- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (119.9 KB, 4 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG…
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2013-2014
Môn thi: Toán
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1(4đ): cho n số :
[ ]
1 2 3 4
, , , , 0;1
n
a a a a a ∈
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
(1 ) 4( )
n n
a a a a a a a a a a+ + + + + + ≥ + + + + +
Bài 2(4đ): Giải phương trình:
2012 2012 2014 2014
3
sin os 2(sin os ) os2
2
x c x x c x c x
+ = + +
Bài 3(4đ): Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển
(1 )
n
x+
có hai hệ số
liên tiếp có tỉ số là
7
15
Bài 4(4đ): Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD. Trên
đường thẳng vuông góc với (ABCD) lấy điểm S khác H. Chứng minh rằng:
a)
( )AC SHK⊥
.
b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH).
Bài 5(4đ):
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và
·
·
·
0
' ' 60B BA B BC ABC= = =
.
Chứng minh A’B’CD là hình vuông.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
(4đ)
Xét tam thức
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
( ) (1 ) ( )
n n
f x x a a a a a x a a a a a= − + + + + + + + + + + + +
Ta có
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 2 2 3 3 4 4
(1) 1 1
(1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n
f a a a a a a a a a a
f a a a a a a a a a a
= − − − − − − − + + + + + +
⇒ = − + − + − + − + + −
Mặt khác
[ ]
1 2 3 4
, , , , 0;1
n
a a a a a ∈
nên
1 1
2 2
3 3
( 1) 0
( 1) 0
( 1) 0 (1) 0
( 1) 0
n n
a a
a a
a a f
a a
− ≤
− ≤
− ≤ ⇒ ≤
− ≤
Mà
2 2 2 2 2
1 2 3 4
(0) 0 (1). (0) 0
n
f a a a a a f f= + + + + + ≥ ⇒ ≤
Do đó phương trình f(x)=0 có nghiệm trên
[ ]
0;1
vậy
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
(1 ) 4( ) 0
(1 ) 4( )
n n
n n
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
∆ = + + + + + + − + + + + + ≥
⇒ + + + + + + ≥ + + + + +
0,5
0,5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2
(4đ)
2012 2012 2014 2014
2012 2 2012 2
12 12
2012 2012
2012 20
3
sin os 2(sin os ) os2
2
3
os (2cos 1) sin (1 2sin ) os2 0
2
os2 0(1)
3
os2 ( os sin ) 0
3
2
os sin 0(2)
2
* os2 0 ( )
4 2
3
* os sin
2
x c x x c x c x
c x x x c x
c x
c x c x
c x x
c x x k k Z
c x
x
x
π π
+ = + +
⇔ − − − + =
=
⇔ + − = ⇔
+ − =
= ⇔ = + ∈
+ −
12
0x
=
Ta nhận thấy
2012
2012 2012
2012
os 0
3
* os sin 0
3
2
sin 0
2
c x x R
c x x x R
x x R
≥ ∀ ∈
⇔ + − ∀ ∈
− ∀ ∈
f
f
Vậy pt(2) vô nghiệm
Phương trình có nghiệm là:
( )
4 2
x k k Z
π π
= + ∈
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1
Bài 3
(4đ)
0
(1 )
n
n k k
n
k
x C x
=
+ = ⇒
∑
số hạng liên tiếp là
1
;
k k
n n
C C
+
ta có
1
7 1 7 1
7 22 15 3 2
15 15 7
k
n
k
n
C
k k
n k n k
C n k
+
+ +
= ⇔ = ⇒ = + ⇔ = + +
−
Do
,n k ∈¥
đặt
1
7
k
t
+
=
khi đó
22 1n t= −
đế n là số nguyên dương bé
nhất thì t cũng phải là số nguyên dương bé nhất vì
0k
≥
nên
1
7 1 0 1
7
t t t− ≥ ⇒ ≥ ⇒ =
(vì t là số nguyên dương bé nhất) vậy
22.1 1 21n = − =
Bài 4:
(4đ)
I
A
D
B
C
S
H
K
a) Cm:
( )AC SHK⊥
Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD nên HK là đường trung bình
của tam giác ABD nên HK//BD mà
(1)AC BD HK AC⊥ ⇒ ⊥
Mặt khác
( ) (2)SH ABCD SH AC⊥ ⇒ ⊥
từ (1);(2) ta có
( )AC SHK⊥
b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH)
Ta có
· ·
( . . )CDK DAH c g c CKD DHA∆ = ∆ ⇒ =
mà
· · · ·
·
0 0 0
90 90 90 ( )HDA DHA CKD HDA KID CK DH I+ = ⇒ + = ⇒ = ∩ =
hay
CK DH
⊥
(1)mặt khác
( ) (2)SH ABCD SH CK⊥ ⇒ ⊥
từ (1); (2) ta có
( )CK SDH⊥
hay góc giữa
CK và mặt phẳng (SDH) bằng 90
0
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 5:
(4đ)
A'
D'
B'
C'
B
C
D
A
Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD là hình thoi
1 1
' ( ' ) '. . . . . . 0
2 2
'
CB CD BB BC BA BB BA BC BA a a a a
CB CD
= − = − = − =
⇒ ⊥
uuuruuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur
Hay A’B’CD là hình vuông
1
1
1
1
Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó.
