca AB
v BC. Hy tênh thãø têch ca tỉï diãûn D'DMN theo a, b, c.
(HV Quan hãû Qúc tãú - Khäúi D)
BI 5: Cho hçnh häüp chỉỵ nháût ABCD. A'B'C'D' (AA', BB',
CC', DD' song song v AC l âỉåìng chẹo ca hçnh chỉỵ
nháût ABCD) cọ AB = a, AD = 2a, AA' =
2a
; M l mäüt âiãøm
thüc âoản AD, K l trung âiãøm ca B'M.
1/ Âàût AM = m (0 ≤ m < 2a). Tênh thãø têch khäúi tỉï
diãûn A'KID theo a v m, trong âọ I l tám ca hçnh häüp.
Tçm vë trê ca âiãøm M âãø thãø têch âọ âảt giạ trë låïn
nháút.
2/ Khi M l trung âiãøm ca AD :
a) Hi thiãút diãûn ca hçnh häüp càõt båíi màût phàóng
(B'CK) l hçnh gç ? Tênh diãûn têch âọ theo a.
b) Chỉïng minh ràòng âỉåìng thàóng B'M tiãúp xục våïi
màût cáưu âỉåìng kênh AA'
(ÂHSP H Näüi (Khäúi B, M, T))
BI 6: Cho hçnh häüp chỉỵ nháût ABCD. A'B'C'D' cọ AB = a,
AD = 2a, AA' = a
1/ Tênh khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng AD' v B'C.
2/Gi M l âiãøm chia trong âoản AD theo tè säú
MD

AM
= 3
Hy tênh khong cạch tỉì âiãøm M âãún màût phàóng (AB'C.
3/ Tênh thãø têch tỉï diãûn AB'D'C
( Học viện Cơng nghệ - Bưu chính Viễn Thơng )
23
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
C. BI N PHẠP TI N HNH V HI U QUA A T ÃÛ ÃÚ ÃÛ Í Â Û
Ỉ ÜCÂ Å
I. BIÃÛN PHẠP TIÃÚN HNH
Chỉång “ Phỉång phạp toả âäü trong khäng gian “ l
chỉång cúi ca sạch Hçnh hc 12, kãút thục viãûc hc
bäü män hçnh hc ca báûc PTTH, nhàòm trang bë thãm cho hc
sinh mäüt phỉång phạp âãø nghiãn cỉï u Hçnh hc khäng gian,
trong âọ cọ mäüt ạp dủng l gii cạc bi toạn Hçnh
hc khäng gian m cạc em â âỉåüc hc åí nàm 11. Thỉûc
tãú cho tháúy âáy l váún âãư khọ âäúi våïi hc sinh. Do
váûy, tu thüc vo âiãưu kiãûn ging dảy, kh nàng
tiãúp thu ca âäúi tỉåüng hc sinh, mủc âêch ca mäüt
tiãút ging củ thãø m cọ sỉû váûn dủng mãưm do v
thêch håüp.
Qua thỉûc tãú ging dảy, täi â tiãún hnh nhỉ
sau :
* Âäúi våïi mäüt bøi bäưi dỉåỵng toạn theo chun
âãư cho hc sinh cọ kh nàng hc toạn, cọ k nàng
váûn dủng cạc kiãún thỉïc â âỉåüc hc mäüt cạch linh
hoảt vo gii toạn :
1, Ra âãư bi táûp cho hc sinh chøn bë trỉåïc åí
nh, khuún khêch hc sinh tçm låìi gii bàòng PPTÂ
song song våïi låìi gii bàòng PP thäng thỉåìng ca låïp

