giới thiệu một số đề
đề số 1
Quy ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 1. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) = sin
3
x + cos
3
x + 3sin x cos x.
max f(x)

2,20711; min f(x)

-1,82843
Bài 2. Tính gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác có các đỉnh
A(1; 3), B(4; - 2), C(5.; 7).
S

68,42781
Bài 3. Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình 3
x
= x + 4sin x.
x
1


1,56189; x
2

0,27249
Bài 4. Tính gần đúng thể tích khối tứ diện ABCD có góc CBD = 90

0
, góc
BCD = 50
0
15 27 và AB = AC = AD = CD = 6dm.
V

15,32668 dm
3
Bài 5. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phơng trình
3sin
2
x + 2sinx cosx - 4cos
2
x = 0.
x
1


40
0
58 30 + k180
0
; x
2

- 56
0
5 13 + k180
0

Bài 6. Tính gần đúng diện tích hình tròn nội tiếp tam giác có các đỉnh
A(5; 2), B(3; - 4), C(4; 9).
S

1,79839
Bài 7. Gọi A và B là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
y =
2
3x 4x 5
2x 1
+
+
.
a) Tính gần đúng khoảng cách AB.
AB

10,16530
b) Tính giá trị của a và b nếu đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A và B.
a = 3; b = - 2
Bài 8. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình tứ diện ABCD có góc
CBD = 90
0
góc BCD = 50
0
25 16 và AB = AC = AD = CD = 5dm.
S

33,82795dm
2
Bài 9. Tính gần đúng nghiệm của hệ phơng trình

2 2
x + y = 5
x + y - 3xy = 4



89
1
1
x -2,07167
y 0,84153






2
2
x 0,84153
y -2,07167






3
3
x -0,84153

y 2,07167






4
4
x 2,07167
y -0,84153






Bài 10. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của elíp
2 2
x y
1
16 9
+ =
và đờng
tròn x
2
+ y
2
- 12x - 5 = 0.
A(0,33749; 2,98930); B(0,33749; - 2,98930)

đề số 2
Quy ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 11. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phơng trình 4sin 3x +
5cos 3x = 6.
x
1


6
0
4 25 + k 120; x
2
19 41 59 + k 120
Bài 12. Tam giác ABC có cạnh AB = 6dm, góc A = 103 31 28 và góc
C = 35
0
40 26. Tính gần đúng diện tích tam giác và đờng cao AH.
S

19,60970 dm
2
; AH

3,92066 dm
Bài 13. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) = 3x + 5cos 2x trên đoạn [0; ].
max f(x) 14,42478; min f(x) - 0,51435
90
Bài 14. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD biết
rằng đáy ABCD là hình chữ nhật có các cạnh AB = 8dm, AD = 9dm, cạnh bên

SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ đỉnh S đến giao điểm của hai đờng chéo
của đáy là SO = 12dm.
S 274,16086 dm
2

Bài 15. Tìm giá trị của a và b nếu đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm A(1;
3) và là tiếp tuyến của hypebol
2 2
x y
25 9

= 1.
a
1
= - 1; b
1
= 4; a
2
=
3
4
; b
2
=
9
4

Bài 16. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phơng trình
2 2
x + y = 6

x + y-3xy = 5




1
1
x -0,41421
y 2,41421






2
2
x 2,41421
y -0,41421






3
3
x -2,26528
y 0,93194







4
4
x 0,93194
y -2,26528





Bài 17. Tính giá trị của a, b, c nếu đờng tròn x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0 đi
qua ba điểm A(- 3; 4), B(7; - 5), C(5; 4).
a = - 2; b =
29
9
; c = -
395
9
Bài 18. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) = sin x - cos x -
5
sin x cos x.

max f(x) 2,53225; min f(x) - 1,34164
Bài 19. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm M và N của đờng tròn x
2
+ y
2
+ 10x - 5y = 30 và đờng thẳng đi qua hai điểm A(- 4; 3), B(5; - 2).
M(- 11,34553; 7,08085); N(2,24176; - 0,46764)
Bài 20. Tính gần đúng nghiệm của phơng trình
2 2
sin x cos x
3
2 2
4
=
.
x
1


69
0
34 28 + k 180
0
; x
2


- 69
0
34 28 + k 180

0

91
đề số 3
Quy ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 21. Tính gần đúng giá trị của biểu thức M = a
4
+ b
4
+ c
4
nếu a + b + c = 3,
ab = - 2, b
2
+ c
2
= 1.
M
1


358,04118; M
2


75,73055
Bài 22. Cho bốn điểm A, B, C, E trên đờng tròn tâm O bán kính 1dm sao
cho AB là đờng kính, OC vuông góc với AB và CE đi qua trung điểm của OB.
Gọi D là trung điểm của OA. Tính diện tích tam giác CDE và tính gần đúng
góc CDE (độ, phút, giây).

