TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
* KHOA TOÁN*
BÙI THỊ MAI
BÀI TOÁN CÓ ĐẠI LƯỢNG BIỂN THIÊN VÀ PHƯƠNG
PHÁP GIẢI
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • •
Chuyên ngành: Đại số
Người hướng dẫn khoa học
GVC. VƯƠNG THÔNG
HÀ NỘI - 2014
Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu, cùng với sự giúp đỡ của các
thầy cô và các bạn sinh viên, khóa luận của em đến nay đã được hoàn
thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy Vương
Thông,

Thày đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và
hoàn thành khóa luận với đề tài: “Bài toán có đại lượng biến thiên và
phưong pháp giải”.
Qua đây em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các
thầy cô trong khoa, các thầy cô giáo trong tổ Đại số trường ĐHSP Hà Nội
2, sự động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trong
quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này.
Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu có hạn và chưa có kinh nghiệm
trong công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không ừánh khỏi
những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và
các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm
ơn !
Em xỉn chân thành cảm ơnỉ
Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện
Bùi Thỉ Mai

LỜI CẢM
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do
chính sức lực của bản thân tham khảo tài liệu. Đe tài của tôi chưa được
công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác.
Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện
Bùi Thị Mai
LỜI CẢM
■
MỤC LỤC
LỜI CẢM
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa
học khác, là thảnh phàn không thể thiếu của văn hóa phổ thông. Môn toán
có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ
chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy con người. Nó bắt
nguồn tò nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ thực tiễn. Cùng
với thời gian và sự tiến bộ của loài người. Toán học ngày càng phát triển
và chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Trong
đó toán học ứng dụng đóng vai trò quan trọng. Đại số, là một phần ừọng
yếu của Toán học. Đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu chuyên sâu
vào lĩnh vực đại số. Đặc biệt là những bài toán có đại lượng biến thiên, nó
không chỉ gặp ở phổ thông mà còn ở các bậc cao hơn.
Trên cơ sở những kiến thức đã học và với mong muốn tiếp cận và
tìm hiểu những bài toán biến thiên, được sự chỉ bảo của Thầy

VƯƠNG
THÔNG

em mạnh dạn chọn đề tài: “Bài toán có đại lượng biến

thiên và phương pháp giải”
2. Mục đích nghiền cứu, nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu những bài toán có đại lượng biến thiên
3. Đối tượng nghiên cứu
Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp
Chương 1: XÉT TRONG TOÁN sơ CẤP
1. Hàm số chứa tham số
LỜI NÓI
5
1.1Bài toán tìm các điểm đặc biệt của họ hàm sổ
Cho họ hàm số y = /(x,m) m € D là tham số, X- đối số. Khi gán cho
m các giá trị cụ thể, ta có một hàm số cụ thể và có đồ thị tương ứng.
Khi m thay đổi, do đó đồ thị cũng thay đổi theo.Từ đó,các điểm trên mặt
phẳng chia làm các loại sau:
i. Điểm mà mọi đồ thị đi qua gọi là điểm cố định của họ đồ thị hàm số.
ii. Điểm trên mặt phẳng không có đồ thị nào của họ đi qua
iii. Điểm trên mặt phẳng có một số đồ thị đi qua.
1.1.1 Tìm điểm cố định của họ hàm số y= /(x,m).
* Phương pháp giải bằng đa thức
- Cơ sở lý luận:
Nếu y
0
- /(x,m) đưa được về dạng đa thức của tham số m thì từ /
(xo,m) - y
0
= 0 Vme D, ta có hệ phương trình ẩn Xo, yo- Giải hệ này ta
tìm được (x
0

, yo).
- Thuât toán:
Bước 1: Đưa /(x
0
,m) - y
0
về đa thức với biến m Giả
sử M
0
(x
0
yo) là điểm cố định của hàm số. Khi đó
yo= A
x
o,m)Vm € D

(1)

(1) <=>/(x0, yo) - yo = 0 Vm e D Ta viết vế trái
dưới dạng một đa thức ẩn m. Giả sử là:
ỮO(XO,YO ) + ỮÌ (XFÌ ,Y

