S
Ở
GD&
Đ
T H
Ư
NG YÊN
ĐỀ
THI TH
Ử
K
Ỳ
THI THPT QU
Ố
C GIA N
Ă
M 2015
TR
ƯỜ
NG THPT PHÙ C
Ừ

T
Ổ
TOÁN - TIN
MÔN TOÁN
Th
ờ
i gian làm bài: 180 phút không k
ể
giao

đề



Câu 1 (2,0
đ
i
ể
m).
Cho hàm s
ố

3 2
3 1
y x x
= − +
, có
đồ
th
ị
(C).
a)

Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v

ẽ

đồ
th
ị
(C).
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ

a (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2
d y x
= −
.

Câu 2 (1,0
đ
i
ể
m).
Cho s
ố
ph
ứ
c
z
tho
ả
mãn
( )
1 2 7 4
z i i
+ = +
. Tìm mô
đ

un s
ố
ph
ứ
c
2
w z i
= +
.
Câu 3 (1,0
đ
i
ể
m).
Tính tích phân
( )
1
2
0
1 .
x
I x edx
= −
∫

Câu 4 (1,0
đ
i
ể
m).

a)

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
2 1
2
log 1 log 1 1
x x
+ + + =
.
b)

T
ổ
1 l
ớ
p 12A1 có 12 h
ọ
c sinh g
ồ
m có 7 h
ọ
c sinh nam và 5 h
ọ
c sinh n

ữ
, trong
đ
ó AN là
t
ổ
tr
ưở
ng còn HOA là t
ổ
phó. Ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 5 h
ọ
c sinh trong t
ổ

để
tham gia ho
ạ
t
độ
ng t
ậ
p th
ể
c
ủ

a tr
ườ
ng nhân d
ị
p ngày thành l
ậ
p
Đ
oàn 26 tháng 3. Tính xác su
ấ
t
để
sao
cho nhóm h
ọ
c sinh
đượ
c ch
ọ
n có 3 h
ọ
c sinh nam và 2 h
ọ
c sinh n
ữ
trong
đ
ó ph
ả
i nh

ấ
t
thi
ế
t có b
ạ
n AN ho
ặ
c b
ạ
n HOA nh
ư
ng không có c
ả
hai
(AN là h
ọ
c sinh nam, HOA là
h
ọ
c sinh n
ữ
).

Câu 5 (1,0
đ
i
ể
m).
Trong không gian Oxyz, cho hai

đ
i
ể
m
(
)
(
)
1;2;2, 3;2;0
A B
− − − −
và m
ặ
t
ph
ẳ
ng (P) có ph
ươ
ng trình
3 2 0
x y z
+ − + =
.
a)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m

ặ
t ph
ẳ
ng (Q) là m
ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a
đ
o
ạ
n AB.
b)

G
ọ
i
∆
là giao tuy
ế
n c
ủ
a (P) và (Q). Tìm
đ
i
ể

m M thu
ộ
c
∆
sao cho
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng OM nh
ỏ

nh
ấ
t.
Câu 6 (1,0
đ
i
ể
m).
Cho hình l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng
.' ' '
ABCABC

có
đ
áy
ABC
là tam giác cân t
ạ
i
C
,
c
ạ
nh
đ
áy
AB
b
ằ
ng 2
a
và góc

0
30
ABC
=
. M
ặ
t ph
ẳ
ng

( ' )
CAB
t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy
( )
ABC
m
ộ
t góc 60
0
.
Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i l
ă
ng tr
ụ

.' ' '
ABCABC
và kho

ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
'
AC
và
'
CB
.
Câu 7 (1,0
đ
i
ể
m).
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to

ạ

độ
Oxy, cho hình vuông ABCD.
Đ
i
ể
m
(
)
1;2
N
−
tho
ả
mãn
2 0
NB NC
+ =
  
và
đ
i
ể
m
( )
3;6
M
thu
ộ

c
đườ
ng th
ẳ
ng ch
ứ
a c
ạ
nh AD. G
ọ
i H
là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đỉ
nh A xu
ố
ng
đườ
ng th
ẳ
ng DN. Xác
đị
nh to
ạ

