Trang 1
Cõu 1: Thit lp cụng thc tớnh vn tc gia tc, gia tc trong ta cc v ta tr.
1. Ta cc:
- Phng trỡnh chuyn ng:
(
)
()
rrt
t
jj
=
ỡ
ớ
=
ợ

Vi
cos
sin
xr
yr
j
j
=
ỡ
ớ
=
ợ
(

0
OM
r
Ê=<+Ơ
v
02
jp
ÊÊ
)
- Chn
1
qr
=
,
1
qr
=
gg
,
1
r
ee
=
urur
,
1
r
hh
=



2
q
j
=
,
2
q
j
=
gg
,
1
ee
j
=
uruur
,
2
hh
j
=

- Ta cú:
222
22
1
cossin1
r
xyz

hh
rrr
jj
ảảả
ổửổửổử
==++=+=
ỗữỗữỗữ
ảảả
ốứốứốứ


()()
222
22
2
sincos
xyz
hhrrr
j
jj
jjj
ổửổửổử
ảảả
==++=-+=
ỗữỗữỗữ
ảảả
ốứốứốứ

- Vn tc:
2

1
iiirr
i
vhqehrehe
jj
j
=
==+
ồ
ggg
rururuur

Suy ra:
r
vrere
j
j
=+
gg
ruruur
. Hay:
2222
vrr
j
=+
gg

- Gia tc:
2
1122

1
iirr
i
aaeaeaeaeae
jj
=
==+=+
ồ
rururuururuur

+
22
22
1d1d
22
2dt2dt
r
r
vv
arrrr
hr
r
jj
ộự
ổử
ộựảả
ổử
ờỳ=-=-=-
ỗữ
ỗữ

ờỳ
ỗữ
ả
ốứ
ờỳ
ởỷ
ả
ốứ
ởỷ
gg
ggg
g

+
22
22
1d1d1d
202
2dt2dtdt
vv
arrrr
hrr
j
j
jjjj
j
j
ộự
ổử
ảả

ộự
ổửổử
ờỳ
ỗữ
=-=-==-
ỗữỗữ
ờỳ
ờỳ
ả
ỗữ
ốứốứ
ởỷ
ả
ốứ
ởỷ
gggggg
g

2. Ta tr:
- Phng trỡnh chuyn ng:
(
)
()
()
rrt
t
zzt
jj
=
ỡ

ù
=
ớ
ù
=
ợ

Vi
cos
sin
xr
yr
zz
j
j
=
ỡ
ù
=
ớ
ù
=
ợ
(
0
OM
r
Ê=<+Ơ
,
02

jp
ÊÊ

v
z
-ƠÊ<+Ơ
)
- Chn
1
qr
=
,
1
qr
=
gg
,
1
r
ee
=
urur
,
1
r
hh
=


2

q
j
=
,
2
q
j
=
gg
,
1
ee
j
=
uruur
,
2
hh
j
=


3
qz
=
,
3
qz
=
gg

,
3
ek
=
urr
,
3
z
hh
=



Trang 2
- Ta cú:
222
222
1
cossin01
r
xyz
hh
rrr
jj
ảảả
ổửổửổử
==++=++=
ỗữỗữỗữ
ảảả
ốứốứốứ



()()
222
22
2
2
sincos0
xyz
hhrrr
j
jj
jjj
ổửổửổử
ảảả
==++=-++=
ỗữỗữỗữ
ảảả
ốứốứốứ

222
222
3
0011
z
xyz
hh
jjj
ổửổửổử
ảảả

==++=++=
ỗữỗữỗữ
ảảả
ốứốứốứ

- Vn tc:
3
1
iiirrz
i
vhqehrehehzk
jj
j
=
==++
ồ
gggg
rururuurr

Suy ra:
r
vrerezk
j
j
=++
ggg
ruruurr
. Hay:
22222
vrrz

j
=++
ggg

- Gia tc:
3
1
iirrz
i
aaeaeaeak
jj
=
==++
ồ
rururuurr

+
22
22
1d1d
22
2dt2dt
r
r
vv
arrrr
hr
r
jj
ộự

ổử
ộựảả
ổử
ờỳ=-=-=-
ỗữ
ỗữ
ờỳ
ỗữ
ả
ốứ
ờỳ
ởỷ
ả
ốứ
ởỷ
gg
ggg
g

+
22
22
1d1d1d
202
2dt2dtdt
vv
arrrr
hrr
j
j

jjjj
j
j
ộự
ổử
ảả
ộự
ổửổử
ờỳ
ỗữ
=-=-==-
ỗữỗữ
ờỳ
ờỳ
ả
ỗữ
ốứốứ
ởỷ
ả
ốứ
ởỷ
gggggg
g

+
z
az
=
gg





Trang 3
Câu 2: Định lý cộng vận tốc, gia tốc.
1. Định lý cộng vận tốc:
+ Ta có hệ quả:
O
O
rrr
vvr
¢
¢
ì
¢
=+
ï
í
ï
¢
=+
î
g
ruurur
ruurur

