SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
Trường THPT Tân Kỳ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1.(3 điểm) Cho phương trình:
(2sin 1)(2 s 2 2sin ) 1 2 2x co x x m cos x− + + = −
(Với m là tham số)
Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc
[ ]
0;
π
Câu 2 . (4 điểm) Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC.
a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu :
cos
sin
sin sin
B cosC
A
B C
+
=
+
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
2 2 2
sin sin sinA B C

M
cos A cos B cos C
+ +
=
+ +
Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình:
( )
411244
42
+=++ xxx
Câu 4: (2 điểm) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn
5 k 2011.≤ ≤
Chứng minh rằng:
0 k 1 k 1 5 k 5 k
5 2011 5 2011 5 2011 2016
C .C C .C C .C C
− −
+ + + =
.
Câu 5. (2 điểm) Cho dãy {u
n
} xác định bởi:
1
*
2
1
2
2012
2013
n n

n
u
n N
u u
u
+
=


∈

+
=


Thành lập dãy: {S
n
} xác định bởi:
1
1
1
n
i
n
i
i
u
S
u
=

+
=
−
∑
. Tìm
lim
n
n
S
→∞
Câu 6: (2 điểm) Tìm
*
+
∈ Zn
sao cho phần nguyên của
3 2
8 1
3
n n
n
+ +
là một số nguyên tố.
Câu7.(2 điểm) Trong mp Oxy cho hai đường tròn (C
1
) :
2 2
13x y+ =
, (C
2
) :

2 2
( 6) 25x y− + =
.
Gọi giao điểm có tung độ dương của (C
1
) và (C
2
) là A viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt
(C
1
) và (C
2
) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
Câu 8: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c.
.Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
a b b c c a S
+ + ≤
(S là diện tích toàn phần của tứ diện)
Hết
Họ và tên : Số báo danh :
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN : TOÁN HỌC
(Đáp án và biểu điểm gồm có 04 trang)
Câu Lời giải Điểm
Câu1

Phương trình đã cho tương đương với :
(2sin 1)(2 s 2 1) 0x co x m− + − =
Với
[ ]
1 5
sin 0;
2 6 6
x x x
π π
π
= ⇔ = ∨ = ∈
Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc
[ ]
0;
π
thì phương trình :
1
2
2
m
cos x
−
=
vô nghiệm hoặc có hai nghiệm
5
;
6 6
x x
π π
= =

.
Từ đó ta được m <-1v m >3 v m =0 .
0.5
1.0
1.0
0.5
Câu 2
a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu :
cos
sin
sin sin
B cosC
A
B C
+
=
+
Từ
2
sin
cos
2
sin 2sin . 2 1 cos 0
sin sin 2 2 2
2
A
B cosC A A A
A cos cos A
A
B C

cos
+
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔
+
 là góc vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A.
b,
2 2 2
2 2 2
sin sin sinA B C
M
cos A cos B cos C
+ +
=
+ +
2 2 2
2 2 2
sin sin sin
1 1
A B C
M
cos A cos B cos C
+ +
⇔ + = +
+ +

2 2 2
2 2 2
3 3
1
1

M cos A cos B cos C
cos A cos B cos C M
+ = ⇔ + + =
+ + +
. Biến đổi về
2
3
cos . ( ) 1 0
1
cos C C cos A B
M
− − + − =
+
2 2
3 3
( ) 4 1 0 4 1 ( ) 1
1 1
cos A B cos A B
M M
   
⇒ ∆ = − − − ≥ ⇔ − ≤ − ≤
 ÷  ÷
+ +
   
3 1
1 3
1 4
M
M
⇒ − ≤ ⇔ ≤

+
2
0
( ) 1
3 60
1
cos ( )
2
cos A B
M A B C
C cos A B

− =

= ⇔ ⇔ = = =

= −


Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều.
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 3:
Giải phương trình:
( )
411244

42
+=++ xxx
ĐK:
Rx ∈∀
0.5
( )
( ) ( )( ) ( )( )
(*)02116
222211222232
411244
2
2222
42
=−−⇔
+−++=+−−++⇔
+=++
tt
xxxxxxxx
xxx
Với
0
22
22
2
2
>
+−
++
=
xx

xx
t
Giải (*) được t = 2 thỏa mãn yêu cầu
Nên
3
75
061034
22
22
2
22
22
2
2
2
2
2
±
=⇔=+−⇔=
+−
++
⇔=
+−
++
= xxx
xx
xx
xx
xx
t

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 4
Cho k là số tự nhiên thỏa mãn
5 k 2011.≤ ≤
Chứng minh rằng:
0 k 1 k 1 5 k 5 k
5 2011 5 2011 5 2011 2016
C .C C .C C .C C
− −
+ + + =

Dễ thấy
( ) ( ) ( )
5 2011 2016
1 x 1 x 1 x+ + = +
; và

( )
5
0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5
M 1 x C C x C x C x C x C x= + = + + + + +

( )
2011
0 1 1 k k 2011 2011

2011 2011 2011 2011
N 1 x C C x C x C x .= + = + + + + +


( )
2016
0 1 k k 2016 2016
2016 2016 2016 2016
P 1 x C C x C x C x .= + = + + + + +

