ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 121
Ngày 04 tháng 6 năm 2015
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số
y =
4mx
x m
+
+
,với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1m
=
2) Tìm
m
để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞
Câu 2.(1,0 điểm)
1. Giải phương trình:
3
sin 4sin cos 0x x x− + =

2. Tìm tất cả các số thực a, b sao cho số phức
2 3z i
= +
là nghiệm của phương trình
2
0.z az b+ + =
Câu 3.(1,0 điểm)

1. Giải phương trình :
( ) ( )
3
1 8
2
2
log 1 log 3 log 1x x x+ = − + −

2. Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n
x
x






−
2
2
, biết rằng n là số nguyên
dương thỏa mãn
323
1
24
nnn

ACC =+
+
.
Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
( )
2 2
2
2
1 4
2 7 2
x y xy y
y x y x y

+ + + =


+ = + +



Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân :
( )
4
2
0
ln 9I x x dx= +
∫
Câu 6.(1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ
1 1 1

.ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
5
và
1 1 1
5A A A B A C= = =
.Chứng minh rằng tứ giác
1 1
BCC B
là hình chữ nhật và tính thể tích khối lăng trụ
1 1 1
.ABC A B C
.
Câu 7. (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường tròn
( )
2 2
: 2 4 5 0C x y x y+ − − − =
và điểm
( ) ( )
0; 1A C− ∈
.Tìm toạ độ các điểm
,B C
thuộc đường tròn
( )
C
sao cho tam giác
ABC
đều.
Câu 8.(1,0 điểm)

Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
,cho mặt cầu
( )
S
có phương trình
( )
2 2 2
: 2 4 4 0S x y z x y z+ + + + + =
.Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua trục
Ox
và cắt mặt cầu
( )
S
theo một đường tròn có bán kính bằng
3
Câu 9.(1,0 điểm)
Cho các số thực
, ,a b c
thoả mãn
1ab bc ca+ + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2 2 2
40 27 14A a b c= + +
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 121

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
1
Câu NỘI DUNG Điểm
1.1
Cho hàm số
y =
4mx
x m
+
+
,với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1m
=
1.0
Khi
1m
=
hàm số trở thành :
4
1
x
y
x
+
=
+
Tập xác định: Hàm số

4
1
x
y
x
+
=
+
có tập xác định
{ }
\ 1 .D R= −
Giới hạn:
1 1
4 4 4
lim 1; lim ; lim .
1 1 1
x
x x
x x x
x x x
+ −
→±∞
→− →−
+ + +
= = +∞ = −∞
+ + +
0,25
Đạo hàm:
( )
2

3
' 0, 1
1
y x
x
−
= < ∀ ≠ − ⇒
+
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
1; .− +∞

Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên:
0,25
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1;x = −
tiệm cận ngang
1.y =
Giao của hai tiệm cận
( )
1;1I −
là tâm
đối xứng.
0 0,25
Đồ thị hàm số (học sinh tự vẽ hình)
1.2

Tìm
m
để hàm số
y =
4mx
x m
+
+
nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞
1.0
TXĐ
{ }
\D m= −¡
,
( )
2
,
2
4m
y
x m
−
=
+
.Yêu cầu bài toán
( )
( )
2

,
4 0
2 2
0 ;1 2 1
1
;1
m
m
y x m
m
x m

− <
− < <


⇔ < ∀ ∈ −∞ ⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −
 
− ≥
= − ∈ −∞
/



Vậy để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞
thì
2 1m− < ≤ −
0,25

0,25
0,25
0,25
2.1
Giải phương trình:
3
sin 4sin cos 0x x x− + =
0.5
pt
( )
( )
2 2 3
sin cos sin cos 4sin 0x x x x x⇔ + + − =
⇔
3 2 2 3
cos cos .sin cos .sin 3sin 0x x x x x x+ + − =
( )
( )
2 2
cos sin cos 2cos .sin 3sin 0x x x x x x⇔ − + + =
( ) ( )
2
2
cos sin cos sin 2sin 0x x x x x
 
