Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP QUỐC GIA 2015
ĐỀ SỐ 45
Ngày 03 tháng 03 năm 2015
Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số
3 2 2 2
3 3(1 ) 2 2 1y x x m x m m= − + − + − −
(m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
1.m = −
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng
: 4 5 0.d x y− − =
Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình
( )
2
1
4 4 4
cos 2 cos 2 sin 1 cos2x x x x
π π
   
+ − + + =
 ÷  ÷
   
với
0 .
4
x
π
≤ ≤
Câu 3. (1,0 điểm)Giải hệ phương trình

3 3 3
2 2
27 7 8
9 6
x y y
x y y x

+ =


+ =


(
,x y ∈¡
)
Câu 4. (1,0điểm)Tính tích phân
1
ln 2
ln
e
x
x x x
I dx
−
+
=
∫
Câu 5. (1,0 điểm)Cho hình chóp
.S ABCD

có đáy ABCD là hình bình hành, với
2 2SA SB AB a BC= = = =
và
0
120 .ABC∠ =
Gọi H là trung điểm của cạnh AB và K là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng
( ),SCD K
nằm trong tam giác SCD và
3
5
.HK a=
Tìm thể tích của hình chóp theo a.
Câu 6. (1,0điểm) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn
3.ab a b
+ + =
Chứng minh rằng
2 2
3 3 3
1 1 2
a b ab
b a a b
a b+ +
+ + +
≤ + +
Câu 7. (1,0điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
(3;4)M
và đường tròn
2 2
: 6 2 2 0.x y x y
ω

+ − + + =
Viết phương trình của đường tròn
Γ
với tâm M, cắt
ω
tại hai điểm A, B ssao
cho AB là cạnh của một hình vuông có bốn đỉnh nằm trên
.
ω
Câu 8. (1,0 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình của mặt cầu có tâm
(1;2;3)I
và
tiếp xúc với đường thẳng
2
: .
1 2 2
x y z
d
+
= =
−
Câu 9. (1,0điểm) Hãy giải phương trình sau trên tập hợp số phức
2 2 2
( ) ( ) 5 5 0.z i z i z− + − − =
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 45
Câu Nội dung trình bày
1
1.
3 2

31: 3m y x x− = − +=
. TXĐ:
¡
0.25
Chiều biến thiên:
3 ( 2), 0 0 2y x x y x x
′ ′
= = − = ⇔ = ∨ =L
Xét dấu
y
′
và kết luận: hàm số đồng biến trên
( ;0),(2; )−∞ +∞
, nghịch biến trên
(0;2)
Hàm số đạt cực đại tại
0, 3
cd
x y= =
; hàm số đạt cực tiểu tại
2, 1
ct
x y= = −
0.25
Nhánh vô cực:
lim , lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= = +∞ = = −∞L L

; lập bảng biến thiên 0.25
Vẽ đồ thị
0.25
2.
2 2
3 6 3(1 )y x x m
′
= − + −
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
0y
′
=
có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu khi qua hai nghiệm
đó. Điều này tương đương với phương trình
2 2
2 1 0x x m− + − =
có hai nghiệm phân biệt, tức là
0.m ≠
0.25
Khi đó, đồ thị của hàm số có hai điểm cựctrị
3 2 3 2
(1 ; 2 ), (1 2 )2 2;A m m m B m m mm m+ − − −− −−
0.25
Hai điểm này đối xứng nhau qua d khi và chỉ khi trung điểm của AB nằm trên d và
AB d
⊥
. Điều này
tương đương với
2
3

1 4( 2 ) 5 0 1 2
8 4 0
2, 0
m m m
m m
m m


− − − − = = ±
 
⇔
 
− =

= ± =



0.25
Kết luận: Không có giá trị nào của m thỏa mãn 0.25
2
Biến đổi tích thành tổng, thu được
1
cos( ) cos 4 (1 cos 2 )(1 cos2 )
2 2
x x x
π
+ + − + =
0.25
2

1
cos4 1 cos 2 cos 4 0 ,
2 8 4
k
x x x x k
π π
⇔ + − = ⇔ = ⇔ = + ∈¢
0.5
Do
0;
4
x
π
 
∈
 
 
nên
8
x
π
=
0.25
3
Nhận xét
0,y ≠
nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được
3 2
(3 ) 7(3 ) 14(3 ) 8 0xy xy xy− + − =
Từ đó tìm được hoặc 3

1xy =
hoặc 3
2xy =
hoặc 3
4xy =
0.25
Với 3
1,xy =
thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do đó
1
3
x =
0.25
Với 3
2,xy =
thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại) 0.25
Với 3
4,xy =
thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó
2
3
x = −
0.25
4
Viết lại biểu thức dưới dấu tích phân
ln 2
·
ln 1
x dx
x x

