SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: Ngày 12 tháng 7 năm 2012
(Đề thi gồm: 01 trang)
Câu 1(2,0 điểm):
Giải các phương trình sau:
a)
( )
2 12x x x
− = −
.
b)
2
2
8 1 1
16 4 4
x
x x x
−
= +
− + −
.
Câu 2(2,0 điểm):
a) Cho hệ phương trình
3 2 9
5

+ = +


+ =

x y m
x y
có nghiệm (x; y). Tìm m để biểu thức
( )
1
+ −
xy x
đạt
giá trị lớn nhất.
b) Tìm m để đường thẳng
(2 3) 3
= − −
y m x
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
2
3
.
Câu 3(2,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức
( )
3 1
. 2
2 1
 
= + −

 ÷
− − +
 
P x
x x x
với
0x
≥
và
4
≠
x
.
b) Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc. Năm nay, đơn vị
thứ nhất làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị
thu hoạch được 685 tấn thóc. Hỏi năm ngoái, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Câu 4(3,0 điểm):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Vẽ các đường cao BE, CF của tam
giác ấy. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Kẻ đường kính BK của (O).
a) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
c) Đường tròn đường kính AC cắt BE ở M, đường tròn đường kính AB cắt CF ở N. Chứng minh
AM AN=
.
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn:
0b d
+ ≠
và
2

ac
b d
≥
+
. Chứng minh rằng phương trình
( ) ( )
2 2
0x ax b x cx d+ + + + =
( x là ẩn ) luôn có nghiệm.
Hết
Họ và tên thí sinh: ……………………………………Số báo danh: ………………….
Chữ ký của giám thị 1: …………………Chữ ký của giám thị 2: ……………………
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012 - 2013
Ngày thi: 12 tháng 07 năm 2012
Đáp án gồm : 03 trang
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu Ý Nội dung Điểm
1 a
Giải phương trình
( )
2 12x x x

− = −
1,00
( )
2
2 12 2 12x x x x x x
− = − ⇔ − = −


2
12 0x x⇔ − − =

Phương trình có hai nghiêm phân biệt

1
2
4
3
x
x
=
= −
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Giải phương trình
2
2
8 1 1

16 4 4
x
x x x
−
= +
− + −
1,00
ĐKXĐ:
4x ≠ ±
2
2
2
8 1 1
2 8 0
16 4 4
x
x x
x x x
−
= + ⇔ − − =
− + −
1
2x⇔ = −

2
; 4x =
(loại)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
2x
= −

0,25
0,25
0,25
0,25
2 a
Cho hệ phương trình
3 2 9
5
+ = +


+ =

x y m
x y
có nghiệm (x; y). Tìm m để biểu thức
( )
1
+ −
xy x
đạt giá trị lớn nhất.
1,00

3 2 9 2
5 3
x y m x m
x y y m
+ = + = +
 
⇔

 
+ = = −
 

Ta có :
2
1 2 7xy x m m
+ − = − + +

( )
2
1 1 8 8xy x m
+ − = − − + ≤

=>GTLN
( )
1xy x
+ −
=8 khi m=1
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Tìm m để đường thẳng
(2 3) 3
= − −
y m x
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng

2
3
.
1,00
+/ Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
2
3
=>
2
3
0
x
y

=



=


+/ Thay vào công thức xác định đường thẳng ta được :
2
(2 3) 3 0
3
− − =
m
4
5 0
3

m⇔ − =
15
4
m⇔ =
0,25
0,25
0,25
0,25
3 a
Rút gọn
( )
3 1
. 2
2 1
P x
x x x
 
= + −
 ÷
− − +
 
với
0x
≥
và
4x ≠
.
1,00
( ) ( )
( )

3 1
. 2
1
1 2
P x
x
x x
 
 
= + −
 
+
+ −
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2
. 2
1 2 1 2
x
P x
x x x x
 
−
 
= + −
 
+ − + −
 
( )

( ) ( )
( )
1
. 2
1 2
x
P x
x x
 
+
 
= −
 
+ −
 
vì
0x
≥
và
4x ≠
1P =
0,25
0,25
0,25
0,25
b Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc. Năm
nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với
năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 685 tấn thóc. Hỏi năm ngoái, mỗi
đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
1,00

