ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 60
Ngày 25 tháng 3 năm 2015
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
1
32
+
−
=
x
x
y
có đồ thị
)(C
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
)(C
của hàm số.
b. Tìm
m
để đường thẳng d:
mxy +−=
cắt
)(C
tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của
)(C
tại hai
điểm đó song song với nhau.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình:
sin 3 3sin 2 cos2 3sin 3cos 2 0x x x x x
− − + + − =
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:

2
2 2
( ) 4 1 0
( ) 2 7 2
x x y y y
y x y x y

+ + − + =


+ − − =


(x, y
∈
R).
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân:
2 2
2
1
( 1) 2(ln )
(1 )
e
x x x x
I dx
x
+ + +
=
+
∫

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, CD. Chứng minh AM vuông góc
với BN và tính thể tích hình chóp M.ABND biết SC
2a=
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho
zyx ,,
là các số dương thay đổi thỏa mãn
32 =++ zyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức : P =
2 2 2
2 2 2
2 2
4
2 4
xy yz zx
x y z
x y y z z x
+ +
+ + +
+ +
.
Câu 7.(1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho
∆
ABC cân tại A có chu vi là 18. Cạnh AB nằm trên
đường thẳng
∆
:
07373 =−− yx

; điểm B, C
∈
Ox; điểm A có tung độ dương. Viết phương trình đường
thẳng d cắt cạnh AB tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần có chu vi và
diện tích bằng nhau.
Câu 8.(1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
01 =+−+ zyx
và đường
thẳng d:
3
1
1
1
1
2
−
−
=
−
−
=
−
− z
y
x
. Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng
∆
nằm
trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến
∆

bằng
23
.
Câu 9.(1,0 điểm). Cho số phức
z
thỏa mãn:
22 ++= zzz
và số phức
2
−=
zw
có mô đun nhỏ nhất. Tìm
một Argument của số phức z biết phần ảo của z là một số âm.
Hết

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa 1
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 60
Câu Ý
Nội Dung
Đ
1
Cho hàm số
1
32
)(
+
−
==
x
x

xfy
có đồ thị
)(C
a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
1,0
*Tập xác định: R\{-1}
*Sự biến thiên:
-Chiều biến thiên:
0
)1(
5
'
2
>
+
=
x
y
∀x≠-1
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞)
-Cực trị: hàm số không có cực trị
-Giới hạn và tiệm cận:
⇒==
+∞→−∞→
2limlim yy
xx
y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị
⇒−∞=+∞=
+−

−→−→
yy
xx 11
lim;lim
x=-1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
-Bảng biến thiên
x
∞−
-1
∞+

y’ + +

∞+
2
y

2
∞−
-Đồ thị:

y
x
-3
O
3
2
-1
2
Nhận xét: Đồ thị nhận I(-1;2) làm tâm đối xứng.

0,25
0,25
0,25
0,25
b
Tìm
m
để đường thẳng d:
mxy +−=
cắt
)(C
tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của
)(C
tại
hai điểm đó song song với nhau.
1,0
-PT hoành độ giao điểm của d và
)(C
:
03)3()(
1
32
2
=−−−−=⇔+−=
+
−
mxmxxgmx
x
x
d cắt

)(C
tại hai điểm phân biệt
m
g
∀⇔



≠−
>∆
⇔
0)1(
0
Gọi
21
, xx
là hoành độ hai giao điểm
3
21
−=+⇒ mxx
(1)
Theo bài ra tiếp tuyến của
)(C
tại hai điểm đó song song với nhau nên

( )
2
)1(
5
)1(

5
')('
21
2
2
2
1
21
−=+⇔
+
=
+
⇒= xx
xx
xfxf
(2)
Từ (1) và (2) ta có
123 =⇔−=− mm
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Giải hệ phương trình:
sin 3 3sin 2 cos 2 3sin 3cos 2 0x x x x x− − + + − =
1,0
sin 3 3sin 2 cos2 3sin 3cos 2 0x x x x x
− − + + − = ⇔
(sin 3 sin ) 2sin 3sin 2 (cos2 2 3cos ) 0x x x x x x+ + − − + − =
2

2sin 2 .cos 2sin 6.sin .cos (2cos 3cos 1) 0x x x x x x x⇔ + − − − + =
2 2
2sin cos 2sin 6sin cos (2cos 3cos 1) 0x x x x x x x⇔ + − − − + =
2
1 1
(2sin 1)(2cos 3cos 1) 0 sin ,cos 1,cos
2 2
x x x x x x⇔ − − + = ⇔ = = =
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa 2
+)
1 5
sin 2 , 2
2 6 6
x x k x k
π π
π π
= ⇔ = + = +
+)
1
cos 2
2 3
x x k
π
π
= ⇔ = ± +
+)
cos 1 2x x k
π
= ⇔ =
KL:Vậy phương trình có 5 họ nghiệm như trên.