S =
4
5
dm
2
;
ã
CDE
88
0
12 36
Bài 23. Đa thức P(x) = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e có giá trị bằng 5, 4, 3, 2, - 1
lần lợt tại x = 1, 2, 3, 4, 5. Tính giá trị của a, b, c, d, e và tính gần đúng các
nghiệm của đa thức đó.
a = -
1
12
; b =
5
6
; c = -
35
12
; d =

19
6
; e = 4
x
1


- 0,70561; x
2


4,78104
Bài 24. Tứ giác ABCD nội tiếp đợc trong một đờng tròn và có các cạnh AB
= 5 dm, BC = 6 dm, CD = 8 dm, AD = 7 dm. Tính gần đúng bán kính đờng
tròn nội tiếp, bán kính đờng tròn ngoại tiếp và góc lớn nhất (độ, phút, giây)
của tứ giác đó.
r

3,15291dm; R

4,66638 dm;


72
0
24 10
Bài 25. Dãy số a
n
đợc xác định nh sau:
a

1
= 1, a
2
= 2, a
n + 2
=
1
3
a
n + 1
+
1
2
a
n
với mọi n

N*.
Tính tổng của 10 số hạng đầu của dãy số đó.
92
S
10
=
1120643
104976

Bài 26. Tính gần đúng diện tích của tứ giác ABCD biết rằng AB = 5 dm,
BC = 6 dm và
à
A

= 2
à
B
= 3
à
C
= 4
à
D
.
S

25,10056 dm
2

Bài 27. Cho x > 0, y > 0 và x + y = 4. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A = (x
3
+ 3)(y
3
+ 3).
min A

117,86156
Bài 28. Diện tích phần chung của hình tròn tâm A và hình tròn tâm B
bằng nửa diện tích hình tròn tâm B. Điểm A nằm trên đờng tròn tâm B. Tính
gần đúng tỉ số k của diện tích hình tròn tâm A và diện tích hình tròn tâm B.
k

1,34265

Bài 29. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phơng trình
2
2
2
x xy 3
x
2
y xy 3
y

+ =




+ =


1
1
x 1,47569
y 1,47569






2
2

x 0,51408
y 2,24613






3
3
x 2,24613
y 0,51408





Bài 30. Dãy số x
n
đợc xác định nh sau:
x
2
= 2, x
3
= 3, x
4
= 5, x
n + 1
= ax
n

+ b với mọi n

N*. Tính x
20
.
x
20
= 262145
đề số 4
Quy ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
93
Bài 31. Tính gần đúng giá trị của biểu thức M = a
4
+ b
4
nếu a
2
+ b = 2 và
ab = - 2.
M

11,43213
Bài 32. Cho bốn điểm A, B, C, D trên đờng tròn tâm O sao cho AB là đờng
kính, OC vuông góc với AB và CE đi qua trung điểm của OB. Gọi D là trung
điểm của OA. Tính gần đúng góc CDE (độ, phút, giây).
góc CDE

88

12 36

Bài 33. Đa thức P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d có giá trị bằng 4, 3, 2, 5 lần lợt
tại x = 1, 2, 3, 4. Tính giá trị của a, b, c, d.
a =
2
3
; b = - 4; c =
19
3
; d = 1
Bài 34. Tứ giác ABCD nội tiếp đợc trong một đờng tròn và có các cạnh AB
= 5dm, BC = 6dm, CD = 8dm, AD = 7dm. Tính gần đúng bán kính đờng tròn
nội tiếp và bán kính đờng tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.
r

3,15291dm; R

4,66638dm
Bài 35. Tính giá trị của a
15
nếu dãy số a
n
đợc xác định nh sau:
a
1
= 1, a
2

= 2, a
n + 2
= 3a
n + 1
+ 2a
n
với mọi n nguyên dơng.
a
15
= 32826932
Bài 36. Tứ giác ABCD có các cạnh AB = 3dm, BC = 4dm, CD = 6dm, DA = 7dm
và góc ABC = 90
0
. Tính gần đúng diện tích tứ giác và góc BAD (độ, phút, giây).
S

20,69694dm
2
; góc BAD

110
0
15 6
Bài 37. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phơng trình
2
2
2
x xy 3
x
2

y xy 3
y

+ =




+ =


1
1
x 1,47569
y 1,47569






2
2
x 0,51408
y 2,24613







3
3
x 2,24613
y 0,51408





Bài 38. Hình tứ diện ABCD có các cạnh BC = 4dm, CD = 5dm, DB = 6dm,
DA = 7dm, cạnh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính gần đúng diện tích
toàn phần của hình tứ diện đó.
S

41,35408dm
2

Bài 39. Cho x > 0, y > 0 và x + y = 4. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của
của biểu thức A = (x
3
+ 3)(y
3
+ 3).
min A

117,86156
Bài 40. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của parabol y
2
= 6x và đờng

tròn x
2
+ y
2
- 12x - 5 = 0.
94
A(6,74166; 6,36003); B(6,74166; - 6,36003)
đề số 5
Quy ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 41. Tính gần đúng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số
y =
2
2x 3x 4
x 5
+

.
y
CĐ


- 0,66352; y
CT


34,66352
Bài 42. Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đờng thẳng y = ax + b đi qua
điểm M(- 5; 7) và là tiếp tuyến của parabol y
2
= 16x.