độ
các

đỉ
nh c
ủ
a hình
vuông ABCD bi
ế
t kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m H
đế
n c
ạ
nh CD b
ằ
ng
122
13
và
đỉ
nh A có hoành
độ
là
m
ộ

t s
ố
nguyên l
ớ
n h
ơ
n
2
−
.
Câu 8 (1,0
đ
i
ể
m).
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
2
3
2 2
1. 1 1
,
1 2 5 3 3 7
x x y x y y

xy
x y x y x y x y

− − − − − = +

∈

+ ++ + = + + +


»

Câu 9 (1,0
đ
i
ể
m).
Cho ba s
ố
th
ự
c không âm ,,
xyz
. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c

ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2 2
4 4 5
2 2 2 2
4
P
x y x z y z y z y x z x
x y z
= − −
+ + + + + +
+ + +

H
Ế
T
Thí sinh không
đượ
c s
ử
d
ụ
ng tài li
ệ
u. Cán b

ộ
coi thi không gi
ả
i thích gì thêm.
H
ọ
và tên thí sinh: ; S
ố
báo danh:




~1~
Câu ĐÁP ÁN Điểm
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
= − +
, có
đồ
th
ị
(C).
a)

Kh
ả
o sát s

ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C).
1,0
T
ậ
p xác
đị
nh:
D
=
»

0,25

Ta có
2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x

=

= − ⇒ = ⇔

=


lim
x
y
→±∞
= ±∞

Đồ
th
ị
hàm s
ố
không có ti
ệ
m c
ậ
n
B
ả
ng bi
ế
n thiên
x
−∞

0 2
+∞

y' + 0 - 0 +
y
1
+∞





−∞
-3

0,25

T
ừ

đ
ó suy ra
Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên các kho
ả

ng
(
)
;0
−∞
và
(
)
2;
+∞
.
Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên kho
ả
ng
(
)
0;2

Hàm s
ố

đạ
t giá tr
ị

c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x = 0,
(
)
0 1
CD
y y
= =

Hàm s
ố

đạ
t giá tr
ị
c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2,
(
)
2 3

CT
y y
= = −

0,25

Đồ
thi hàm s
ố
.
Đ
i
ể
m u
ố
n c
ủ
a
đồ
th
ị

(
)
'' 6 6 '' 0 1 1; 2
y x y x I
= − ⇒ = ⇔ = ⇒ −
là
đ
i

ể
m u
ố
n c
ủ
a
đồ
th
ị

Đồ
th
ị
(C) c
ắ
t tr
ụ
c tung t
ạ
i
đ
i
ể
m A(0;1)
f(x)=x^3-3*x^2+1
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
-4
-3
-2
-1

1
2
3
4
5
x
y

0,25
b)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i giao
đ
i

ể
m c
ủ
a (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2
d y x
= −
.
1,0

Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) và d là
( )
( )
3 2 3 2 2
3
3 1 2 3 3 0 3 1 0 1

1
x
x x x x x x x x x
x
=


− + = − ⇔ − − + = ⇔ − − = ⇔ =


= −


0,25

Suy ra giao điểm là
(
)
(
)
(
)
3;1 , 1; 1 , 1; 3
A B C
− − −

Phương trình tiếp tuyến tại
(
)
3;1

A là
9 26
y x
= −

0,25
1

Phương trình tiếp tuyến tại
(
)
1; 1
B
−
là
3 2
y x
= − +

Phương trình tiếp tuyến tại
(
)
1; 3
C
− −
là
9 6
y x
= +


0,25
~2~

KL: Các phương trình tiếp tuyến là:
9 26
y x
= −
;
9 6
y x
= +
;
3 2
y x
= − +

0,25
Câu 2 (1,0 điểm). Cho số phức z thoả mãn
(
)
1 2 7 4
z i i
+ = +
. Tìm môđun số phức
2
w z i
= +
.
1,0