Gọi số thóc đơn vị thứ nhất và thứ hai thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là
x; y (tấn ), điều kiện
, 0x y >
.
Theo giả thiết ta có phương trình
600x y+ =
(1)
Năm nay, số thóc của hai đơn vị là
1,1 ; 1,2yx
(tấn )
Theo giả thiết ta có phương trình
1,1 1,2 685x y+ =
(2)
Ta có hệ phương trình
600
1,1 1,2 685
+ =


+ =

x y
x y
Giải hpt được nghiệm
350
250
=


=


x
y
Số thóc đơn vị thứ nhất và thứ hai thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là
350 tấn, 250 tấn.
0,25
0,25
0,25
0,25
4 a Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp. 1,00
- Vẽ hình đúng câu a
-
·
0
90BEC =
(gt)
-
·
0
90BFC =
(gt)
=> E,F nằm trên đường tròn đường kính BC.
Hay tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp(do tam
giác ABC nhọn- không yêu cầu h/s nêu tam
giác nhọn).
(Chú ý: nếu tam giác có góc A tù thì tứ giác
BCFE nội tiếp)
0,25
0,25
0,25

0,25
b Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành. 1,25
-Ta có :
·
0
90= => ⊥BCK KC BC
mà
⊥AH BC
( do H là trực tâm
ABC∆
)
AH//KC
=>
(tam giác ABC nhọn nên
A K
≠
- không y/cầu h/s nêu tam giác nhọn).
-Chứng minh tương tự :
/ /AK CH
=> tứ giác AHCK là hình bình hành
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
c
Chứng minh
AM AN=
.
0,75

+/Xét tam giác AFC và AEB có:
·
EAB
( chung ) và
·
·
0
90AFC AEB= =

=>tam giác AFC đồng dạng với tam
giác AEB =>
. .AE AC AF AB
=
(1)
+/Xét tam giác AMC có :
·
0
90AMC =
( nội tiếp chắn nửa đường
tròn đường kính AC)
ME AC
⊥
(gt)
2
.AM AE AC⇒ =
( hệ thức lượng
trong tam giác vuông ) (2)
+/C.minh tương tự:
2
.AN AF AB

=
(3)
Từ (1),(2),(3) => AM = AN .
0,25
0,25
0,25
5
Chứng minh rằng: Nếu
0b d+ ≠
và
2
ac
b d
≥
+
thì phương trình

( ) ( )
2 2
0x ax b x cx d+ + + + =
( ẩn là x) luôn có nghiệm.
1,00

( ) ( )
2 2
0x ax b x cx d
+ + + + =
(I)
( )
( )

2
0 1x ax b
⇔ + + =
hoặc
( )
( )
2
0 2x cx d
+ + =
.
Ta có :
2 2
1 2
4 ; 4a b c d
∆ = − ∆ = −
.
0,25
+/ Nếu
0b d
+ <

=> trong hai số b, d có ít nhất một số âm (chẳng hạn b < 0 thì
2
1
4 0
∆ = − >
a b
)
=> ít nhất một trong hai phương trình (1) và (2) có nghiệm
=> phương trình (I) có nghiệm .

0,25
+/ Nếu
0b d
+ >
mà
( )
2 2
ac
ac b d
b d
≥ ⇔ ≥ +
+
.
N
M
A
B
C
E
F
H
O
O
H
F
E
K
C
B
A

=>
( ) ( )
2
2 2
1 2
4 4 2 2 0a b c d a c ac b d
∆ + ∆ = − + − = − + − + ≥
 
 
.
0,25
=>trong hai số
1 2
;∆ ∆
tồn tại ít nhất một số không âm
=> ít nhất một trong hai phương trình (1) và (2) có nghiệm
=> phương trình (I) có nghiệm .
Vậy nếu
0b d
+ ≠
và
2
ac
b d
≥
+
thì phương trình

( ) ( )
2 2

0x ax b x cx d
+ + + + =
( ẩn là x) luôn có nghiệm.
0,25