Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6)
DW&()L"I&X)/Y)Z[)*+\]*)
V1US)#4%)()^-\*.\.*^])
L4_%)1%E&)$U6)`U%()^a*)@4b#c)24W&1)2d)#4_%)1%E&)1%E")>K)
e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)Q)B4%)#%C#()hhhF6E#4$%&2:FG&))
Bi=)^)j.c*)>%d6kF!Cho!hàm!số!

y =
x
4
4
− (m + 2)x
2
+1 (1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với!

m = 2
.!!
2. Tìm!m!để!(1)!có!ba!điểm!cực!trị!đều!nằm!trên!các!trục!toạ!độ.!
Bi=).)j^c*)>%d6kF)
a) Giải!phương!trình!

(1− 2cos5x )(2cos2x +1) = 2cos x
.!
b) Giải!phương!trình!

x ln

2
x −(3x −1)ln x + 2x − 2 = 0
.!
Bi=)7)j^c*)>%d6kF!Tính!tích!phân!

I =
sin x
cos x + 4 −3cos x
dx
0
π
2
∫
.!
Bi=)l)j^c*)>%d6kF)
a) Gọi!

z
1
,z
2
!là!hai!nghiệm!của!phương!trình

z
2
− 2 3z + 4 = 0
.!Tính!

A = z
1

4
+ z
2
4
.!!!!
b) Cho!số!tự!nhiên!

(n ≥ 2)
và!khai!triển!

(x +1)
n
(x + 2) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n+1
x
n+1
.!Tìm!n!biết!
rằng!các!số!

a
2
−7n;na

n
;a
n−2
theo!thứ!tự!lập!thành!một!cấp!số!cộng.!!
Bi=)])j^c*)>%d6kF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!

AB = BC = a,AD = 2a,ABC
!
= DAB
!
= 90
0
.!Tam!
giác!SAC!cân!tại!S!và!nằm!trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SB!tạo!
với!mặt!đáy!góc!

30
0
.!Gọi!M!là!điểm!thuộc!đoạn!SA!thoả!mãn!

AM = 2SM
.!Tính!thể!tích!khối!
chóp!S.ABCD!và!khoảng!cách!từ!M!đến!mặt!phẳng!(SCD).!!!!!
Bi=)-)j^c*)>%d6kF)Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!điểm!A(2;2;j1)!và!hai!đường!
thẳng!

d
1
:
x −1

−1
=
y +1
4
=
z −1
1
;d
2
:
x −3
1
=
y
2
=
z +1
2
.!Viết!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!song!song!
với!

d
1
,d
2
!và!cách!điểm!A!một!khoảng!bằng!3.!
Bi=),)j^c*)>%d6kF!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!đường!tròn!

(C ) : x
2

+ y
2
= 9
.!
Đường!tròn!(T)!có!tâm!I,!bán!kính!bằng!4!và!(C)!cắt!(T)!tại!hai!điểm!phân!biệt!A,B!sao!cho!tứ!
giác!OAIB!có!diện!tích!bằng!12!(!với!O!là!gốc!toạ!độ).!Viết!phương!trình!đường!tròn!(T),!biết!I!
nằm!trên!đường!thẳng!

d : x − 2 y + 2 = 0
.!!!
Bi=)a)j^c*)>%d6kF!Giải!hệ!phương!trình!

x
3
− 2y
2
= 16
y
3
−(3x + 2) y
2
+ 3x
2
y = 2(x
2
+ 4)
⎧
⎨
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
(x, y ∈ !)
.!
Bi=)+)j^c*)>%d6kF!Cho!a,b!là!hai!số!thực!dương!phân!biệt!thoả!mãn!

ab >1
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!
của!biểu!thức!

P =
(a + b)
2
(ab −1)(a −b)
2
−
16
(a + b)
2
(ab −1)
+ 2 a + b
.!!!
mmm!nLmmm)
)
)
)
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!

PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN
Bi=)^)j.c*)>%d6kF!Cho!hàm!số!

y =
x
4
4
− (m + 2)x
2
+1 (1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với!

m = 2
.!
2. Tìm!m!để!(1)!có!ba!điểm!cực!trị!đều!nằm!trên!các!trục!toạ!độ.!
1. Học!sinh!tự!làm.!
2. Ta!có:!

y ' = x
3
− 2(m + 2)x; y ' = 0 ⇔
x = 0
x
2
= 2(m + 2)
⎡
⎣
⎢
⎢

.!
Để!(1)!có!ba!điểm!cực!trị!khi!y’!có!ba!nghiệm!phân!biệt!

⇔ m + 2 > 0 ⇔ m >−2
.!
Khi!đó!toạ!độ!ba!điểm!cực!trị!là!
!

A(0;1),B(− 2(m + 2);1− (m + 2)
2
),C ( 2(m + 2);1− (m + 2)
2
)
.!
Ta!có!A!thuộc!Oy.!Vậy!để!ba!điểm!cực!trị!của!(1)!thuộc!các!trục!toạ!độ!khi!

B,C ∈ Ox ⇔1− (m + 2)
2
= 0 ⇔
m = −1(t / m)
m = −3(l )
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Vậy!

m = −1
là!giá!trị!cần!tìm.!!!!!

Bi=).)j^c*)>%d6kF)
a) Giải!phương!trình!

(1− 2cos5x )(2cos2x +1) = 2cos x
.!
b) Giải!phương!trình!

x ln
2
x −(3x −1)ln x + 2x − 2
.!
a) Phương!trình!tương!đương!với:!

(1− 2cos5x )(2cos2x +1) = 2cos x
2cos2x − 4 cos5x cos2x +1−2cos5x = 2cos x
⇔ 2cos2x − 2cos5x −2(cos7x + cos3x )+1= 2cos x
⇔ 2 cos5x + cos7x
( )
+ 2 cos3x + cosx
( )
= 2cos2x +1
⇔ 4cos6x cosx +4cos2x cos x = 2cos2x +1
⇔ 4cosx(cos6x + cos2x ) = 2cos2x +1
⇔ 8cos x cos4x cos2x = 2cos2x +1
.!
Nhận!thấy!
!!
sin x = 0
!không!là!nghiệm!của!phương!trình.!
Với!


sin x ≠ 0
!nhân!thêm!hai!vế!của!phương!trình!với!sinx!ta!được:!

8sin x cos x cos4x cos2x = sin x(2cos2x +1)
⇔ sin8x = 2sin x cos2x + sin x ⇔ sin8x = sin3x
⇔
8x = 3x + k2π
8x = π −3x + k2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⇔
x = k
2π
5
x =
π
11
+ k
2π
11
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
,k ∈ !
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!

x = k
2π
5
;x =
π
11
+ k
2π
11
,k ∈ !
.!!
oU%)#;@)#<p&1)#q)
Giải!các!phương!trình!!
1j!

(2sin5x −1)(2cos2x −1) = 2sin x
.!
2j!

4sin x.cos2x = (2cos2x +1)tan x
.!!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
b) Điều!kiện:!


x > 0
.!
Coi!phương!trình!là!phương!trình!bậc!hai!với!lnx!ta!được:!

Δ
ln x
= (3x −1)
2
− 4x (2x − 2) = x
2
+ 2x +1= (x +1)
2
.!
Suy!ra!

ln x =
3x −1−(x +1)
2x
= 1−
1
x
;ln x =
3x −1+ (x +1)
2x
= 2
.!
+)!Nếu!

ln x = 2 ⇔ x = e

2
.!
+)!Nếu!

ln x =1−
1
x
⇔ ln x +
1
x
−1 = 0 ⇔ x =1
.!
Vậy!phương!trình!có!hai!nghiệm!

x =1;x = e
2
.!!!!!
Bi=)7)j^c*)>%d6kF!Tính!tích!phân!

I =
sin x
cos x + 4 −3cos x
dx
0
π
2
∫
.!
Đặt!


t = 4 − 3cos x ⇒ cos x =
4 − t
2
3
⇒ sin xdx =
2tdt
3
.!
Vì!vậy!!!