Ta có
( )
7 4
1 2 7 4
1 2
i
z i i z
i
+
+ = + ⇔ =
+

0,25

(
)
(
)
( )( )
2
2
7 4 1 2
7 14 4 8
1 2 1 2 1 4
i i
i i i
z z
i i i
+ −
− + −

⇔ = ⇔ =
+ − −
15 10
3 2
5
i
z i
−
⇔ = = −

0,25

Suy ra
3 2
z i
= +

Do
đ
ó
2 3 4
w z i i
= + = +

0,25
2

V
ậ
y

2 2
w 3 4 5
= + =

0,25
Câu 3 (1,0 điểm).
Tính tích phân
( )
1
2
0
1 .
x
I x e dx
= −
∫

1,0

Đặ
t
2
2
1
1
.
2
x
x
du dx

u x
v e
dv e dx
=

= −


⇒
 
=
=




0,25

Suy ra
( )
1
1
2 2
0
0
1 1
1 .
2 2
x x
I x e e dx

= − −
∫

0,25

( )
1
2
2 2
0
1 1 1 1 3
1
2 4 2 4 4
x
e
e e
−
= − = − − =

0,25
3

V
ậ
y
2
3
4
e
I

−
=

0,25
Câu 4 (1,0 điểm).
a)

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
2 1
2
log 1 log 1 1
x x
+ + + =
.
0,5

Điều kiện:
1
x
> −

Ph
ươ
ng trình t

ươ
ng
đươ
ng
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1
log 1 log 1 1 log 1 1
2 2
x x x
+ − + = ⇔ + =

0,25

(
)
2
log 1 2 1 4 3
x x x
⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
(tho
ả
mãn)
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m

3
x
=
.
0,25
b)

T
ổ
1 l
ớ
p 12A1 có 12 h
ọ
c sinh g
ồ
m có 7 h
ọ
c sinh nam và 5 h
ọ
c sinh n
ữ
, trong
đ
ó AN là t
ổ

tr
ưở
ng còn HOA là t
ổ

phó. Ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 5 h
ọ
c sinh trong t
ổ

để
tham gia ho
ạ
t
độ
ng t
ậ
p th
ể

c
ủ
a tr
ườ
ng nhân d
ị
p ngày thành l
ậ
p
Đ
oàn 26 tháng 3. Tính xác su

ấ
t
để
sao cho nhóm h
ọ
c sinh
đượ
c ch
ọ
n có 3 h
ọ
c sinh nam và 2 h
ọ
c sinh n
ữ
trong
đ
ó ph
ả
i nh
ấ
t thi
ế
t có b
ạ
n AN ho
ặ
c b
ạ
n

HOA nh
ư
ng không có c
ả
hai.
0,5

M
ỗ
i cách ch
ọ
n nhóm 5 h
ọ
c sinh t
ừ
12 h
ọ
c sinh là m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p ch
ậ
p 5 c
ủ
a 12. Vì v
ậ
y không

gian m
ẫ
u
Ω
g
ồ
m:
5
12
792
C =
ph
ầ
n t
ử
.
G
ọ
i
A
là bi
ế
n c
ố
c
ầ
n tìm xác su
ấ
t,
B

là bi
ế
n c
ố
ch
ọ
n
đượ
c nhóm g
ồ
m 3 h
ọ
c sinh nam, 2
h
ọ
c sinh n
ữ
trong
đ
ó có b
ạ
n AN và không có b
ạ
n HOA. C là bi
ế
n c
ố
ch
ọ
n

đượ
c nhóm
g
ồ
m 3 h
ọ
c sinh nam, 2 h
ọ
c sinh n
ữ
trong
đ
ó có b
ạ
n HOA và không có b
ạ
n AN.
Nh
ư
v
ậ
y,
A B C
= ∪
và
(
)
(
)
(