+
()
dd
dtdt

rrxiyjzkvxiyjzk
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
==++=+++
gggg
ururrurururrurur

+ Ta có:
()
2
1213
12.0
iiiiiiOyzijk
aa
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
=Û=Þ^ÞÎÞ=+
gggg
rrrrrrrurur

Tương tự:
2123
jik
aa
¢¢¢
=+
g
urrur
,
3132
kij
aa

¢¢¢
=+
g
urrur

+ Ta có:
1221
.0.0.
z
ijijijijij
aaw
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
=Þ+=Û=-Þ=-=
gggg
rurrurrurrurrur

Tương tự:
2332
x
aaw
=-=
và
3113
y
aaw
=-=

+ Gọi
xyz
ijk

wwww
¢¢¢
=++
urrurur

Ta có:
()
13121312yz
ijikikjkji
wwwaaaa
éùéùéù
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
Ù=Ù+Ù= +=+=
ëûëûëû
g
urrurrurrururururr

Tương tự:
jj
w
éù
¢¢
=Ù
ëû
g
ururur
và
kk
w
éù

¢¢
=Ù
ëû
g
ururur

+ Ta có:
rvxiyjzkrr
wwww
éùéùéùéù
¢¢¢¢¢¢¢¢¢
=+Ù+Ù+Ù=+Ù
ëûëûëûëû
g
rururrururururururur

Vậy:
O
vvrv
w
¢
éù
¢¢
=+Ù+
ëû
ruurururur

Trong đó:
v
r

là vận tốc tuyệt đối,
O
vr
w
¢
éù
¢
+Ù
ëû
uururur
là vận tốc kéo theo,
v
¢
ur
là vận tốc tương đối.
2. Định lý cộng gia tốc:
+ Ta có:
()
dd
dtdt
OO
v
avrvarrv
www
¢¢
éùéù
éù
¢¢¢¢¢
==+Ù+=+Ù+Ù+
êúêú

ëû
ëûëû
ggg
r
ruururururuurururururur

+ Trong đó:
()
rvrvr
wwwwww
éù
éù
éù
éùéùéù
¢¢¢¢¢
Ù=Ù+Ù=Ù+ÙÙ
êú
ëûëûëû
ëû
ëû
ëû
g
ururururururururururur



Trang 4

dd
dtdt

v
vxiyjzkaxiyjzkaxiyjzk
vav
w
w
Â
ổửổử
ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ
==++=+++=+++
ỗữỗữ
ốứốứ
ộự
ÂÂÂ
ị=+
ởỷ
gggg
ggggggggg
g
ur
urrurururrururururrurur
urururur

Vy: 2
O
aarrva
wwww
Â
ộự
ộự
ộựộự

ÂÂÂÂ
=++++
ờỳ
ởỷởỷ
ởỷ
ởỷ
g
ruururururururururur

Trong ú:
a
r
l gia tc tuyt i,

O
arr
www
Â
ộự
ộự
ộự
ÂÂ
++
ờỳ
ởỷ
ởỷ
ởỷ
g
uurururururur
l gia tc kộo theo,

2
v
w
ộự
Â

ởỷ
urur
l gia tc Criolit,

r
ww
ộự
ộự
Â

ởỷ
ởỷ
ururur
l gia tc hng tõm;

a
Â
ur
l gia tc tng i.



Trang 5
Cõu 3: di o, lc suy rng qua phộp bin phõn, phỏt biu nguyờn lý Hamilton, thnh lp

phng trỡnh Lagrange loi II.
1. di o qua phộp bin phõn ca ta suy rng:
Gi s h cú
s
bc t do, gi
i
q
vi
1, ,
is
=
l ta suy rng ca h nu tha:
(
)
()
()
12
12
12
,, ,
,, ,
,, ,
i
i
i
xxqqq
yyqqq
zzqqq
=ỡ
ù

=
ớ
ù
=
ợ

i
q
cng tha phng trỡnh liờn kt hay
(
)
,t
i
qq
a
= .
+ Bin phõn ca ta suy rng, nh ngha:
()()()
,t,t,t
i
iii
q
qqq
daadaada
a
ả
=+-=
ả

+ di o cú th biu din qua bin phõn ca ta suy rng:

