- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 9
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS huyện Bình Giang năm 2012-2013 môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (126.23 KB, 4 trang )
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu I (2,0 điểm).
Cho biểu thức:
x 2 x 1 1
A
x x 1 x x 1 1 x
+ +
= + +
− + + −
với
x 0, x 1≥ ≠
1) Rút gọn A
2) Chứng tỏ rằng:
1
A
3
<
Câu II (2,0 điểm).
1) Giải phương trình:
− − =x x 15 17
2) Tìm x, y sao cho:
( )
2
5x 2 x 2 y y 1 0− + + + =
Câu III (2,0 điểm).
1) Tìm số nguyên x, sao cho :
2
x x p 0
+ − =
với p là số nguyên tố.
2) Tìm m để hàm số bậc nhất
− +
= −
− +
2
2
m 2013m 2012
y x 2011
m 2 2m 3
là hàm số
nghịch biến.
Câu IV (3,0 điểm).
1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường
cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ;
R), gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH = 2.IO.
b) Biết
·
0
BAC 60=
, tính độ dài dây BC theo R.
2) Cho
µ
0
ABC(A 90 )∆ =
, BC = a. Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp
ABC∆
là r. Chứng minh rằng:
r 2 1
a 2
−
≤
.
Câu V (1,0 điểm).
Cho
x 3y 1+ ≥
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
C x y= +
–––––––– Hết ––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Câu Phần Nội dung Điểm
Câu I
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
( ) ( )
x 2 x 1 1
A
x x 1 x 1
x 1 x x 1
+ +
= + −
+ + −
− + +
( ) ( )
( ) ( )
x 2 x 1 x x 1
A
x 1 x x 1
x x
A
x 1 x x 1
+ + − − − −
=
− + +
−
=
− + +
( )
( ) ( )
x x 1
x
A
x x 1
x 1 x x 1
−
= =
+ +
− + +
, với
x 0, x 1≥ ≠
0.25
0.25
0.25
0.25
2
(1,0 đ)
Xét
( )
2
x 1
1 1 x
A
3 3
x x 1 3(x x 1)
−
− = − =
+ + + +
Do
x 0, x 1≥ ≠
( )
2
2
1 3
x 1 0 và x x 1 x 0
2 4
⇒ − > + + = + + >
÷
1
A 0
3
⇒ − > ⇔
1
A
3
<
0.50
0.25
0.25
Câu II
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
ĐKXĐ:
x 15≥
x x 15 17 x 15 x 15 2 0− − = ⇔ − − − − =
Đặt
2
t x 15 (t 0) t t 2 0= − ≥ ⇒ − − =
( ) ( )
( )
( )
=
⇔ − + = ⇔
= −
t 2 TM§K
t 2 t 1 0
t 1 lo¹i
Với
t 2 x 15 2 x 15 4 x 19= ⇒ − = ⇔ − = ⇔ =
(TMĐK)
0.25
0.25
0.25
0.25
2
(1,0 đ)
ĐKXĐ:
x 0≥
( )
2
5x 2 x 2 y y 1 0− + + + = ⇔
2
4x 4 x 1 x 2y x y 0− + + − + =
( ) ( )
2 2
2 x 1 x y 0⇔ − + − =
(1)
Vì
( ) ( )
2 2
2 x 1 0, x y 0 x 0, y− ≥ − ≥ ∀ ≥
( ) ( )
2 2
2 x 1 x y 0⇒ − + − ≥
.
Để (1) xẩy ra thì
1
x
2 x 1 0
4
(TM)
1
x y 0
y
2
=
− =
⇔
− =
=
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu III
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
Theo bài ra:
( )
2
p x x x x 1
= + = +
mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp
nên
( )
+
x x 1
là số chẵn
⇒
p là số chẵn.
Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2
⇒
2
x x 2 0
+ − =
( ) ( )
x 2 x 1 0
⇔ + − = ⇔
x = 1 hoặc x = - 2 (TM)
0.25
0.25
0.50
2
(1,0 đ)
Để hàm số
2
2
m 2013m 2012
y x 2011
m 2 2m 3
− +
= −
− +
nghịch biến thì
2
2
m 2013m 2012
0
m 2 2m 3
− +
<
− +
(1).
( )
2
2
m 2 2m 3 m 2 1 0 m− + = − + > ∀
(1)
( ) ( )
2
m 2013m 2012 0 m 1 m 2012 0⇔ − + < ⇔ − − <
m 1 0 m 1
m 2012 0 m 2012
m 1 0 m 1
m 2012 0 m 2012
− > >
− < <
⇔ ⇔
− < <
− > >
1 m 2012⇒ < <
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu IV
(3,0 điểm)
1a
(1,0 đ)
Vì B, C thuộc đường tròn đường kính
AK
·
·
0
ABK ACK 90⇒ = =
KB AB,KC AC⇒ ⊥ ⊥
CH AB,BH AC⊥ ⊥
(gt)
BK // CH,CK // BH⇒
BHCK
⇒
là hình bình hành
I là trung điểm của BC (gt)
I
⇒
là trung điểm của HK
O là trung điểm của AK (gt)
OI
⇒
là đường trung bình của
KAH∆
1
OI AH AH 2.IO
2
⇒ = ⇒ =
0.25
0.25
0.25
0.25
1b
(1,0 đ)
OA OC OAC= ⇒ ∆
cân tại O
·
·
OAC OCA⇒ =
·
·
·
KOC OAC OCA= +
(T/c góc ngoài của tam giác)
·
·
KOC 2.OAC⇒ =
Chứng minh tương tự:
·
·
KOB 2.OAB=
·
·
·
·
( )
·
·
0
KOC KOB 2 OAC OAB BOC 2.BAC 120⇒ + = + ⇒ = =
OB OC OBC= ⇒ ∆
cân tại O
·
( )
0 0 0
OCI 180 120 : 2 30⇒ = − =
Vì I là trung điểm của BC (gt)
OI BC⇒ ⊥
Trong
( )
0
OIC I 90∆ =
$
:
0
3
IC OC.cos30 R. BC R 3
2
= = ⇒ =
0.25
0.25
0.25
0.25
2
(1,0 đ)
r 2 1
2r a 2 a 2r a a 2
a 2
−
≤ ⇔ ≤ − ⇔ + ≤
C/m được AB + AC = 2r + a
AB AC BC 2⇒ + ≤
2 2 2
AB 2AB.AC AC 2BC⇔ + + ≤
( ) ( )
2 2 2 2
2
AB 2AB.AC AC 2AB 2AC
AB AC 0 1
⇔ + + ≤ +
⇔ − ≥
BĐT (1) đúng
⇒
r 2 1
a 2
−
≤
, dấu “=” xảy ra khi
ABC∆
v/cân tại A.
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu V
(1,0 đ)
(1,0 điểm)
Do
x 3y 1+ ≥
, đặt
x 3y 1 a+ = +
với
a 0≥
⇒
x = 1 + a – 3y, thay vào
biểu thức C:
2 2
C 10y 6ay 6y a 2a 1⇒ = − − + + +
( )
( )
2
2
3 1 1 1
C 10 y a 1 a 2a
10 10 10 10
= − + + + + ≥
.
1
minC
10
⇒ =
khi:
( )
3
3 3 3
y
y a 1 0 y y
10
10 10 10
1
a 0 a 0 x 3y 1
x
10
=
− + = = =
⇔ ⇔ ⇔
= = + =
=
0.25
0.50
0.25
* Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
