- Trang chủ >>
- Tuyển sinh lớp 10 >>
- Toán
ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (83.42 KB, 4 trang )
ĐỀ 46 – TOÁN ÔN VÀO 10 – KEYS – 2013
ĐỀ 46
Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A =
1 1 1
+ + +
1 + 2 2 + 3 24 + 25
×××
.
Câu 2: a) Cho các số khác không a, b, c. Tính giá trị của biểu thức:
M = x
2011
+ y
2011
+ z
2011
Biết x, y, z thoả mãn điều kiện:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x + y + z x y z
= + +
a + b + c a b c
b) Chứng minh rằng với a >
1
8
thì số sau đây là một số nguyên dương.
x =
3 3
a + 1 8a - 1 a + 1 8a - 1
a + + a - .
3 3 3 3
Câu 3: a) Cho a, b, c > 0 thoả mãn:
1 35 4c
+
1 + a 35 + 2b 4c + 57
≤
. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a.b.c.
b) Giả sử a, b, c, d, A, B, C, D là những số dương và
a b c d
= = =
A B C D
. Chứng minh rằng:
aA + bB + cC + dD = (a + b + c + d) (A +B + C + D)
Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi M, N, P, Q là bốn đỉnh của một hình chữ nhật (M và N
nằm trên cạnh BC, P nằm trên cạnh AC và Q nằm trên cạnh AB).
a) Chứng minh rằng: Diện tích hình chữ nhật MNPQ có giá trị lớn nhất khi PQ đi qua trung điểm
của đường cao AH.
b) Giả sử AH = BC. Chứng minh rằng, mọi hình chữ nhật MNPQ đều có chu vi bằng nhau.
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân ở A, đường trung tuyến BM. Gọi D là hình chiếu của C trên tia
BM, H là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh rằng AH = 3HD.
KEYS
Câu 1: Ta có: A =
1 - 2 2 - 3 24 - 25
+ + +
- 1 - 1 - 1
= - 1 +
2 - 2 + 3 - 3 + + 25
= - 1 + 5 = 4
Câu 2: a) Từ giả thiết suy ra:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x y y z z
- + - + - = 0
a a + b + c b a + b + c c a + b + c
÷ ÷ ÷
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
x - + y - + z - = 0
a a + b + c b a + b + c c a + b + c
⇔
÷ ÷ ÷
(*)
Do
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
- > 0; - > 0; - > 0
a a + b + c b a + b + c c a + b + c
Nên từ (*) suy ra x = y = z = 0, do đó M = 0
b) x
3
= 2a +
3
2
2
a + 1 8a - 1
3 . a -
3 3
÷ ÷
x
⇔
x
3
= 2a + 3x .
( )
3
3
1 - 2a
3
⇔
x
3
= 2a + x(1 - 2a)
⇔
x
3
+ (2a - 1) x - 2a = 0
⇔
(x - 1) (x
2
+ x + 2a) = 0
2
x - 1 = 0
x 1
1
x + x + 2a = 0 ( a > )
8
nên x là nguyên
⇔ ⇔ =
v« nghiÖm do
mét sè du¬ng
Câu 3:
a) Ta có:
( ) ( )
4c 1 35 35
+ 2. > 0
4c + 57 1 + a 35 2b 1 + a 2b + 35
≥ ≥
+
(1)
Mặt khác
1 4c 35 1 4c 35
- -
1 + a 4c + 57 35 + 2b 1 + a 4c + 57 35 + 2b
≤ ⇔ ≤
1 4c 35 2b
- + 1 1 - =
1 +a 4c + 57 35 + 2b 35 + 2b
⇔ ≤
( ) ( )
2b 1 57 57
+ 2.
35 + 2b 1 + a 4c + 57 1 + a 4c + 57
⇔ ≥ ≥
> 0 (2)
Q
P
N
M
H
C
B
A
Ta có:
1 4c 35
1 - 1 - +
1 + a 4c + 57 35 + 2b
≥
( ) ( )
a 57 35 35 . 57
+ 2.
1 + a 4c + 57 35 + 2b 4c + 57 35 + 2b
⇔ ≥ ≥
> 0 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8abc 35 . 57
8 .
1 + a 4c + 57 2b + 35 1 + a 2b + 35 4c + 57
≥
Do đó abc ≥ 35.57 = 1995.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 2, b = 35 và c =
57
2
.
Vậy min (abc) = 1995.
b) Đặt t =
A B C D
= = =
a b c d
⇒
A = ta, B = tb, C = tc, D = td.
t =
A + B + C + D
a + b + c + d
Vì vậy
2 2 2 2
aA + bB + cC + dD = a t + b t + c t + d t
= (a + b + c + d)
A + B + C + D
t = (a + b + c + d)
a + b + c + d
=
(a + b + c +d)(A + B + C + D)
Câu 4:
a) Xét ∆ABC có PQ // BC
AQ QP
=
AB BC
⇒
Xét ∆BAH có QM // AH
BQ QM
=
BA AH
⇒
Cộng từng vế ta có:
H
M
D
C
B
A
AQ BQ QP QM QP QM
+ = + 1 = +
AB AB BC AH BC AH
⇒
2
MNPQ
ABC
ABC
MNPQ
2S
QP QM QP QM
1 = + 4 . =
BC AH BC AH S
S
S .
2
⇒ ≥
÷
⇒ ≤
ABC
MNPQ
S
QP QM 1 BC
maxS = khi = = QP =
2 BC AH 2 2
⇔
Tức là khi PQ là đường trung bình của ∆ABC, khi đó PQ đi qua trung điểm AH.
b) Vì
QP QM
1 = +
BC AH
mà BC = AH
QP + QM
1 = QP + QM = BC
BC
⇒ ⇔
Do đó chu vi (MNPQ) = 2BC (không đổi)
Câu 5:
∆HCD đồng dạng với ∆ ABM (g.g) mà
AB = 2AM nên HC = 2HD.
Đặt HD = x thì HC = 2x. Ta có:
DH
2
= HM . HC hay x
2
= HM . 2x
⇒
HM = 0,5x; MC = 2,5x; AM = 2,5x; AH = 3x.
Vậy AH = 3HD.