1
1
a 0,43578
b 9,17891






2
2
a 1,83578
b 2,17891






Bài 43. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) = 5sin 3x +
3
cos 2x.
max f(x)

5,95866; min f(x)

- 6,73205

Bài 44. Tính gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD biết rằng BC = 6 dm,
BD = 10 dm, AB = AC = AD = CD = 7 dm.
V

33,15777 dm
3
Bài 45. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phơng trình
95
8cos 3x - 7sin 3x = 9.
x
1


-3
0
0 42 + k 120
0
; x
2


- 24
0
26 44 + k 120
0

Bài 46. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đờng thẳng 4x - 3y = 5 và
elíp
2 2
x y

25 9
+
= 1.
A(3,03729; 2,38305); B(- 0,95829; - 2,94439)
Bài 47. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phơng trình
2
2
x y 7
y x 7

=


=


1
1
x 2,20169
y 2,20169





2
2
x 1,20169
y 1,20169







3
3
x 0,87686
y 1,87686






4
4
x 1,87686
y 0,87686






Bài 48. Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là A(- 3; 2), B(1; 3), C(5; - 6),
D(- 2; - 3).
S = 36
Bài 49. Tìm giá trị của a, b, c, d nếu đồ thị hàm số y = ax
3

+ bx
2
+ cx + d
đi qua các điểm A (3; 7), B(15; - 3), C(- 2; 14), D(12; 5).
a = -
16
945
; b =
115
378
; c = -
111
70
; d =
199
21
Bài 50. Tính gần đúng khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu
của đồ thị hàm số y = 3x
3
+ 5x
2
- 2x + 1.
AB

4,86485
96
đề số 6
Quy ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 51. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =

2
2
x 2x 1
3x x 2
+
+ +
.
max A

0,44096; min A

- 0,78879
Bài 52. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phơng trình
2 2
2 2 3
1
x y xy
x y xy 15

+ + =



+ + =

1
1
x 0,87757
y 4,23647







2
2
x 4,23647
y 0,87757





Bài 53. Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phơng trình
sin x cos x + 3(sin x - cos x) = 1.
x
1


51
0
58 6 + k 360
0
; x
2


218
0

1 54 + k 360
0
Bài 54. Hình thang ABCD có các cạnh đáy AB = 2,47 dm, CD = 7,53 dm,
các cạnh bên AD = 4 dm và BC = 6 dm. Tính gần đúng diện tích hình thang
và diện tích hình tròn nội tiếp.
S
ABCD


19,80745 dm
2
; S
T


12,32557 dm
2
Bài 55. Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình x
2
- y
2
= 2004.
1
1
x 502
y 500
=


=



2
2
x 170
y 164
=


=


Bài 56. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phơng trình
2
2
1
2x 5
y
1
2y 5
x

+ =




+ =




1
1
x 1,46962
y 1,46962





2
2
x 1,67298
y 1,67298





3
3
x 0,20336
y 0,20336





4
4

x 1,68430
y 1,48430





5
5
x 1,48430
y 1,68430






Bài 57. Tứ giác ABCD có các cạnh AB = 3 dm, BC = 8 dm, CD = 9 dm, DA = 4
dm và đờng chéo BD = 6dm. Tính gần đúng diện tích của tứ giác và độ lớn (độ,
97
phút, giây) của góc ABC.
S
ABCD


28,85793 dm
2
; góc ABC

114

0
55 15
Bài 58. Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình
2 2
x y
16 64

= 1.

1
1
x 5
y 6
=


=


2
2
x 5
y 6
=


=


3

3
x 5
y 6
=


=


4
4
x 5
y 6
=


=


5
5
x 4
y 0
=


=


6

6
x 4
y 0
=


=

Bài 59. Hai đờng tròn bán kính 3 dm và 4 dm tiếp xúc ngoài với nhau tại
A. BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn đó với các tiếp điểm là B và
C. Tính gần đúng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn thẳng BC và hai
cung nhỏ AB, AC.
S


5,11547 dm
2
Bài 60. Điểm E nằm trên cạnh BC của hình vuông ABCD. Tia phân giác
của các góc EAB, EAD cắt các cạnh tơng ứng CB, CD tại M và N. Tính gần
đúng (độ, phút, giây) góc EAB nếu
MN
AB
=
7
8
.
Góc EAB

20
0

23 11
đề số 7
Quy ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 61. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phân thức
A =
2
2
2x 7x 1
x 4x 5
+
+ +
.
min A

- 0,40349; max A

25,40349
Bài 62. Tìm nhóm ba chữ số cuối cùng (hàng trăm, hàng chục, hàng đơn
vị) của số
98
1
2
+ 2
3
+ 3
4
+ 4
5
+ 5
6

+ 6
7
+ 7
8
+ 8
9
+ 9
10
+ 10
11
+ 11
12
+ 12
13
+ 13
14
+ 14
15
+ 15
16
N = 536
Bài 63. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phơng trình
sin x cos x + 3 (sin x - cos x) = 2.
x
1