11, qua âọ cạc em s cọ sỉû so sạnh v tỉû tháúy
âỉåüc thãú mảnh ca PP ny.
2, Trong bøi hc bäưi dỉåỵng, cho HS trçnh by
tỉåíng suy nghé m nhåì âọ â tçm ra låìi gii cng
nhỉ nhỉỵng càn cỉï âãø xáy dỉûng nãn hãû toả âäü. Cng
mäüt bi toạn, tỉång ỉïng våïi nhỉỵng cạch xáy dỉûng
hãû toả âäü khạc nhau thç cạc kãút qu trung gian
lải khạc nhau, nhỉng cúi cng âãưu âảt âỉåüc mủc
âêch âãư ra ! Âiãưu ny gáy nãn sỉû thêch thụ v cọ
tạc dủng kêch thêch sỉû tçm ti ca cạc em
Trong cạc vê dủ täi nãu trãn thç cạc vê dủ nhỉ : Bi
toạn 2 ( trang 19 ), bi toạn 4 ( trang 21 ), bi toạn 6
( trang 22 ), bi toạn 7 ( trang 23 ), bại táûp 5 ( vê dủ
tỉû gii trang 27 ) l cạc vê dủ täút dng cho viãûc Bäưi
dỉåỵng hc sinh.
* Âäúi våïi mäüt tiãút dảy trong chỉång trçnh : Tu
thüc vo näüi dung âang truưn âảt âãø âỉa váún âãư
ny vo mäüt cạch ph håüp v vỉìa sỉïc âäúi våïi
hc sinh, vỉìa cọ tạc dủng än kiãún thỉïc c åí låïp
11, vỉìa cọ tạc dủng giụp hc sinh nàõm chàõc v
hiãøu sáu hån näüi dung vỉìa âỉåüc hc, cng nhỉ sỉû
váûn dủng linh hoảt, uøn chuøn ca PP ny, tảo
24
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
nãn sỉû sinh âäüng v hỉïng thụ trong tiãút hc. Chàóng
hản :
+ Khi dảy bi “ Hãû toả âäü Âãưcac vng gọc
trong khäng gian - Toả âäü ca vectå v ca âiãøm “,
cọ thãø âỉa vo bi táûp sau :
“ Cho hçnh láûp phỉång ABCD. A’B’C’D’ cọ âäü di

cảnh a. Hy xáy dỉûng mäüt hãû toả âäü vng gọc Oxyz
cọ gäúc l mäüt âènh, cn cạc trủc nàòm trãn cạc
cảnh ca hçnh láûp phỉång âọ. Tỉì âọ tçm toả âäü cạc
âènh v toả âäü cạc vectå AB, AC, AC’, BD’, “
+ Khi dảy bi “ Khong cạch “ , cọ thãø sỉí
dủng bi toạn 1( trang 18 ), hồûc cọ thãø âỉa bi
toạn 1 ( trang 26 , pháưn vê dủ hc sinh tỉû gii )
vo pháưn “ p dủng têch cọ hỉåïng 2 vectå vo viãûc
tênh diãûn têch tam giạc, thãø têch tỉï diãûn , “
II. CẠC HIÃÛU QU Â ÂẢT ÂỈÅÜC
Qua thỉûc tãú ging dảy ca mçnh, nhỉỵng âiãưu täi
â thỉûc hiãûn nhỉ â nãu åí trãn cng â cọ mäüt säú
tạc dủng nháút âënh âäúivåïi hc sinh, củ thãø l :
1, Hc sinh cọ sỉû ch âäüng v têch cỉûc hån
trong hoảt âäüng gii toạn ( khi phi tỉû xáy dỉûng
hãû toả âäü, räưi gii quút bi toạn bàòng cäng củ
ca PP toả âäü ), büc cạc em phi tỉ duy, phi
“ âäüng no “ , khäng thủ âäüng “ ngäưi chåì “ kãút
qu tháưy âỉa ra.
2, Viãûc âỉa cạc vê dủ gii toạn HHKG bàòng PPTÂ
vo cạc tiãút dảy ( d chè l mäüt pháưn nh v âån
gin ! ) gọp pháưn lm hc sinh nàõm vỉỵng kiãún thỉïc
hån v hiãøu củ thãø hån vãư PP toả âäü trong khäng
gian, so våïi nhỉỵng bi táûp m âãư bi â cho sàơn
toả âäü âiãøm, phỉång trçnh cạc âỉåìng thàóng màût
phàóng nhỉng lải lm cạc em tháúy må häư.
3, Khi mäüt cạch gii â âỉåüc hçnh thnh v
hon chènh, cạc em hc sinh ( nháút l cọ nàng khiãúu
toạn hc ) t ra thêch thụ våïi PP ny. Âiãưu âọ cọ
tạc dủng têch cỉûc trong viãûc khuún khêch cạc em

hc táûp, gọp pháưn rn luûn tỉ duy linh hoảt nọi
riãng v trê tû nọi chung.
4, Qua âáy, täi cng tháúy ràòng viãûc lm ny â
cọ tạc dủng täút trong viãûc än táûp kiãún thỉïc c,
hc sinh dãù nhåï hån so våïi viãûc cho hc sinh än táûp
theo mäüt hãû thäúng mang tênh liãût kã v khn máùu.
25