F Ì

)M

+ + A

K


(X

0

,Y

0

)M

K

= 0 VM
<ED

vế trái là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng k ẩn m, có số nghiệm
nhiều hơn bậc của đa thức khi và chỉ khi vế trái là đa thức không.
LỜI NÓI
6
Яо(*о.Уо)
= ° «l(Wo)
=
0
*
М
Х
0’Уо) = °
Bước

2:Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm (xo,yo) thì họ hàm số

có bấy nhiêu điểm cố định.
-Ví du minh hoa:
• •
Ví du 1:
Cho họ hàm số
у = X
3
- ( m + l)x
2
- (2m
2
- 3m + 2)x + 2m(2m - 1) (Cm)
m là tham số.
Tìm điểm cố định của họ hàm số trên
Bài giải:
Bước 1: Gọi Mo (x
0
, Уо) là điểm cố định của họ hàm số, khi đó ta có
y
0
= x
0
3
- ( m + l)x
0
2
- ( 2m
2
- 3m + 2)x
0

+ 2m( 2m - 1) Vm <=>( 4 - 2x
0
)m
2
+ ( 3x
0
- x
0
2
- 2 )m + (x
0
3
- x
0
2
-2x
0
- Уо )= 0(l)Vm Từ ( 1) suy ra hệ
phương trình sau đây:
4 - 2X

0

= 0 3x
0
-XỊ - 2 = 0

л
0
— л

0
— 2X

0

— Ỵ

0

—

0
Bước

2:Từ ( 2 ) ta có: Xo =

2 thay vào (

4) có Уо =

0, thay vào (

3 )
thấy đúng
Vậy hệ (2)(3)(4) có nghiệm duy nhất Xo = 2, Уо = 0 Suy ra, với mọi
m, ( Cm ) có một điểm cố định là M
0
(2;0)
Ví du 2:
LỜI NÓI

7
(2
)
(3
Cho họ hàm số y = mx
3
+ ( 1 - m)x (Cm) (m là tham số).
Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ mà họ (Cm) đi qua với mọi m.
Bài giải:
LỜI NÓI
8
Bước l:Gọi ( Xo, Уо) là điểm càn tìm, khi đó ta có:
Уо = mx
0
3
+ ( 1 - m)x
0
Vm
Bước 2:Từ ( 2) ta có: Xo = 0; Xo = 1 ; Xo = -1. Thay vào ( 3) suy
ra họ hàm
số đã cho luôn điqua ba điểm cố định sau:A(0;0); B(l;l); C(-l;-l).
Ví du 3:
Cho hàm sốy =-x
3
-mx
2
- X + m +- (Cm)
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số (Cm)
Bài giải:
Bước 1: Gọi м

0
(х
0
, Уо) là điểm cần tìm, khi đó ta có:
1 2 2 yo= ^ xo- m xo -x
0
+m+|
Vm
<=> m( 1 - x
0
2
) + ^x
0
3
- Xo +! - Уо = 0 (1) Vm
Từ (1) suy ra hệ phương trình sau đây:
Ì-JC
0
2
=0 (2)
+ 3 Уо=0

(
3
)
Bước 2: Từ (2) ta có Xo = 1; Xo = -1 thay vào (3) suy ra họ hàm số đã
cho luôn đi qua hai điểm cố định sau: A(1 ; 0); B(-l ; - )
Bài tập vận dụng
_


,

mx
2
+3mx+2m+ l
Bài 1: Cho hàm số y - 7 (Cm)
x + 2
LỜI NÓI
9
Chứng minh rằng các tiệm cận xiên của họ (Cm) luôn đi qua một điểm cố
địnhvới mọi m?
Bài 2: Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ hàm số
Y

= ( M + L) X

2

+ (4M — 5)X + 4M + 4

luôn tiếp
xúc với nhau tại một điểm cố định Bài3: Cho họ hàm số
_ 2MX -

(3M

2

+ 4M


+ 3)
У

-

2 ĩ » m là tham số
M

+1
Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số ừên đi qua một điểm cố định
* phương pháp dùng đạo hàm
- Cơ sở lý luận:
Từ yo = /(xo, m) ( m là tham số). Lấy đạo hàm theo m cả hai vế, ta
có:
fm(
x
O’
m
) =
ồ
- Thuât toán:
Viết vế ừái dưới dạng đa thức ẩn m, giả sử là:
ữo(xo) +

