PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN BÙ ĐỐP
MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Môn: Giải toán bắng máy tính FX-500MS; FX-570MS

Vấn đề 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0
Phương pháp lặp:
Giả sử phương trình có duy nhất nghiệm trong (a;b).Giải phương trình f(x)=0 bằng phương
pháp lặp bao gồm các bước sau:
a/ Đưa phương trình f(x) = 0 về phương trình tương đương x = g(x)
b/ Chọn x
0
thuộc (a ; b) làm nghiệm gần đúng ban đầu
c/ Thay x = x
0
vào vế phải của phương trình x = g(x) ta được nghiệm gần đúng thứ nhất x
1

= g(x
0
). Thay x
1
= g(x
0
) vào vế phải của phương trình x = g(x) ta được nghiệm gần đúng thứ hai x
2
= g(x
1
). Lặp quá trình trên, ta nhận được dãy các nghiệm gần đúng
x
1
= g(x

0
) ; x
2
= g(x
1
) ; . . . x
n
= g(x
n-1
) . . .
Nếu dãy các nghiệm gần đúng
{}
hội tụ , nghóa là
n
x , n 1, 2, . . .=
x: x g(x)$=
khi đó
x là nghiệm gần đúng của phương trình.
Chú ý 1: Phải chọn hàm số g(x) sao cho dãy
{
}
n
x
xây dựng theo phương pháp lặp là dãy
hội tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm.
Chú ý 2: Nếu và f(a).f(b) < 0 phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
thuộc (a ; b)
a;b D$Ỵ

Chú ý 3: Chọn g(x) sao cho

[
]
g'(x) 1 ; x a ; b<"Ỵ Khi đó g(x) sẽ hội tụ tới nghiệm
duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng (a ; b).
VD1: Giải phương trình: x
3
- x
2
– 1 = 0 (1)
Phương trình này có nghiệm trong (1 ; 1,5 )
(1)


3
2
x = x + 1

Khai báo hàm :
3
2
g(x) = x + 1
:
Shift

3

(

A
LPHA


X

2
x

+

1

)

Bấm
CALC
máy hiện X? Khai báo giá trò ban đầu x
0
= 1 bấm
=
Sau đó thực hiện dãy
lặp :
CALC

A
ns

=
ta đi đến: x = 1,465571232 là nghiệm gần đúng.
Cách 2:
Khai báo: x
0

= 1: bấm 1
=
bấm
3

(

A
ns
2
x

+
1
)
bấm tiếp
=
,
=
,
=
… đi đến
nghiệm trên.
( Có thể giải bằng phương trình sẵn có của máy)
PHƯƠNG PHÁP DÙNG CHỨC NĂNG SOLVE:
Bước 1: Dùng phím
A
LPHA
,
X

, . . . viết phương trình vào máy.
Giả sử phương trình : f(x) = 0 (dấu
=
đươc viết bằng phím
A
LPHA

=
)
Bước 2: Bấm
SHIFT

SOLVE
màn hình hiện: X?
Nhập x = a (a bất kỳø gần bằng với nghiệm) Ỵ  
Bước 3:
SHIFT

SOLVE
được nghiệm thứ nhất
Bước 4: Lập lại bước 2 và 3 với x = b a ta được nghiệm thứ 2 ¹
Nếu với x = a ; b ; . . . mà máy hiện: Can’t SOLVE  phương trình không có nghiệm
thực gần với các số a ; b ; . . .  hãy thử số khác ( lấy các hệ số của x).

Vấn đề 2:
Dãy fibonacc i:
A/ Dạng 1: u
n+1
= m.u
n

;
n 1 ; A"³ Ỵ

Với u
1

= a  tính u
k
= ? (k )Ỵ 
* Khai báo: bấm :
a

=

bấm :
´
m
=
 được u
2

bấm dãy lặp
=

=
. . .
ta được lần lượt u
3
, u
4

, . . .
Bấm k – 1 lần dấu bằng được u
k

Cách 2:
Gán các giá trò: a SHIFT STO A (A chính là u
1
)
1 SHIFT STO M (biến đếm)
Nhập vào máy như sau:
M = M + 1 : A=m×A
Bấm =; =; =; … để tính các giá trò u
n