0,25
0, 5

0,25
3
Giải hệ phương trình:
2
2 2
( ) 4 1 0
( ) 2 7 2
x x y y y
y x y x y

+ + − + =


+ − − =


(x, y
∈
R).
1,0
Dễ thấy
0y ≠
, ta có:
2
2
2
2 2

2 2 2
2
1
4
( ) 4 1 0
1 ( ) 4
.
( ) 2( 1) 7
( ) 2 7 2 1
( ) 2 7
x
x y
x x y y y
y
x y y x y
y x y x y
y x y x y x
x y
y

+
+ + =


+ + − + =

+ + + =
 
⇔ ⇔
  

+ − + =
+ − − = +




+ − =


Đặt
2
1
,
x
u v x y
y
+
= = +
ta có hệ:
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
+ = = − = =
  
⇔ ⇔
 

− = + − = = − =

  
+) Với
3, 1v u= =
ta có hệ:
2 2
1, 2
1 2 0
2, 5
3 3
x y
x y x x
x y
x y y x
= =
 
+ = + − =

⇔ ⇔
 

= − =
+ = = −

 
.
+) Với
5, 9v u= − =
ta có hệ:
2 2 2
1 9 1 9 9 46 0

5 5 5
x y x y x x
x y y x y x
  
+ = + = + + =
⇔ ⇔
  
+ = − = − − = − −
  
VN.
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
(1;2)
và
( 2;5)−
0,25
0,25
0,25
0,25
4
Tính tích phân:
2 2
2
1
( 1) 2(ln )
(1 )
e
x x x x
I dx
x
+ + +

=
+
∫
1,0
Ta có:
2
2 2
1 1 1
( 2 1) 2ln ln
2
(1 ) (1 )
e e e
x x x x x
I dx xdx dx
x x
+ + +
= = +
+ +
∫ ∫ ∫
=
2
2
2 2
1
1 1
1 ln 1 ln
2 2
2 (1 ) 2 (1 )
e
e e

x e x
x dx
x x
−
+ = +
+ +
∫ ∫
+ Ta có:
2
1
1 1 1 1
ln 1 2ln 2 1 1
2 2 ln 2 2
(1 ) 1 1 (1 ) 1 1
e
e e e e
x x dx
dx xd dx
x x x x x e x x
− −
   
= = − + = + −
 ÷  ÷
+ + + + + +
   
∫ ∫ ∫ ∫
=
1
2 2 2
2ln 2ln

1 1 1 1
e
x e
e x e e
− −
+ = +
+ + + +
. Vậy
2
1 2 2
2ln
2 1 1
e e
I
e e
−
= − +
+ +
0,25
0,25
0,5
5
Cho S.ABCD có đáy là hình vuông,
∆
SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
M, N, lần lượt là trung điểm SB, CD. Chứng minh AM
⊥
BN và tính thể tích hình chóp M.ABND
biết
2aSC =

.
1,0
Gọi H là trung điểm AD
)(ABCDSHADSH ⊥⇒⊥⇒
Gọi E là trung điểm BC khi đó ta có:
BNAEBCNABE
⊥⇒∆=∆
Gọi
BNMIABCDMISHMIBHAEI ⊥⇒⊥⇒⇒∩= )(//
AMBNAMEBN ⊥⇒⊥⇒ )(
(Đpcm)
Trong
SDC
∆
vuông cân tại D nên ta có:
aSDSCSD =⇒=
22
2
,
2
3a
SH =⇒
4
3
4
22
2
aa
aSSS
BCNABCDABND

=−=−=⇒
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa 3
x
d
N
H
M
C
B
A
I
E
N
M
D
C
B
H
S
A
Mà
16
3
.
3
1
4
3
2
1

3
.
a
SMIV
a
MISHMI
ABNDABNDM
==⇒=⇒=
0,25

0,25
0,25
0,25
6
Cho
zyx ,,
>0,
32 =++ zyx
.Tìm MinP =
2 2 2
2 2 2
2 2
4
2 4
xy yz zx
x y z
x y y z z x
+ +
+ + +
+ +