ữi(xo)m + +

a
n
(xo)m
k

= 0
Bước l:Phương trình trên có nghiệm với mọi m khi và chỉ khi vế trái là đa
thức không.
a
0
(x
0
) =
0
й
1
(д;
0
)
= 0
a„(x
0
) = 0
Bước 2: Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm thì họ hàm số đã cho có
bấy nhiêu điểm cố định.
LỜI NÓI
1
Tìm y
0
: cho m giá tri cụ thể thuộc D, thay Уо = /(x
0
, m), từ đó ta tìm
được điểm Ao(x o, Уо)
- Ví dụ minh họa:
■ •

Cho họ hàm số
у = X
3
- (m + l)x
2
- (2m
2
- 3m + 2 )x +2m(2m
-1), m là tham số (Cm).
Tìm điểm cố định của hàm số trên.
Bài giải
Bước 1:

Giả sử M
0
(x
0
, yo) là điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua. Khi đó,
đặt
F(m) = (4 — 2xo)m
2
+ (3xo -xồ — 2)m + (xổ — xồ - 2xo) =

Уо (*)
(Vm € R)
Suy ra FN(M ,X

0

)


= 2(4-2x
0
)m + 3x
0
-XQ

-2, Vm € R (1)
Từ (1) suy ra
(2) (3)
Bước 2:

Thay m =

0 vào (*)

thì Уо =

Xo
3
-

x
0
2
-
2x
0
Xo = 2, Уо = 0 Vậy (Cm) luôn đi qua một
điểm cố định M

0
(2; 0)
- Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hàm số y = (m + l)x
3
- (2m + l)x - m + 1 (Cm).
Chứng minh rằng đồ thị (Cm) luôn đi qua ba điểm cố định thẳng hàng V
m? Bài

2: Cho họ hàm số
y = X
3
+ ( m +1 ml )x
2
- 4x - 4(m +1 m I ) (Cm)
Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m?
LỜI NÓI
1
1.1.2 Tìm các điểm mà họ hàm sổ không đi qua
- Cơ sở lý luận:
Giả sử A
0
(x
0
, Уо) là điểm ừong mặt phẳng mà không có đồ thị nào
của họ hàm số у =/(x, m) đi qua. Suy ra phương trình Уо = /(x
0
, m) vô
nghiệm đối với ẩn m. Khi đó ta có được mối liên hệ Xo, Уо- Từ đó, ta tìm
được AQ(X

0
, УО) mà họ hàm số không đi qua.
- Thuâttoán:
Bài toán đưa về xét phương trình: Уо - /(x
0
,m) = 0 (ẩn m) là vô
nghiệm. Đây là bài toán khó, chỉ xét được một số dạng đơn giản sau:
• Phương trình bậc nhất
• Phương trình bậc hai
• Một số dạng khác
- Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà đồ thị hàm số.
X
2
+

mx - 2
y = —
x — rn
không đi qua khi m thay đổi
Bài giải:
Gọi (x
0
, Уо) là điểm phải tìm, khi đó ta có:
x
n
2
+ MX

N


-

2
?0
-
_ ( XoФ m )
X

Ữ

-M

v
'
=> (Xo + yo) m + (xo
2
- Хо Уо - 2 ) = 0 Để (x
0
,
Уо) là điểm mà đồ thị không thể đi qua, điều kiện cần và đủ là phương
trình của ẩn số m không có nghiệm, tức là
J*0 +Уо =°
LỜI NÓI
1
[-*0
—
^0^0
—
2 ^ 0

Tứclàxo^-yo^il
Vậy các điểm thỏa mãn nằm trên đường thẳng y = -X, bỏ đi hai điểm
(1;-1) và (-1 ;1)
Ví du 2
Cho hàm số
y = (m - 2)x
2
- 2(m +l)x + m + 1 (Cm)
Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có đường nào của
họ hàm số đi qua ?
Bài giải
Gọi (xo,yo) là điểm phải tìm. Khi đó phương trình sau đây (ẩn m)
vô nghiệm
Уо = (m — 2)xồ — 2(m +1 )xo + m +1
Vậy các điểm thỏa mãn nằm trên đường thẳng X = 1, bỏ đi điểm M(l;-3)
Bài tập vận dụng
Bài 1 : Cho họ hàm số Y