67
0
54 33 + k 360

0
; x
2

202
0
5 27 + k 360
0
Bài 64. Điểm E nằm trên cạnh BC của hình vuông ABCD. Tia phân giác
của các góc EAB, EAD cắt các cạnh BC, CD tơng ứng tại M, N. Tính gần đúng
giá trị nhỏ nhất của tỉ số
MN
AB
và tính gần đúng (độ, phút, giây) góc EAB nếu
MN
AB
=
6
7
.
min
MN
AB


0,82843; góc EAB

25
0
31 44

Bài 65. Tứ giác ABCD có các cạnh AB = 3dm, BC = 8dm, CD = 9dm, DA = 4dm
và đờng chéo BD = 6dm. Tính gần đúng diện tích của tứ giác và độ lớn (độ,
phút, giây) của góc ABC.
S

28,85793 dm
2
; góc ABC

114
0
55 15
Bài 66. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
f(x) =
2 2
x x 3x x 2+ + +
.
min f(x)

1,41421; max f(x)

4,87917
Bài 67. Đồ thị hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d đi qua các điểm A(- 4; 3), B(7; 5),
C(- 5; 6), D(- 3; - 8). Tính giá trị của a, b, c, d và tính gần đúng khoảng cách
giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị đó.
a =

563
1320
; b =
123
110
; c = -
25019
1320
; d = -
1395
22
; K

105,17912
Bài 68. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phơng trình
3 3
2 2
x y xy 5
x y x y 7

+ + =


+ + + =



1
1
x 2,13126

y 1,25927






2
2
x 1,25927
y 2,13126





Bài 69. Tứ giác ABCD có AB = 4dm, BC = 8dm, CD = 6dm, DA = 3dm,
góc BAD = 80
0
. M là trung điểm của AB và N là điểm nằm trên cạnh CD sao
cho MN chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính gần đúng
99
độ dài MN.
MN

7,05301dm
Bài 70. Hình chóp S.ABCD có đờng cao SA = 5dm. Đáy ABCD là hình
thang với AD // BC, AD = 3dm, AB = 4dm, BC = 8dm, CD = 6dm. Tính gần
đúng diện tích toàn phần của hình chóp và góc (độ, phút, giây) giữa hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD).

S
tp


80,99982 dm
2
;



58
0
28 39
đề số 8
Quy ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 71. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của phân thức
A =
2
2
2x 7x 3
x 6x 15
+
+ +
.
min A

- 0,11429; max A

9,11429
Bài 72. Từ điểm A(- 2; 1) vẽ hai tiếp tuyến với parabol y = x

2
- 2x + 4. Gọi B
và C là hai tiếp điểm tơng ứng. Tính giá trị của a, b, c nếu đờng tròn có phơng
trình x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0 là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a = 25; b = -
85
2
; c =
175
2

Bài 73. Điểm E nằm trên cạnh CD của hình chữ nhật ABCD với AB = 8
dm, BC = 4 dm. Tính gần đúng (độ, phút, giây) góc AEB nếu diện tích tam
giác ADE bằng hai lần diện tích tam giác BCE.
Góc AEB

86
0
49 13
Bài 74. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phơng trình
sin x cos x + 4 (sin x + cos x) = 1.
x
1


- 30

0
17 55 + k 360
0
; x
2


120
0
17 55 + k 360
0

Bài 75. Tứ giác ABCD có các cạnh AB = 5 dm, BC = 8 dm, CD = 9 dm, DA =
6 dm và đờng chéo BD = 10 dm. Tính gần đúng diện tích của tứ giác và độ lớn
(độ, phút, giây) của góc ABC.
100
S

45,59605 dm
2
; góc ABC

85
0
52 42
Bài 76. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
f(x) =
2 2
x 3x 2 5x x 4+ + +
.

min f(x)

2,44949; max f(x)

6,09657
Bài 77. Đồ thị hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d đi qua các điểm A(- 4; 3), B(7; 5),
C(- 5; 6), D(3; 8). Tính giá trị của a, b, c, d và tính gần đúng khoảng cách giữa
điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị đó.
a = -
23
462
; b =
51
308
; c =
1411
924
; d =
36
11
; K

10,26653
Bài 78. Tứ giác ABCD có AB = 4dm, BC = 8 dm, CD = 6 dm, DA = 3 dm,
góc BAD = 70
0

. M là trung điểm của AB và N là điểm nằm trên cạnh CD sao
cho MN chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính gần đúng
độ dài MN.
MN

7,57802 dm.
Bài 79. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phơng trình
3 3
2 2
x y xy 6
x y x y 5

+ =


+ + + =


1
1
x 1,80487
y 0,06693






2
2

x 0,06693
y 1,80487






3
3
x 1,75972
y 1,12744






4
4
x 1,12744
y 1,75972





Bài 80. Hình chóp S.ABCD có đờng cao SA = 7 dm. Đáy ABCD là hình
thang với AD // BC, AD = 3 dm, AB = 4 dm, BC = 8 dm, CD = 6 dm. Tính gần
đúng diện tích toàn phần của hình chóp đó.