Lưu ý:
-Dùng phím ALPHA để nhập các chữ M, A và các dấu “=” dấu “:”
-Cách giải này có ưu điểm là có thể kiểm soát được các bước lặp. Với mỗi giá trò M hiển
thò trên màn hình tương ứng với giá trò của n trong dãy lặp.
B/ Dạng 2: (Dãy Lucas)
u
1
=a ; u
2
= b ; u
n+1
= u
n
+ u
n-1
) (

n2"³
Tính u
k
? (Với a = b = 1 thì dãy lucas

dãy Fibonacci)
*Khai báo:
Bấm:
b

SHIFT

STO

A

+

a

SHIFT

STO

B
 được u
3
= a + b = B
(gán b


A tức u
2
; a

B tức u
1
)
Lặp lại dãy phím:
+

A
LPHA

A

SHIFT

STO

A


+

A
LPHA

B

SHIFT


STO

B

Ta lần lượt thu được: u
4
; u
5
/ u
6
; u
7
/…
( lặp lại bằng cách dùng phím

và dấu
=
)
Giải thích :
Sau khi bấm:
b

SHIFT

STO

A

+


a

SHIFT

STO

B
, được
B = u
3
= a + b ( đang hiển thò trên màn hình)
bấm tiếp:
+

A
LPHA

A
 tức u
3
+ u
2


được u
4
(đang hiện trên màn hình )
lúc đó gán tiếp :
SHIFT


STO

A
tức u
4


A
bấm tiếp:
+

A
LPHA

B
 tức u
4
+ u
3


được u
5
;
lúc đó gán tiếp:
SHIFT

STO


B
tức u
5



B
( đang hiện trên màn hình ) tiếp tục
thực hiện dãy lặp tương tự.
C/ Dạng 3: u
1
= a; u
2
= b; u
n+1
= m.u
n
+ p.u
n-1
( )
n2"³
tìm u
k
= ?

* Bấm: b
SHIFT

STO


A

´
m
+
p
´

a

SHIFT

STO

B

(lúc này: b

A = u
2
; b

A + B

a

B = u
3
)
*Lặp lại dãy phím sau:

´
m
+

ALPHA

A

´
p
SHIFT

STO

A
 u
4
= A
´
m
+

ALPHA

B

´
p
SHIFT


STO

B
 u
5
= B
(Thực hiện dãy lặp trên ta lần lượt thu được: u
4
; u
5
/ u
6
; u
7
/… dùng phím

và dấu
=
để thực
hiện các dãy lặp)
Cách 2:
Thực hiện các phép gán:
a SHIFT STO A (A chính là u
1
)
b SHIFT STO B (B chính là u )
2
2 SHIFT STO M (biến đếm các bước lặp)
Nhập vào máy dãy phép tính sau:
M = M + 1 : A = m B + p A : M = M + 1 : B = m A + p

´ ´
´
B
(Tức là: M = M + 1 : A = m.b + p.A : M = M + 1 : B = m A + p.B).
Bấm =; =
Lưu ý:
ALPHA để nhập các chữ M, A và các dấu “=” dấu “:”
; =; … để tính các giá trò u
n

-Dùng phím
-Cách giải này có ưu điểm là có thể kiểm soát được các bước lặp. Với mỗi giá trò M hiển
tiên máy thực hiện tính M = M + 1 khi đó M = 3 (tương ứng với u
3
)
thò trên màn hình tương ứng với giá trò của n trong dãy lặp.
Giải thích:
-Đầu
-Tiếp theo máy thực hiện tính A = m
´
B + p
´
A lúc này u
3
= A
-Tiếp theo máy thực hiện tính M = M 1 khí đ M = 4 (tương ứng v+ ó ới u
4
)
-Tiếp theo máy thực hiện tính B = m
´

A + p
´
B lúc này u
4
= B
sau đó máy lại quay lại các bước lặp trên để m ra các giá trò utì .
n
tiếp theo
Cách 3:
a SHIFT STO A (A chính là u
1
)
b SHIFT STO B (B chính là u )
2
2 SHIFT STO M (biến đếm các bước lặp)
Nhập vào máy dãy phép tính sau:
M = M + 1 : A = m B + p A : C = A : A = B : B = C
´

´
Bấm dãy lặp: =; =; =;
Giải thích:
Sau khi tính A = m B + p A lúc này A = u
3
´ ´
Gán C = A = u
3

Gán A = B = u
2


Gán B = C = u
3

Máy tính tiếp A = m B + p A lúc này A = m.u
3
+ p.u
2
= u
4
´ ´
Cứ tiếp tục như vậy tính được các giá trò tiếp theo.

