- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 4
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (103.13 KB, 4 trang )
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 (cấp trường)
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT
Câu1 (4Điểm)
Cho phương trình:
2
1 tan
cos4 4
2 1 tan
x
x m
x
+ =
+
1.Giải phương trình với m =
1
2
2.Tìm m để phương trình có nghiệm x
0;
4
π
∈
÷
.
Câu2(3Điểm)
Giải hệ phương trình:
2
1
x y x y
y x y x
+ + − =
+ − − =
Câu3 (6Điểm)
1.Tính:
2
2014
0
( 2014) 1 2014 2014
lim
x
x x
x
→
+ − −
2.Cho khai triển:
2008
2
1 (1 )x x
+ −
Tính hệ số của x
10
Câu4: (3Điểm)
Tìm các điểm tại đó hàm số:
y=
cos 0
0 0
x voi x
x
voi x
π
≠
=
không có đạo hàm
Câu5: (4Điểm)
Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c.
1.Tính thể tích tứ diện ABCD.
2.Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
a b b c c a S
+ + ≤
(S là diện tích toàn phần của tứ diện)
………………………………….Hết……………………………………
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
1/1
1/2
2
3/1
3/2
*Tập xác định:x
2
k
π
π
≠ +
*PT tương tương: sin
2
2x-2sin2x+m-1/2=0
1)Với m=1/2:Thay PT ta được: sin
2
2x-2sin2x=0
sin 2 0
sin 2 2
x
x
=
⇔
=
⇔
x=
2
k
π
kết hợp điều kiện nghiệm : x=k
π
2)*Đặt t=sin2x do x
(0; )
4
π
∈
nên 0<t<1 ta được:
t
2
-2t-1/2=-m với 0<t<1
*Xét HS: y=t
2
-2t-1/2 với 0<t<1 suy ra:-3/2<y<-1/2 (Yêu cầu HS lập bảng)
*Để PT có nghiệm khi và chỉ khi 1/2<m<3/2
*Điều kiện:
0
0
0
0
x
y
x y
y x
≥
≥
− ≥
− ≥
*Hai vế của PT của hệ không âm,bình phương 2vế ta được:
2
2
2
2 2 1
x y x
y x y
− = −
− = −
2
1/ 2
4 4 0
4 4 1 0
x
y
x y
x y
≤
≥
⇔
− − =
− + =
17 /12
5/ 3
x
y
=
⇔
=
là nghiệm của hệ
1)
2
2014
0
( 2014) 1 2014 2014
lim
x
x x
x
→
+ − −
=
2 2 2
2014
0
( 2014) 1 2014 ( 2014)
lim
x
x x x x
x
→
+ − − + +
=
2 2
2014
0
( 2014)( 1 2014 1)
lim
x
x x x
x
→
+ − − +
=
2
2013 2012
0
2014 2014
2014
lim( 2014)
(1 2014 ) (1 2014 ) 1
x
x
x x
→
−
+
− + − + +
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
1,0
1,0
0,5
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
4
5/1
5/2
=-2014
2)
2008
2
1 (1 )x x
+ −
=
2008 2008
3 3
2008 2008
0 0 0
( ) ( )
k
k k k i k i i
k
k k i
c x x c c x x
−
= = =
− = −
∑ ∑∑
=
2008
2
2008
0 0
( 1)
k
k i k i i
k
k i
c c x
+
= =
−
∑∑
*Hệ số chứa x
10
ứng với
2 10
0 2008
;
k i
i k
i N k N
+ =
≤ ≤ ≤
∈ ∈
suy ra:
0 10 / 3i
≤ ≤
Vậy i=0;1;2;3
*
0 10
1 8
2 6
3 4
i k
i k
i k
i k
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy hệ số chứa x
10
là:
10 0 8 1 6 2 4 3
2008 10 2008 8 2008 6 2008 4
c c c c c c c c− + −
*Hàm số có đạo hàm tại các điểm x với x
≠
0 và cos
x
π
≠
0 Hay HS có đạo hàm tại các
điểm x
≠
0 và x
≠
2/ (2k+1)
*Tại x=0:
0 0
lim lim cos
x x
y
x x
π
∆ → ∆ →
∆
=
∆ ∆
Không tồn tại giới hạn.(Yêu cầu chứng minh cụ thể)
*Tại điểm x=2/(2k+1)
0 0
2 2
( ) ( )
2 1 2 1
lim lim
x x
x
y
x x
y y
k k
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
+ +
= =
∆ ∆
0
2 (2 1) (2 1)
lim cos cos
(2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
x
x x x
k k
k k k
π π
∆ →
+ +
+
+ ∆ + + ∆ + + ∆
=
0
2 1 (2 1)
lim cos
2 1 2 (2 1)
x
x x
k
k k
π
∆ →
+
+ ∆ + + ∆
+
0 0
2 1 (2 1)
lim lim sin (2 1) )
2 1 2 (2 1) 2
x x
y
x x
k
k
x k k
π π
− −
∆ → ∆ →
∆
+
= − +
∆ + ∆ + + ∆
=
[ ]
2
0
(2 1)
2 1
lim sin
2 1 2 2 (2 1)
x
x
x x
k
k k
π
−
∆ →
+ ∆
+ ∆ + + ∆
=
[ ]
2
0
(2 1)
2 1
lim sin
2 1 2 2 (2 1)
x
x
x x
k
k k
π
−
∆ →
+ ∆
−
+ ∆ + + ∆
=
2
2 (2 1)
(2 1)
2 1 4 2
k
k
k
π π
+
− = − +
+
+
0
lim (2 1)
2
x
y
k
x
π
+
∆ →
∆
= +
∆
(tương tự)
Vậy không tồn tại giới hạn tại điểm x=2/(2k+1)
*Tóm lại HS không có đạo hàm tại x=0 và x=2/(2k+1)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
1)
A
E
F
G
B
C
D
*Qua điểm B;C;D dựng các đường thẳng song song các cạnh tam giác BCD như hình
vẽ suy ra
AD=DE=DG=a;AB=BE=BF=c;AC=CF=CG=b Vậy tam giác AEF;AG F;AGE
vuông tại A
*
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2( )
4
4 2( )
4
2( )
AE a c b
AE AF c
AF AG b AF b c a
AG AE a
AG a b c
= + −
+ =
+ = ⇔ = + −
+ =
= + −
*V
ABCD
=1/4V
AEG F
=
1
24
AE.A F.AG=
2
12
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )( )( )a b c b c a c a b+ − + − + −
2)*Diện tích các mặt của tứ diện bằng nhau và bằng abc/4R=S/4
*BĐT tương đương a
2
+b
2
+c
2
≤
9R
2
*Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
a
2
+b
2
+c
2
=
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )BC CA AB OC OB OA OC OB OA+ + = − + − + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=6R
2
-2(
.OB OC OCOA OAOB+ +
uuur uuur uuuruuur uuuruuur
)
=9R
2
-(
OA OB OC+ +
uuur uuur uuur
)
2
2
9R≤
*Dấu bằng xảy ra khi
OA OB OC O+ + =
uuur uuur uuur ur
⇔
O trùng trọng tâm G tam giác ABC
⇔
tam giác ABC đều
⇔
ABCD là tứ diện đều.
1,0
0,5
