ĐỀ 62
Bài 1: (1.5 điểm) 1) Thực hiện phép tính:
2 9 3 16+

2) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) x
2
– 20x + 96 = 0

b)
4023
1
x y
x y
+ =


− =


Bài 2: (2.5điểm)
1) Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): y = x + 2
a) Vẽ ( P ) và ( d ) trên cùng một hệ toạ độ Oxy
b) Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của ( P ) và ( d )
2) Trong cùng một hệ toạ độ Oxy cho 3 điểm: A(2;4); B(-3;-1) và C(-2;1). Chứng minh 3
điểm A, B, C không thẳng hàng.
3) Rút gọn biểu thức:
2
1

x x x
M
x x x
−
= +
− −
với
0; 1x x> ≠
Bài 3: (1.5điểm) Hai bến sông cách nhau 15 km. Thơì gian một ca nô xuôi dòng từ bến A đến
bến B, tại bến B nghỉ 20 phút rồi ngược dòng từ bến B trở về bến A tổng cộng là 3 giờ. Tính
vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h.
Bài 4: (3.5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn
thẳng AO ( C khác A và C khác O ). Đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AO cắt nửa
đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M ( với M khác B và M khác D). Tiếp tuyến
của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
1. Chứng minh : BCFM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh EM = EF
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh D, I, B thẳng hàng; từ đó suy
ra góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD.
Bài 5:(1.0 điểm) Cho phương trình ( ẩn x ):
( )
2
2 3 0x m x m− + + =
. Gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của
phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức
2 2

1 2
x x+

có giá trị nhỏ nhất.


1
ĐÁP ÁN
Bài 1:
1) Thực hiện phép tính:
2 2
2 9 3 16 2 3 3 4 2. 3 3. 4 2.3 3.4 6 12 18+ = + = + = + = + =
2) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a)
2
20 96 0x x− + =
2
' 10 1.96 100 96 4 0; ' 4 2∆ = + = − = > ∆ = =
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
10 2
12
1
x
+
= =
;
2
10 2
8

1
x
−
= =
Vậy tập nghiệm của pt là :
{ }
12;8S =

b)
4023 2 4024 2012 2012
1 1 2012 1 2011
x y x x x
x y x y y y
+ = = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = = − =
   
Bài 2: 1)
a) Vẽ
( )
2
:P y x=
Bảng giá trị giữa x và y:
x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
Vẽ
( )
: 2d y x= +

( )
( )
0 2: 0;2
0 2 : 2;0
x y A
y x B
= ⇒ =
= ⇒ = − −
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

( )
2 2
2 2 0 1x x x x= + ⇔ − − =
Vì
0a b c
− + =
nên (1) có hai nghiệm là
1 2
1; 2x x= − =
* Với
1 1
1 1x y= − ⇒ =
* Với
2 2
2 4x y= ⇒ =
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là:
( )
1;1−
và
( )

2;4
2) Phương trình đường thẳng AB có dạng:
( )
y ax b d= +
Vì
( )
2;4A
và
( )
3; 1B − −
thuộc (d) nên ta có hpt
4 2 5 5 1
1 3 4 2 2
a b a a
a b a b b
= + = =
  
⇔ ⇔
  
− = − + = + =
  
Vậy phương trình đường thẳng AB là:
2y x= +
Thay
2; 1x y= − =
vào pt đường thẳng AB ta có:
1 2 2 1 0
= − + ⇔ =
(vô lí). Suy ra
( )

2;1C −

không thuộc đường thẳng AB hay ba điểm
( ) ( ) ( )
2;4 ; 3; 1 ; 2;1A B C− − −
không thẳng hàng.
3)
2
1
x x x
M
x x x
−
= +
− −
(với
0; 1x x> ≠
)
( )
( )
( )
2
2 1 1
2 2 1 2 1
1
1 1 1 1 1 1
1
x x x
x x x x x x x x
M x

x x x x x x x x
x x
− −
− − − −
= + = + = − = = = −
− − − − − − −
−
Vậy
1M x= −
(với
0; 1x x> ≠
)
2
6
4
2
-2
-4
-6
-10
-5
5
10
Bài 3: Đổi
1
20
3
ph h=
Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x (km/h), đk: x > 3
Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng là:

( )
3 /x km h+
Vận tốc ca nô lúc ngược dòng là:
( )
3 /x km h−
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là:
( )
15
3
h
x +
Thời gian ca nô ngược dòng từ B về A là:
( )
15
3
h
x −
Vì thời gian ca nô xuôi dòng, ngược dòng, kể ca thời gian nghỉ là 3 giờ. Do đó ta có ph:
( )
15 15 1
3 1
3 3 3x x
+ + =
+ −
Giải pt: MTC:
( ) ( )
3 3 3x x+ −
Qui đồng rồi khử mẫu pt (1) ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
45 3 45 3 3 3 9 3 3x x x x x x− + + + − + = − +