Dạng 4: (Fibonacci suy rộng bậc 2 dạng:)
; ( ) u
1
= a ; u
2
= b ;
2
u u +=
2
n
n
+ 1 n - 1
u
n2"³
Tính u ?
k


b

SHIFT

STO

A

2
x

+

a

2
x

SHIFT

STO

B
*Bấm phím:  u
3
= B
hí : *Lặp lại dãy p m
2
x


+

A
LPHA

A

2
x

SHIFT

STO

A
 u
4
= A
2
x

+

A
LPHA

B

2
x


SHIFT

STO

B
 u
5
= B
Lần lượt thu được: u
4
; u / u ; /…
5

6
u
7
Dạng 5: FIBONACCI BẬC 3
u
1
= a m.u
n
+ p.u
n-1
+ q.u
n - 2
( ) ; u
2
= b; u
3

= c ; u
n+1
=
n3"³
Tính u
k
?
Đưa u
2
vào A: b
SHIFT

STO

A

Đưa u
3
vào B: c
SHIFT

STO

B

Tính u
4
:
A
LPHA


B

´
m
+

A
LPHA

A

´
p
+
a
´
q
SHIFT

STO
C
(được u
4
C ng hiển ò e àn n
Lập lại dãy phím sau:


đa th tr ân m hì h)
´

m
+

A
LPHA

B

´
p
+

A
LPHA

A

´
q
SHIFT

STO
A  u
5
= A
´
m
+

A

LPHA

C

´
p
+

A
LPHA

B

´
q
SHIFT

STO
B  u
6
= B
´
m
+

ALPHA

A

´

p
+

ALPHA

C

´
q
SHIFT

STO
C  u
7
= C
Lần tượt thu được: u
5
, u
6
, u
7
/ u
9
, / . . .
8
, u u
10
Vấn đề 4: Biễu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn thành 1 phân số tối giản:
VD1: Giả sử có số 0, (a) trong đó Ỵa, a=1 ; 9
Ta có: 0,(a) . 10 = a + 0, (a)  0, (a) . 9 = a

=> 0, (a) =
9
a

VD2: Giả sử có: 0, (ab) tr ng đo ó Ỵa,b , a;b = 1;9
Có 0,(ab) . 100 = ab + 0,(ab)
=> 0,(ab) . 99 = ab
=> 0,
(ab)
=
99
a

b
Vấn đề 5: Bài toán ngân ha g: øn
*Lãi ngân hàng: có 2 cách tính lãi
1/Lãi đơn: Khi gửi a (đồng) vào ngân hàng với lãi suất x%/năm thì sau 1 năm ta
nhận đ ïc số t
hau.
ươ iền lãi là:
a.x% (đồng)
Số tiền lãi này nhận được hàng năm như n
2/ Lãi kép: Sau 1 đơn vò thời gian ( tháng, năm ), lãi được gộp vào vốn và được tính
lãi.
Bài toán tính bằng lãi kép:
Hàng tháng 1 người gửi váo ngân hàng a (đồng) với lãi xuất x%/ tháng. Tính xem
đến tha g thứ ùn k người đó nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?
GIẢI:
–Cuối tháng thứ nhất số tiền trong sổ tiết kiệm của người đó là:
đầu tháng thứ

ai là:
a ( 1 + x%) (đồng)
–Vì hàng tháng ngườ ngân hàng a đồng nên số tiền gốci ấy tiếp tục gửi vào
h
a ( 1 + x% ) + a =
[
]
a. (1 + x%) + 1

[
]
[
]
1+a. ( x% ) . (
=
1+x% ) - 1
( 1+x% ) - 1

(
)
()
2
1
é
ù
ê
ú
ë
û
a

= . + x% - 1
1 + x% - 1

()
2
1
é
ù
ê
ú
ë
û
a
= . + x% - 1
x%

Số tiền cuối tháng thứ hai là:

() ()
2
1
éù
êú
ëû
a
. + x% - 1 . x%
x

2
1

éù
êú
ëû
a
= . + x% - 1 +
x%
() ()()(
23
11
éù é
êú ê
ëû ë
aa
= . + x% - 1 . 1+x% = . + x%
)
ù
ú
û
1+x%
x% x

ương tự, số tiền gốc đầu tháng 3 là:

-
T
()()

()()
33
1

éùé ù
+
ê ú
ë û
aa
= . + x% - 1+x% x%
x

1
êú
ëû
=
. + x% - 1+x% + a
x%

()
3
1
éù
êú
ëû
a
= . + x% - 1
x%

S hố tiền cuối tháng cuối tháng t ứ 3 là:
() ( )