)
n A n B n C
= +
.
0,25
4

Tính
n
(
B
): + Ch
ọ
n b
ạ
n AN, có 1 cách.
+ Ch
ọ
n 2 b
ạ
n nam t
ừ
6 b
ạ
n nam còn l
ạ
i, có
2
6
C

cách.
+ Ch
ọ
n 2 b
ạ
n n
ữ
t
ừ
4 b
ạ
n n
ữ
, có
2
4
C
cách.
Theo quy t
ắ
c nhân:
(
)
2 2
6 4
1. . 90
n B C C
= =
.
T

ươ
ng t
ự
,
(
)
3 1
6 4
1. . 80
n C C C
= =
.V
ậ
y
(
)
90 80 170
n A = + =
.
Xác su
ấ
t c
ủ
a bi
ế
n c
ố

A
là:

( )
(
)
( )
170
792
n A
P A
n B
= =
.
0,25
~3~
Câu 5 (1,0 điểm).
Trong không gian Oxyz, cho hai
đ
i
ể
m
(
)
(
)
1; 2;2 , 3; 2;0
A B− − − − và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
có ph

ươ
ng trình
3 2 0
x y z
+ − + =
.
a)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) là m
ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a
đ
o
ạ
n AB.
0,5


G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AB
(
)
2; 2;1
I⇒ − −

Ta có
(
)
(
)
2;0; 2 / / 1;0;1
AB n= − − =
 


0,25

Vì mp(Q) là mp trung tr
ự
c c
ủ
a
đ
o
ạ
n AB nên nh
ậ
n vect
ơ

(
)
1;0;1
n =

là vect
ơ
pháp tuy
ế
n
và
đ
i qua
đ
i

ể
m
(
)
2; 2;1
I
− −
.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) là:
1 0
x z
+ + =

0,25
b)

G
ọ
i
∆
là giao tuy
ế

n c
ủ
a (P) và (Q). Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
∆
sao cho
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng OM nh
ỏ

nh
ấ
t.
0,5

Mp(P) có VTPT là
(
)
1
1;3; 1
n

= −


Mp(Q) có VTPT là
(
)
2
1;0;1
n =


Suy ra
(
)
1 2
; 3; 2; 3
u n n
 
= = − −
 
  
là VTCP c
ủ
a
(
)
(
)
P Q
∆ = ∩


Lấy
(
)
(
)
(
)
0; 1; 1
E P Q
− − ∈ ∆ = ∩ . Ph
ươ
ng trình tham s
ố

∆
là
( )
3
1 2
1 3
x t
y t t
z t
=


= − − ∈



= − −

»

0,25
5

Điểm
(
)
3 ; 1 2 ; 1 3
M M t t t
∈ ∆ ⇒ − − − −

Do đó
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
3 1 2 1 3 22 10 2
OM OM t t t t t
= = + − − + − − = + +


Ta có
2
2
5 19 19 19
22 10 2 22.
22 22 22
22

t t t OM
 
+ + = + + ≥ ⇒ ≥
 
 

D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
5 15 6 7
; ;
22 22 11 22
t M
 
= − ⇒ − − −
 
 

V
ậ
y
15 6 7
; ;
22 11 22
M
 

− − −
 
 

0,25
Câu 6 (1,0 điểm).
Cho hình l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng
. ' ' '
ABC A B C
có
đ
áy
ABC
là tam giác cân t
ạ
i
C
, c
ạ
nh
đ
áy
AB
b

ằ
ng 2
a
và góc

0
30
ABC = . M
ặ
t ph
ẳ
ng
( ' )
C AB
t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy
( )
ABC
m
ộ
t góc 60
0
. Tính th
ể
tích

c
ủ
a kh
ố
i l
ă
ng tr
ụ

. ' ' '
ABC A B C
và kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
'
AC
và
'
CB
.
1,0
6

H

K
M
E
C
A
B'
A'
C'
B

* Tính thể tích
G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB. Tam giác CAB cân t
ạ
i C suy ra AB
⊥
CM. M
ặ
t khác AB
⊥


