- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
Đề thi đề xuất kì thi học sinh giỏi các trường chuyên khu vực duyên hải và đồng bằng bắc bộ năm 2015 môn Toán khối 11 của trường chuyên CHU VĂN AN HÀ NỘI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (90.31 KB, 4 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐBBB 2015
Môn: Toán – Lớp 11
Câu 1: Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + zx + 2xyz = 1. Chứng minh:
Câu 3: Tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. M
thuộc BC thỏa mãn OM // AB. DM cắt (O) tại P khác D. Chứng minh: C, H, P
thẳng hàng, với H là trực tâm tam giác ABC.
Câu 4: Tìm tất cả các hàm thỏa mãn:
với mọi x, y.
Câu 5: Có bao nhiêu cách phân tích thành tích của 3 số nguyên dương, biêt
các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính 1
lần?
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐBBB 2015
Môn: Toán – Lớp 11
Câu 1:(4 điểm)
Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + zx + 2xyz = 1. Chứng minh:
Xét
(1 điểm)
Liên quan tới xy + yz + zx, từ giả thiết, ta xét:
Đặt t = xy + yz + zx, từ giả thiết có:
hay xy + yz + zx ≥ ¾. (1 điểm)
Thay vào giả thiết được:
2xyz = 1 – (xy + yz + zx) ≤ ¼ hay xyz ≤ 1/8
Do đó, xy + yz + zx ≥ 6xyz (1 điểm)
Suy ra: (2)
Mặt khác:
(3)
Cộng vế (2) và (3) có:
(4)
Kết hợp (1) và (4) ta có đpcm.
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = ½. (1 điểm)
Câu 3:(4 điểm) Tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính
AD. M thuộc BC thỏa mãn OM // AB. DM cắt (O) tại P khác D. Chứng minh:
C, H, P thẳng hàng, với H là trực tâm tam giác ABC.
DP cắt AB tại E thì M là trung điểm DE (vì OM là đường trung bình)
BHCD là hình bình hành nên DH cắt DC tại I là trung điểm mỗi đường
Suy ra MI là đường trung bình của ∆DHE → MI // EH
→ EH // BC (1 điểm)
Kéo dài CH cắt (O) tại Q. Ta sẽ c/m Q ≡ P, bằng cách c/m Q, E, D thẳng
hàng.
Vì BD // CQ nên BDCQ là hình thang cân (hình thang nội tiếp).
(1 điểm)
Ta có: vì ∆QBH cân tại B
vì hình thang BDCQ cân
Nên (1 điểm)
Mà Q, H, C thẳng hàng, nên E, Q, D thẳng hàng, hay QP (đpcm).
(1 điểm)
Câu 4: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm thỏa mãn:
với mọi x, y.
Cho x = 1 thì
Chọn y thỏa mãn , và đặt thì
. (1 điểm)
Chọn y = t, và thay vào giả thiết thì:
Hay:
(1 điểm)
Vậy là hàm bậc nhất.
Giả sử . Thay vào giả thiết ta có:
(1 điểm)
Đẳng thức trên đúng với mọi x, y nên:
Vậy có 2 hàm thỏa mãn yêu cầu, là – 2014. (1 điểm)
Câu 5: (4 điểm)Có bao nhiêu cách phân tích thành tích của 3 số nguyên
dương, biêt các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ
được tính 1 lần?
Xét phân tích với
Với mỗi , có cách chọn số , để
từ đó chọn . (1 điểm)
Vậy số cách chọn các bộ là 10+9+ +1 = 55 cách
số cách chọn các bộ và là 55.55 cách.
Bây giờ, ta sẽ tính số các cách phân tích bị trùng nhau.
+) TH1: 3 thừa số bằng nhau:
(1 điểm)
+) TH2: 2 thừa số bằng nhau:
và (a ; b) # (3 ; 3).
Khi đó a {0; 1; 2; 3; 4} ; b {0; 1; 2; 3; 4 } và (a ; b) # (3 ; 3)
→ số cặp (a; b) là 5.5 – 1 =24, và 24 cặp này cho ta 24 cách phân tích
thỏa mãn yêu cầu. Tuy nhiên, mỗi cặp sẽ cho 3 lần đếm trong quá trình đếm
mà ta vừa nêu ở trên. (1 điểm)
+) TH3: nếu cả 3 thừa số khác nhau, thì mỗi phân tích bị đếm trùng 3!=6 lần.
Vậy số cách phân tích là: cách
(1 điểm)
Người làm đề: Nguyễn Mạnh Cường
Sđt: 0169.534.8888.
Trong đề không có câu 2 - về dãy số, vì tôi không nghiên cứu được câu
nào mới và phù hợp