=

X

+mx
—- ,m là tham số
x-m
Tìm những điểm mà các đồ thị hàm số trên không đi qua.
(m + ì)x
2
-m
2

Bài 2 : Cho họ hàm số Y

-

,m là tham số
x-m
Tìm những điểm mà họ tiệm cận xiên của họ hàm số trên không đi qua
Bài 3 : Cho họ đường thẳng
y = (m + l)x + m
2
+ m (Cm)
LỜI NÓI
1
Tìm các điểm mà họ đó không đi qua với mọi m?
1.2Bài toán tìm quỹ tích một ỉoại điểm
* Phương pháp hàm số
- Cơ sở lý luận
Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến thiên
của hàm số /(x, m) trên D rồi biện luận để tìm đượcgiá ừị của tham số
m để tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu.
Dựa vào quy tắc thứ hai tìm cực đại, cực
tiểu Nếu / (x
0
) = 0 và
a) Nếu / (x
0
) < 0, thì y = / (x) đạt cực đại tại x
0
b) Nếu / (x
0

) > 0, thì y = / (x) đạt cực tiểu tại x
0
- Thuât toán:
Bước 1 : Phân tích
Bước 2 : chứng minh phàn
thuận Bước 3 : chứng minh
phần đảo
Bước 4 : Muốn tìm quỹ tích ta cần phải có phần giới hạn quỹ tích
- Ví du minh hoa
• •
Ví dụ 1: Với giá tri nào của m thì hàm số
Ỵ = X

4

+

4MX

+ 3 ( M +
L)X

2

+ 1

chỉ có cực tiểu và không có cực đại
Bài giải
LỜI NÓI
1

Ta có

y = X + 4mx
3
+ 3(m + 1 )x
2
+ 1
y’ = 4x
3
+

12mx
2
+

6 (m + l)x

=
2jc[2jc
2
+ 6 mx + 3 (m +1)]
Đặt g(x) = 2x
2
+ 6mx + 3(m +1)
Nếu g(x) > 0 Vx, tức là nếu
A' = 9m
2
- 6(m + 1) = 3(3m
2
-2m -2) < 0

ТТ
1

л/v" 1+ л/7
Hay — — <M<

—-7—
J
3 3
Thì y đổi dấu từ - sang + khi X chạy qua giá trị 0
Do đó hàm số đã cho chỉ có cực tiểu (tại X = 0) và không có cực đại
Nếu Л > 0 hay
™ Л-Л И

- ™ ^1 + V7
m < — h o ặ c m >
2 3
g(x) có hai nghiệm phân biệt Xi, x
2
. Neu hai nghiệm này khác 0 thì у = 0
có ba nghiệm phân biêt và у đổi dấu từ + sang - khi X đi qua nghiệm thứ
hai, như vậy hàm số có cực đại
Vì vậy trong trường hợp này để у không có cực đại thì trong hai
nghiệm của g(x) phải có một nghiệm bằng 0, tức là g(0) = 0. Điều này chỉ
xảy ra khi m = -1.
Vậy các giá tri của m là
1-V7 ^_^ 1 + л/7 „
д
__ ,
— _— <т< ——-— và m = — 1

3 3
™

1 Л

ẩ

„_2mx
2
+(m
2
-2т)(х-1)
Ví du 2 : Cho hàm sô У

:
LỜI NÓI
1
X — 1
Trong đó m là tham số. Tìm quỹ tích điểm cực đại của đồ thị khi m thay
đổi.
Bài giải
Ta có:
2

mx(x — 2)
Đồ thị hàm số chỉ có cực đại, cực tiểu khi m^o.

