- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 7
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (103.37 KB, 4 trang )
ĐỀ THI
Môn Thi : Toán 11
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu I( 1 điểm): Giải phương trình
(sin 2 sin 4)cos 2
0
2sin 3
x x x
x
− + −
=
+
Câu II(2 điểm):
1/ Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một
khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho 3.
2/ Tìm số nguyên dương n sao cho:
1 2 3 2 1
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 (2 1).2 2011
n
n
n n n n
n
C C C C
+
+ + + +
− + − + + =
Câu III(2 điểm) : Cho hàm số:
3 2
3 2y x x= − + −
(C)
1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng
9 2011y x= − +
.
2/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị (C ) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến
với đồ thị ( C ).
Câu IV(2 điểm):
1/ Chứng minh phương trình :
4 3 2
2 2011 0x mx nx px− + + + + =
có ít nhất 2 nghiệm với
∀
m,n,p
R∈
2/ Tính:
2
1
3 2011 2009
1
x
x x
Lim
x
→
+ − +
−
Câu V( 3 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
BAD=60
0
; SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD);
3
4
a
SO =
. Gọi E là trung
điểm của AD, F là trung điểm của DE.
1/ Chứng minh (SOF)
⊥
(SAD).
2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD).
3/ Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Xác định
thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
( )
α
. Tính diện tích của thiết diện này.
Hết…………….
Đáp án
Câu Nội dung Điểm
I
Xét phương trình:
( 2 sin 4)cos 2
0
2sin 3
Sin x x x
x
− + −
=
+
(1)
Điều kiện:
3
sin
2
x ≠ −
Phương trình (1)
⇔
sin2x.cosx-
1
2
sin2x+4cosx-2=0
⇔
sin2x(cosx-
1
2
)+4(cosx-
1
2
)=0
⇔
(cosx-
1
2
)(sin2x+4)=0
⇔
x=
2
3
k
π
π
± +
Đối chiếu với điều kiện: x=
2
3
k
π
π
+
Vậy phương trình có nghiệm: x=
2
3
k
π
π
+
0,25
0,5
0,25
II
1
.Đặt A= {1;2;3;4;5;6}
.Các tập hợp con của A gồm có 3 phần tử và tổng của các phần tử đó
chia hết cho 3 là:
{1;2;3}, {1;2;6}, {2;3;4}, {1;3;5}, {1;5;6},{2;4;6}, {3;4;5}, {4;5;6}.
0,5
⇒
Có 8 tập
Ứng với mỗi tập hợp trên ta có thể lập được
3=3.2.1=6 (số) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy có 8.6=48 số cần tìm
0,5
2
Ta có
2 1 0 1 2 2 3 3 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
(1 ) . . . .
n n n
n n n n n
x c c x c x c x c x
+ + +
+ + + + +
− = − + − + −
(1)
0,25
Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) theo x ta được
2 1 2 3 2 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
(2 1)(1 ) ( 1) 2 . 3. . (2 1). .
n n n
n n n n
n x c c x c x n c x
+
+ + + +
+ − − = − + − + − +
⇔
2 1 2 3 2 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
(2 1)(1 ) 2 . 3. . (2 1). .
n n n
n n n n
n x c c x c x n c x
+
+ + + +
+ − = − + − + +
(2)
0,5
Cho x=2 vào hai vế của (2) ta được:
1 2 1 2
2 1 2 1
2 1 (2 1). .2
n n
n n
n c n c
+
+ +
+ = − + +
Khi đó: 2n+1=2011
⇔
n=1005.
Vậy n=1005.
0,25
Đường thẳng
∆
song song với đường thẳng y=-9x+2011 có phương
trình dạng y= -9x+m (m
≠
2011)
0,25
Đường thẳng
∆
là tiếp tuyến của (c )
⇔
hệ phương trình
3 2
2
3 2 9
3 6 9
x x x m
x x
− + − = − +
− + = −
có nghiệm
0,25
Giải (2):
1
3
x
x
= −
=
0,5
Nếu x=-1 thì thế vào phương trình (1) ta được m=-7 (thỏa mãn).
⇒
phương trình tiếp tuyến: y=-9x-7.