I =
2tdt
3
4−t
2
3
+ t
1
2
∫
= 2
tdt
−t
2
+ 3t + 4
1
2
∫
= 2
tdt

(t +1)(4−t )
1
2
∫
=
2
5
4
4−t
−
1
t +1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
dt
1
2
∫
=
2

5
−4ln t −4 −ln t +1
( )
2
1
=
6
5
ln
3
2
.!
Bi=)l)j^c*)>%d6kF)
a) Gọi!

z
1
,z
2
!là!hai!nghiệm!của!phương!trình

z
2
− 2 3z + 4 = 0
.!Tính!

A = z
1
4
+ z

2
4
.!!!!
b) Cho!số!tự!nhiên!

(n ≥ 2)
và!khai!triển!

(x +1)
n
(x + 2) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n+1
x
n+1
.!Tìm!n!biết!
rằng!các!số!

a
2
−7n;na
n
;a

n−2
theo!thứ!tự!lập!thành!một!cấp!số!cộng.!!
a)!Ta!có!

(z − 3)
2
+1 = 0 ⇔ (z − 3)
2
= i
2
⇔
z = 3 + i
z = 3 −i
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.!
Khi!đó!!

A = ( 3 + i)
4
+ ( 3 −i )
4
= ( 3 + i )
2
⎡
⎣
⎢

⎤
⎦
⎥
2
+ ( 3 − i)
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
= (2+ 2 3i )
2
+ (2− 2 3i)
2
= 4(−2+ 2 3i) + 4(−2− 2 3i ) = −16
.!
B4b)3F!Ta!có!thể!tính!

A = z
1
n
+ z
2
n
!bằng!cách!viết!

z

1
,z
2
!dưới!dạng!lượng!giác.!!
b)!Ta!có!

(x +1)
n
(x + 2) = (x +1)
n+1
+ (x +1)
n
.!
Suy!ra!!

a
2
= C
n+1
2
+C
n
2
=
(n +1)n
2
+
n(n −1)
2
= n

2
;
a
n
= C
n+1
n
+C
n
n
= (n +1)+1= n + 2;
a
n−2
= C
n+1
n−2
+C
n
n−2
=
(n +1)n(n −1)
6
+
n(n −1)
2
=
n(n −1)(n + 4)
6
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!

!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
Theo!giả!thiết!bài!toán!ta!có!
!

n(n + 2)− (n
2
−7n) =
n(n −1)(n + 4)
6
−n(n + 2)
⇔
n(n −1)(n + 4)
6
= n
2
+11n ⇔
n = 0(l )
n = −7(l )
n =10(t / m)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Vậy!


n =10
!là!giá!trị!cần!tìm.!
Bi=)])j^c*)>%d6kF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!

AB = BC = a, AD = 2a,ABC
!
= DAB
!
= 90
0
.!Tam!
giác!SAC!cân!tại!S!và!nằm!trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SB!tạo!
với!mặt!đáy!góc!

30
0
.!Gọi!M!là!điểm!thuộc!đoạn!SA!thoả!mãn!

AM = 2SM
.!Tính!thể!tích!khối!
chóp!S.ABCD!và!khoảng!cách!từ!M!đến!mặt!phẳng!(SCD).!!!!!
!
+)!Gọi!E!là!trung!điểm!AD!ta!có!tứ!giác!AECB!là!hình!vuông!
cạnh!a.!
+)!Gọi!H!là!giao!điểm!của!AC!và!BE!thì!H!là!trung!điểm!của!AC!
theo!giả!thiết!tam!giác!SAC!cân!nên!

SH ⊥ AC
.!
Mặt!khác!(SAC)!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD)!nên!


SH ⊥ (ABCD )
.!
+)!Ta!có:!

SH = HB tan 30
0
=
BE
2
.
1
3
=
a 6
6
.!!!!
Vì!vậy!

V
S .ABCD
=
1
3
SH .S
ABCD
=
1
3
.SH .

BC + AD
2
.AB =
1
6
.
a 6
6
.(a + 2a).a =
a
3
6
12
(đvtt).!
+)!Ta!có:!

d (M ;(SCD)) =
MS
AS
.d(A;(SCD )) =
MS
AS
.
AC
HC
.d(H ;(SCD)) =
2
3
d (H ;(SCD ))
.!!

Tam!giác!ACD!có!