.
1,0

333222222
8)4)(2()4(3 zyxzyxzyxzyx ++=++++=++
)42(324)28()4()(
222222232323
xzzyyxzyyxxzzxzyzyxyx ++≥++++++++=
xzzyyxzyx
222222
424 ++≥++⇒
2 2 2
2 2 2
2 2
4
4
xy yz zx
P x y z
x y z
+ +
⇒ ≥ + + +
+ +
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2( 2 2 ) ( 2 ) ( 4 )
4 4
2( 4 ) 2( 4 )
xy yz zx x y z x y z
P x y z x y z

x y z x y z
+ + + + − + +
⇒ ≥ + + + = + + +
+ + + +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
9 ( 4 )
4
2( 4 )
x y z
P x y z
x y z
− + +
⇒ ≥ + + +
+ +
Đặt
2 2 2
4t x y z= + +
. Do
2 2 2 2 2
3 ( 2 ) 3( 4 ) 3x y z x y z t= + + ≤ + + ⇒ ≥

9
2
t
P t
t
−
⇒ ≥ +

Xét hàm số
9
( ) , 3
2
t
f t t t
t
−
= + ≥

Ta có
2
2
3
8 8
'( ) 0 in f ( ) (3) 4 3
4
t
t
f t M t f t
t
≥
+
= > ⇒ = = ⇔ =
1
2 3 1,
2
x y z x y z⇒ + + = ⇒ = = =
. Vậy
1

4 1,
2
MinP x y z= ⇔ = = =
0,25
0,25
0,25
0,25
7
∆
ABC cân tại A, 2p= 18.
∈BA,
∆
:
07373 =−− yx
; B, C
Ox∈
; điểm A có tung độ dương.
Viết PT d cắt cạnh AB tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần có
chu vi và diện tích bằng nhau.
1,0
Ta có
)0;1(BOxB ⇒∩∆=
. Kẻ
BCAH ⊥
Gọi
)0;12()0;()7373;( −⇒⇒− aCaHaaA
Từ gt
1>⇒ a
)1(2),1(8 −=−==⇒ aBCaACAB
218)1(18 =⇔=−=++⇒ aaBCACAB

)0;3(),73;2( CA⇒
.Đặt
879
≤≤⇒−=⇒=
xxBNxBM
Mà
2
1
.
.
2
1
=⇒=
BCBA
BNBM
S
S
ABC
BMN

8
2
1
2.8
)9(
=⇔=
−
⇒ x
xx
HNAM ≡≡⇒ )0;2(,)73;2(

Vậy PT đường thẳng
02: =−xd
0,25
0,25
0,25
0,25
8
(P):
01 =+−+ zyx
và d:
3
1
1
1
1
2
−
−
=
−
−
=
−
− z
y
x
,
)(PdI ∩=
. Viết PT đường thẳng
∆

nằm trong
(P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến
∆
bằng
23
.
1,0
• (P) có véc tơ pháp tuyến
)1;1;1( −=n
và d có véc tơ chỉ phương
)3;1;1(
1
−−=u

)4;2;1()( IPdI ⇒∩=
• vì
∆⇒⊥∆⊂∆ dP);(
có véc tơ chỉ phương
[ ]
)1;1;2(2)2;2;4(;
1
−−=−−== unu
0,25
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa 4
• Gọi H là hình chiếu của I trên
∆
. Khi đó do
⇒∆⊥⊂ IHPIH ),(
véc tơ chỉ phương của IH là
[ ]

)1;1;0(3)3;3;0(;
2
=== unu
⇒
Phương trình





+=
+=
=
tz
ty
x
IH
4
2
1
:

);;0()4;2;1( ttIHttH =⇒++⇒
mà



−=
=
⇔=⇔=

3
3
23223
2
t
t
tIH
+ Với
1
7
1
5
2
1
:)7;5;1(3
−
−
=
−
=
−
−
∆⇒⇒=
zyx
ptHt
+ Với:
1
1
1
1

2
1
:)1;1;1(3
−
−
=
+
=
−
−
∆⇒−⇒−=
zyx
ptHt
0,25
0,25
0,25
9
Cho số phức
z
thỏa mãn:
22 ++= zzz
và số phức
2
−=
zw
có mô đun nhỏ nhất. Tìm Argumen
của số phức z biết phần ảo của z là một số âm.
1,0
Gọi số phức có dạng:
;biazbiaz −=⇒+=


0;, <∈ bRba
Theo bài ra:
12)22(4422
2222
+=⇔+=+⇔++= ababazzz
Mà
4)1(52)2(2
2222
+−=+−=+−=−= aaabazw
⇒
w
nhỏ nhất khi a=1
izba 3131 −=⇒−=⇒=⇔
Ta có:












−
+







−
=








−=−=
3
sin.
3
cos2
2
3
2
1
231
ππ
iiiz
Vậy số phức z có một Argumen bằng
6
π

−
0,25
0,5
0,25
Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa 5