Khi đó, ta có bảng
biến thiên
LỜI NÓI

1
a) Với m > О
b) m<О
a) Khi m >0 điểm cực đại I của đồ thị có tọa độ
X = О, у = m
2
- 2m = (m - l)
2
- 1 Nếu m thay
đổi tò 0 đến +00 thì (m - l)
2
- 1 thay đổi từ -1 đến +00 Vậy điểm I
chạy ừên trục tung qua tất cả các điểm có tung độ lớn hơn -1.
b) Khi m < 0 điểm cực đại I có toạ độ
X = 2, у = m
2
+ 6m = (m + 3)
2
- 9 Nếu m thay đổi
từ 0 đến -00 thì (m + 3)
2
- 9 thay đổi từ -9 đến +00 Vậy điểm I chạy
trên đường thẳng X = 2, qua tất cả các điểm có tung độ lớn hơn -9.
Như vậy quỹ tích điểm I là
Nửa trục tung, gồm các điểm có tung độ у > -1
Nửa đường thẳng X = 2, gồm các điểm có tung độ у > -9
Bài tập áp dụng
Bài 1

: Cho họ hàm số


y =

X
3
+mx
2
, m là tham số.
Tìm quỹ tích các điểm cực đại của đồ thị.
Bài

2 : Cho hàm số Y

=
+(
m
+l)-*
:
+
m
^ grá tri nào của m thì hàm
x + m
số có cực đại,cực tiểu. Tìm quỹ tích các điểm cực tiểu của đồ thị.
LỜI NÓI
1
1.3Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa tham sổ
- Cơ sở lý luận:
Cho hàm số /(x) xác định trên miền D. Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất
của /(x) trên D, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
a) /(x) < M, Vx € D

b) 3 x
0
€ D : /(Xo) = M
Khi đó ta kí hiệu M = max
x e D
/(x)
Mặt khác, số m gọi là giá tri bé nhất của /(x) trên D, nếu đồng thời thỏa mãn
hai điều kiện sau đây:
a) /(x) > m, Vx € D
b) 3 x
0
e D : /(x
0
) = m Ta kí
hiệu m = min
xeD
/(x)
- Thuât toán :
■
Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số khá đa dạng, phong phú và có
thể nói là khó không những đối với học sinhphổ thông mà còn đối
với sinh viên các trường đại học đặc biệt làcác hàm sốchứa tham
số.
Rất nhiều trường họp, việc tìm GTLN, GTNN của hàm số gặp không ít khó
khăn, thậm chí không tìm được. Tuy nhiên, chúng ta mong muốn biết được
một số tính chất nào đó của GTLN, GTNN
Vì vậy, với dạng GTLN, GTNN của hàm số mang tính định tính thông
qua các giá trị của hàm số tại một số điểm đặc biệt của hàm số.
- Ví dụ minh họa


Ví
dụ 1 : Cho hàm số
1 + sin
1 - sin
/(*)
Bài
Tìm GTNN của hàm sô trên
Ta có
l + sin2jc _ (sinjc + cosjc)
2
_ (1 +
tanjc)
2
l-sin2.x (sinjt-cosx)
2
(l-
tanx)
2
_ 1 + tanx
Đặt T -

—
1-tanx
Khi đó từ о <
X
< —

suy га 1 < T <

+00

Ta đưa bài toán tò tìm min /(x) về tìm min^+J^t)
Với F(t) -1
2
- (m+ l)t + m.
Ta có
F(í)

= 2t - ịm +1)
w -V ^
m + ì
F\T) = 0

<^> í = ^—
2
Xét hai trường họp sau
л M

+1
a) Nếu < 1 thì m < 1 ta lập bảng biến ứiiên
Vậy mini<
t
<
+oa
F(t) = F(l) = 0 min
xeD
f(x) = 0
b) Nếu
m + 1
> 1 hay m > 1 ta có bảng biến thiên
t

-oc M + Ỉ Ị

+QC 2
F\T

) 0 + +
F(t) 0
Kết luận
• min f(x) = 0 nếu m < 1
•min f(x) = - ^

m

~^

nếu m > 1 4
Ví du 2 :
Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ
ịx + y = 2 — a \х
2
+ у
2
+ху — Ъ
Tìm a để biểu thức M = X
2
+ y
2
+xy = 3 đạt GTLN, GTNN Bài giải
x+ у = 2-а X
2

+ у
2
+ xy — 3
x+y=2-a
x+y=2-a
2
xy = (2 — àỷ
( 2- a)
2
- 4[(2 - a)
2
- 3] > 0 <^12 - 3(2- а)
2
> 0 <^ ( 2 - a)
2
< 4 <^>-2<2-а<2 <=> 0 < а < 4
Do đó, với a G [ о ; 4] thì hệ (*) có nghiệm Ta có
Ta
(*)
L
(* + ;y) -XY = 3 Hệ (*) có
nghiệm khi và chỉ khi
M = X
2
+y
2
- xy = ( X
2
+ y
2