0

' ( ') ' 60
CC AB CMC CMC
⇒ ⊥ ⇒ =
. G
ọ
i V là th
ể
tích l
ă
ng tr
ụ

. ' ' '
ABC A B C
thì
. '
ABC
V S CC
=

0,25
~4~

Ta có
2
0
1
.tan30 .
2
3 3

ABC
a a
CM BM S CM AB= = ⇒ = =


2 3
0
' .tan60 . 3 .
3 3 3
a a a
CC CM a V a= = = ⇒ = =
0,25

* Tính khoảng cách
Gọi E đối xứng với A’ qua C’. Suy ra ACEC’ là hình bình hành.
Nên AC’//CE
(
)
(
)
' '/ / '
CB E AC CB E
⊂ ⇒
mà
(
)
' '
B C CB E
⊂
.

Do đó
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
', ' ', ' ', '
d AC B C d AC EB C d C EB C
= =

0,25

Tam giác A’B’E có A’C’=C’E=B’C’ nên tam giác A’B’E vuông tại B’
Gọi K là trung điểm B’E, ta có tam giác B’C’E cân tại C’ nên
( ) ( )
( )
' '
' '
' ' ' ' ' ' ' '
C K B E
B E CC K
CC A B C A B E CC B E
⊥



⇒ ⊥

⊥ ≡ ⇒ ⊥



Kẻ
(
)
' ' '
C H CK C H CC K
⊥ ⇒ ⊂
mà
(
)
' ' ' '
B E CC K B E C H
⊥ ⇒ ⊥

Từ đó
(
)
' '
C H CB E
⇒ ⊥
hay
(
)
(
)

' ', '
C H d C CB E
=

Ta tính được
2 2
' ' '
3 3
a a
CB C B C E CB= ⇒ = = =

Lại có

0
30
ABC =
, tam giác ABC cân tại C nên



0 0
120 ' ' ' ' ' 60
ACB A C B B C E= = ⇒ =

Nên tam giác B’C’E đều; tính được
2
2
'
' ' '
2

B E
C K B C a
 
= − =
 
 

Tam giác CC’K vuông cân tại C’ do đó
2 2
' 2
'
2 2 2
CK CC CK a
C H
+
= = =
Vậy
( )
2
', ' '
2
a
d AC CB C H= =

0,25
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm
(
)
1; 2
N

−

tho
ả
mãn
2 0
NB NC
+ =
  
và
đ
i
ể
m
(
)
3;6
M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng ch
ứ
a c
ạ
nh AD. G
ọ
i H là hình chi

ế
u
vuông góc c
ủ
a
đỉ
nh A xu
ố
ng
đườ
ng th
ẳ
ng DN. Xác
đị
nh to
ạ

độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông ABCD bi
ế
t
kho
ả
ng cách t
ừ


đ
i
ể
m H
đế
n c
ạ
nh CD b
ằ
ng
12 2
13
và
đỉ
nh A có hoành
độ
là m
ộ
t s
ố
nguyên l
ớ
n h
ơ
n
2
−
.
1,0
7


(3;6)
12 2
13
(1;-2)
E
H
C
D
A
B
N
M

G
ọ
i E là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a H trên CD
12 2
13
HE⇒ =

Gi
ả
s
ử
c

ạ
nh hình vuông b
ằ
ng
a (a>0)
Ta có
2
2 0
3
NB NC CN CB
+ = ⇔ =
    
nên N n
ằ
m gi
ữ
a B và C sao cho
2 2
3 3
a
CN CB= = .
2 2
13
3
a
DN CD CN⇒ = + =