()()
3

1
éù é ù
ê ú
ë û
4
aa
x% = . + x% - 1+x%
x%

ương tự: số tiền trong sổ tiết kiệm tháng thứ k là:
1
êú
ëû
=
. + x% - 1 . 1 +
x%
T
()
1
( )
é
ù
úê
ë
û
a
. 1 + x%
k
=
. + x% - 1

x%

Chú ý: Một số bài toán khác yêu cầu tính k hoặc x% hoặc a . . .
Bài toán về Tiền lương: Một người hiện có mức lương là A, biết rằng sau 3 năm tăng
lương một lần, mo bây giờ cho đến ãi lần tăng x% lương. Tính tổng số lương người đó nhận được từ
sau N năm nữa ?
*Trong 3 năm thứ 1 – đợt 1:
-Số tiền lương hàng tháng: A
ổng l 36A
ợt 2:
1 + x%)
ổng l %)
ận được là:
) = 36A [ 1 + (1 + x%)]
)
2

ổng l %)
2

+ 36 A(1 + x%)
2
= 36A [ 1 + (1 + x%) + (1 + x%)
2
]
6A [ 1 (1 + %)] +
-T ương trong 3 năm (36 tháng):

*Trong 3 năm thứ 2 – đ
-Số tiền lương hàng tháng: A + A.x% = A(

-T ương trong 3 năm: 36A(1 + x
Trong 6 năm qua, tổng tiền lương nh
36A + 36A(1 + x%
*Trong 3 năm thứ 3 – đợt 3:
-Số tiền lương hàng tháng: A(1 + x%) + A(1 + x%).x% = A(1 + x%
-T ương trong 3 năm: 36 A(1 + x
Trong 9 năm qua, tổng tiền lương nhận được là:
36A [ 1 + (1 + x%)]
Tương tự, tính tổng tiền lương đến hết đợt thứ n là:
3 +
x 36 A(1 + x%)
2
= 36A [ 1 + (1 + x%) + (1 + x%)
2
+ . . . + (1 + x%)
n – 1
]
=
nn
1 - (1 + x%) (1 + x%) - 1
36A. = 36A.
1 - (1 + x%) x%

Vấn đề 6: Các bài toán về phương trình, đa thức:

/ Dạng 1:a Tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho x – a?
* $ đa thức q(x) sao cho: f(x) = (x – a) . q (x) + r (r là dư; )
– a)  tìm được r

b/ Dạng 2:

Ỵr 
Vì vậy r = f(a)
* Cách khác: dùng sơ đồ Hoocner
Chia f(x) cho (x
Tính f(a)?
Ngoài cách tính thông thường ta có thể dùng Hoocner để tìm dư của phép chia f(x) cho (x–a)
Khi đó: f(a) = r

c/ Dạng 3:
Tìm phần dư khi chia đa thức f(x) cho x
2
– a
2

*Vì đa thức chia có bậc 2 nên dư của phép chia trên là đa thức bậc nhất có dạng:
Ta có: f(x) = (
a ) = A.( – a ) + B
A và
d/ Dạng 4:
Ax + B. Ta phải tìm A và B
x
2
– a
2
) . q(x) + Ax + B
Vậy: f(a) = A.a + B; f(–
Từ đó tìm được B

Cho đa thức f(x) có bậc n; có n nghiệm: x
1

, x
2
, x
3
, . . . x
n
kí hiệu P(x) = x
2
– a
2
. hãy tìm tích P = P(x
1
).P(x
2
).P(x
3
) . . . P(x
n
).
Ta có: f(x) = k . (x – x
1
).(x – x
2
).(x – x
3
) . . . (x – x
n
) (k là hệ số của x
n
)

).(x
3
– a).(x
3
+ a) . . . (x
n
– a).(x
n
+ a).
Ta thấy
P(x
1
) = x
1
2
– a
2
= (x
1
– a).(x
1
+ a).
Vậy: P = (x
1
– a).(x
1
+ a).(x
2
– a).(x
2

+ a
: (x
1
– a).(x
2
– a).(x
3
– a) . . . (x
n
– a) =
n
(- 1) . f(a)

k
(x
1
+ a).(x
2
+ a).(x
3
+ a) . . . (x
n
+ a) =
n
(- 1) . f(- a)
k

P =
n
(- 1)


. f(a)
k
.
n
(- 1) . f(- a) f(a) . f(- a)
k
=
k
(tính được).

