- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 10
Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 10 chọn lọc số 4
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (112.06 KB, 4 trang )
SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH
TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG – NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: Toán 10
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số
2
3 2y x x= − +
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm m để phương trình:
2
3 2 2x x m− + = −
có đúng 2 nghiệm.
Câu 2. (6 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau
a)
( ) ( )
2
1 4 8
4 8
x x
x x
= + − −
− + −
b)
( )
2
2 5 7 2 0x x x− − − ≥
c)
( ) ( )
3 3 2 2
2 2
2 3
5
0; 0
x y x y xy
x y
x y
+ = +
+ =
< <
Câu 3. (4 điểm) Tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức
cot cot cotB C A
α
+ =
. Độ dài các
cạnh BC, CA, AB tương ứng là a, b, c.
a) Với
1
2
α
=
chứng minh rằng
2 2 2
5b c a+ =
.
b) Tìm giá trị lớn nhất của góc A khi
( )
2 2 1
α
= −
.
Câu 4. (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho
( ) ( ) ( )
1 1 1
1; 2 , 2;2 , 1;2A B C− − −
.
a) Tìm tọa độ điểm
M Ox
∈
sao cho
·
0
1 1
45MA B =
.
b) Tam giác nhọn ABC có chân các đường cao hạ từ A, B, C theo thứ tự là
1 1 1
, ,A B C
. Viết
phương trình cạnh BC của tam giác ABC.
Câu 5. (2 điểm) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn
3x y z+ + =
. Chứng minh rằng
3 3 3
4x y z xyz+ + + ≥
.
HẾT
Câu ĐÁP ÁN ĐIỂM
1a)
2đ
TXĐ:
D = ¡
3
2 2
b
a
− =
;
1
4 4a
∆
− = −
; a = 1 > 0
Hàm số đồng biến trên
( )
3
2
;+∞
; nghịch biến trên
( )
3
2
;−∞
.
Bảng biến thiên
Đồ thị có TĐX là x = 3/2, Đồ thị cắt Ox tại điểm (1;0) và (2; 0), cắt Oy tại (0; 2).
Đồ thị (hình vẽ 1)
0.5
0.5
BBT
0.5
ĐT
0.5
1b)
2đ
Từ đồ thị trên suy ra đồ thị hàm số
2
3 2y x x= − +
như hình vẽ 2:
Từ đó, để phương trình có 2 nghiệm phân biệt điều kiện là:
2 0
2
1
9/2
2
4
m
m
m
m
− =
=
⇔
>
− >
1
1
2a)
2đ
Điều kiện
4 8x
≤ ≤
.
Đặt
4 8t x x= − + −
(t > 0),
( ) ( )
2
4 2 4 8t x x= + − −
Phương trình đã cho trở thành:
2 2
3
2 4 2 2
1 2 4 0
2 2
t t
t t
t t
− −
= + ⇔ = ⇔ − − =
( )
( )
2
2 2 2 0 2t t t t⇔ − + + = ⇔ =
Với t = 2,
( ) ( )
4 8 2 4 8 0 4x x x x x− + − = ⇔ − − = ⇔ =
hoặc x = 8.
0.5
0.5
0.5
0.5
2b)
2đ
Điều kiện:
2x ≥
. Bất phương trình đã cho tương đương với
TH1:
2
1
2 5 7 0
7/2
7/2
2 0
2
x
x x
x
x
x
x
≤ −
− − ≥
⇔ ⇔ ≥
≥
− ≥
≥
(t/m điều kiện)
TH2:
2
2 5 7 0
1 7/2
2
2
2 0
x x
x
x
x
x
− − ≤
− ≤ ≤
⇔ ⇔ =
=
− ≤
(t/m điều kiện)
Vậy, bất phương trình đã cho có tập nghiệm
{ }
[
)
2 7/2;S = ∪ +∞
.
0.5
0.5
0.5
0.5
2c)
2đ
Do x < 0; y < 0 nên x + y < 0
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
3 3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 2 3
5 5
x y x y xy x y x xy y xy x y
x y x y
+ = + + − + = +
⇔
+ = + =
( )
2 2
2 5 3
3 2
2 1
5
xy xy
x y x
xy y
x y
− =
+ = − = −
⇔ ⇔ ⇔
= = −
+ =
hoặc
1
2
x
y
= −
= −
(thỏa mãn)
Vậy, hệ đã cho có nghiệm (-1; -2) và (-2; -1).
0.25
0.5
1
0.25
3a)
2 2 2 2 2 2
cos
cot
sin 2 sin 4
A b c a b c a
A
A bc A S
+ − + −
= = =
.
