- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
Đề thi toán 11 - sưu tầm đề kiểm tra, thi học kỳ, thi học sinh giỏi tham khảo bồi dưỡng (27)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (127.39 KB, 4 trang )
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2 ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN - Lớp 11
Thời gian làm bài: 90 phút.
I. PHẦN CHUNG (9,0 điểm)
Bài 1. (2.0 điểm). Tìm các giới hạn của dãy số sau
a) A =
3
3 2
2n 3n 1
lim
n 2n 1
+ +
+ +
b) B =
n
n
lim
2
Bài 2. (2.0 điểm) Tìm các giới hạn của hàm số sau
a) M =
2
x 3
x 4x 3
lim
x 3
→
− +
−
b) N =
3
2
x 0
1 3
lim 1 x 1 x
x 2
→
− − −
÷
Bài 3. (2,0 điểm). Tìm số hạng đầu và công sai của một cấp số cộng, biết các số hạng
của nó thỏa mãn
u u u 10
5
2 3
u u 17
1 6
− + =
+ =
.
Bài 4. (3,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau.
Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng CD.
a) Chứng minh AB ⊥ CD;
b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh rằng
AK ⊥ (BCD);
c) Giả sử HC = 3HD, KB = 4KH. Hãy biểu diễn vectơ
AK
uuur
theo các vectơ
AB, AC, AD
uuur uuur uuur
.
II. PHẦN RIÊNG (1,0 điểm). Học sinh được chọn một trong hai bài Bài 5A
hoặc Bài 5B.
Bài 5A. (1,0 điểm). Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức
2a 3b 6c 0+ + =
. Chứng minh
rằng phương trình
2
ax bx c 0+ + =
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Bài 5B. (1,0 điểm). Chứng minh phương trình
3
8x 6x 1 0− − =
có 3 nghiệm phân
biệt. Tìm 3 nghiệm đó.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Hết −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
2
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN - Lớp 11
Thời gian làm bài: 90 phút.
I. PHẦN CHUNG (9,0 điểm)
Bài 1. (2.0 điểm).
a) (1.5 điểm)
3
3 2
2n 3n 1
A lim
n 2n 1
+ +
=
+ +
2 3
3
3 1
2
n n
lim
2 1
1
n n
+ +
=
+ +
. (1.0 điểm) Vậy A = 2. (0.5 điểm)
b) (0.5 điểm) Ta có
n 0 1 2 n 2
n n n n n
n n n
0
2 C C C C C
< = <
+ + + +
(0.25 điểm)
Mà
2
n
n n 2n
lim lim lim 0
n!
C n(n 1)
2!.(n 2)!
= = =
−
−
nên B = 0. (0.25 điểm)
Bài 2. (2.0 điểm)
a) (1.0 điểm) Ta có
2
x 3 x 3
x 4x 3 (x 3)(x 1)
lim lim
x 3 x 3
→ →
− + − −
=
− −
(0.5 điểm)
x 3
lim(x 1) 2
→
= − =
(0.5 điểm)
b) (1.0 điểm) Ta có
3
3
2 2
x 0 x 0
3
1 x 1 x
1 3
2
N lim 1 x 1 x lim
x 2 x
→ →
− − −
= − − − =
÷
÷
3 3
2 2 2
x 0 x 0
x x 3 x x 3
1 x 1 1 1 x 1 x 1 1 1 x
2 2 2 2 2 2
lim lim
x x x
→ →
− − − + − − − − − − − − −
÷ ÷ ÷ ÷
= = +
(0.5 điểm)
2 2 3
x 0
2 2
2
2
3
3
x 3x 3x x 3
1 x 1 x 1 1 x
4 2 4 8 2
lim
x
x x 3 3
x 1 x 1
x 1 1 1 x 1 x
2
2 2 2 2
→
− − − + − + − − −
÷ ÷
÷
= +
− + −
÷
÷ ÷
− + − − + −
÷ ÷ ÷
÷
(0.25 điểm)
=
2 2
x 0
3
3
3 x
1
4 8
4
lim
x
x x 3 3
1 x 1
1 1 1 x 1 x
2
2 2 2 2
→
−
−
+
− + −
÷
− + − − + −
÷ ÷ ÷
1 1 1
8 4 8
−
= + =
(0.25 điểm)
Bài 3. (2,0 điểm). Gọi d là công sai của cấp số cộng (0.5 điểm)
Từ đề bài ta có hệ
( ) ( ) ( )
( )
u d u 2d u 4d 10
1 1 1
u u 5d 17
1 1
+ − + + + =
+ + =
(0.5 điểm)
u 3d 10
1
2u 5d 17
1
+ =
⇔
+ =
(0.5 điểm)
u 1
1
d 3
=
⇔
=
(0.5 điểm)
3
Bài 4. (3,0 điểm).
