- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
Đề luyện thi THPT Quốc gia môn toán số 35
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (154.06 KB, 5 trang )
Sở giáo dục & đào tạo Thừa thiên huế
Trng THPT 80 Nguyn Hu
đề chính thức
Kỳ thi tuyển sinh CHUNG quốc GIA
Năm học 2014-2015
Mụn thi : Toán
(120 phút, không kể thời gian giao đề)
Cõu I (3,0 im) Cho hm s
2
32
+
+
=
x
x
y
cú th (C)
1. Kho sỏt v v th hm s(C)
2. Cho ng thng d:
mxy
+=
2
. Chng minh rng d ct (C) ti hai im A, B phõn bit vi
mi s thc m . Gi
,
1
k
2
k
l n l t l h s gúc ca tip tuyn ca ( C ) t i
A v B . Tỡm m P =
( ) ( )
2014 2014
1 2
k k+
t giỏ tr nh nht.
Cõu II (2,0 im)
1. Gii phng trỡnh lng giỏc:
cos2x sin x cosx 0 + =
2. Gii h phng trỡnh:
( )
=+++
+
=++
10)1(4)19(
1
1
1913
223
2
xxyx
xx
yxy
Cõu III (2,0 im) Cho khi chúp
.S ABC
cú SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a,
ã
ã
0
AS 90 ,B SAC
= =
ã
0
120BSC =
. Gi M, N ln lt trờn cỏc on SB v SC sao cho SM = SN = 2a. Chng minh
tam giỏc AMN vuụng. Tớnh th tớch S.ABC v khong cỏch t im
C
n mt phng
( )SAB
theo a.
Câu IV (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm
( )
1;2A
và
( )
4;3B
. Tìm
tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho góc AMB bằng
0
45
.
Câu V (1,0điểm) Chứng minh rằng nếu
,x y
là các số thực dương thì
( ) ( )
2 2
1 1 1
1
1 1
xy
x y
+ ≥
+
+ +
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh Số báo danh
Câu I
1. Khảo sát tự làm
2. Nội dung
Điểm
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:
mx
x
x
+−=
+
+
2
2
32
=−+−+
−≠
⇔
(*)023)6(2
2
2
mxmx
x
0,5
Xét phương trình (*), ta có:
Rm
∈∀>∆
,0
và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d luôn
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m.
0,5
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là
2
2
2
2
1
1
)1(
1
,
)1(
1
+
=
+
=
x
k
x
k
, trong đó
1
x
,
2
x
là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy
( ) ( ) ( )
4
422
1
22
1
.
2
2121
2
2
2
1
21
=
+++
=
++
=
xxxxxx
kk
(k
1
>0, k
2
>0)
0,5
Có P =
( ) ( ) ( )
2014 2014 2014
2015
1 2 1 2
k k 2. k k 2+ ≥ =
, do dó MinP = 2
2015
đạt được khi
2
2
2
1
2
2
2
1
21
)2()2(
)2(
1
)2(
1
+=+⇔
+
=
+
⇔= xx
xx
kk
do
1
x
,
2
x
phân biệt nên ta có x
1
+2 = - x
2
- 2
⇔
x
1
+ x
2
= - 4
⇔
m = - 2. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.
0,5
Câu II
1. Nội dung
Điểm
2 2
cos2x sin x cosx 0 cos x sin x (cosx sin x) 0− + = ⇔ − + − =
0,5
(cosx sin x)(cosx sin x 1) 0
⇔ − + + =
0,5
2.cos x 0
cosx sin x 0
4
cosx sin x 1 0
2 cos x 1
4
π
+ =
÷
− =
⇔ ⇔
+ + =
π
− = −
÷
0,5
x k
x k
4 2
4
3
x k2 x k2
4 4
3
x k2
x k2
2
4 4
π π
+ = + π π
= + π
π π
⇔ − = + π ⇔ = π+ π
−π
π π
= + π
− = − + π
0,5
2. Nội dung
Điểm
ĐK:
0x
≥
NX: x = 0 không TM hệ PT
Xét x > 0
PT (1)
⇔
x
xx
yyy
++
=++
1
1933
2
⇔
1
111
1)3(33
2
2
+
+=++
xxx
yyy
(3)
0,5
Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm số f(t)= t + t.
1
2
+t
, t > 0.
Ta có: f’(t) = 1 +
1
1
2
2
2
+
++
t
t
t
>0. Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞)
PT(3)
⇔
f(3y)= f
x
1
⇔
3y =
x
1
0,5
Thế vào pt(2) ta được PT:
10).1(4
223
=+++
xxxx
Đặt g(x)=
10).1(4
223
−+++ xxxx
, x > 0. Ta có g’(x) > 0 với x > 0
0,5
⇒
g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞)
Ta có g(1) = 0
Vậy pt g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1
Với x =1
⇒
y =
3
1
KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1;
3
1
).
0,5
Câu III
Dùng Đlý hàm số Cosin
tính được: MN =
32a
0,25
AM=
22a
, AN=2a (Tam giác vuông SAC có SC=2SA nên góc
ASC∠
= 60
0
)
⇒
tam giác
AMN vuông tại A.
0,25
Gọi H là trung điểm của MN, vì SA = SM = SN và tam giác AMN vuông tại A.
)(AMNSH
⊥⇒
; tính được SH = a.
0,5
Tính được
3
22
3
.
a
V
AMNS
=
0,25
3
1
.
.
.
.
==
SCSB
SNSM
V
V
ABCS
AMNS
3
.
22 aV
ABCS
=⇒
0,25
Vậy
3
.
2
3 6 2
( ;( )) 2 2
3
S ABC
SAB
V a
d C SAB a
S a
∆
= = =
0,5
Câu IV
N
M
S
C
B
A
H
N
M
A
S
Giả sử tọa độ của
( )
;0M x
. Khi đó
( ) ( )
1 ;2 ; 4 ;3MA x MB x
= − = −
uuur uuur
.
Theo giả thiết ta có
0
. . .cos 45MA MB MA MB=
uuur uuur
0,25
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2
1 4 6 1 4. 4 9.
2
2
5 10 2 5. 8 25.
2
x x x x
x x x x x x
⇔ − − + = − + − +
⇔ − + = − + − +
0,25
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
4 3 2
2
2 5 10 2 5 8 25 (do 5 10 0)
10 44 110 75 0
1 5 4 15 0 1; 5
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
⇔ − + = − + − + − + >
⇔ − + − + =
⇔ − − − + = ⇔ = =
0,25
Vậy ta có hai điểm cần tìm là
( )
1;0M
hoặc
( )
5;0M
0,25
Câu V
Do
, 0x y
>
nên bất đẳng thức đã cho tương đương với
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1 1x y xy x y
+ + + + ≥ + +
0,25
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 1 1 2 1 2x y x y xy x x y y⇔ + + + + + ≥ + + + +
0,25
( ) ( )
2 2
1 0xy x y xy⇔ − + − ≥
, bất đẳng thức này luôn đúng.
Dấu bằng xảy ra khi
1x y
= =
0,25
0,25
