Giáo Viên: NguyễnThanhSơn.
Trường THPT Chuyên Lam Sơn–ThanhHóa.


www.ViettelStudy.vn

ĐÁP ÁN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2013


Câu

Ý
Nội dung Điểm


I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 7,00
1 2,00

a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số


1,00


Tậpxácđịnh:


D \ 1 .





Sựbiếnthiên:
- Giớihạnvàtiệmcận:
lim lim 2;
x x
y y
® - ¥ ® + ¥
= =
tiệmcậnngang
y 2.



1 1
lim ,lim ;
 
 
   
x x
y y
tiệmcậnđứng
1.

x





0,25

-
Chiềubiếnthiên:
2
1
' 0, .
( 1)
    

y x D
x


Hàmsốnghịchbiếntrêncáckhoảng
( ;1)

và
(1; ).



0,25

Bảngbiếnthiên:

x -∞1+∞
y’ - -
2+∞

y

-∞2



0,25

Đồthịhàmsố:

y



2I

1
1x
01/2







0,25
1 b

Tìm m…  1,00



Toạđộgiaođiểmcủađồthị(C)vớiđườngthẳng
(d)lànghiệmhệphươngtrình
2
1
1
2
1
2
1
1
( 2) 0
( 1) 1 (*)




 
 
  

 

 
   


 


x
y
y
x
x
mx y m
m x

Đểđườngthẳng(d)cắtđồthị(C)tạihaiđiểmphânbiệtA,Bthìcầnvàđủlàhệ




0,25

Giáo Viên: NguyễnThanhSơn.
Trường THPT Chuyên Lam Sơn–ThanhHóa.


www.ViettelStudy.vn
cóhainghiệmphânbiệthaytươngđươngvớiphươngtrình(*)cóhainghiệm
phậnbiệt
1

x
.

Phươngtrình(*)cóhainghiệmphậnbiệt
1


x

0
 
m
.Giảsử
1 1
1 ;2 ; 1 ;2
   
   
   
   
A m B m
m m



0,25
Tacó:
 
2
2
2 1
2 2
 
   
 
 
AB m m
m

m
.
Do
0

m
nêntacó:
1
2 2 2
  AB m
m

Dấuđẳngthứcxảyrakhi
1

m
.

0,25
Từđósuyra
min
2 2
AB
đạtđượckhi
1

m
và





2;3 ; 0;1
A B
.
Vậy
1

m
làgiátrịcầntìm(thoảmãnđiềukiện
0

m
)
0,25
2
Giải phương trình
2
4 2 sin cos 5sin cos 0.
4

 
   
 
 
x x x x
(1)


1,00



2
(1) 4sin (cos sin ) 5sin cos 0
    
x x x x x 
2 3
4sin cos 4sin 5sin cos 0
    
x x x x x

2 2
4sin cos 4sin (1 sin ) sin cos 0
     
x x x x x x 
2 2
4sin cos 4sin cos sin cos 0
    
x x x x x x


0,25
4sin cos (sin cos ) sin cos 0
    
x x x x x x

(sin cos )(2sin 2 1) 0
   
x x x
sin cos 0

1
sin 2
2
 






x x
x


0,25
+)
sin cos 0 ( ).
4


     

x x x k k


0,25
+)
1
12
sin 2 ( ).

5
2
12





 

  


 



x k
x k
x k



0,25
3
Giải hệ phương trình:
2 2
2 4 1
( ; ).
3 12 12 3( ) 5


   



      



x y x y
x y
x xy y x y x y

1,00

Đ/k:
0
 
x y
(*).
Hệtươngđươngvới:
2 2
2( 2 ) 1
3( 4 4 ) 4

   


    



x y x y
x xy y x y



0,25
Giáo Viên: NguyễnThanhSơn.
Trường THPT Chuyên Lam Sơn–ThanhHóa.


www.ViettelStudy.vn
Đặt
2
0.
 



  


u x y
v x y
.Hệtrởthành
2 2
2 1
3 4
 



 

u v
u v

Hệtươngđươngvớihệ:
2
1 2
7 4 3 0
 


  

v u
u u
1
1
3
7
13
7





 






 












u
v
u
v


0,25
Với
1
1




 

u
v
loạidokhôngthoảmãnđiềukiện
0

v



0,25
Với
3
7
13
7

 







u
v
tacó:
3

2
7
169
49

  




 


x y
x y
317
147
190
147










x

y

Vậyhệcónghiệm
317 190
( ; ) ;
147 147
 

 
 
x y
thoảmãnđiềukiện(*)


0,25
4

Tính tích phân
/2
sin
0
(sin 2 2cos ). .

 

x
I x x e dx

1,00



/2
sin
0
 2(sin 1). .cos .