S
tp


100,34185 dm
2

101
đề số 9
Quy ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 81. Đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d thoả mãn các điều kiện sau:
P(- 2) = 4, P(- 1) = - 2, P(1) = - 11, P(2) = 6.
a) Tính giá trị của a, b, c, d.
a =
5
3
; b = -
7
6
; c = -
37
6
; d = -
19

3

b) Tính gần đúng các nghiệm của đa thức đó.
x
1


1,83311; x
2


- 1,55227
Bài 82. Tính gần đúng nghiệm của phơng trình
2
x 1 3x 1+ + +
= 3.
x

0,71308
Bài 83. Phân thức
2
ax bx c
2x d
+ +
+
nhận các giá trị 3, - 4, 5, 7 tại x tơng ứng
bằng 1, 2, 3, 4. Tính giá trị của a, b, c, d.
a =
78
23

; b = -
124
23
; c = -
80
23
; d = -
88
23

Bài 84. Tính gần đúng khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm A và B cùng
nằm trên đồ thị hàm số y = x
2
- 3x + 2 với x thuộc đoạn [- 1; 3].
max AB

6,77187
Bài 85. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phơng trình
2 2
2 2
2x 3y 7
x y 4xy 3

+ =


+ =


1

1
x 1,86911
y 0,06544





2
2
x 1,86911
y 0,06544






3
3
x 0,77820
y 1,38910






4
4

x 0,77820
y 1,38910






Bài 86. Dãy số (a
n
) đợc xác định nh sau:
a
1
= 2, a
2
= - 3, a
n + 2
=
1
2
a
n + 1
+ 3a
n
với mọi n nguyên dơng.
Tính giá trị của a
15
và tổng của 15 số hạng đầu của dãy số đó.
a
15

=
4782969
8192
; S
15
=
2876335
8192
Bài 87. Tính gần đúng diện tích phần chung của hai hình tròn có bán
kính 5 dm và 6 dm nếu khoảng cách giữa hai tâm của chúng là 7 dm.
S

23,43711 dm
2

Bài 88. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = 3 dm, các cạnh bên BC =
102
6 dm, AD = 5 dm, hai đờng chéo vuông góc với nhau tại E.
a) Tính gần đúng diện tích của hình thang.
S

23,68968 dm
2
b) Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính gần đúng diện tích của tam
giác AME.
S
AME


6,05674 dm

2

Bài 89. Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phơng trình
4 cos 2x + cos 3x = 1.
x
1


35
0
36 1 + k360
0
; x
2


137
0
56 20 + k360
0
Bài 90. Tứ giác nội tiếp ABCD có các cạnh AB = 5 dm, BC = 7 dm, CD = 11
dm, AD = 9 dm.
a) Tính gần đúng (độ, phút, giây) các góc của tứ giác đó.
A

105
0
12 23; B

118

0
31 46; C

74
0
47 37; D

61
0
28 14
b) Tính gần đúng diện tích hình tròn nội tiếp tứ giác đó.
S

42,52195 dm
2

đề số 10
Quy ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 91. Đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
- 51x + 35 chia hết cho các nhị thức
2x + 5 và 6x - 7. Tính gần đúng các nghiệm vô tỉ của đa thức đó.
x
1



0,92820; x
2


- 12,92820
Bài 92. Gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
- 16x + 32 = 0. Tính
giá trị của biểu thức S =
11 11
1 2
x x+
.
S = 3082175905792
Bài 93. Tính gần đúng diện tích của tam giác ABC nếu đờng tròn ngoại
tiếp của nó có bán kính 5 dm, tâm O nằm ngoài tam giác, góc OAB = 65
0
43 26
và góc OAC = 12
0
31 48.
S

16,06708 dm
2
103

Bài 94. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phơng trình
2 2
2 2
2x 3y xy 7
x y 4xy 3.

+ =


+ =



1
1
x 1,85478
y 0,05867






2
2
x 1,85478
y 0,05867







3
3
x 0,74470
y 1,52551






4
4
0,74470
1,52551





x
y

Bài 95. Tính gần đúng các nghiệm của phơng trình 2x
5
= 5x
3
+ 1.

x
1


0,61803; x
2


-1,61803; x
3


1,53697
Bài 96. Tìm chữ số tận cùng a của số
S =1
1
+ 2
2
+ 3
3
+ 4
4
+ 5
5
+ 6
6
+ 7
7
+ 8
8

+ 9
9
+ 10
10
+ 11
11
+ 12
12
+ 13
13
+ 14
14
.
a = 3
Bài 97. Hình tứ diện ABCD có các cạnh AB = 6 dm, BC = AD = 8 dm,
CD = 7 dm, AC = DB = 10 dm. Tính gần đúng thể tích của khối tứ diện đó.
V

55,62149 dm
3

Bài 98. Tam giác ABC có các cạnh AB = 4,267 dm, BC = 5,879 dm và CA
= 6,273 dm. Tính gần đúng tỉ số diện tích hình tròn ngoại tiếp và diện tích
hình tròn nội tiếp của tam giác đó.
k

4,88884
Bài 99. Cho góc nhọn

thoả mãn hệ thức sin


+ cos

=
4
3
. Tính gần
đúng giá trị của biểu thức S = 1 + sin

+ 2 sin
2


+ 3 sin
3


.
S
1

2,04255; S
2


5,73552
Bài 100. Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình
5x
2
+ 4y

2
+ 6z
2
= 2245.