Hình 1
Hình 2
2đ
Tương tự:
2 2 2 2 2 2
cot ;cot
4 4
a c b a b c
B C
S S
+ − + −
= =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cot cot cot .
4 4
a c b a b c b c a
B C A
S S
α α
+ − + + − + −
+ = ⇔ =
( )
( )
2 2 2
2 a b c
α α
⇔ + = +
(*)
Với
1
,
2
α
=
ta có
( )
( )
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
2 5a b c b c a+ = + ⇔ + =
0.5
0.5
0.5
0.5
3b)
2đ
Từ (*)
2 2 2
2
b c a
α
α
+
⇒ + =
( )
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
2 2
cos
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 1
.
a a a
b c a
A
bc bc bc
a
a
b c
a
α
α α
α
α
α
α
α
+
−
+ −
= = =
≥ = = = =
+
+
+
+ −
Suy ra,
0
45A ≤
. Vậy GTLN của góc A là 45
0
khi
b c=
.
0.5
0.5
0.5
0.5
4a)
Gọi
( )
;0M x Ox∈
.
( ) ( )
1 1 1
1;2 ; 3;4A M x A B= + =
uuuur uuuur
. Ta có:
·
( )
( ) ( )
2
0
1 1 1 1 1 1 1 1
. . .cos 3 1 8 1 4.5.cos 45A M A B A M A B MA B x x= ⇔ + + = + +
uuuur uuuur uuuur uuuur
( )
( )
2
2 2
11/3
6 22 5 2 2 5
36 264 484 50 2 5
x
x x x
x x x x
≥ −
⇔ + = + + ⇔
+ + = + +
2
11/3
13
9/7
14 164 234 0
x
x
x
x x
≥ −
=
⇔ ⇔
= −
− − =
. Vậy,
( )
13;0M
hoặc
( )
9/7;0M −
0.5
0.5
0.5
0.5
4b)
Chứng minh được trực tâm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
1 1 1
A B C
.
G/s
( )
;H x y
,
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
1; 2 ; 0;4 ; 3;4A H x y AC A B= + + = =
uuuur uuuur uuuur
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
2; 2 ; 3; 4 ; 3;0B H x y B A B C= − − = − − = −
uuuur uuuur uuuur
. Ta có
0.5
0.5
H
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
4 2 3 1 4 2
cos , cos ,
1 2 .4 1 2 .5
3 2 4 2 3 2
cos , cos ,
2 2 .5 2 2 .3
y x y
A H A C A H A B
x y x y
x y x
B H B A B H B C
x y x y
+ + + +
=
=
+ + + + + +
⇒
− − − − − −
=
=
− + − − + −
uuuur uuuur uuuur uuuur
uuuur uuuur uuuur uuuur
5 10 3 4 11 3 1 0
3 4 14 5 10 2 2 1
y x y x y x
x y x x y y
+ = + + − = − =
⇔ ⇔ ⇔
+ − = − − = − =
.
( )
0;1H
.
BC qua
( )
1
1; 2A − −
, nhận
( )
1
1;3A H =
uuuur
làm vecto pháp tuyến nên có phương trình
( ) ( )
1 3 2 0 3 7 0x y x y+ + + = ⇔ + + =
.
0.5
0.5
5)
BĐT
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
3 3
3 4 0 3 3 3 4 0x y xy x y z xyz z z xy z xyz⇔ + − + + + − ≥ ⇔ − + − − + − ≥
( )
2
4 9 9 27 23 0xy z z z⇔ − + − + ≥
.
Đặt
t xy
=
, do
( ) ( )
2 2
3
0
4 4
x y z
xy
+ −
≤ ≤ =
nên
( )
2
3
0
4
z
t
−
≤ ≤
Ta chứng minh
( ) ( )
2
4 9 9 27 23 0f t z t z z= − + − + ≥
, với mọi
( )
2
3
0
4
z
t
−
≤ ≤
(*)
( )
f t
là hàm bậc nhất đối với t nên đạt được GTNN tại
0t
=
hoặc
( )
2
3
4
z
t
−
=
+
( ) ( )
2
0 9 27 23 0 do 9 0; 99 0f z z a= − + > = > ∆ = − <
+
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2
2
3 3
1
4 9 9 27 23 1 4 11 0
4 4 4
z z
f z z z z z
− −
÷
= − + − + = − + ≥
÷
Vậy, (*) đúng, ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z= 1.
0.5
0.25
0.5
0.5
0.25