AC = a 2,CD = CE
2
+ ED
2
= a 2 ⇒CD
2
+ AC
2
= AD
2
= 4a
2
.!
Vì!vậy!ACD!vuông!cân!tại!C!suy!ra!

CD ⊥ (SAC )
.!
+)!Kẻ!HK!vuông!góc!với!SC!tại!K!thì!

SK ⊥ (SCD )
.!
Tam!giác!vuông!SHC!có!

1
HK
2
=
1

SH
2
+
1
HC
2
=
6
a
2
+
2
a
2
⇒ HK =
a 2
4
.!
Kết!luận:!

d (M ;(SCD)) =
a 2
6
.!!!!
Bi=)-)j^c*)>%d6kF)Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!điểm!A(2;2;j1)!và!hai!đường!
thẳng!

d
1
:

x −1
−1
=
y +1
4
=
z −1
1
;d
2
:
x −3
1
=
y
2
=
z +1
2
.!Viết!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!song!song!
với!

d
1
,d
2
!và!cách!điểm!A!một!khoảng!bằng!3.)
Đường!thẳng!d1,d2!có!các!vtcp!lần!lượt!là!

a

!
= (−1;4;1),b
!
= (1;2;2)
.!
Mặt!phẳng!(P)!song!song!với!d1,d2!nên!có!vtpt!là!

n
!
= a
!
,b
!
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= (6;3;−6) //(2;1;−2)
.!
Suy!ra!

(P ) : 2x + y − 2z + c = 0
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
Ta!có!


d (A;(P )) = 3 ⇔
2.2+1.2− 2.(−1)+ c
2
2
+1
2
+ (−2)
2
= 3 ⇔ c + 8 = 9 ⇔
c = 1
c = −17
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Vậy!có!hai!mặt!phẳng!cần!tìm!là!

2x + y − 2z +1 = 0;2x + y − 2z −17 = 0
.!!!
Bi=),)j^c*)>%d6kF!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!đường!tròn!

(C ) : x
2
+ y
2
= 9
.!
Đường!tròn!(T)!có!tâm!I,!bán!kính!bằng!4!và!(C)!cắt!(T)!tại!hai!điểm!phân!biệt!A,B!sao!cho!tứ!
giác!OAIB!có!diện!tích!bằng!12!(!với!O!là!gốc!toạ!độ).!Viết!phương!trình!đường!tròn!(T),!biết!I!

nằm!trên!đường!thẳng!

d : x − 2 y + 2 = 0
.!!!
!
Đường!tròn!(C)!có!tâm!O(0;0)!bán!kính!bằng!3.!
Ta!có!OI!vuông!góc!với!AB.!Vì!vậy!

S
OAIB
=
1
2
OI .AB = 2S
OIA
= 12 ⇒ S
OIA
= 6
.!
Mặt!khác:!
!

S
OIA
=
1
2
OA.IA.sinOAI
!
=

1
2
.3.4.sinOAI
!
= 6sinOAI
!
≤ 6
.!
Vì!vậy!

S
OIA
= 6 ⇔ OAI
!
= 90
0
⇒ OI
2
= OA
2
+ AI
2
= 9 +16 = 25
.!
Gọi!

I (2a − 2;a) ∈ d ⇒ OI
2
= a
2

+ 4(a −1)
2
= 25
.!
!

⇔ 5a
2
−8a −21= 0 ⇔
a = 3
a = −
7
5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇒
I (4;3)
I (−
24
5
;−
7
5
)
⎡
⎣

⎢
⎢
⎢
⎢
.!!!!!!
Vậy!có!hai!đường!tròn!thoả!mãn!yêu!cầu!bài!toán!là!

(T ) : (x −4)
2
+ ( y −3)
2
= 16;(T ) : x +
24
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ y +
7
5

⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
= 16
.!
oU%)#;@)#<p&1)#q)m!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!đường!tròn!

(C ) : (x + 2)
2
+ ( y −1)
2
=
4
3
!có!tâm!I.!Đường!tròn!(T)!có!bán!kính!bằng!2,!tâm!J!nằm!trên!đường!
thẳng!

d : x + y − 2 = 0
!và!(C)!cắt!(T)!tại!hai!điểm!phân!biệt!A,B!sao!cho!