1
1
1
x 21
y 2
z 2
=


=


=


2
2
2
x 15
y 16
z 4
=


=



=


3
3
3
x 3
y 20
z 10
=


=


=


4
4
4
x 15
y 8
z 12
=


=



=


5
5
5
x 3
y 16
z 14
=


=


=


6
6
6
x 3
y 8
z 18
=


=



=


104
đề số 11
Quy ớc: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 5 chữ số thập phân.
Bài 101. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) = 3
2
x 2
+ 4
2
5 x
.
max f(x)

8,66025; min f(x)

5,19615
Bài 102. Gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
- 6x - 3 = 0. Tính
giá trị của biểu thức S =
11 11

1 2
x x+
- 7x
1
x
2
.
S = .
Bài 103. Tính gần đúng diện tích của tam giác ABC nếu đờng tròn ngoại
tiếp của nó có bán kính 5 dm, tâm O nằm trong tam giác, góc OAB = 65
0
và
góc OAC = 19
0
.
S

dm
2
Bài 104. Tính gần đúng các nghiệm của hệ phơng trình
2 2
2x 3xy 2y 8
5 5
13.
x y

+ + =


+ =



1
1
x 1,59125
y 0,50721






2
2
x 0,50721
y 1,59125






3
3
x 0,32813
y 2,23429







4
4
x 2,23429
y 0,32813






Bài 105. Tính gần đúng các nghiệm của phơng trình 2x
5
= 5x
3
+ 1.
x
1


1,61803; x
2


- 0,61803; x
3


- 1,53697

Bài 106. Tìm số d trong phép chia số 2
64
- 1 cho 101.
r = .
Bài 107. Tính gần đúng diện tích toàn phần của hình tứ diện ABCD có
các cạnh AB = 6 dm, BC = AD = 8 dm, CD = 7 dm, AC = DB = 10 dm.
S

103,62149 dm
2

Bài 108. Tam giác ABC có các cạnh AB = 4 dm, BC = 5 dm và CA = 6 dm.
105
Tính gần đúng diện tích phần hình tròn ngoại tiếp nằm ngoài hình tròn nội
tiếp của tam giác đó.
S

dm
2
Bài 109. Cho góc nhọn

thoả mãn hệ thức sin

+ 2cos

= 1,125. Tính
gần đúng giá trị của biểu thức S = 1 + cos

+ 2 cos
2



+ 3 cos
3


. + 4 cos
4

.
S
1


; S
2


.
Bài 110. Tìm các nghiệm hữu tỉ và giá trị gần đúng các nghiệm vô tỉ của
phơng trình 6x
5
+ 19x
4
- 10x
3
- 60x
2
- 6x + 36 = 0.
x

1
= - 2; x
2
=
3
2
; x
3


0,76358; x
4


- 2,28291; x
5

- 1,14733
Phần thứ t
đề thi khu vực giảI toán trên máy tính
đề lớp 10
Ngày 23.08. 2001
(Thời gian: 150 phút)
Qui định: Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể,
đợc ngầm định là chính xác tới 5 chữ số thập phân.
106
Bài 1. Tìm các ớc nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số
2 2
215 314+
.

Bài 2. Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng
1x2y3z4
mà chia hết cho 7.
Bài 3. Hãy sắp xếp các số sau đây theo thứ tự tăng dần.
17
5 16 10
3 26 245 45
a , b , c , d
5 125 247 46

= = = =
ữ

;
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức sau:
[ ]
1 33 2 1 4
0,(5) 0,(2) : 3 : 1 :
3 25 5 3 3

ì ì
ữ ữ

.
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức sau:
3
4
8
9
2 3 4 8 9 .+ + + + +

Bài 6. Cho parabol
2
y ax bx c= + +
đi qua các điểm A(1; 3), B(-2; 4), C(-3; -5)
và đờng thẳng
2
y (m 1)x m 2= + + +
.
a) Tính toạ độ các giao điểm của parabol với đờng thẳng khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho parabol và đờng thẳng có điểm chung.
Bài 7. Cho tam giác vuông với các cạnh bên có độ dài là
3
4
và
4
3
. Hãy
tính tổng các bình phơng của các trung tuyến.
Bài 8. Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O bán
kính
R 6 3=
cm, góc OAB bằng
0
51 36'23",
góc OAC
bằng
0
22 18'42"
.
a) Tính diện tích và cạnh lớn nhất của tam giác khi tâm

