- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 8
đề thi học sinh giỏi toán 8
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (107.02 KB, 3 trang )
ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1. ( 2 điểm ):
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x
3
(x
2
- 7 )
2
- 36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh:
A= n
3
(n
2
- 7 )
2
- 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n.
Bài 2. ( 2 điểm ):
Cho biểu thức A =
32
23
1
1
:
1
1
xxx
x
x
x
x
+−−
−
−
−
−
với x khác -1 và 1.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x
3
2
1−=
.
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 3. ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004.
Tính : M =
2004
2004 2004 2004 1
a b c
ab a bc b ac c
+ +
+ + + + + +
.
Bài 4. (4 điểm ) : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB , BC. Gọi P giao điểm của AN với DM.
a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông.
b) Tính diện tích của tam giác APM
c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân.
Bài 5. ( 1 điểm ): Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x
2
= y
2
+ 2y + 13.
HẾT
HDC ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài Đáp án Điểm
1
a) x
3
(x
2
- 7 )
2
- 36x = x[( x
3
- 7x)
2
- 36]
= x(x
3
- 7x - 6)( x
3
- 7x
+ 6 ) = x(x
3
- x - 6x - 6)( x
3
- x
- 6x + 6 )
= x[x(x - 1 )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - 1 )( x + 1) - 6( x- 1)]
= x(x + 1 )(x
2
- x - 6)(x - 1 )( x
2
+ x - 6 )
= x(x + 1 )(x
2
- 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x
2
+3x - 2x - 6 )
= x(x + 1 )(x
2
- 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x
2
+ 3x - 2x - 6 )
= x(x + 1 )( x - 1 )[(x(x - 3 ) + 2( x - 3 )][(x(x + 3 ) - 2( x + 3 )]
= x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 )
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Theo phần a ta có :
A = n
3
(n
2
- 7 )
2
- 36n
= n(n + 1 )( n - 1 ) (n - 3 )(n + 2 ) ( n - 2 )( n + 3 )
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp . Trong 7 số nguyên liên tiếp có :
- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2.
- Một bội của 3nên A chia hết cho 3.
- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5.
- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7.
Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A
M
( 2.3.5.7 )
Hay A
M
210.
0,25
0,25
2
a) Với x khác -1 và 1 thì :
A=
)1()1)(1(
)1)(1(
:
1
1
2
23
xxxxx
xx
x
xxx
+−+−+
+−
−
+−−
=
)21)(1(
)1)(1(
:
1
)1)(1(
2
2
xxx
xx
x
xxxx
+−+
+−
−
−++−
=
)1(
1
:)1(
2
x
x
−
+
=
)1)(1(
2
xx −+
0,25
0,25
b) Tại x =
3
2
1−
=
3
5
−
thì Acó giá trị là
−−−
−+ )
3
5
(1)
3
5
(1
2
=
)
3
5
1)(
9
25
1( ++
27
2
10
27
272
3
8
.
9
34
===
0,25
0,25
c) Với x khác -1 và 1 thì A< 0 khi và chỉ khi
0)1)(1(
2
<−+ xx
(1)
Vì
01
2
>+ x
với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi
01 <− x
1>⇔ x
KL
0,25
0,25
3
Thay 2004 = abc vào M ta có :
2
2
2
1
(1 ) ( 1 ) 1
1
1 1 1
1
1
1
a bc b c
M
ab a bc abc bc b abc ac c
a bc b c
ab ac c b c ac ac c
ac c
ac c c ac ac c
ac c
ac c
= + +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
+ +
= =
+ +
0,25
0,25
0,25
0,25
4
Vẽ hình đúng cho phần a 0,25
a) Chứng minh ∆ADM =∆BAN ( c.g.c )
=>
µ
¶
1 1
A D=
Mà
¶
¶
0
1 1
90D M+ =
( ∆ADM vuông tại A )
Do đó:
µ
¶
0
1 1
90A M+ =
=>
·
0
90APM =
.Hay ∆APM vuông tại P.
0,75
0,25
0,25
b) Tính được : AP =
4 5
( )
5
cm
AM =
2 5
( )
5
cm
S
APM
=
2
4
( )
5
cm
0,5
0, 5
0,25
c) Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H.
Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành
=> AN // CI mà AN ⊥ DM nên CI ⊥ DM
Hay CH là đường cao trong ∆CPD (1)
Vận dụng định lý về đường trung bình trong ∆ADP chứng minh được H
là trung điểm của DP => CH là trung tuyến trong ∆CPD (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∆CPD cân tại C.
0,5
0,25
0,25
0,25
5
Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng ( x + y + 1)( x - y - 1) = 12
Lập luận để có x + y + 1> x - y - 1 và x + y + 1; x - y - 1 là các ước
dương của 12 từ đó có các trường hợp :
x + y + 1
12 6 4
x - y - 1
1 2 3
x
13
2
4
7
2
y
9
2
1
1
2
−
Mà x; y nguyên dương nên ( x; y) = ( 4; 1)
KL.:vậy (x;y) = (4;1)
0,25
0,25
0,25
0,25
*Chú ý: Ở mỗi phần, học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa.
1
11
D
A B
C
P
H
I
M
N