() ()
1
,t,t
s
ii
i
i
r
rrqq
q
dadd
=
ả
==
ả
ồ
r
rr

()
1
1
1
d,td ddt =ddt
tt
s
isi
i
si
rrrrr

rqqqq
qqq
=
ảảảảả
ị=++++
ảảảảả
ồ
rrrrr
r

2. Lc suy rng:
Lc tỏc dng lờn h:
1
N
k
k
F
=
ồ
uur
(
k
F
uur
: hot lc hay lc thụng thng khụng k phn lc liờn kt
k
R
uur
).
Cụng o h thc hin tng ng vi di o

k
r
d
ur
:
11
NN
kkk
kk
AAFr
ddd
==
==
ồồ
uurur

M
()
1
,t
s
k
kii
i
i
r
rqq
q
dd
=

ả
=
ả
ồ
ur
ur

1111
NssN
kk
kiki
kiik
ii
rr
AFqFq
qq
ddd
====
ổử
ảả
==
ỗữ
ảả
ốứ
ồồồồ
urur
uuruur

t
1

N
k
ik
k
i
r
QF
q
=
ả
=
ả
ồ
ur
uur
l lc suy rng
i
Q
tựy ý vi ta suy rng
i
q
.
3. Nguyờn lý Hamilton (nguyờn lý tỏc dng ti thiu):
+ Chuyn ng thc ca c h c biu din bi mt hm Lagrange nh sau:
()
,,t,,t,t
iiiii
LqqTqqUq
ổửổử
=-

ỗữỗữ
ốứốứ
gg



Trang 6
+
.dt
L
: tỏc dng nguyờn t
+
2
1
t
t
.dt
SL
=
ũ
: tỏc dng trong khong thi gian t
1
t
n
2
t
.
+ Bin phõn ca tỏc dng
S
:

()
2
1
t
t
,t.dt
S
SSL
dadadd
a
ả
=ị=
ả
ũ
.
+ Nguyờn lý Hamilton: Chuyn ng thc ca c h trong khong thi gian t t
1
n t
2
ch xy ra
sao cho tỏc dng S t cc tr hay bin phõn ca tỏc dng S bng 0.
0
S
a
ả
=
ả
hay
2
1

t
t
.dt0
SL
dd
==
ũ

4. Phng trỡnh Lagrange loi II:
Xột c h
s
bc t do,
(
)
1, ,
i
qis
= l ta suy rng. Cỏc
(
)
(
)
12
tt0
ii
qq
dd
==
.
Gi

L
l hm Lagrange ca c h.
Bin phõn tỏc dng
S
:
22
11
tt
1
tt
,,tdt
s
iiii
i
i
i
LL
SLqqqq
q
q
dddd
=
ộự
ổử
ảả
ổử
ờỳ
ỗữ
==+
ỗữ

ờỳ
ỗữ
ả
ốứ
ả
ốứ
ởỷ
ồ
ũũ
gg
g

M
d
dt
i
i
q
q
d
d
=
g

Ta cú:
222
111
ttt
111
ttt

d
dt = dt = dd
dt
sss
iiii
iii
i
iii
LLLL
qqqq
q
qqq
dddd
===
ổửổửổử
ổử
ảảảả
ỗữỗữỗữ
-
ỗữ
ỗữỗữỗữ
ả
ốứ
ảảả
ốứốứốứ
ồồồ
ũũũ
g
ggg



22
2
1
11
tt
t
t
111
tt
dd
dt dt
dtdt
sss
iii
iii
iii
LLL
qqq
qqq
ddd
===
ổửổử
ảảả
ỗữỗữ
=-=-
ỗữỗữ
ảảả
ốứốứ
ồồồ

ũũ
ggg

Suy ra:
2
1
t
1
t
d
dt
dt
s
i
i
i
i
LL
Sq
q
q
dd
=
ộự
ổử
ảả
ờỳ
ỗữ
=-
ờỳ

ỗữ
ả
ả
ốứ
ởỷ
ồ
ũ
g

Theo nguyờn lý Hamilton:
00
i
i
dLL
S
dtq
q
d
ổử
ảả
ỗữ
=ị-=
ỗữ
ả
ả
ốứ
g
(phng trỡnh Lagrange)



Trang 7
v Ta có:
() ()()
,,t,,t,t0
iiiii
i
i
d
LqqTqqUqTUTU
dtq
q
¶¶
æöæö
=-Þ =
ç÷ç÷
¶
èøèø
¶
gg
g

dd
dtdt
i
iii
ii
TTUTT
Q
qqq
qq

¶¶¶¶¶
Þ-=-Þ-=
¶¶¶
¶¶
gg
(dạng khác của phương trình Lagrange).