O nằm trong tam giác.
b) Tính diện tích và cạnh nhỏ nhất của tam giác khi tâm O nằm ngoài
tam giác.
Bài 9. Tính diện tích phần đợc tô đậm trong hình tròn đơn vị (hình 1).
Bài 10. Tính tỉ số diện tích của phần đợc tô đậm và
diện tích phần còn lại trong hình tròn đơn vị (hình 2).
107
Hình 1
Hình 2
đề lớp 11
Ngày 23.08. 2001
(Thời gian: 150 phút)
Qui định: Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể,
đợc ngầm định là chính xác tới 9 chữ số thập phân.
Bài 1. Cho phơng trình
2 2
sin x cos x
5 5 k =
.
a) Tìm nghiệm (theo đơn vị độ, phút, giây) của phơng trình đã cho khi
k 3,1432=
.
b) Nếu
7

là một nghiệm của phơng trình đã cho thì giá trị gần đúng với
5 chữ số thập phân của k là bao nhiêu?
c) Tìm tất cả các giá trị của k để phơng trình đã cho có nghiệm.
Bài 2. Cho
n

2 3 n
1 2 3 n
S
3
3 3 3
= + + + +
với
n *Ơ
.
a) Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của
15
S
.
b) Tính giới hạn
n
n
lim S

.
Bài 3. Ba số dơng lập thành một cấp số nhân, có tổng là 2001 và có tích
là P.
a) Tính giá trị gần đúng (với 5 chữ số thập phân) của các số đó và xếp
theo thứ tự lớn dần, nếu biết P = 20001.
108
b) Tính giá trị nguyên lớn nhất của P để có thể tìm đợc các số hạng của
cấp số nhân đó.
Bài 4. Cho phơng trình
x
6
x log (47 6 ) m+ =

.
a) Tìm các nghiệm gần đúng với 4 chữ số thập phân của phơng trình khi
m 0,4287=
.
b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để phơng trình đã cho có nghiệm.
Bài 5. Tìm các ớc nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số
2 2
215 314+
.
Bài 6. Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng
1x2y3z4
mà chia hết cho 13.
Bài 7. Hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD
là hình thang vuông với
AB AD^
,
AB BC^
,
SA SB AB BC 4AD
= = = =
, mặt phẳng
(SAB) ^
mặt
phẳng
(ABCD)
.
Hãy tính góc (theo độ, phút, giây) giữa hai mặt phẳng
(SCD)
và

(SAB)

Bài 8. Cho hình nón có đờng sinh
10 dm
và góc ở đỉnh
0
80 54'25"
.
a) Tính giá trị gần đúng với 4 chữ số thập phân của thể tích khối nón.
b) Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của diện tích toàn phần
hình nón.
c) Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của bán kính mặt cầu nội
tiếp hình nón.
Bài 9. Tính tỉ lệ của diện tích phần đợc tô đậm
và diện tích phần còn lại trong hình tròn đơn vị (hình 3).
Bài 10.
Sân thợng của một ngôi
nhà có hình dáng, kích thớc
nh trong hình vẽ bên và đợc dự
kiến lợp bằng tôn (hình 5).
Theo thiết kế: Độ cao của mái
(tính từ mặt sàn đáy mái
ABCDEFGH tới cây nóc MN) là
1,8 mét (hình 4).
Các mảng mái nghiêng có
chung độ dốc và đợc lợp bằng
tôn (các mảng còn lại làm bằng
vật liệu khác);
109
Hình 3


A
B
C
D
E
F
G
H
12m
6m
4m
4m
2m
Hình 4
Hãy tính diện tích toàn bộ phần mái tôn (với độ chính xác tới cm
2
).
đề lớp 12
Ngày 23.03. 2002
(Thời gian: 150 phút)
Qui định: Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể,
đợc ngầm định là chính xác tới 9 chữ số thập phân.
Bài 1. Cho hàm số f (x) =
2
2x 3sin x 4cos x 7+ +
.
a) Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân giá trị của hàm số tại điểm x =
7


.
b) Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân giá trị của các hệ số a và b nếu
đờng thẳng y = ax + b là là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có
hoành độ x =
7

.
Bài 2. Cho
3 2
f(x) 11x 101x 1001x 10001= +
. Hãy cho biết phơng trình
f(x) 0=
có nghiệm nguyên trên đoạn [-1000; 1000] hay không?
Bài 3. Tìm ớc chung lớn nhất của 2 số sau đây:
a = 24614205, b = 10719433
Bài 4. Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình với độ chính xác càng cao
càng tốt.
Bài 5. Khi đa mét khóc gỗ hình trụ có đờng kính 48,7 cm vào máy bong
gỗ, máy xoay 178 vòng thì đợc một dải băng gỗ mỏng (nhằm ép dính làm gỗ
dán) và một khúc gỗ hình trụ mới có đờng kính 7,8 cm. Giả thiết dải băng gỗ
đợc máy bong ra lúc nào cũng có độ dầy nh nhau. Hãy tính gần đúng với hai
chữ số thập phân chiều dài của dải băng gỗ mỏng này.
Bài 6. Đồ thị của 3 hàm số
2 2
1
f (x) sin(x x 1) cos(x x 1)= + +
2 2
2
f (x) sin(x x 1) cos(x x 1)= + + +
110


