Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 23 NĂM 2014
Thời gian làm bài 180 phút


Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x
4
– 5x
2
+ 4
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C)
tại hai điểm phân biệt khác M
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2 os6x +2cos4x- 3 os2x = sin2x + 3c c

2. Giải hệ phương trình:
 
2
2
4 2 2 2
x -y + x + y = y
(x,y R)
x - 4x y+3x =- y








Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân
/4
2
0
ln(sin cos )
cos
x x
dx
x




Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính AD = 2a, SA

(ABCD),
6SA a
, H là hình chiếu vuông góc của
A trên SB. Tìm thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và
SC.
Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña biÓu thøc A =
 

 cba

3
1
 

 cab
3
1
 
abc 
3
1

Câu VI (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(0, 2) và elip có phương trình
2
2
x
+y =1
4
. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt elip tại A, B sao cho
3MA -5MB=0

 

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (0, 0, 5), điểm B (5, 0, 2) và mặt phẳng
(P) có phương trình z = 2. Viết phương trình đường thẳng

đi qua điểm B,

nằm trong

mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng

bằng 5.
Câu VII (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn
2 52z i  
, tìm số phức z mà
4 2z i 
là nhỏ nhất.











Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
ĐÁP ÁN ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 23 NĂM 2014

CÂU NỘI DUNG
I-1
(1điểm)
y = x
4

– 5x
2
+ 4
+ TXĐ: R
+Giới hạn và tiệm cận:
lim
x
y

 

+ Sự biến thiên: y’ = 4x
3
 10x = 0  x = 0 hoặc x =
5
2


Hàm số nghịch biến trên: (;
5
2

) và (0;
5
2
)
Hàm số đồng biến trên: (
5
2
; + )và (

5
2

,0)
Các điểm dực trị x
CĐ
= 0, y
CĐ
= 4;
5
2
x  
CT1
, y
CT1
=
9
4

;
5
2
x 
CT2
, y
CT2
=
9
4


;










§å thÞ:

8
6
4
2
2
4
6
8
y
15 10 5 5 10 15
x
O
4


x
0

0
-
-
0
0






+
+
+∞
+∞
y’
∞
+∞
y
4
Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
I-2
(1điểm)
LÊy M(m ; m
4
– 5m
2

+ 4)  (C)
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M : y = (4m
3
– 10m)(x – m) + m
4
– 5m
2

+ 4 (d)
Hoµnh ®é cña (d) & (C) lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh:
x
4
– 5x
2
+ 4 = (4m
3
– 10m)(x – m) + m
4
– 5m
2
+ 4

(x – m)
2
(x
2
+ 2mx + 3m
2
– 5) = 0 (1)
CÇn t×m m ®Ó x

2
+ 2mx + 3m
2
– 5 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c m
§iÒu kiÖn lµ





056
025
2
2
m
m

C¸c ®iÓm M(m ;m
4
– 5m
2
+ 4) (C) víi hoµnh ®é
10 10 30
; \
2 2 6
m
   
 
  
 

 
 
 
   

II-1
(1 điểm)
2 os6x+2cos4x- 3 os2x = sin2x+ 3c c 
4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos
2
x
os x=0
2cos5x =sinx+ 3 cos
c
x




cos 0
os5x=cos(x- )
6
x
c








2
24 2
36 3
x k
k
x
k
x


 
 

 



   



 



II-2
(1 điểm)
Hệ tương đương
2

2 2 2
(1 2 ) 0 (1)
( ) 3 (1 2 ) 0 (2)

   


   


x y x y
x y x y

Thay (1) vào (2) được
 
2
2 2
0
1
(1 2 ) 3 (1 2 ) 0 2 (1 2 )(2 ) 0
2
2
x
x y x y x y y y
y




         






Với x = 0 suy ra y = 0
Với 1-2y = 0 thay vào (1) suy ra
2
1
2
x y

  
(Vô lí)
Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2
Hệ có 3 nghiệm (0,0), (1,2), (2,2)
III
(1 điểm)
Đặt u =
ln(sin cos )x x
 du =
cos sin
sin cos
x x
dx
x x



dv =

2
1 sin cos
tan 1
cos cos
x x
dx v x
x x

   

Ta có : I =
/4
/4
0
0
cos sin
(tan 1)ln(sin cos )
cos
x x
x x x dx
x



  


=
/4
0

3
2ln 2 ( ln cos ) ln 2
4 2
x x


    

Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biờn son: Vit Phng - Nam Trc, Nam nh
IV
(1 im)