Trang 8
Cõu 4: Thnh lp phng trỡnh chớnh tc (phng trỡnh Hamilton). Chng minh rng: Khi liờn
kt dng thỡ hm trựng c nng h.
1. Thnh lp phng trỡnh Hamilton:
Xột hm Hamilton sau:
()()
11
,,t,,t,,t
ss
iiiiiiiiii
ii
HqpqpLqqLqpHqp
==
ổử
=-ị=-
ỗữ
ốứ
ồồ
ggg

Ta cú:

()
222
111
ttt
11
ttt
.dtdtdt
ss
iiiiii
ii
ii
HH
SLpqpqqp
qp
dddddd
==
ộự
ảảộự
ổử
==+-+
ỗữ
ờỳ
ờỳ
ảả
ốứ
ởỷ
ởỷ
ồồ
ũũũ
gg


M
d
dt
ii
qq
dd
=
g

()()
2222
2
1
1111
tttt
t
t
1111
tttt
dtddddt
ssss
iiiiiiiiiiii
iiii
pqpqpqpqpqpq
dddddd
====
ổử
ị==-=-
ỗữ

ốứ
ồồồồ
ũũũũ
gg

Vy:
2
1
t
1
t
dt
s
iiii
i
ii
HH
Spqqp
pq
ddd
=
ộự
ổửổử
ảả
= +
ờỳ
ỗữỗữ
ảả
ốứốứ
ởỷ

ồ
ũ
gg

Theo nguyờn lý Hamilton thỡ
0
S
d
=

i
i
i
i
H
q
p
H
p
q
ả
ỡ
=
ù
ả
ù
ị
ớ
ả
ù

=-
ù
ả
ợ
g
g
(h phng trỡnh vi phõn ny gi l phng trỡnh Hamilton)
Gii ra suy ra c
(
)
i
qt
v
(
)
i
pt
.
2. Chng minh rng: Khi liờn kt dng thỡ hm trựng c nng h:
Khi liờn kt ca h l liờn kt dng, ta cú
k
r
ur
khụng ph thuc tng minh vo t hay
0
t
k
rả
=
ả

ur
r

Hm Hamilton:
()
11
,,t,,t
ss
iiiiiii
ii
i
T
HqpqpLqqqTU
q
==
ổử
ả
ổử
ỗữ
=-=-+
ỗữ
ỗữ
ốứ
ả
ốứ
ồồ
ggg
g

+ ng nng ca h:

2
1
1
2
N
kk
k
Tmr
=
=
ồ
g
ur
vi
()
1
,t
t
s
kk
kii
i
i
rr
rqq
q
=
ảả
=+
ảả

ồ
g
g
urur
ur



Trang 9
2
1111,1
2
,11
11
22
1

2
NssNs
kkkkk
kijkij
kijkij
ijij
sN
k
kij
ijk
ij
rrrrr
Tmqqmqq

qtqtqq
r
mqq
qq
=====
==
ổửổử
ổử
ảảảảả
=++=
ỗữỗữ
ỗữ
ỗữỗữ
ảảảảảả
ốứ
ốứốứ
ổử
ả
=
ỗữ
ỗữ
ảả
ốứ
ồồồồồ
ồồ
gggg
gg
ururururur
ur


t
2
1,1
1
2
Ns
k
ijkijij
kij
ij
r
amTaqq
qq
==
ả
=ị=
ả
ồồ
gg
ur

+ Ta cú:
1
s
l
l
l
T
HqTU
q

=
ổử
ả
ỗữ
=-+
ỗữ
ả
ốứ
ồ
g
g

11,1,1
11
22
ssss
j
i
lijjijil
llijij
lll
q
q
T
qaqaqq
qqq
====
ộự
ổử
ổửổử

ả
ả
ả
ờỳ
ỗữ
ỗữỗữ
=+
ờỳ
ỗữ
ỗữỗữ
ỗữ
ảảả
ốứốứ
ờỳ
ốứ
ởỷ
ồồồồ
g
g
gggg
ggg

Vi
d
=
ỡ
=
ớ
ạ
ợ

1 nếu
0 nếu
il
ie
il

===
ổử
ả
ỗữ
ị=+=
ỗữ
ả
ốứ
ồồồ
ggggg
g
1,1,1
11
22
sss
lijijijij
lijij
l
T
qaqqaqqT
q

ị=-+=+=
2

HTTUTUE
(c nng h)
Vy khi liờn kt dng, hm Hamilton chớnh l c nng ca h.
Ht
Lee Ein (K36.102.012) HCMUP 01.229.429.829