SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO K THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010 -2011
MƠN : TỐN- THPT
ĐỀ CHÍNH THỨC Th i gian: 180 phútờ
(Đề thi gồm có 01 trang) Ngày thi : 18 /02 /2011
Câu 1: ( 3,0 điểm )
Cho hàm số
3 2
3y x x mx= - +
(1). Tìm tất cả các giá trị của
m
để hàm số (1) có cực đại,
cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) đối xứng nhau qua đường thẳng

( ) : 2 9 0d x y+ − =
.
Câu 2: ( 3,0 điểm )
Tính tích phân
2
2 2
2
( cos )
4cos 3sin
x x dx
I
x x
π
π
−
+
=

+
∫
Câu 3: ( 2,0 điểm )
Cho
( )
10
2
( ) 1 4 3P x x x= + +
. Xác định hệ số
3
x
trong khai triển
( )P x
theo lũy thừa của
x
.
Câu 4:( 3,0 điểm )
1. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm
(4;0)I
và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất
phát từ đỉnh
A
của tam giác là
1
( ) : 2 0d x y+ − =
và

2
( ): 2 3 0d x y+ − =
. Viết phương trình
các đường thẳng chứa cạnh của tam giác
ABC
.
2. Cho
I
là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
có
, ,AB c BC a CA b= = =
. Chứng
minh rằng:
2 2 2
1
IA IB IC
bc ca ab
+ + =
.

Câu 5: ( 3,0 điểm )
1. Giải phương trình:
( )
2sin 2 2 2 2 sin 2 .cos sin 2cosx cos x x x x x
+ + = + +
2. Cho
, , [0;1]x y z Ỵ
. Chứng minh rằng:


( ) ( )
81
2 2 2 2 2 2
8
x y z x y z- - -
+ + + + £
Câu 6: ( 3,0 điểm )
Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
mà khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )SBC
bằng
b
.
Góc giữa mặt bên và mặt đáy hình chóp bẳng
α
. Tìm
α
để thể tích của khối chóp
.S ABCD
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 7: ( 3,0 điểm )
Giải hệ :
( )
2 2
2 2
3 2 3 2 0
x y

y x
x y y x

− = −


− − − ≥


Hết
Họ và tên thí sinh:……………………………………………………………Số báo danh:…………
Chữ kí giám thị 1:………………………………. Chữ kí giám thị 2:…………………………………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO K THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LAÂM ÑOÀNG NĂM HỌC 2010 -2011
MÔN : TOÁN- THPT

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Ngày thi : 18 /02 /2011
(Đáp án có 04 trang)
Lưu ý: Đây chỉ là một trong những cách giải, nếu thí sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm
tương ứng.
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Câu 1
( 3đ )
+ Ta có
2
' 3 6y x x m= − +
+ Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔

' 0y =
có hai nghiệm phân biệt

' 9 3 0 3m m⇔ ∆ = − > ⇔ <
+ Ta có
1 1 2 1
( ) '( ) 2
3 3 3 3
y x y x x m x m
   
= − + − +
 ÷  ÷
   
+ Gọi
1 1 1
( ; )M x y
và
2 2 2
( ; )M x y
là hai điểm cực trị, suy ra
1 2
,x x
là hai nghiệm của
phương trình
' 0y =
, nên
1 2
1 2
2
3

x x
m
x x
+ =



=


+ Đường thẳng qua 2 điểm cực trị M
1
, M
2
là
1
2 1
: 2
3 3
d y m x m
 
= − +
 ÷
 
+
I
là trung điểm
1 2
M M
, suy ra

( )
1; 2I m −
+ Do
1 2
,M M
đối xứng qua
( )d
nên
1
2 1
2 1
6
3 2
1 2( 2) 9 0
m
d d
m
I d
m

  
− − = −
⊥


 ÷ ÷
⇔ ⇔ =
  
 
∈



+ − − =

0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
Câu 2
( 3đ )
Tính
2
2 2
2
( cos )
4cos 3sin
x x dx
I
x x
π
π
−
+
=
+
∫
+