M
N
D
F
G
H
A
B
Hình 5
2 2
3
f (x) sin(x x 1) cos(x x 1)= + +
Trên đoạn [-3; 3] đợc biểu thị trong 3 hình vẽ 6.1, 6.2, 6.3. Hãy cho biết
đồ thị nào là của hàm số nào?
Hình 6.1 Hình 6.2
Hình 6.3
Bài 7. Tính gần đúng với không quá hai chữ số thập phân giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
sin x
f(x)
x x 1
=
+
trên đoạn [-2; 2 ].
Bài 8. Cho hai đờng tròn có các phơng trình tơng ứng
x
2
+ y

2
+ 5x - 6y + 1 = 0 và x
2
+ y
2
- 2x + 3y - 2 = 0.
a) Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân toạ độ các giao điểm của hai đ-
ờng tròn đó.
b) Tìm a và b để đờng tròn có phơng trình x
2
+ y
2
+ ax + by + 5 = 0 cũng đi
qua hai giao điểm trên.
Bài 9. Tam giác PQR có góc P = 45
0
, góc R = 105
0
; I, J là hai điểm tơng
ứng trên hai cạnh PQ, PR sao cho đờng thẳng IJ vừa tạo với cạnh PR một góc
75 vừa chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính giá trị gần
đúng của tỉ số
PJ
PR
.
Bài 10. Gọi M là giao điểm có cả hai toạ độ dơng của hypebol
2 2
x y
1
4 9

=
và parabol y
2
= 5x.
a) Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân toạ độ của điểm M.
b) Tiếp tuyến của hypebol tại M còn cắt parabol tại điểm N khác với M.
111
Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân toạ độ của điểm N.
đề lớp 12
Ngày 01.3. 2003
(Thời gian: 150 phút)
Qui định: Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể,
đợc ngầm định là chính xác tới 9 chữ số thập phân.
Bài 1. Cho hàm số f (x) = 2x
2
+ 3x
4 2
x -7x +3x-1
.
a) Tính gần đúng giá trị của hàm số tại điểm x = 3 +
2
.
b) Tính gần đúng giá trị của các hệ số a và b để đờng thẳng y = ax + b tiếp
xúc với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 3 +
2
.
Bài 2. Tìm số d khi chia số 2001
2010
cho số 2003.
Bài 3. Tìm giá trị gần đúng của điểm tới hạn của hàm số

f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x trên đoạn [0; 2]
Bài 4. Tính gần đúng với 4 chữ số thập phân giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của hàm số f(x) =
2
x -3x +1
sinx + cosx-2
trên đoạn [1; 2].
Bài 5. Cho ba hàm số f
1
(x) = sin(x
2
+ x + 1) cos(x
2
x + 1);
f
2
(x) = sin(x
2
+ x 1) cos(x
2
+ x + 1) và f
2
(x) = cos(x
2
x +1) cos(x
2
+ x +
1). So sánh các hàm số đó trên đoạn [0; 1].
Bài 6. Tính gần đúng toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số
y =

3
3
x
+
2
2
x
2x
1
3
với đờng thẳng y = 2x
1
4
.
Bài 7. Đồ thị của hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d đi qua các điểm A(1; 3),
B( 2; 40), C( 1; 5), D(2; 3).
a) Xác định các hệ số a, b, c, d.
b) Tính gần đúng các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đó.
Bài 8. Hình tứ diện ABCD có các cạnh AB = 7, BC = 6, CD = 5, DB = 4 và
chặn đờng vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) là trọng tâm của tam
giác BCD. Tính gần đúng thể tích của khối tứ diện đó.
Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 3, AD = 5. Đờng tròn
tâm A bán kính 4 cắt BC tại E và cắt AD tại F.
a) Tính gần đúng diện tích hình quạt EAF.
b) Tính tỉ số diện tích hai phần hình chữ nhật do cung EF chia ra.
112

Bài 10. Để phục vụ cho nhu cầu quy hoạch đất đai của xã nhà, một nhóm
học sinh trung học phổ thông nhận trách nhiệm xác định diện tích các vùng
đất trồng đối với từng loại cây (chỉ cần dùng thớc dây và thớc đo góc). Thực tế
đo đạc cho thấy vùng đất dành cho trồng hoa có kích thớc nh trong hình v
(trong đó số thập phân đợc viết dới dạng dấu chấm động, thí dụ: kích thớc
2.6889 đợc hiểu là 2,6889).
Tính gần đúng (với 4 chữ số thập phân) diện tích vùng đất trồng hoa
nêu trên.
Bản đề thi
đề lớp 12
Ngày 01.3. 2004
(Thời gian: 150 phút)
Bộ giáo dục và đào tạo
Đề chính thức
Kỳ thi khu vực giải toán trên
máy tính casio năm 2004
Lớp 12
Thời gian: 150 phút - Không kể thời gian giao đề
Điểm toàn bài thi Các giám khảo
(Họ, tên và chữ ký)
Số phách
(Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi)
113