S
IAJB
=
4 3
3
.!Viết!
phương!trình!đường!tròn!(T).!
/\:(!

(T ) : x +
1
2
−
15
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2

+ y −
5
2
+
15
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
= 4;(T ) : x +
1
2
+
15
6
⎛
⎝
⎜

⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ y −
5
2
−
15
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟

⎟
⎟
2
= 4
.!!!!!
Bi=)a)j^c*)>%d6kF!Giải!hệ!phương!trình!

x
3
− 2y
2
= 16
y
3
−(3x + 2) y
2
+ 3x
2
y = 2(x
2
+ 4)
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(x, y ∈ !)
.!

Hệ!phương!trình!tương!đương!với:!

x
3
= 2y
2
+16
y
3
−3xy
2
+ 3x
2
y = 2x
2
+ 2 y
2
+ 8
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.!
Trừ!theo!vế!2!phương!trình!của!hệ!ta!được:!

x
3

= 2y
2
+16
(x − y)
3
= 8− 2x
2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x
3
= 2y
2
+16
x − y = 8−2x
2
3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⇔
x
3
= 2y
2
+16
y = x − 8−2x
2
3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
Chú!ý!

x
3
≥16; y = x − 8− 2x
2
3
=
x
3

+ 2x
2
−8
x
2
+ x 8− 2x
2
3
+ (8− 2x
2
)
2
3
> 0
.!!
Vì!vậy!ta!có!

y =
x
3
−16
2
y = x − 8−2x
2
3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇒
x
3
−16
2
= x − 8−2x
2
3
.!
Tìm!được!nghiệm!

x = 6
!và!ngoài!căn!thức!có!chứa!x!nên!tiến!hành!nhân!liên!hợp!như!sau:!

(2x −2)−
x
3
−16
2
= 8−2x
2
3
+ (x −2)
⇔

(2x −2)
2
−
x
3
−16
2
2x −2+
x
3
−16
2
=
(x −2)
3
+ 8−2x
2
(x −2)
2
−(x −2) 8−2x
2
3
+ (8−2x
2
)
2
3
⇔
−x
3

+ 8x
2
−16x + 24
2(2x −2)+ 2
x
3
−16
2
=
x
3
−8x
2
+12x
(x −2)
2
−(x −2) 8−2x
2
3
+ (8−2x
2
)
2
3
⇔ (x −6)
x(x −2)
(x −2)
2
−(x −2) 8−2x
2

3
+ (8−2x
2
)
2
3
+
x
2
−2x + 4
2(2x −2)+ 2
x
3
−16
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

⎥
= 0
⇔ x = 6 do
x(x −2)
(x −2)
2
−(x −2) 8−2x
2
3
+ (8−2x
2
)
2
3
+
x
2
−2x + 4
2(2x −2)+ 2
x
3
−16
2
> 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
.!
Vậy!hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất!

(x; y) = (6;10)
.!!
BH94).(!Sử!dụng!phép!thế!như!sau:!

y
2

=
x
3
−16
2
x
3
−16
2
.y − 3x.
x
3
−16
2
+ 3x
2
y = 2x
2
+ 8
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪

⎪
⎪
⇔
y(x
3
+ 6x
2
−16) = 3x
4
+ 4x
2
− 48x +16
y
2
=
x
3
−16
2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪

⇒
x
3
−16
2
.(x
3
+ 6x
2
−16)
2
= (3x
4
+ 4x
2
− 48x +16)
2
.!
B4I)3F!Có!thể!đưa!giải!bằng!phương!pháp!khử!dần!bậc!cao!xem!thêm!tại!đây:!
/>fueZs&index=2!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!
BJ=)+)KLM*)>%N6OF!Cho!a,b!là!hai!số!thực!dương!phân!biệt!thoả!mãn!

ab >1
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!
của!biểu!thức!

P =

(a + b)
2
(ab −1)(a −b)
2
−
16
(a + b)
2
(ab −1)
+ 2 a + b
.!!!
Đặt!

m = a + b,n = ab(m
2
> 4n > 4)
!khi!đó!!
!