⇔ − + + =
 
(*) (do
( )
2

2
cos sin 2sin 0x x x x+ + > ∀ ∈¡
)
do đó pt (*)
( )
cos sin 0 tan 1
4
x x x x k k
π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = + π ∈Z
phương trình (*) có một họ nghiệm
( )
4
x k k
π
= + π ∈Z
0,25
0,25
0,25
0,25
2.2
Tìm tất cả các số thực a, b sao cho số phức
2 3z i= +
là nghiệm của phương trình
2
0.z az b+ + =
0.5
Tính
2
1 6 , 2 (3 )z i az a a i= + = +

Suy ra
2
(2 1) (3 6)z az b a b a i+ + = + + + +
0.25
Từ đó, có hệ
2 1 0
3 6 0
a b
a
+ + =


+ =

Giải hệ, thu được
2, 3a b= − =
và kết luận. 0.25
3.1
Giải phương trình :
( ) ( )
3
1 8
2
2
log 1 log 3 log 1x x x+ = − + −
Đ/k
1 3x< <
0.5
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
2

Phương trình đã cho tương đương :
( ) ( ) ( )
2 2 2
log 1 log 3 log 1 0x x x+ + − − − =
( ) ( )
2
1 17
1 3 1 4 0
2
x x x x x x
− ±
⇔ + − = − ⇔ + − = ⇔ =
thoả mãn
Vậy phương trình có hai nghiệm
1 17
2
x
− ±
=
0,25
0,25
0,25
0,25
3.2
Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n
x

x






−
2
2
, biết rằng n là số nguyên dương thỏa
mãn
323
1
24
nnn
ACC =+
+
.
0.5
Ta có
3),2)(1()1(
6
)1(()1(
.424
323
1
≥−−=−+
−+
⇔=+

+
nnnnnn
nnn
ACC
nnn
2 2 2
2( 1) 3( 1) 3( 3 2), 3 12 11 0, 3 11.n n n n n n n n n⇔ − + − = − + ≥ ⇔ − + = ≥ ⇔ =
0.25
Khi đó
)2.(
2
.)(
2
11
0
322
11
11
0
112
11
11
2
∑∑
=
−
=
−
−=







−=






−
k
kkk
k
k
kk
xC
x
xC
x
x
Số hạng chứa
7
x
là số hạng ứng với k thỏa mãn
.57322
=⇔=−
kk

Suy ra hệ số của
7
x
là
.14784)2.(
55
11
−=−C
0.25
4
Giải hệ phương trình:
( )
2 2
2
2
1 4
2 7 2
x y xy y
y x y x y

+ + + =


+ = + +


1.0
Dễ thấy
0y ≠
ta có :

( )
( )
2
2 2
2
2
2
2
1
4
1 4
1
2 7 2
2 7
x
x y
x y xy y
y
x
y x y x y
x y
y

+
+ + =


+ + + =
 
⇔

 
 
+
+ = + +



+ − =
 ÷

 

Đặt
2
1x
u
y
v x y

+
=



= +

ta có hệ pt :
2 2
4 4
2 7 2 15 0

u v u v
v u v v
+ = = −
 
⇔
 
− = + − =
 
3, 1
5, 9
v u
v u
= =

⇔

= − =

•
2 2
1 1, 2
1 2 0
3 2, 5
3 3
u x y
x y x x
v x y
x y y x
= = =
 

+ = + − =
 
⇔ ⇔ ⇔
  

= = − =
+ = = −
 
 
•
2 2
9
1 9 9 46 0
5
5 5
u
x y x x
v
x y y x
=
 
+ = + + =

⇔ ⇔
  
= −
+ = − = − −

 
(hệ này vô nghiệm )

Hệ pt có hai nghiệm :
( ) ( ) ( )
{ }
; 1;2 , 2;5x y = −
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Tính tích phân :
( )
4
2
0
ln 9I x x dx= +
∫
1.0
Đặt
( )
2
2
2
2
ln 9
9
9
2
x
du dx
u x

x
x
dv xdx
v

=


= +
 
+
⇔
 
+
=



=


0,5
( )
4
2
4
2
0
0
9

ln 9
2
x
I x xdx
+
⇒ = + −
∫
4
2
0
25ln5 9ln3 25ln 5 9ln3 8
2
x
= − − = − −
0,25
6
Cho hình lăng trụ
1 1 1
.ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
5
và
1 1 1
5A A A B A C= = =
.Chứng 1.0
minh rằng tứ giác
1 1
BCC B
là hình chữ nhật và tính thể tích khối lăng trụ
1 1 1

