- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
Đề luyện thi đại học môn Toán số 5
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (189.51 KB, 3 trang )
ĐỀ SỐ 5
Ngày 01 tháng 3 năm 2014
Câu I (2,0 điểm)
1) Giải phương trình (2x + 1)
2
+ (x – 3)
2
= 10
2) Xác định các hệ số m và n biết hệ phương trình
3 5
2 9
x my
mx ny
− =
+ =
có nghiệm (1; – 2)
Câu II ( 2,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
2 3 1 1
A = +
x +1 x- 1 x 1
x x x
x x
− + −
−
+ +
với
x 0≥
2) Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. Nếu họ
làm riêng thì người thợ thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thợ thứ hai là 9 ngày. Hỏi nếu
làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc.
Câu III (2,0 điểm) Cho phương trình
2
2( 1) 2 5 0x m x m− − + − =
1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 1 2 2
( 2 2 1)( 2 2 1) 0x mx m x mx m− + − − + − <
Câu IV (3,0 điểm)
Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi đi qua B và C
sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung
điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN.
1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh OI.OH = R
2
.
3) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V ( 1,0 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
4 9a b c
S
b c a c a b a b c
= + +
+ − + − + −
.
HNG DN GII S 5
Cõu I: 1) Pt: (2x + 1)
2
+ (x 3)
2
= 10
5x
2
2x = 0
2
0;
5
x x= =
.
2) H phng trỡnh
3 5
2 9
x my
mx ny
=
+ =
cú nghim (1; 2)
2 3 5
4 9
m
m n
+ =
=
1
2
m
n
=
=
Cõu II:
1) A =
2 3 1 1
+
x +1 x- 1 x 1
x x x
x x
+
+ +
=
2 3 ( 1)( 1) ( 1)
1
x x x x x x
x x
+ + + +
=
1
( 1)( 1)
x x
x x x
+
+ +
=
1
1x +
(vi
x 0
).
2) + Gi x (ngy) l thi gian ngi th nht lm riờng xong cụng vic (x > 9)
+ Thi gian ngi th hai lm riờng xong cụng vic: x 9 (nga).
+ Trong mt ngy ngi th nht lm c:
1
x
(cụng vic).
+ Trong mt ngy ngi th hai lm c:
1
9x
(cụng vic).
+ Vỡ h cựng lm thỡ trong 6 ngy xong vic nờn ta cú pt:
1
x
+
1
9x
=
1
6
x
2
21x + 54 = 0
x = 18 (thoỷa)
x = 3(khoõng thoỷa)
+ Vy: - Ngi th nht lm riờng xong cụng vic tron 18 ngy.
- Ngi th hai lm riờng xong cụng vic tron 9 ngy.
Cõu III: 1)
'
= m
2
4m + 6 = (m 2)
2
+ 2 > 0,
m
pt luụn cú 2 nghim phõn bit vi mi m.
3) Phng trỡnh cú hai nghim x
1
; x
2
nờn:
2
1 1
2
2 2
x 2(m 1)x 2m 5 0
x 2(m 1)x 2m 5 0
+ =
+ =
2
1 1 1
2
2 2 2
x 2mx 2m 1 4 2x
x 2mx 2m 1 4 2x
+ =
+ =
Theo nh lớ Vi-et ta cú :
1 2
1 2
x x 2m 2
x .x 2m 5
+ =
=
Theo bi ra ta cú :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
(x 2mx 2m 1)(x 2mx 2m 1) 0
4 2x . 4 2x 0 16 8 x x 4x x 0
3
16 8 2m 2 4 2m 5 0 m
2
+ + <
< + + <
+ < >
Cõu IV:1) + (O) cú :
ã
ã
OMA ONA=
= 90
0
nhỡn on OA (1)
I l trung im ca BC
ị
OI
^
BC
ị
ã
OIA
= 90
0
nhỡn on OA (2)
T (1) v (2)
ị
Bn im M, N, O, I cựng thuc mt ng trũn
2) Chng minh OI.OH = R
2
:
+
ã
OHN
v
ã
OAC
cú :
HO AC
HN AO
ỹ
^
ù
ù
ý
ù
^
ù
ỵ
ị
ã
OHN
=
ã
OAC
. (1)
+ ng trũn ng kớnh OA cú :
ã
ã
OAC noọi tieỏp chaộn OI
OMI noọi tieỏp chaộn OI
ị
ã
OAC
=
ã
OMI
(2)
+ T (1) v (2)
ị
ã
OHN
=
ã
OMI
+
D
OMH v
D
OIM cú:
ã
ã
ã
:
OHN OMI
MOH chung
ỹ
ù
=
ù
ù
ý
ù
ù
ù
ỵ
ị
D
OMH
D
OIM (g-g)
ị
OM OH
OI OM
=
OI. OH = OM
2
= R
2
.
3) +
AMB
ACM
(g-g)
= =
2
AM AB
AM AB. AC
AC AM
+
AME
AIM
(g-g)
= =
2
AM AE
AM AI. AE
AI AM
AB.AC = AI.AE (*)
+ Do A, B, C c nh nờn trung im I ca BC c nh nờn t (*) suy ra E c nh.
Vy ng thng MN luụn i qua im E c nh
Cõu V:Vi a, b, c l di ba cnh ca tam giỏc cú chu vi bng 2 nờn
a b c 2
+ + =
.
+ t
b c a x; c a b y; a b c z
+ = + = + =
+ Do a, b, c l di ba cnh ca tam giỏc nờn :
x,y,z 0>
.
+ Suy ra
x y z 2+ + =
(do
a b c 2
+ + =
) v
y z x z x y
a ; b ; c
2 2 2
+ + +
= = =
.
Khi ú
( ) ( ) ( ) ( )
4 x z 9 x y 4 x z 9 x y
y z 1 y z
S
2x 2y 2z 2 x y z
+ + + +
+ +
= + + = + +
1 y 4x z 9x 4z 9y
2 x y x z y z
= + + + + +
ữ
ữ ữ
+ Ta cú:
2
y 4x y x
2 2 2
x y x y
+ = +
ữ
;
2
z 9x z x
3 6 6
x z x z
+ = +
ữ
2
4z 9y z y
2 3 12 12
y z y z
+ = +
ữ
( )
1
S 4 6 12 11
2
+ + =
Du = xy ra khi
1
x
y 2x
3
z 3x
2
y
2z 3y
3
z 1
x y z 2
=
=
=
=
=
=
+ + =
5 2 1
a ; b ; c
6 3 2
= = =
. Khi ú:
2 2 2
a b c= +
ABC
vuụng
Vy
min
S 11
=
ABC
vuụng
5 2 1
a ; b ; c
6 3 2
= = =
.
chuyờn chung H TNH