/ Dạng 5:e Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e
và P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51
Tính: P(6), P(7), P(8), . . . ?
Đặt: Q(x) = 2x
2
+ 1
. P(5) có dạng: Q(x) = 2x
2
+ 1 (với (P(1), P(2), . .
x = 1 ; 5
))

Ta thấy: (x) –
Đặt R(x) = P(x) – Q(
P(x) = R(x) + Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 2x
2
+ 1
Từ đó tính
Chú ý:
x = 1, 2, 3, 4, 5 là 5 nghiệm của đa thức P Q(x)
( P(x) – Q(x) = 0 khi x = 1, 2, 3, 4, 5 )
x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)
(vì R(x) có bậc 5 và hệ số của x
5
là 1)

được P(6), P(7), P(8), . . .

–Từ giả thiết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51, để tìm P(x), ta có thể giải hệ
5 phươ
thức Q(x).
Vấn đề 7:
ng trình bậc nhất 5 ẩn: a, b, c, d, e.
–Với cách đầu, ta phải tìm được đa

Tìm số dư trong phép chia a cho b:
Cách 1: Bấm
A

=

-


B

=

=

=
. . .
Cách 2: G û A = B. + iả sư q r
Bấm:
A

¸

B

=

´

B

-

q

´

B


=

Cách 3:
A

¸

B

=

-

q

=

´

B

=

Lơ høi bìn : Cách 1 dễ thực hiện, ngắn gọn tuy nhiên chỉ áp dụng khi phần nguyên của
thương là số tư
Vấn đề 8:
ơng đối nhỏ.

Tìm chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn được biểu diễn bởi 1 phân số:

D: Tìm chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn có được từ phép chia 10 cho 23 ?

V
* Lấy 10 : 23 = (0,434782608)

màn hình chỉ hiển thò 10 chữ số
Vậy 10 số dư đầu tiên la 4782608 ø: 0,43
* Lấy 0,434782608
´
23 = 9,999999984
10
-

Ans

=
0,000000016
Vậy 10 ,4 478 0 000016
8 = 0,434782608 + 0,000000001 (16 : 23)
* Lấy 16
là: 69
*Lấy 0,69
= 0 3 26 8
´
23 + 0,000
 10 : 23 = 0,43478260 + 0,000000016 : 23 ´
: 23 = (0,695652173)

Màn hình hiển thò chưa hết kết quả của phép chia.
 Chín số dư tiếp theo 5652173

5652173 ´ 23 = 15,99999998
16
-

Ans

=
0,000000021
Vậy 16 6 652 73 000021. Tương tự cách làm trên ta được:
21 : 23

(4347826086956521739130)

Vấn đề 9:
= 0, 95 1 ´ 23 + 0,000
= (0,913043478)  Chín số dư tiếp theo là: 913043478
Vậy: 10 : 23 = 0,434782608695652173913043478 . . .
= 0,(4347826086956521739130)
 Chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn trên là:
Biểu diễn phân số thành liên phân số:
Giả sử
a
x = (a, b )Ỵ 

b
Ta thực hiện phép chia Ơclit trên các số a, b như sau:


. . . .



a = b q
0
+ r
1

b = r
1
q
1
+ r
2
r
1
= r
2
q
2
+ r
3
. . . . . . . . . . .
r
n – 2
= r
n – 1
q
n – 1
+ r
n
r

n – 1
= r
n
q
n

00 0 n
11
1
1
2
2
3
n
a1 1 1
= q + = q + = . . . = q + (q > 1)
b1 1
b
q + q +
r1
r
q +
1
r
q +

1
q



(Trong đó )
Biểu thức trên gọi là một liên phân số hữu hạn cấp n. Ký hiệu: , n
gọi là c
0 1 2 3 n
0
q Ỵ  ,
+
123 n n
q , q , q , . . . q , q > 1Ỵ 
012 n
= q , q , q , . . . q
éù
d
êú
ëû
ấp, q , q , q , q , . . . q gọi là các số hạng của liên phân số.
Vấn đề 10: Tìm UCLN của 3 số A, B, C
Gọi
a
là phân số tối giản của phân số
A
, khi đó
b B
giả sử m là thương của phép chia A cho a
vậy thì (A, B) = m
ố tối giản của phân số
m
C
, giả sử là
p

q
Tiếp tục tìm phân s , gọi n là thương của phép chia m
cho p khi đ
ó (m , C) = n
B), C) = (m, C) = n Vậy thì: (A, B, C) = ((A,
Để tìm phân số tối giản
a
của phân số
A
ta
b
B
nhập vào máy như sau:
Bấm: A a /
c
B =
b