- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán số 61
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (98.76 KB, 3 trang )
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 61
Ngày 26 tháng 3 năm 2015
Câu 1(2,0 điểm): Cho hàm số:
( ) ( )
, 1 ,
1
m
x m
y m C
x
+
= ≠
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)với m=-1.
2. Gọi A là giao điểm của đồ thị (C
m
) với trục hoành còn điểm B là điểm có hoành độ bằng 1 thuộc
đồ thị của (C
m
), k và k
1
lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với (C
m
) tại A và B.Tìm tất cả các giá
trị tham số m sao cho
1
k k+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2.(2,0 điểm) 1. Giải phương trình:
( )
2
3
2cos 2 3 sin 2 1 2cos
2 4
x x x
π π
π
− + − = − −
÷ ÷
2.Giải hệ phương trình:
( ) ( )
3 2 3 2
2
3 5.6 4.2 0
2 2
x y x x y
x y y y x y x
− −
− + =
− = + − +
( )
( )
1
2
Câu 3.(1,0 điểm): Tính tích phân:
( )
1
2
0
.
1
x
x
x e x x
I dx
x e
+ +
=
+
∫
Câu 4.(1,0 điểm): Cho x,y,z là ba số thực dương và thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=2012xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 1 1
2 2 2
A
x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +
Câu 5.(1,0 điểm).Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A. AB=a, AC=
3, .a DA DB DC= =
Biết DBC là tam giác vuông và điểm E nằm trên DA sao cho
2EA ED= −
uuur uuur
.Tính thể tích tứ diện EBCD
theo a.
Câu 6.(1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d
1
:2x+y-2=0,
2
: 2 1 0d x y− + =
.Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
5 12
;
13 13
M
−
÷
xuông d
1
,d
2
và trục
Ox. Chứng minh rằng A,B,C thẳng hàng.
Câu 7.(1,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
( )
1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và (d):
1 1 3
2 1 1
x y z+ − −
= =
điểm M thuộc (d
1
) còn N thuộc (d
2
) sao cho khoảng cách MN ngắn nhất.Viết phương
trình mặt cầu đường kính MN.
Câu 8.(1,0 điểm): Cho
5
1
1
i
z
i
+
=
÷
−
.Chứng minh rằng :
5 6 7 8
0z z z z+ + + =
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 61
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
1
Câu 1: 1, Bạn đọc tự làm
2, ta có
( )
1
;0 , 1;
2
m
A m B
+
−
÷
.lại có
( )
/
2
1
1
m
y
x
−
=
+
nên
1
1 1
,
1 4
m
k k
m
−
= =
−
suy ra
1
1 1 1 1 1 1
, . 0
1 4 1 4 4 1
m m m
k k do
m m m
− − −
+ = + = + >
− − −
mà
1 1 1 1
2 . 1, 1
1 4 1 4
m m
m
m m
− −
+ ≥ = ∀ ≠
− −
Dấu “=” xảy ra khi
1 1
1, 3
1 4
m
m m
m
−
= ⇔ = − =
−
.vậy
1
1k k+ =
là nhỏ nhất khi m= -1,m=3
Câu 2(2,0 điểm) 1,
( )
2
3 3
2cos 2 3 sin 2 1 2cos 2cos 3 cos 2 cos 2
2 4 2
x x x x x x
π π π
π
− + − = − − ⇔ + = − −
÷ ÷ ÷
1 3
2cos 3 cos 2 sin 2 cos sin 2 cos2 sin 2 sin
2 2 3 2
x x x x x x x x
π π
+ = ⇔ = − ⇔ − = −
÷ ÷
5 2 5
, 2 ,
18 3 6
x k x k k
π π π
π
⇔ = + = + ∈¢
2. ĐK
0x y≥ ≥
Khi đó từ PT(2):
( ) ( )
2
2 2x y y y x y x− = + − +
( )
( )
2 2x y y y x y x⇔ − − = − +
, (2)
Nếu
0 0, 0x y y x y− + = ⇔ = =
thay vào hệ thấy thỏa mãn .vậy (x;y)=(0;0) là một nghiệm của hệ
Nếu
0x y y− + ≠
Khi đó từ (2)
( )
( )
( )
( )
2 2 2 1 0 2x y y x x y y y x x y y x y⇔ − = − − + ⇔ − − + + = ⇔ =
Câu 3(1,0 điểm) Hệ PT trở thành
( )
3 2 3 2 2 2
3 3
2 2
3 5.6 4.2 0 3 5.6 4.2 0
, 2log 2;log 2
2 2
x y x x y x x x
x y
x y x y
− −
− + = − + =
⇔ ⇔ =
÷
= =
Hệ PT có hai nghiệm:
( )
3 3
2 2
, 2log 2;log 2x y
=
÷
và (0;0)
Câu 3(1,0 điểm) Tính tích phân:
( )
1
2
0
.