P =
m
2
(n −1)(m
2
−4n)
−
16
(n −1)m
2
+ 2 m

=
m
2
(n −1)(m
2
−4n)
−
16(n −(n −1))
(n −1)m
2
+ 2 m
=
m
2
(n −1)(m
2
−4n)
−
16n
(n −1)m
2
+
16
m
2
+ 2 m
=
1
n −1
m

2
m
2
−4n
−
16n
m
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+
16
m
2
+ 2 m
=
1
n −1
m
4
−16m
2
n + 64n
2

m
2
(m
2
−4n)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+
16
m
2
+ 2 m
=
(m
2
−8n)
2
m
2
(n −1)(m
2
−4n)
+
16

m
2
+ 2 m ≥
16
m
2
+ 2 m
.!
Xét!hàm!số!

f (m) =
16
m
2
+ 2 m
trên!khoảng!

(2;+∞)
!ta!có!
!

f '(m) = −
32
m
3
+
1
m
; f '(m) = 0 ⇔ 32 m = m
3

⇔ m
5
= 2
10
⇔ m = 4
.!
Ta!có!f’(m)!đổi!dấu!từ!âm!sang!dương!khi!đi!qua!

m = 4
suy!ra!

f (m) ≥ f (4) = 5
.!
Dấu!bằng!đạt!tại!

m = 4;m
2
= 8n ⇔
m = 4
n = 2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
a + b = 4
ab = 2

⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.!
Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!5.!!!!!
B4I)3F!!
+)!Với!biểu!thức!cực!trị!đối!xứng!hai!biến!a,b!ta!có!thể!xử!lý!bằng!cách!đặt!

m = a + b
n = ab
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(m
2
≥ 4n > 0)
.!
+)!Với!lời!giải!trên!ta!biến!đổi!để!có!bất!đẳng!thức!luôn!đúng!và!điểm!rơi!tại!

m
2
= 8n

.!
Nếu!thấy!khó!để!dự!đoán!được!biến!đổi!trên!ta!có!thể!tìm!được!điểm!rơi!bằng!cách!xử!lý!
thông!qua!đạo!hàm!như!sau:!
Coi!P!là!hàm!của!n,!ta!có:!

f (n) =
m
2
(n −1)(m
2
− 4n)
−
16
(n −1)m
2
+ 2 m
.!
!

f '(n) =
256n
2
+ 8m
2
(m
2
−16)n − m
6
+12m
4

m
2
(n −1)
2
(m
2
− 4n)
2
; f '(n) = 0 ⇔
n =
m
2
8
n =
−m
4
+12m
2
32
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!!
Ta!có!điểm!rơi!bài!toán!cần!tìm!và!có!hướng!biến!đổi!hoặc!xử!lý!tiếp!tục!bằng!hàm!số.!
BH94).(!Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&!

2 ab. (a −b)
2
≤
4ab + (a −b)
2
2
=
(a + b)
2
2
⇒ (a −b)
2
≤
(a + b)
4
16ab
.!
Vì!vậy!

P =
16ab
(ab −1)(a + b)
2
−
16
(a + b)

2
(ab −1)
+ 2 a + b =
16
(a + b)
2
+ 2 a + b
.!Ta!có!kết!quả!tương!
tự.!
PQ%)#;@)#<R&1)#S)
PQ%):T)*LF!Cho!a,b!là!hai!số!thực!dương!chứng!minh!rằng!

ab + a + b
ab + 2(a + b)+ 4
+
1−ab
(a + b +1)
2
≥
1
3
.!
PQ%):T)*.F!Cho!a,b!là!hai!số!thực!dương!phân!biệt!tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P =
4
(ab + 2)(a −b)
2
+
512

(ab + 2)(a + b)
4
+ 2(a + b)
.!
PQ%):T)*7F)Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!phân!biệt!thoả!mãn!

xy + z
2
= z
3
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!
của!biểu!thức!

P =
z
(x − y)
2
+
16z
3
(x + y)
4
+
2(x + y)
z
.!
PQ%):T)*UF!Cho!a,b!là!hai!số!thực!dương!phân!biệt!thoả!mãn!

ab >1
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!

biểu!thức!

P =
(a + b)
2
(ab −1)(a −b)
2
−
16
(a + b)
2
(ab −1)
−
128
3(a + b)
3
.!!!
!
!
!!!!
!!
!!!
!!
!