Nếu x=3 thì m=25( thỏa mãn)
⇒
phương trình tiếp tuyến: y= -9x+25
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến:y=-9x-7,y= -9x+25.
2
Goi M(x
0
,f(x
0
)
∈
(c ); f(x
0
)=
3 2
0 0
3 2x x− + −
.
Đường thẳng
∆
với hệ số góc k đi qua điểm M(x
0
,f(x
0
) có phương
trình là: y= k(x-x
0
)+ f(x
0
)
0,25
∆
là tiếp tuyến của (c )
⇔
hệ phương trình
3 2
0 0
2
3 2 ( ) ( )
3 6 1
x x k x x f x
x x
− + − = − +
− + =
có nghiệm
0,25
⇒
(x-x
0
)[-2x
2
+(x
0
+3)x+x
0
2
-3x
0
]=0
⇔
0
2 2
0 0 0
( ) 2 ( 3) 3 0
x x
g x x x x x x
=
= − + + + − =
∆
= (x
0
+3)
2
+8(x
0
2
-3x
0
)=9x
0
2
-18x
0
+9=9(x
0
-1)
2
>0
Yêu cầu bài toán
⇔
g(x)=0 có nghiệm kép x=x
0
⇔
0
0
0
3
4
x
x
∆ =
− −
=
−
⇔
x
0
=1
⇒
M(1;0)
Vậy M(1;0)
0,5
IV
1
Xét phương trình:
4 3 2
2 2011 0x mx nx px− + + + + =
(1)
Xét hàm số:
4 3 2
( ) 2 2011f x x mx nx px= − + + + +
4 3 2
lim ( ) lim ( 2 2011)
x x
f x x mx nx px
→+∞ →+∞
= − + + + + = −∞
⇒
∃
b>0 sao cho f(b) <o
4 3 2
lim ( ) lim ( 2 2011)
x x
f x x mx nx px
→−∞ →−∞
= − + + + + = −∞
⇒
∃
a<0 sao cho f(a) <o
0,5
f(0)=2011>0
Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn [a;0] và [o;b];
( ). (0) 0
(0). ( ) 0
f a f
f f b
<
<
⇒
phương trình có ít nhất 1 nghiệm x
1
∈
(a;0) và ít nhất 1 nghiệm x
2
∈
(0;b).
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm.
0,5
2
2 2
1 1
1
3 2 2011( 1) 3 4
lim lim[ 2011]
1
( 1)( 3 2)
1 4021
lim( 2011)
2
3 2
x x
x
x x x
x
x x
x
x
→ →
→
+ − − − + −
= −
−
− + +
+
= − = −
+ +
V Tam giác ABD đều nên
BE AD⊥
; OF//BE
OF AD⇒ ⊥
(1)
( )SO ABCD SO AD⊥ ⇒ ⊥
(2)
1,0
1
Từ (1) và (2)
( OF) ( ) ( OF)AD S SAD S⇒ ⊥ ⇒ ⊥
2
Kẻ
OH SF
⊥
tại H
( )OH SAD⇒ ⊥
( ;( ))d O SAD OH⇒ =
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 64
9 3
OF 9
16 16
3
8
a a
OH SO a
a
OH
= + = + =
⇒ =
O là trung điểm của AC nên
3
( ;( )) 2 ( ;( ))
4
a
d C SAD d O SAD= =
0,25
0,5
0.25
3 Gọi K là hình chiếu của C trên mp(SAD)
⇒
H là trung điểm của AK
( ) ( )mp mp BCK
α
≡
;BC//AD nên mp(BCK) cắt mp(SAD) theo giao
tuyến song song với AD.Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt
SD, SA tại M và N .Thiết diện tạo thành là hình thang BCMN
2
2 2 2
2
2
2
12 12
OF
16 4
3
.
4
a a
SF SO SF
SH SO
SO SH SF
SF SF
= + = ⇒ =
= ⇒ = =
⇒
MN cắt SF tại trung điểm I
⇒
MN là đường trung bình của tam
giác SAD
2
2 2
3
( )
( ) 9
2 4
2 2 16
td
AD a
MN
a a
a
MN BC CK a
S
⇒ = =
+
+
⇒ = = =