1
x
x
x e x x
I dx
x e
+ +
=
+
∫
1 1
0 0
1
x
x x
dx dx
e x
= +
+
∫ ∫
Tính
1
1
0
x
x
I dx
e
=
∫
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e dx
− −
= =
⇒
= = −
Khi đó
( )
1
1 1
1 0 0
0
1 2
| | 1
x x x
I xe e dx e
e e
− − −
= − − = − − = −
∫
Tính
1
2
0
1
x
I dx
x
=
+
∫
Đăt
2t x dx tdt= ⇒ =
. Đổi cận với x=0 thì t=o,với x=1 thì t=1
Khi đó
1 1
2
2
2 2
0 0
2 2
2 2
1 1 2
t
I dt dt
t t
π
= = − = −
÷
+ +
∫ ∫
.vậy
1 2
2
3
2
I I I
e
π
= + = − −
Câu 4(1,0 điểm): Chứng minh bổ đề :
( )
1 1 1 1 1 1
4 , , 0
4
x y x y
x y x y x y
+ + ≥ ⇔ ≤ + ∀ >
÷ ÷
+
Theo giả thiết
1 1 1
2012 2012xy yz zx xyz
x y z
+ + = ⇔ + + =
Ta có
1 1 1 1 1 1 2 1 1
2 4 16x y z x y x z x y xzz x y z
= ≤ + ≤ + +
÷ ÷
+ + + + + +
Chứng minh tương tự ta có:
1 1 1 2 1 1 1 1 1 2
;
2 16 2 16x y z x y z x y z x y z
≤ + + ≤ + +
÷ ÷
+ + + +
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
2
Vậy:
1 1 1 1 1 1 1 2012
503
2 2 2 4 4x y z x y z x y z x y z
+ + ≤ + + = =
÷
+ + + + + +
A=503 là lớn nhất khi
x=y=z=3/2012
Câu 5(1,0 điểm). Ta có :
1
3
3
DEBC
DABC DEBC
DABC
V
DE
V V
V DA
= = ⇒ =
.
Tính
ABCD
V
có DA=DB=DC nên hình chiếu của D lên mp(ABC) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.Tức là trung điểm I của Bc.ta tính được BC=2a.Từ tam giác DBc vuông cân tại D nên
chiều cao DI=1/BC=a. Khi đó
( )
3
3
1 1 3
. 3
3 6 18
DABC ABC DEBC
a
V DI S a V dvtt= = ⇒ =
Câu 6.(1,0 điểm). Giải A(a;2-2a) thuộc d
1
,B(2b-1;b) thuộc d
2
5 38
; 2 ,
13 13
MA a a
= − −
÷
uuur
18 12
2 ;
13 13
MB b b
− +
÷
uuur
Từ
1 2
81 81 32 24 17 24
. 0 ; , . 0 ;
65 65 65 65 65 65
MA d a A MB d b B
= ⇔ = ⇒ − = ⇔ = ⇒ −
÷ ÷
uuur uur uuur uur
Mặt khác
5
;0
13
C
÷
khi đó
56 32 42 24 3
; , ;
65 65 65 65 4
AC BC BC AC
− − ⇒ = −
÷ ÷
uuur uuur uuur uuur
. Vây A,B,C thẳng hàng.
Câu 7.(1,0 điểm) :Tâm mặt cầu là I và bán kính là
2
MN
Câu 8.(1,0 điểm): ta có
5
3 5
2
2
1 1 2 2
1 1 2
i i i i
z i
i i
+ + +
= = = =
÷
÷ ÷
− −
Do đó
( )
( )
( )
5
5 6 7 8 5 2 3 2 3
1 1 0z z z z z z z z i i i i+ + + = + + + = + + + =
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa
3