2 2 2
45 135 45 135 9 9 81 8 90 72 0x x x x x x− + + + − = − ⇔ − − =
2
1 2
' 45 8.72 2061 ' 2601 51
45 51 45 51
12; 0,75
8 8
x x
∆ = + = ⇒ ∆ = =
+ −
= = = =
Đối chiếu với điều kiện x>3 ta thấy chỉ có x = 12 thỏa mãn.
Vậy: Vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.
Bài 4:
GT
Nữa đường tròn (O) đường kính AB
C cố định và
C OA∈
( )
M O∈
; ME là tiếp tuyến của (O)
CD OA⊥
I là tâm đường tròn ngoại tiếp
FDM∆
KL
a) BCFM là tứ giác nội tiếp đường tròn
b) EM = EF
c) D, I, B thẳng hàng; từ đó suy ra góc ABI
có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung

BD.
3
I
H
F
E
D
O
A
B
M
C
Chứng minh: a) Ta có:
( )
M O∈
đường kính AB (gt) suy ra:
·
0
90AMB =
(góc nội tiếp chắn nữa
đường tròn) hay
·
0
90FMB =
. Mặt khác
·
0
90 ( )FCB GT=
. Do đó
·

·
0
180AMB FCB+ =
. Suy ra BCFM
là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Ta có: BCFM là tứ giác nội tiếp(cmt)
·
·
( )
EFM 1CBM⇒ =
(cùng bù với
·
CFM
)
Mặt khác
·
·
( )
EMF 2CBM =
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn
¼
AM
)
( ) ( )
·
·
1 & 2 EFM EMF EFM⇒ = ⇒ ∆
cân tại E
EFEM
⇒ =

(đpcm)
c) Gọị H là trung điểm của DF. Dễ thấy
IH DF⊥
và
·
·
( )
IF
3
2
D
HID =
.
Trong đường tròn
( )
I
ta có:
·
·
IF
2
D
DMF =
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn
»
DF
) hay
·
·
( )

IF
4
2
D
DMA =
Trong đường tròn
( )
O
ta có:
·
·
( )
5DMA DBA=
(góc nội tiếp cùng chắn
»
DA
)’
( ) ( ) ( )
·
·
3 ; 4 ; 5 DIH DBA⇒ =
Dễ thấy
·
·
0
90CDB DBA= −

·
·
0

90HDI DIH= −
Mà
·
·
( )
DIK DBA cmt=
Suy ra
·
·
CDB HDI=
hay
·
·
; ;CDB CDI D I B= ⇒
thẳng hàng.
Ta có: D; I; B thẳng hàng (cmt)
·
·
»
2
AD
ABI ABD sd⇒ = =
. Vì C cố định nên D cố định
»
2
AD
sd⇒

không đổi.
Do đó góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD.

Bài 5: Cho phương trình ( ẩn x )
( )
2
2 3 0x m x m− + + =
. Gọi
1
x
và
2
x

là hai nghiệm của
phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức
2 2
1 2
x x+
có giá trị nhỏ nhất.


Phương trình
( ) ( )
2
2 3 0 1x m x m− + + =
là phương trình bậc hai, có:
( )
2
2 2 2 2
9 5
– 2m 3 4. 4 12 9 4 4 8 9 4 2 4 2 1
4 4

m m m m m m m m m m
   
 
∆ = + − = + + − = + + = + + = + + +
 ÷  ÷
 
   
.
( ) ( )
2 2
5
4 1 4 1 5 0
4
m m
 
∆ = + + = + + >
 
 
với mọi m. Suy ra phương trình
( )
1
luôn có hai nghiệm phân
biệt vói mọi m.
Áp dụng hệ thức Vi et, ta được:
1 2
1 2
2 3
.
S x x m
P x x m

= + = +


= =

( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2
5 9
2 2m 3 2 4 12 9 2 4 10 9 4
2 4
5 25 11 5 11 5 11 11
4 2. . 4 4
4 16 16 4 16 4 4 4
x x x x x x m m m m m m m m
m m m m
 
+ = + − = + − = + + − = + + = + +
 ÷
 
 
     
= + + + = + + = + + ≥
 
 ÷  ÷  ÷
     
 

 
Dấu “=” xảy ra khi
5 5
0
4 4
m m+ = ⇔ = −
4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
2 2
1 2
x x+
là
11
4
khi

5
4
m = −
5