.ABC A B C
Gọi
O
là tâm của tam giác đều
ABC
OA OB OC⇒ = =
.
0,25
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
3
Ngoài ra ta có
1 1 1
5A A A B A C= = =

1
A O⇒
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
( )
1
A O ABC AO⇒ ⊥ ⇒
là hình chiếu vuông góc của
1
AA
lên
( )
mp ABC
.
Mà
1

OA BC A A BC⊥ ⇒ ⊥
do
1 1 1
/ /AA BB BB BC⇒ ⊥
hay hình bình hành
1 1
BCC B
là hình chữ
nhật.Ta có
( )
2
2 2 2
1 1 1 1
2 5 3 5 6
; 5 .
3 2 3
A O ABC AO CO AO CA CO
 
⊥ ⇒ ⊥ = − = − =
 ÷
 ÷
 
Thể tích lăng trụ :
2
1
5 3 5 6 125 2
. .
4 3 4
ABC
V dt AO

∆
= = =
0,25
0,25
0,25
7
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường tròn
( )
2 2
: 2 4 5 0C x y x y+ − − − =
và điểm
( ) ( )
0; 1A C− ∈
.Tìm toạ độ các điểm
,B C
thuộc đường tròn
( )
C
sao cho tam giác
ABC
đều.
1.0
( )
C
có tâm
( )
1;2I
bán kính
10R =
( )

( )
1 2 1
2
3 2 2
H
H
x
AI IH
y

= −

⇒ = ⇔

= −


uur uuur
3 7
;
2 2
H
 
⇔
 ÷
 
do
I
là trọng tâm
ABC∆

,
H
là trung điểm
BC
.
pt đường thẳng
( )
3 7
;
2 2
: ( ) : 3 12 0
1,3
quaH
BC BC x y
vtptn AI

 
 ÷

 
⇔ + − =


= =

uur
r
vì
( )
,B C C∈ ⇒

toạ độ
,B C
là nghiệm của hệ pt :
2 2 2 2
2 4 5 0 2 4 5 0
3 12 0 12
x y x y x y x y
x y x y
 
+ − − − = + − − − =
⇔
 
+ − = = −
 

giải hệ pt ta được
7 3 3 3 3 7 3 3 3 3
; , ;
2 2 2 2
B C
   
+ − − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
hoặc ngược lại
0,25
0,25
0,25
0,25

8
Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
,cho mặt cầu
( )
S
có phương trình
( )
2 2 2
: 2 4 4 0S x y z x y z+ + + + + =
.Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua trục
Ox
và cắt mặt
cầu
( )
S
theo một đường tròn có bán kính bằng
3
1.0
(S):
2 2 2
2 4 4 0x y z x y z+ + + + + =
có tâm
( )
1; 2; 2I − − −
bán kính
3R =

( )
α
chứa trục
( )
( )
2 2
: ; 0; 0 : 0 0Ox x t y z Bx Cz B C= = = ⇔ α + = + >
( )
α
cắt
( )
S
theo một đường tròn bán kính
3r =
( )
⇔ α
đi qua
I
2 2 0 0B C B C⇔ − − = ⇔ + =

chọn
1; 1B C= = −
( )
: 0y z⇒ α − =
0,25
0,25
0,25
0,25
9
Cho các số thực

, ,a b c
thoả mãn
1ab bc ca+ + =
.Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2
40 27 14A a b c= + +
1.0
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số không âm ta được
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
24 6 2 24 .6 24 24
16 9 2 16 .9 24 24
18 8 2 18 .8 24 24
a c a c ac ca
a b a b ab ab
b c b c bc bc

+ ≥ = ≥


+ ≥ = ≥


+ ≥ = ≥


( )
24 24A ab bc ca⇒ ≥ + + =
0,5

dấu bằng xẩy ra
4 3 2
1 4 2
; ;
1
6 3 6 6
a b c
a b c
ab bc ca
= =

⇔ ⇔ = ± = ± = ±

+ + =

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A
bằng 24 đạt được khi :
1 4 2
; ;
6 3 6 6
a b c= ± = ± = ±
0,25
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
4