- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 12
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bạc Liêu môn Toán lớp 12 (Năm học 2010 - 2011) - Có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (196.32 KB, 4 trang )
1
Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1:
Số báo danh:…………………………… ……… …………….………………
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
* Môn thi: TOÁN
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ
Câu 1: (4 điểm)
Giải phương trình:
2
24 252 5
x
xx xx
−
+−+ −= −
Câu 2: (4 điểm)
Cho dãy số không âm (a
i
), với i = 0, 1, 2, … thỏa điều kiện
a
m + n
+ a
m – n
=
1
2
(a
2m
+ a
2n
) với mỗi cặp chỉ số m, n tùy ý mà m ≥ n.
Tính a
2010
biết a
1
= 1.
Câu 3: (4 điểm)
Giải phương trình : tan
2
x + tan
2
y + cot
2
()
x
y
+
= 1
Câu 4: (4 điểm)
Cho ,ab∈Z và 3)542(
22
M++++ baba .Chứng minh rằng a và
b
không chia
hết cho 3.
Câu 5: (4 điểm)
Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1.
Biết AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, AE = 2.
Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ abc + bcd < 4.
HẾT
(Gồm 01 trang)
CHÍNH THỨC
1
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
* Môn thi: TOÁN
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1: (4 điểm)
2
24 252 5
x
xx xx−+ −+ −= − (1)
ĐK:
5
4
2
x≤≤
(0,25đ)
(1)
⇔
2
21 4 1 2 512 5
x
xx xx−−+ −−+ −−= − -3 (0,5đ)
()()
3326
21 3
11 4 1 2 51
xx x
xx
xxx
−− −
⇔−+ =+−
−+ − + −+
(0,5đ)
() ()()
11 2
3[ ] 2 1 3
11 4 1 2 51
xxx
xxx
⇔− − + = + −
−+ − + −+
(0,5đ)
3
11 2
21
11 4 1 2 51
x
x
xxx
=
⎡
⎢
⇔
⎢
−+ =+
⎢
−+ − + −+
⎣
(2) (0,75đ)
(2)
121
21
21 2 51 4 1
x
xx x
⇔+ =++
−+ −+ −+
(3) (0,5đ)
Do
5
4
2
x≤≤ nên
5
(3) 2 1 2. 1 6
2
VP x>+> += và VT (3) < 3 (0,5đ)
Vậy PT (1) có duy nhất nghiệm x = 3 (0,5đ)
Câu 2: (4 điểm)
Cho m = n = 1, ta được a
0
= 0; (0,5đ)
Cho m = 1, n = 0, ta có a
1
+ a
1
=
1
2
(a
2
+ a
0
) ⇒ a
2
= 4. (0,5đ)
Ta sẽ chứng minh a
n
= n
2
bằng qui nạp (0,5đ)
Với n = 0, 1, 2 khẳng định trên đúng (0,5đ)
Giả sử a
n
= n
2
đúng với n = 0, 1, 2, …k;
Cho m = k, n = 0, ta được a
k
+ a
k
=
1
2
(a
2k
+ a
0
)
⇒
a
2k
= 4a
k
= (2k)
2
(0,5đ)
Cho m = k, n = 1, ta được a
k + 1
+ a
k – 1
=
1
2
(a
2k
+ a
2
)
⇒a
k + 1
=
1
2
a
2k
+ 2 – a
k – 1
(0,5đ)
⇔ a
k + 1
=
1
2
(2k)
2
+ 2 – (k – 1)
2
⇔ a
k + 1
= (k + 1)
2
. (0,5đ)
Theo giả thiết qui nạp ta có a
n
= n
2
với n = 0, 1, 2, … (0,25đ)
Vậy a
2010
= 2010
2
. (0,25đ)
(Gồm 03 trang)
CHÍNH THỨC
2
Câu 3: (4 điểm)
tan
2
x + tan
2
y + cot
2
()
x
y
+
= 1 (1)
Ta có: cot ( x + y ) =
1
tan( )
x
y
+
=
1tanx.tan
tan x tan
y
y
−
+
.
⇒
cot (x + y ) .
[]
tan x tan y+ = 1- tanx.tany . (0,25đ)
⇒
tanx.tany + tany . cot ( x + y ) + tanx . cot ( x + y ) = 1 ( 2 ).
( 1 ) – ( 2 ) vế theo vế ta được :
222
1
(t anx tan ) (tan cot( )) (cot( ) tan ) 0
2
y y xy xy x
⎡⎤
−+−+++− =
⎣⎦
(0,75đ)
222
t anx tan cot( )
tan tan cot ( ) 1.
yxy
xy xy
==+
⎧
⇔
⎨
+++=
⎩
(0,25đ)
1
t anx tan cot( )
3
1
t anx tan cot( )
3
yxy
yxy
⎡
==+=
⎢
⎢
⇔
−
⎢
==+=
⎢
⎣
(0,75đ)
Xét hệ ( I )
1
tanx
3
1
tan
3
1
cot( )
3
y
xy
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
+=
⎪
⎩
1
tanx
3
1
tan
3
y
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=
⎪
⎩
(0,5đ)
6
(; )
6
xm
mn
yn
π
π
π
π
⎧
=+
⎪
⎪
⇔∈Ζ
⎨
⎪
=+
⎪
⎩
(0,5đ)
Xét hệ ( II )
1
tanx
3
1
tan
3
1
cot( )
3
y
xy
⎧
=−
⎪
⎪
⎪
=−
⎨
⎪
⎪
+=−
⎪
⎩
1
tanx
3
1
tan
3
y
⎧
=−
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
(0,5đ)
6
(; )
6
xm
mn
yn
π
π
π
π
⎧
=− +
⎪
⎪
⇔∈Ζ
⎨
⎪
=− +
⎪
⎩
(0,25đ)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho :
6
(; )
6
xm
mn
yn
π
π
π
π
⎧
=+
⎪
⎪
∈Ζ
⎨
⎪
=+
⎪
⎩
;
6
(; )
6
xm
mn
yn
π
π
π
π
⎧
=− +
⎪
⎪
∈
Ζ
⎨
⎪
=− +
⎪
⎩
(0,25đ)
3
Câu 4: (4 điểm)
Ta có
2222
)2()1(542 +++=++++ bababa
Với
Zx ∈ thì
x
có dạng 3k , 3k+1 , 3k+2 ( k
Z
∈
) (0,5đ)
2
x⇒
có dạng 3m , 3m+1 ( m
Z
∈
) (0,5đ)
Suy ra
22
)2()1( +++ ba có dạng 3t , 3t+1 , 3t+2 ( t
Z
∈
) (1,0đ)
Vì
22
)2()1( +++ ba
M
3 nên
22
)2(,)1( ++ ba có dạng 3t (1,0đ)
Vậy
3)1( M+a
và
3)2( M+b
ba,⇒
không chia hết cho 3 (1,0đ)
Câu 5: (4 điểm)
Có
222
4
A
EACCE==+
(1,0đ)
()()
22
A
BBC CDDE=+ ++
uuur uuur uuur uuur
DECDBCABDECDBCAB .2.2
2222
+++++= (1,0đ)
Vì
cos.2.2.2 abBCBABCAB −=−=
A
BC
cos2ab=
A
EC
(vì
A
BC AEC
+
= 180
0
)
abCE=
(vì CE = AE.cos
A
EC
= 2 cos
A
EC
) (1,0đ)
mà CE > CD = c nên
BCAB.2 > abc
Tương tự ta có:
bcdDECD >.2
Vậy:
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ abc + bcd < 4 (1,0đ)
HẾT
o
A
B
D
E
C