2 2 2
1 2
2 2 2
2 2 2
( cos ) cos
4 in 4 in 4 in
x x dx xdx xdx
I I I
s x s x s x
π π π
π π π
− − −
+
= = + = +
− − −
∫ ∫ ∫
+ Tính
0
2 2
1
2 2 2
0
2 2
4 in 4 in 4 in
xdx xdx xdx
I
s x s x s x
π π
π π
− −

= = +
− − −
∫ ∫ ∫
Trong
0
2
2
4 in
xdx
s x
π
−
−
∫
, Đặt
x t= −
, đổi cận, CM
0
2
2
4 in
xdx
s x
π
−
=
−
∫
-
2

2
0
4 in
xdx
s x
π
−
∫
Suy ra
1
0I =
+ Tính
2
2
2
2
cos
4 in
xdx
I
s x
π
π
−
=
−
∫
,
0,5
0,25

1,0
0,25
Trang 1/4
Đặt
sint x
=
, đổi cận ta có
1
1
2 1
2
1
1 2 1
ln ln 3
4 4 2 2
dt t
I
t t
−
−
 
+
= = =
 ÷
− −
 
∫
+
1
ln3

2
I =
0,75
0,25
Câu 3
( 2đ )
+
( )
( )
( )
10
10
2
( ) 1 4 3 1 4 3P x x x x x= + + = + +
+
( ) ( ) ( )
2 10
0 1 2 2 10 10
10 10 10 10
( ) 4 3 4 3 4 3P x C C x x C x x C x x= + + + + + + +
+ Hệ số của
3
x
chỉ xuất hiện trong
( ) ( )
2 3
2 2 3 3
10 10
4 3 4 3C x x C x x+ + +
+ Hệ số

3
x
trong khai triển:
2 3
10 10
24 .64C C+ =
8760
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4
( 3đ )
+ Tìm được
(1;1)A
+ Gọi
∆
là đường thẳng qua
I
và song song với
1
d
. Tìm được
: 4 0x y∆ + − =
+ Gọi
2
M d= ∆∩ ⇒
(5; 1)M −
,
M

là trung điểm
BC
⇒
đường thẳng
BC
đi qua
M
và vuông góc với
1
d
.
Tìm được
( ) : 6 0BC x y− − =
.
+ Nhận xét
,B C
là giao điểm của đường thẳng
BC
và đường tròn tâm
I
, bán kính
10R IA= =
có phương trình
2 2
( 4) 10x y− + =
.
+ Giải hệ tìm được tọa độ
(3; 3), (7;1)B C−
.
+ Phương trình

( ) : 2 3 0AB x y+ − =
.
Phương trình
( ) : 1 0AC y − =
.
2. ( 1 điểm)
+ Ta có
2 sin .sin .sin
4 sin sin .sin
4 sin sin sin 2 2 2
ABC
S
abc R A B C A B C
r R
p Rp A B C
∆
= = = =
+ +
+
2
4 .sin .sin tan .tan
2 2 2 2
sin
2
r B C IA B C
IA R
A
bc
= = ⇒ =
+ Tương tự :

2
tan .tan
2 2
IB C A
ca
=
,
2
tan .tan
2 2
IC A B
ab
=
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
Trang 2/4
1. ( 2 điểm)
+
2 2 2
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
IA IB IC B C C A A B
bc ca ab

+ + = + + =
0,25
Câu 5
( 3đ )
1. (1,5 điểm)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
os2x = 2 sin 2x.cosx - sin2x 2 sin x - sin2x 2 2cosx - 2
2 os 1 sin 2x 2 osx -1 2 sinx 2 osx -1 2 2 osx -1
2 osx +1 2 osx -1 2 osx -1 sin 2x - 2 sinx +2
1
osx = 1
2
2 sinx + cosx 2sinx.cosx - 1 = 0 2
c
c x c c c
c c c
c
⇔ + +
⇔ − = − +
 