0,25
~5~
Có

( )
3 2
.
13 13 13
3
AD DH a a
ADH DNC g g DH
DN NC
a
⇒ = = = ⇒ = ∼

( )
2
6 13
13
. 2 2
13 6
13
3
a
HE DH
DHE DNC g g NC HE
NC DN
a
⇒ = = = ⇒ = = ∼

2
2 2 3 2
3
a

a⇔ = ⇔ =

Gi
ả
s
ử
VTPT c
ủ
a AD là
(
)
;
n a b
=

v
ớ
i
(
)
2 2
0
a b
+ ≠

Pt AD:
3 6 0
ax by a b
+ − − =


( )
2 2
2 2
2 8
, 3 2 3 2 7 16 23 0
a b
d N AD a ab b
a b
− −
⇒ = ⇔ = ⇔ − − =
+

( )( )
0
7 23 0
7 23 0
a b
a b a b
a b
+ =

⇔ + − = ⇔

− =


0,25

Trường hợp 1:


0
a b
+ =

Suy ra
: 3 0
pt AD x y
− + =

(
)
: 1 0 2;1
NP AD pt NP x y P AD NP P
⊥ ⇒ + + = ⇒ = ∩ ⇒ −

( )( )
( )
( )
( )
1
1
2
3
2 1;2
3
; 3 2
m TM
AP BN BC
AP A
m L

A AD A m m m

= −
= = =

⇒ = ⇔ ⇒ −


= −



∈ ⇒ + > −


Lúc
đ
ó
(
)
2 4; 1
PD AP D
= ⇒ − −
 

Từ đó ta tìm được
(
)
(
)

2; 1 , 1; 4
B C
− − −

Do
đ
ó
(
)
1;2
A −
,
(
)
(
)
2; 1 , 1; 4
B C
− − −
,
(
)
4; 1
D
− −

Trường hợp 2:

7 23 0
a b

− =

Suy ra
:23 7 111 0
pt AD x y
+ − =

86 13
:7 23 53 0 ;
17 17
NP AD pt NP x y P AD NP P
−
 
⊥ ⇒ − − = ⇒ = ∩ ⇒
 
 

( )
( )
( )
1
93
2
3
17
2
111 23
79
; 2
7

17
AP BN BC
m L
AP
m
A AD A m m
m L


= = =
=



⇒ = ⇔


−
 


∈ ⇒ > −
=
 



 



Tr
ườ
ng h
ợ
p này không tho
ả
mãn
0,25

Kết luận:
V
ậ
y
(
)
1;2
A
−
,
(
)
(
)
2; 1 , 1; 4
B C
− − −
,
(
)
4; 1

D
− −

0,25
Câu 8 (1,0 điểm).
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
2
3
2 2
1. 1 1
,
1 2 5 3 3 7
x x y x y y
x y
x y x y x y x y

− − − − − = +

∈

+ + + + = + + +



»

1,0

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
2 2
1 0
2 0
5 3 3 7 0
x x y
x y
x y x y

− − − ≥

+ ≥


+ + + ≥


Trường hợp 1:

2

1 0
x x y
− − − =
t
ừ

( )
2
0
1 1 0 1 0
1
x
y y x x
x
=

⇒ + = ⇒ = − ⇒ − = ⇔

=


Th
ử
l
ạ
i vào ph
ươ
ng trình (2) th
ấ
y

1
1
x
y
=


= −

tho
ả
mãn. Suy ra
(
)
1; 1
−
là nghi
ệ
m HPT.
0,25
8

Trường hợp 2:

2
1 0
x x y
− − − >

0,25

~6~
Ta có
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
3 3
2 2
2 2
3
3
2 2
3
3
2 2
3
3
1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 2
2
1 1
1 1 1
1 1
2 0
1 1

1 1 1
2 0
1 1
0 *
1 1
1 1 1
y y
x y x y
x x y x x y
x y x y
x y
x x y y
x y x y
x y
x y
x x y y
x y x y
x y
x y
x x y y
x y x y
+ +
⇔ − − = ⇔ − − − = −
− − − − − −
− + + − −
− −
⇔ =
− − − + +
− − + − − +
 