−
+
0.25
Đặt
ln x t
=
thế thì khi
1 2x
≤ ≤
thì
0 1t
≤ ≤
và
,
dx
dt
x
=
0.25
Khi đó
1 1
0 0
2 3
1
1 1
t
I dt dt
t t
−
 

= = −
 ÷
+ +
 
∫ ∫
0.25
Tính được
1 3ln 2 1 ln8I = − = −
0.25
5
Hình 1
Hình 2
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
Gọi I là trung điểm CD. Chỉ ra các tam giác
, , ,ADH HDI IHB BCI
là các tam giác đều cạnh a. Suy ra
2
2
3
4 3
4
ABCD
a
S a= × =
(đ.v.d.t) Gọi J là trung điểm DI. Khi đó
,HJ AB CD⊥
và do đó
( )CD SHJ⊥
.
0.25

Suy ra
.K SJ
∈
Ngoài ra
3
2
a
HJ =
. Hơn nữa, do tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a và H là trung
điểm AB nên
SH AB
⊥
và
3.SH a=

0.25
Suy ra
2 2 2 2
1 1 5 1
3SH HJ a HK
+ = =
do đó tam giác SHJ vuông tại H . 0.25
Từ đó, do
,SH AB HJ⊥
nên
( )SH ABCD⊥
hay SH là đường cao của hình chóp.
Vậy
3
.S ABCD

V a= =L
(đ.v.t.t)
0.25
6
Từ giả thiết suy ra
(1 )(1 ) 1 4a b ab a b+ + = + + + =
. Đặt
, 0a b x x+ = >
thế thì

2 2
( ) 4 4(3 ) 2x a b ab x x= + ≥ = − ⇒ ≥
(do
0x
>
)
0.25
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
3 1 3 1
3 3 12
1 3 10 0
2 1 1
a a b b
a b a b a b
a b a b a b

+ + +
+ + ≥ + − ⇔ + − + − + ≥
+ + + +
(1)
0.25
Do
2 2 2
( ) 2a b a b ab+ = + −
nên
2 2 2 2
2(3 ) 2 6,a b x x x x+ = − − = + −
do đó (1) trở thành
2 3 2
12
2 6 3 10 0 4 12 0x x x x x x
x
+ − − − + ≥ ⇔ − + − ≥
0.25
Để ý rằng
3 2 2
4 12 ( 2)( 6) 0x x x x x x− + − = − + + ≥
nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Suy ra điều
phải chứng minh.
7
Đường tròn
ω
có tâm
(3; 1)I −
và bán kính
2 2R =

. 0.25
C1:Gọi H là trung điểm của AB.Ta tính được
( )
0;5 , 5, 4, 2 13IM IM AB AH IH AM= = = = = ⇒ =
uuur
bởi vậy
2 2
: ( 3) ( 4) 13x yΓ − + − =
C2:Giả sử tìm được đường tròn
2 2 2
: ( 3) ( 4)x y
ρ
Γ − + − =
thỏa mãn yêu cầu. Khi đó, do AB là dây cung
chung, nên
,AB IM⊥
hay đường thẳng AB nhận
(0;5)IM =
uuur
làm véctơ pháp tuyến. Hơn nữa, I và M ở
về hai phía của AB. Do đó, đường thẳng AB có phương trình dạng
5 0y c+ =
với
20 5c− < <
(1)
0.25
AB là cạnh của hình vuông nội tiếp
ω
khi và chỉ khi
( ; ) 2

2
R
d I AB = =
. Từ đó, kết hợp với (1), tìm
được
5c = −
. Suy ra
: 1 0.AB y − =
0.25
Mặt khác AB là trục đẳng phương của
,
ω
Γ
nên AB có phương trình
2
23
0.
10
y
ρ
−
+ =
Từ đó
2
13
ρ
=
,
bởi vậy
2 2

: ( 3) ( 4) 13x yΓ − + − =
0.25
8
+ Đường thẳng d đi qua
(0; 2;0)M −
, có véctơ chỉ phương
(1; 2;2)u = −
r
. Tính được
(1;4;3)MI =
uuur
0.25
+ Khẳng định và tính được
[ ; ]
233
( ; )
| | 3
MI u
d I d
u
= = =
uuur
r
L
r
0.5
+ Khẳng định mặt cầu cần tìm có bán kính bằng
( ; )d I d
và viết phương trình
0.25

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
2 2 2
233
( 1) ( 2) ( 3)
9
x y z− + − + − =
9
Viết lại phương trình về dạng
2 2 2
( 1) 5 5 0z z+ − − =
0.25
Khai triển, rút gọn, nhân tử hóa
2 2
( 1)( 4) 0z z+ − =
0.5
Giải các phương trình, thu được
z i= ±
và
2z = ±
rồi kết luận. 0.25
Bạn muốn có “Tuyển chọn 100 đề thi thử Đại học môn toán năm 2015” để ôn thi cho tốt hãy liên hệ nhé