a. (1.0 điểm) Ta có AB ⊥ AC, AB ⊥ AD (0.5 điểm)
⇒AB ⊥ (ACD) ⇒ AB ⊥ CD. (0.5 điểm)
b. (1.0 điểm)
Ta có AB ⊥ CD, AH ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (AHB) (0.5 điểm)
⇒ CD ⊥ AK mà AK⊥ BH nên AK⊥(BCD). (0.5 điểm)
c. (1.0 điểm) Vì các tam giác ADC, ABH vuông nên H thuộc
đoạn DC, K thuộc đoạn BH và từ HC=3HD, KB=4KH
ta có
1 1
DH DC; HK HB
4 5
= =
uuur uuur uuur uuur
. (0.25 điểm) Từ đó ta có:
( )
1 1
AK AH HK AH HB AH HA AB
5 5
= + = + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
4 1
AH AB
5 5
= +
uuur uuur
(0.25 điểm)
( ) ( )
4 1 4 1 1 4 1 1
AD DH AB AD DC AB AD DA AC AB
5 5 5 4 5 5 4 5
= + + = + + = + + +
÷ ÷
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(0.25 điểm)
3 1 1
AD AC AB
5 5 5
= + +
uuur uuur uuur
. Vậy
1 1 3
AK AB AC AD
5 5 5
= + +
uuur uuur uuur uuur
(0.25 điểm)
II. PHẦN RIÊNG (1,0 điểm). Học sinh được chọn một trong hai bài Bài 6A hoặc Bài 6B.
Bài 5A. (1,0 điểm). ). Đặt
2
f(x)=ax bx c+ +
⇒
f (x)
liên tục trên R. (0.25 điểm)
Ta có
f (0) c=
,
2 4 2 1 c c
f a b c (4a 6b 12c)
3 9 3 9 3 3
= + + = + + − = −
÷
(0.25 điểm)
Nếu
c 0=
thì
2
f 0
3
=
÷
⇒ PT đã cho có nghiệm
2
(0;1)
3
∈
(0.25 điểm)
Nếu
c 0≠
thì
2
2 c
f (0).f 0
3 3
= − <
÷
⇒ PT đã cho có nghiệm
2
0; (0;1)
3
α∈ ⊂
÷
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) (0.25 điểm)
Bài 5B. (1,0 điểm). Xét hàm số
3
f (x) 8x 6x 1= − −
. Ta thấy f(x) liên tục trên R và có:
1
f ( 1) 3; f ( ) 1; f (0) 1; f(1) 1
2
− = − − = = − =
(0.25 điểm)
suy ra
1 1
f ( 1)( ) 0; ( )f (0) 0; f(0)f (1) 0
2 2
− − < − < <
nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm
trên mỗi khoảng
( )
1 1
1; ; ;0 ; 0;1
2 2
− −
−
÷ ÷
và đây là phương trình bậc 3 nên nó có đúng 3 nghiệm
phân biệt. (0.25 điểm)
Vì phương trình có cả 3 nghiệm thuộc đoạn
[ ]
1;1−
nên ta có thể đặt
x cost=
với
[ ]
t 0;∈ π
.
Ta có phương trình
( )
3
1 k2
4cos t 3cost cos3t cos x k Z .
2 3 9 3
π π π
− = ⇔ = ⇔ = ± + ∈
(0.25 điểm)
Vì
[ ]
t 0;∈ π
nên ta chỉ lấy được 3 nghiệm
5 7
t ; t ; t
9 9 9
π π π
= = =
.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là
5 7
x cos ; x cos ; x cos .
9 9 9
π π π
= = =
(0.25 điểm)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Hết −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Chú ý:
− Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với thang điểm này.
− Trong Bài 4, học sinh không vẽ hình hoặc hình sai cơ bản thì không chấm.
4