+ +
 
⇔ − − + =
 
− − − + +
− − + − − +
 
− − =


+ +
⇔

+ =

− − − + +
− − + − − +


Vì
2
2 2
1 5
1 0
2
1 2 1 1 0
2 0
1 5
2
x

x x y
x x y x x x
x y
x

− +
>


− − − >

⇒ − > + ≥ − + ⇒ + − > ⇔


+ ≥
− −

<



Nên
2 1 5 1 2 5 0 1 0
y x y x y
≥ − > + ⇒ + > + > ⇒ + + >
.
Do đó PT(*) vô nghiệm.
Suy ra
2
y x

= −


Thế vào phương trình (2) ta được
( ) ( )
2
2
2 1 3 2 8 2 2 2 1 3 2 2 2 1 2 3 2
x x x x x x x x
− + − = − − ⇔ − + − = − + −
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
3
x
≥
.
Đặ
t
( )
1
2 1
3
3 2 0
x a a
x b b


 
− = ≥
 

 


− = ≥

.
Ph
ươ
ng trình tr
ở
thành
( )
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 0
a b a b a ab b a b a b a b
+ = + ⇔ + + = + ⇔ − = ⇔ =

0,25

T
ừ

đ
ó ta có

2 2
1
2 1 3 2 4 4 1 3 2 4 7 3 0
3
4
x
x x x x x x x
x
=


− = − ⇔ − + = − ⇔ − + = ⇔

=

(T/M)
+)
1 1
x y
= ⇒ = −
. Th
ử
l
ạ
i HPT th
ấ
y tho
ả
mãn.
+)

3 5
4 4
x y
= ⇒ = −
. Th
ử
l
ạ
i HPT không tho
ả
mãn.
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
(
)
(
)
; 1; 1
x y
= −
.
0,25
Câu 9 (1,0 điểm). Cho ba số thực không âm

, ,
x y z
. Tìm giá trị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2 2
4 4 5
2 2 2 2
4
P
x y x z y z y z y x z x
x y z
= − −
+ + + + + +
+ + +

1,0
9

Ta có

( ) ( )( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2 2
4 2 4 4
2 2
2 2
2 1
AM GM
x y z x y xy yz zx
x y x z y z x y
x y z
−
+ + + + + +
+ + + ≤ + =
≤ + +

Và
0,25
~7~
( ) ( )( ) ( )
( )
()
2 2
2 2 2
4 2 4 4
2 2
2 2
2 2

AM GM
y z x y z yz zx xy
y z y x z x y z
x y z
−
+ + + + + +
+ + + ≤ + =
≤ + +

Th
ậ
t v
ậ
y, v
ớ
i m
ọ
i
,, 0
xyz
≥
ta luôn có
() ( ) ( ) ( )
() ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 2 2 0
2 2 2 0
x y x z y z
y z y x z x

⇔ − + − + − ≥
⇔ − + − + − ≥


Khi
đ
ó bi
ể
u th
ứ
c P tr
ở
thành
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 4 5
2 2
4
4 9
2
4
P
x y z x y z
x y z
x y z
x y z

≤ − −
+ + + +
+ + +
≤ −
+ +
+ + +

Đặ
t
2 2 2
4 2
t x y z t
= + + + ⇒ >
. Nên
( )
2
4 9
2 4
P
t
t
≤ −
−

0,25

Xét hàm s
ố

()

( )
2
4 9
2 4
y ft
t
t
= = −
−
v
ớ
i
2
t
>

Có
()
( )
(
)
(
)
( )
3 2
2 2
2
2 2 2
4 4 7 4 16
4 9

'
4 4
t t t t
t
f t
t
t t t
− + − −
−
= + =
− −

Do
2t
>
nên
(
)
(
)
3 2 3
4 7 4 16 4 4 7 4 0t t t t t t
+ − − = − + − >

Suy ra
(
)
' 0 4
f t t
= ⇔ =


0,25

L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên
5
8
P
⇒ ≤

V
ậ
y GTLN c
ủ
a P là
5
2
8
x y z
⇔ = = =

0,25


CHÚ Ý:


H
ọ
c sinh làm cách khác n
ế
u
đ
úng v
ẫ
n ch
ấ
m
đ
i
ể
m t
ố
i
đ
a.