Trong tam giỏc vuụng SAB cú
2
2 2 2
2 2 2 2
.
6 6
7
7
SA SH SB
SH SA SA a
SB
SB SA AB a





B.SCD S.BCD
6 6
V = V = V
7 7
6 6
= . 6.
7 7
HSDC
BCD BCD
SA S a S


K l hỡnh chiu ca B trờn AD ta cú: BK.AD = AB.BD suy ra
2
. 3 1 3
.
2 2 4
BCD
AB BD a a
BK S BK BC
AD

, suy ra:
3
9 2
V
14
HSDC
a



Do AD//(SBC) nờn

( , )
( , ) ( , )
AD SC
AD SBC A SBC
d d d


Dng hỡnh bỡnh hnh ADBE. Do AB

BD nờn AB

DE

t

( , )A SBC
d
= h ta cú
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
6 3 6h SA AB AE SA AB BD a a a a


Suy ra
( , )AD SC
d

= h =
6
3
a


V
(1im)
ặt x =
c
z
b
y
a
1
,
1
,
1

. Do
11 xyzabc
Khi đó:








xy
z
zx
y
zy
x
A
111111
333
3 3 3 2 2 2
x yz y xz z xy x y z
y z z x x y y z z x x y


(*)

p dụng bất đẳng thức Trung bình cộng- trung bình nhân cho các số dơng ta có:
2
4
x y z
x
y z



,
2
4
y z x
y

z x



,
2
4
z x y
z
x y



.
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có :
2 2 2
2
x y z x y z
y z z x x y





Dấu = xảy ra khi x = y = z.
A=
2
3
2
3

2
3
222








xyz
zyx
yx
z
xz
y
zy
x

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng
3
2
t khi a = b = c = 1
A
B
C
S
E
H

K
Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
VI- 1
(1 điểm)

Đường thẳng d qua M(0,2) có phương trình
2 2
( 0)
2
x mt
m n
y nt


 

 


Để d cắt elip ở 2 điểm phân biệt điều kiện là phương trình
 
2
2 2 2
2
2
2 1 4 3 0
4 4

m t m
nt n t nt
 



       





 
có 2 nghiệm phân biệt
Điều kiện là:
2
2
2
2
0
4
3
0
4
m
n
m
n




 






   





Xét A
 
1 1
, 2mt nt
, B
 
2 2
, 2mt nt
,
   
1 1 2 2
, , ,MA mt nt MB mt nt
 

1 2
5 0 3 5MA MB t t   

 

Theo định lí Vi- et có
1 2
2
2
1 2
2
2
4
4
3
.
4
n
t t
m
n
t t
m
n




 




















Suy ra
2 2
m n

Cho m = 1 suy ra n = 1 hoặc n = - 1
Phương trình d là
2
x t
y t







 


hoặc
2
x t
y t






 



VI-2
(1 điểm)

Gọi H là hình chiếu của A trên

thì H thuộc (P) và mặt cầu tâm A bán kính 5
nên
2 2 2 2 2
2 2
( 5) 25 16 (1)
z z
x y z x y
 

 
 
 
 

 
 
     
 
 
 

Gọi A’ là hình chiếu của A trên


thì A’(0, 0, 2). Ta có:
( 5, , 0) ' ( , , 0)BH x y A H x y 
 
nên có
2 2
. ' 0 5 0 (2)HB HA x x y    
 

Từ (1), (2) tìm được
16
5
12
5
x
y
















hoặc
16
5
12
5
x
y


















Với H (
16
5
,
12
5
, 2) suy ra
5 3
: 4
2
x t
y t
z


 



 









Với H (
16
5
, -
12
5
, 2) suy ra
5 3
: 4
2
x t
y t
z


 



 









Website: dophuongthcsnt.violet.vn


Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định
VII.
(1 điểm)

Gọi z = x + iy khi đó M(x,y) biểu diễn z
2 2
2 52 ( 2) ( 1) 52z i x y       

M nằm trên đường tròn (C) tâm I(2,1) bán kính R =
52

A(4, -2) biểu diễn 4 – 2i. Ta có AM =
4 2z i 

Ta cần tìm M thuộc (C ) để AM nhỏ nhất

AI có phương trình
4 2
2 3
x t
y t



 



  



Thay vào phương trình (C ):
2 2
3
4( 1) 9( 1) 52
1
t
t t
t




    


 



t = - 1 suy ra M
1

(6, -5) và AM =
13
;
t = 3 suy ra M
2
(-2, 7) và AM =
3 13

Vậy M(6, -5) là điểm cần tìm.