- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 19
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (95.27 KB, 2 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2102-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 18/3/2013
Bài 1: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2 3
2( 3 2) 3 8x x x− + = +
b) Cho a, b, c, d , e, f là các số nguyên dương.
Đặt
; ;S a b c d e f Q ab bc ca de ef fd R abc def= + + + + + = + + − − − = +
Biết rằng S là ước của Q và R. Chứng minh rằng S là hợp số.
Bài 2: (5,0 điểm)
a) Ba góc
, ,x y z
thỏa mãn điều kiện
cos cos cos 0
0 2 à
sin sin sin 0
x y z
x y z v
x y z
π
+ + =
≤ ≤ ≤ ≤
+ + =
Chứng minh rằng
, ,x y z
lập thành một cấp số cộng.
b) Cho dãy số vô hạn
{ }
n
u
xác định như sau:
1
1 1 2
1
1 , 1,2
n n
u
u u u u n
+
=
= + =
Đặt
1
1
.
n
n
k
k
S
u=
=
∑
Tìm
lim
n
n
S
→+∞
Bài 3: (3,5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang
( )
AD BCP
và AD = 2 BC. Gọi M, N
lần là trung điểm của SA, SB. Mặt phẳng (DMN) cắt SC tại P. Tính tỉ số
CP
CS
.
Bài 4: (3,5 điểm)
Trong tam giác ABC, M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường phân giác trong
của góc
·
.BCA
N, L lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ các đỉnh A, C xuống đường phân giác
trong của góc ABC. Gọi F là giao điểm của các đường thẳng MN và AC, E là giao điểm của các
đường thẳng BF và CL, D là giao điểm của các đường thẳng BL và AC. Chứng minh rằng
DE MNP
.
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho hàm số
: * *f N N
→
với
2013
(1) 2f
=
thỏa điều kiện
[ ]
( )
[ ]
2 2
1 ( ) . ( 1) ( )f n f n f n
+ + =
Chứng minh rằng
( ) 1f n ≤
với
2014n >
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn TOÁN Lớp 11 NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x x
x
−
+ − − =
+
2. Giải phương trình sau:
2
2005
2 os
2 3 tan
2
cos 1 tan
c x
y
x y
π
+ −
÷
=
+
(x, y là các ẩn số)
Bài 2: (4,0 điểm)
Cho hàm số
4 3 2
( ) , ( , , , )f x x ax bx cx d a b c d R= + + + + ∈
Biết
(1) 10 , (2) 20 , (3) 30f f f= = =
.
Hãy tính
(12) ( 8)
25
10
f f+ −
+
Bài 3: (3,0 điểm)
Cho dãy số
( )
n
u
được xác định như sau:
1
2
1
1
( 1,2,3,4 )
1
2009
n n n
u
n
u u u
+
=
=
= +
1. Chứng minh
lim
n→+∞
= +∞
2. Tìm
1 2 3
2 3 4 1
lim
n
n
n
u u u u
u u u u
→+∞
+
+ + + +
÷
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho ba số dương
, ,x y z
thỏa mãn
1 1 1 1
x y z xyz
+ + =
Tìm giá trị lớn nhất của
2
2 1
1 1 1
y
x z
P
x y z
−
= + +
+ + +
Bài 5: (4,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC:
1. M là điểm nằm trong tam giác sao cho
2 2 2
MA MB MC= +
. Hãy tính góc
·
.BMC
2. Một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) sao cho tứ diện SABC đều, gọi I, K là trung
điểm của các cạnh AC và SB. Trên đường thấng AS và CK ta chọn các điểm P, Q sao
cho PQ // BI. Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1.
Hết