+ xy) - 2xy = 3 - 2[( 2- a)
2
- 3] =
-2a
2
+ 8a + 1 Xétf(a) = -2a
2
+ 8a + 1
f (a) = -4a + 8;f(a)

= 0 a = 2 f(2) = 9;f(0) = l;f(4)

= l
Do đó GTNN của M là 1, đạt được khi a = 0 hoặc a = 4 GTLN của M là
9, đạt được khi a = 2 Ví dụ 3
Cho hàm số
F(X

) = 2X

2

—1 + AX —200 7^1 — X

2



Trong đó
a là tham số thực tùy ý Gọi M = max

xe
[_i;i]f(x); m = min
xe[
_i ;i]f(x)
[M

>1
2007
Chứng minh rằng
m <
Bài giải
Ta có
1
Suy ra M > Ị

(/(1) + / (-1)) = 1 (đpcm)
Tương tự ta có
. 1 2007
mS/ (

V2

)

=
;/2 V2
. 1 , A

2007
/(

Vỉ’ k V2
>m
“2
[/(
^
) + /(
“^
)1 thec(2)
Vậy M <
2007
'
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số f(x) = I4ax
3
+ 2bx
2
+ ( l-3a )x - b I
Trong đó a; b là các số thực tùy ý. Gọi M =max
xe[
_ii]f(x).
CMR

M > —
2
Bài 2: Giả sử M là giá trị lớn nhất của |b| sao cho
4bx
3
+ (a - 3b )x < 1, với mọi giá trị X e [-1 ; 1 ] và với mọi số thực a.
CMR M < 1
Bài 3: Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ

ịx+ y = 2-a [x
2
+
y
2
+ xy = 3
Tìm a để biểu thức M =x
2
+ y
2
+ xy đạt GTLN, GTNN
2. Phương trình chứa tham số
2.1 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x; m) = 0 có
nghiệm trên D
* Phương pháp đặt ẩn phụ
- Cơ sở lý luận:
Nhiều khi để giải một phương trình tham số, nếu sử dụng biến đổi
tương đương hoặc biến đổi hệ quả sẽ dẫn đến các phương trình phức tạp
hơn phương trình ban đầu. Đe khắc phục tình trạng đó, chúng ta dùng
phương pháp đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình dạng quen thuộc mà
ta đã biết cách giải.
- Thuât toán:
Phương pháp này được tiến hành theo 3 bước sau:
Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điền kiện của ẩn phụ Bước 2: Chuyển
phương trình đã cho về phương trình chứa ẩn phụ. Giải phương trình
chứa ẩn phụ, đối chiếu với điều kiện ẩn phụ đã nêu để tìm nghiệm thích
hợp của phương trình này.
Bước 3: Tìm nghiệm phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn
phụ.
- Ví dụ minh họa

Ví dụ

1: Tìm m để phương trình
X

+(* + l) — 2 1 có nghiệm
v
v b
X +X+1
Bài giải
Viết lại phương trình dưới dạng:
4
Đặt t = X
2
+ X + l ,í > -, Khi đó:
(
(
(l) <=> t(2t-ì)= m o 2t
2
—t-m =
Phương trình đã cho có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t >
3
(2) có môt nghiêm lớn hơn bằng —
4
3
(2) có hai nghiêm lớn hơn bằng —
4
AF(

y)<0

4
A>0
Vậy với m > - phương trình đã cho có nghiệm Ví dụ 2 : Tìm m để phương
trình sau có nghiệm ■\Jx + 6\FX — 9 + S LX — 6'JX — 9 = —
Bài giải
ĐK : X-9>0

X > 9
Đặt ẩn phụ t - YJX

-9

. Khi đó X = t
2
+ 9
Phương trình đã cho trở thành :
c
m
>
AF( y)>0
4
ịị 12
4
+
(
6(V(f + 3)
2
+V(f-3)
2
) = í

2
+9 +
<^ó(jí + 3| + |í-3|) = í
2
+m + 9
m
-12t + 9 + m
= 0 11
2
+ m - 27
(í>3)
(0 < t <