- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 7
THCS VŨ HỮU KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TOÁN 7
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (490.43 KB, 3 trang )
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
TRƯỜNG THCS VŨ HỮU
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN TOÁN - LỚP 7
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm).
Cho hai đa thức: P(x) = x
2
+ 2xy – x + 1; Q(x) = 3xy + x
2
– 2,5x +
3
2
a) Tìm đa thức R(x), biết R(x) + 2Q(x) = 3P(x)
b) Tìm các nghiệm của đa thức R(x)
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Tìm x, biết: 4
x + 1
– 4
x
= 48
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x 1
A
x
+
=
(Với x ∈
¢
và x
≠
0)
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Tìm x, y, z biết 4x = 3y; 3x = 4z và 2x – y + z = -102
b) Cho M= 3
2012
– 3
2011
+ 3
2010
– 3
2009
+ 3
2008
. Chứng minh rằng M chia hết cho 10
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho ∆ABC có AB > AC. Các tia phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại I. Vẽ
đường vuông góc IH từ I đến đường thẳng BC. Tia AI cắt BC tại D. Chứng minh rằng:
a) IB > IC
b)
·
·
BIH CID=
c) Biết BC = 6cm và AB – AC = 2cm. Tính các độ dài HB, HC
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho a, b, c, d, e, f ∈
*
¥
;
a c e
b d f
> >
và af – be = 1. Chứng minh rằng d > b + f
HẾT
Họ tên thí sinh:……………… …. Số báo danh:……….…………
Chữ kí giám thị 1: ……………… Chữ kí giám thị 2:………….…
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
TRƯỜNG THCS VŨ HỮU
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN TOÁN - LỚP 8
Câu Phần Nội dung Điểm
Câu 1
a
Từ R(x) + 2Q(x) = 3P(x) suy ra R(x) = 3P(x) – 2Q(x) 0.25
Khi đó R(x) = 3(x
2
+ 2xy – x+ 1) – 2(3xy + x
2
– 2,5x +
3
2
) 0.25
= 3x
2
+ 6xy – 3x+ 3 - 6xy - 2x
2
+ 5x - 3 0.25
= x
2
+ 2x 0.25
b
Ta cần tìm x sao cho R(x) = 0. Ta có:
x
2
+ 2x = 0 ⇔ x (x + 2) = 0
0.25
⇔ x = 0 hoặc x + 2 = 0
0.25
⇔ x = 0 hoặc x = -2
0.25
Vậy x = 0; x = -2 là các nghiệm của đa thức R(x) 0.25
Câu 2
a
4
x + 1
– 4
x
= 48
⇔ 4. 4
x
– 4
x
= 48
0.25
⇔ 3. 4
x
= 48
0.25
⇔ 4
x
= 16 ⇔ 4
x
= 4
2
0.25
⇒ x = 2
Vậy x = 2
0.25
b
• Với x∈
¢
, x
≠
0 và x ≤ 1
⇒ x + 1 ≤ 0, mà x > 0 ⇒ A ≤ 0
0.25
• Với x∈
¢
, x
≠
0 và x > -1
⇒ x + 1 > 0 ⇒ A > 0. Khi đó
x 1 x 1 1
A 1
x x x
+ +
= = = +
0.25
Biểu thức A đạt giá trị lớn nhất ⇔
1
x
đạt giá trị lớn nhất ⇔ x có giá trị nhỏ
nhất ⇒ x = 1. Khi đó ta có A = 2.
0.25
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 2 khi = 1 0.25
Câu 3
a
Từ 4x = 3y ⇒
x y
3 4
=
⇒
x y
12 16
=
; (1)
Và từ 3x = 4z ⇒
x z
4 3
=
⇒
x z
12 9
=
(2)
0.25
Từ (1) và (2)
x y z 2x y z
12 16 9 12 16 9
⇒ = = ⇒ = =
0.25
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x y z 2x y z 102
6
24 16 9 24 16 9 17
− + −
⇒ = = = = = −
− +
0.25
Suy ra x = -72; y = -96; z = -54 0.25
b
Ta có M = 3
2008
(3
4
– 3
3
+ 3
2
– 3)
0.25
= 3
2008.
(81 – 27 + 9 – 3)
0.25
= 3
2008
. 60 0.25
= 3
2008
. 6. 10
M
10
Vậy M
M
10
0.25
Câu 4
Vẽ
hình
0.25
GT-
KL
GT
∆ABC, AB > AC
Các phân giác: BI, CI
AI cắt BC tại D; IH ⊥ BC
BC = 6cm; AB – AC = 2 cm
KL a) IB > IC
b)
·
·
BIH CID=
c) Tính HB, HC
0.25
a
∆ABC có AB > AC ⇒
µ µ µ µ
· ·
1 1
C B C B ICB IBC
2 2
> ⇒ > ⇒ >
0.25
∆IBC có
· ·
ICB IBC>
⇒ IB > IC
0.25
b
Vì điểm I là giao điểm của các phân giác xuất phát từ đỉnh B, đỉnh C của
∆ABC nên AI là tia phân giác của góc BAC.
Ta có:
·
µ
A
CAI
2
=
;
·
µ
C
ACI
2
=
;
·
µ
B
HBI
2
=
0.25
∆BIH,
µ
o
H 90=
⇒
·
·
µ
µ
µ µ µ
µ
µ
o o
B A B C B A C
BIH 90 HIB 90
2 2 2 2 2
+ +
= − = − = − = +
(1)
0.25
∆AIC có
·
CID
là góc ngoài tại đỉnh I ⇒
· ·
·
µ
µ
A C
CID CAI ACI
2 2
= + = +
(2)
0.25
Từ (1) và (2) ta có
·
·
BIH CID=
0.25
Câu 5
a
Gọi Mvà N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC
Chứng minh ∆AIM = ∆ AIM (cạnh huyền- goc nhọn) ⇒ AM = AN
Tương tự có: BM = BH; CH = CN
0.25
Khi đó AB – AC = (AM + BM) – (AN + CN) = BM – CN = BH - CH 0.25
Do AB – AC = 2 cm ⇒ BH – CH = 2 cm (1)
Ta lại có BH + CH = BC ⇒ BH + CH = 6 cm (2)
0.25
Từ (1) và (2) suy ra BH = 4 cm; CH = 2 cm 0.25
b
Do a, b, c, d, e, f ∈
*
¥
;
a c e
b d f
> >
nên suy ra ad > bc và cf > de (1)
0.25
Lại do af – be = 1 nên:
d = d.(af – be) = daf – dbe
0.25
= (daf – bcf) + (bcf – dbe) = f( ad – bc) + b(cf- de) (2) 0.25
Từ (1) và (2) ta có d > f + b 0.25
Học sinh làm cách khác, kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