Ta có hệ số của
k
x
trong P là
k
2016
C
.
Vì
P M.N=
, mà số hạng chứa
k
x
trong M.N là :
0 k k 1 k 1 k 1 2 2 k 2 k 2 3 3 k 3 k 3 4 4 k 4 k 4 5 5 k 5 k 5
5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011
C .C x C xC x C x C x C x C x C x C x C x C x
− − − − − − − − − −
+ + + + +


nên
0 k 1 k 1 5 k 5 k
5 2011 5 2011 5 2011 2016
C .C C .C C .C C
− −
+ + + =
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 5
Tacó:

( )
2 2
1
*
1 1 2 1
2012 2013
2013 2013
1
(*) ;
2013
2
n n n n n
n
n n
n
n n
u u u u u

u
u u
u n N
u u u u u
+
+
+ + −
= =
−
= + ∈
= ⇒ < < < < <
Suy ra u
n
là dãy tăng
Giả sử u
n
bị chặn trên lúc đó tồn tại số L sao cho
lim ( 2)
n
n
u L L
→∞
= >
. Từ
(*) ta có:
1
( 1)
lim( ) lim lim
2013
n n

n n
n n n
u u
u u
+
→∞ →∞ →∞
−
= +
1
( 1)
0
2013
L
L L
L L
L
=

−
⇒ = + ⇒

=

(vô lý)
⇒ u
n
không bị chặn trên. Suy ra
1
lim lim 0
n

n n
n
u
u
→∞ →∞
= +∞ ⇒ =
Mặt khác :

( ) ( )
2
1
1 1
1
1 1
2012 ( 1)
2013 2013
( 1) 2013( ) 2013 1 1
1
1 1
2013 1 2013
1 1 1 1
n n n n
n n
n n n n n n
n n
n
n n n n
u u u u
u u
u u u u u u

u u
u
u u u u
+
+ +
+
+ +
+ −
= = +
 
⇒ − = − = − − −
 
   
−
⇒ = − ⇒ = −
 ÷  ÷
− − − −
   
0.5
0.5
0.5

1
2 1 2 2
1 1 1
1 2013 2013 1
1 1 1 1
u
Cho n
u u u u

   
= ⇒ = − = −
 ÷  ÷
− − − −
   
Tương tự
2
3 2 3
1 1
1 1
2013
1 1 1
1 1
2013
1 1 1
n
n n n
u
u u u
u
u u u
+ +
 
= −
 ÷
− − −
 
 
= −
 ÷

− − −
 
M
M
Cộng vế theo vế ta được :
1
1 1
1
2013 1
1 1
n
i
n
i
i n
u
S
u u
=
+ +
 
= = −
 ÷
− −
 
∑
⇒
1
1
lim lim 2013 1 2013

1
n
n n
n
S
u
→∞ →∞
+
 
= − =
 ÷
−
 
0.5
Câu 6
Câu 7
Gọi S là tập hợp các số nguyên tố
Trường hợp 1:
3n k=
[ ]
( )
2
2
2
8 1 1
3 8
3 3 3 9
3 8 3 8
n n
A k k

n k
A k k k k
= + + = + +
= + = +
[ ]
1 3A S k n∈ ⇔ = ⇔ =
Trường hợp 2:
3 1n k= +
[ ]
( ) ( )
[ ]
2
2 2
2
8 1 1 8 1 1
3 2 8 3 10 3
3 3 3 3 3 3 3
3 10 3 3 3 1
0 1
n n
A k k k k k
n n n
A k k k k
A S k n
= + + = + + + + + = + + +
= + + = + +
∈ ⇔ = ⇔ =
Trường hợp 3:
( )
3 2 1n k n= + >

[ ]
2 2
2 2
4 16 1 2 1
3 4 8 3 12 6
3 3 3 3 3
3 12 6 3 4 2
A k k k k k
n n
A k k k k S
= + + + + + = + + + +
 
= + + = + + ∉
 
Kết luận:
[ ]
{ }
1;3A S n∈ ⇔ ∈
(C
1
) có tâm O(0;0),bán kính
1
13R
=
(C
2
) có tâm I(6;0),bán kính
2
5R
=

.
Giao điểm của (C
1
) và (C
2
) là A (2;3) và B(2;-3).Với A có tung độ dương
nên A(2;3)
Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0
Gọi
1 2
( , ); ( , )d d O d d d I d
= =
Yêu cầu của bài toán trở thành:
2 2 2 2 2 2
2 2 1 1 2 1
12R d R d d d
− = − ⇒ − =
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
2 2
2
2 2 2 2
0
(4 3 ) (2 3 )
12 3 0
3

b
a b a b
b ab
b a
a b a b
=

− +
− = ⇒ + = ⇒

= −
+ +

*b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x-2=0
*b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt d là:x-3y+7=0
0.5
Câu 8
A
E
F
G
B
C
D
*Diện tích các mặt của tứ diện bằng nhau và bằng abc/4R=S/4
*BĐT tương đương a
2
+b
2
+c

2

≤
9R
2
*Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
a
2
+b
2
+c
2
=
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )BC CA AB OC OB OA OC OB OA+ + = − + − + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=6R
2
-2(
.OB OC OCOA OAOB+ +
uuur uuur uuuruuur uuuruuur
)
=9R
2
-(
OA OB OC+ +
uuur uuur uuur
)
2


2
9R≤
*Dấu bằng xảy ra khi
OA OB OC O+ + =
uuur uuur uuur ur
⇔
O trùng trọng tâm G tam giác ABC
⇔
tam giác ABC đều
⇔
ABCD là tứ diện đều.
0.5
0.5
0.5
0.5
Giáo viên ra đề:
Nguyễn Thái Lâm