⇔ =
 


⇔

−



+ (1)
2
4
x k
π
π
⇔ = ± +
+ (2)
2
4 4
x k x k
π π
π π
⇔ = − + ∨ = +
, Kết luận.
2. (1,5 điểm)
+ Đặt
2 , 2 , 2
x y z
a b c= = =
, BĐT cần CM
( )
1 1 1 81
8
a b c
a b c

 
⇔ + + + + ≤
 ÷
 
, với
, , [1;2]a b c ∈
+ Xét tam thức bậc hai
2
( ) 3 2f x x x= − +
có hai nghiệm x = 1, x = 2
( ) 0, [1,2]f x x⇒ ≤ ∀ ∈
+ Mà
2
2
2
2
3
3 2 0
( ) 0
2
, , [1;2] ( ) 0 3 2 0 3
( ) 0
3 2 0
2
3
a
a
a a
f a
a b c f b b b b

b
f c
c c
c
c

+ ≤


− + ≤
≤



 
∈ ⇒ ≤ ⇒ − + ≤ ⇒ + ≤
  
  
≤
− + ≤



+ ≤



+ Từ đó :
( )
2 2 2

9a b c
a b c
 
+ + + + + ≤
 ÷
 
+ Áp dụng Côsi
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
9 2 .a b c a b c
a b c a b c
   
≥ + + + + + ≥ + + + +
 ÷  ÷
   
0,75
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
Câu 6
( 3đ )
+ Gọi
,I J
lần lượt là trung điểm của
,BC AD
, ta có
SIJ

α
∠ =
0,25
Trang 3/4
+ Ta có
/ / / / ( ) ( ,( )) ( ,( ))AD BC AD SBC d A SBC d J SBC⇒ ⇒ =
.
+ Trong tam giác
SIJ
vẽ đường cao
JH
. Chứng minh được
( )JH SBC⊥
Suy ra
( ,( ))d J SBC JH b= =
.
+ Trong tam giác vuông
IHJ
, ta có
2
2 2
2
sin sin sin
ABCD
JH b b
IJ S AB IJ
α α α
= = ⇒ = = =
+ Gọi
O

là tâm của đáy, thì
.tan .tan
2sin 2cos
b b
SO IO
α α
α α
= = =
+
3
.
2
1
.
3 6sin .cos
S ABCD ABCD
b
V S SO
α α
= =
+
2
.
2
1
min min (sin .cos )max
sin .cos
S ABCD
V
α α

α α
⇔ ⇔
( do
0 0
0 90
α
< <
)
2
(cos (1 sin ))max
α α
⇔ −
+ Xét hàm
2
( ) .(1 ),( cos (0;1))f x x x x
α
= − = ∈
+ Lập bảng biến thiên, tìm được
(0;1)
2 3
ax ( )
9
x
M f x
∈
=
khi
3
3
x =

+ Kết luận
3
.
3 3
( ) cos
4 3
S ABCD
b
Min V
α
= ⇔ =
;
0 0
0 90
α
< <
0,25
0,5
0, 5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 7
( 3đ )
Giải hệ
( )
2 2

2 2 (1)
3 2 3 2 0 (2)
x y
y x
x y y x

− = −


− − − ≥


+ Xét phương trình (1)
2 2
x y
x y⇔ + = +
Ta có
( ) 2 '( ) 2 ln 2 1 0,
t t
f t t f t t R= + ⇒ = + > ∀ ∈
Vậy
( )f t
là hàm đơn điệu tăng trên
R
, mà
( ) ( )f x f y=
nên
x y=
.
+ Thay

y x=
vào bất phương trình (2), ta có

( )
2
2 2
2
2
3 2 0
3 3 2 0
3 2 0
3 0
1
2
2
1
2
2
0 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x

− − =

− − − ≥ ⇔



− − >



 − ≥




= ∨ = −


⇔


< − ∨ >





≤ ∨ ≥



1
2 3
2

x x x⇔ ≤ − ∨ = ∨ ≥
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
HẾT
Trang 4/4
Trang 4/4