 

x
I x e xdx

Đặt
sin cos .
  
t x dt xdx

Với
0 0,
  
x t
với
/ 2 1.

  
x t

Suyra
1
0
2 ( 1) 


t
I t e dt




0,50

 
 
1 1
1
0
0 0
 2 ( 1) 2 ( 1) 2 (2 1) ( 1) 2
 
         
 
 
 
t t t
t d e t e e dt e e e


0,50
5

Tính thể tích … 1,00



a
2a
2a
D
H
C
A
B
S


0,25

Giáo Viên: NguyễnThanhSơn.
Trường THPT Chuyên Lam Sơn–ThanhHóa.


www.ViettelStudy.vn
GọiHlàhìnhchiếuvuônggóccủaSlênmặtđáy(ABCD).
Từgiảthiết(SCD)

(ABCD)và(SCD)

(ABCD)=CDnênsuyraHnằm
trênCDvàđườngthẳngHDlàhìnhchiếuvuônggóccủađườngthẳngSDlên
mặtphẳngđáy(ABCD).Hơnnữado

0
90

SDC
nênđiểmDnằmgiữaH,Cvà



SDH

Đặt

0
90

 SDC
,tacó
0
180
 
 
.Từgiảthiếtsuyra:
1
tan tan 2 cos
5
  
      

ÁpdụngđịnhlíhàmsốcosinchotamgiácSCDtacó:
2 2 2
2 . .cos

  SC SD DC SD DC

2 2
2
7 0
5
   
a
SD SD a
5
 
SD a




0,25
TrongtamgiácvuôngSHDcócạnhhuyền
5

SD a
,

1
cos cos cos
5
 
   SDH
,suyra:
1
5.cos 5.
5


  
HD a a a
.
Từđósuyra:
2

HC a
vàHlàđỉnhthứtưcủahìnhvuôngABCH.


0,25
TrongtamgiácvuôngSHDtacòncó:
.tan 2

 
SH HD a
.
Tacó:
3
1 1 1 1 4
. ( ) . . 2 .2 .2
3 3 2 6 3
   
SABD
V SH dt ABD SH AB BC a a a a


0,25


Chú ý :NếuthísinhchỉtínhđượcthểtíchmàkhôngchỉrõđượcvịtríđiểmH
trênmặtphẳngđáythìtrừđi0,25điểm.

6

Tìm giá trị nhỏ nhất …

1,00








Tacó
2 2 2 2 2 2 2 2 2
5 1 2 3 1 2 3 1 2
3 3 2 2
     
        
     
     
P
a b c a b b c c a

Ápdụngbấtđẳngthứcgiữatrungbìnhcộngvàtrungbìnhnhântacó:
2 2
3 1 2

3
 
a b ab
;
2 2
2 3 2
3 2
 
b c bc
;
2 2
1 2 2
2
 
c a ca

Suyra
2 2 2
5 1 2 1 1 1
2 2. 2
 
 
       
 
 
a b c
P
a b c ab bc ca abc




0,50
Giáo Viên: NguyễnThanhSơn.
Trường THPT Chuyên Lam Sơn–ThanhHóa.


www.ViettelStudy.vn
Dấuđẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi:
3 1
3
2 3
3 2
1 2
2













  

a

b
b c
a
c
a b c abc
3 1
2 3
1 2
1 1 1
1














  

a b
b c
c a
ab bc ca

2 2 2
3 1
2 3
1 2
3 6 2
1














  

a b
b c
c a
a a a
2
3 1
2 3
1 2

11
















a b
b c
c a
a
11
11
3
11
2






 






a
b
c

Vậy
min
2

P
.





0,50




II. PHẦN RIÊNG 3,00



A. Theo chương trình chuẩn
7.a
Lập phương trình đường thẳng BC …

1,00


K
G
H
E
I
A
B
C

Tacó
5
IA

ĐườngtrònngoạitiếptamgiácABCcóphươngtrình
2 2
( 1) ( 2) 5
   
x y 
GọiHl
à
trựctâmtamgiácABC,tacó
3


 
IH IG
.
Do

(1;2)
I
;
5 1
;
3 3
 
 
 
G
nên
2 5
;
3 3
 
 
 
 

IG
,
suyra
(3; 3)


H
.

0,25
GọiElàchânđườngcaohạtừAxuốngBCvàKlàgiaođiểmthứhaicủa
đườngcaoAHvớiđườngtròn(ABC)thìElàtrungđiểmHKhayBClàđường
trungtrựccủaHK.
ĐườngthẳngAHcóphươngtrình:
3 6 0
  
x y

0,25
Giáo Viên: NguyễnThanhSơn.
Trường THPT Chuyên Lam Sơn–ThanhHóa.


www.ViettelStudy.vn
ToạđộgiaođiểmKlànghiệm(kháctoạđộA)củahệ:
2 2
3 6 0
( 1) ( 2) 5
  


   

x y
x y
3

5
21
5










x
y
3 21
;
5 5
 

 
 
K

ToạđộtrungđiểmEcủaHKlà
9 3
;
5 5
 
 

 
E

0,25
ĐườngthẳngBCđiquaEnhận
(1; 3)
 

AH
làmvectơpháptuyếnnêncó
phươngtrình:
9 3
3 0 3 0
5 5
   
      
   
   
x y x y

VậyBCcó

phươngtrình:

3 0
 
x y

0,25
8.a

Lập phương trình mặt cầu …
1,00

Đườngthẳng
( )

cóphươngtrinhthamsố:
2 1
( ): 1
2
 


  


  

x t
y t
z t

Gọi
(2 1; 1; 2)
   
I t t t
làtâmmặtcầu(S),tacó
2 2 2 2
(2 1 1) ( 1 2) ( 2 1) 6 2
           

IA t t t t
(1)




0,25
GọihlàkhoảngcáchtừtâmIcủa(S)đến(P),tacó:
2 2 2
(2 1) ( 1) ( 2) 2 4
3
1 1 ( 1)
      
 
  
t t t t
h

Vì(P)cắt(S)theogiaotuyếnlàđườngtròncóbánkính
2 2
r
nênmặtcầu
cóbánkínhlà:
2
2 2
16
8
3
   
t

IA h r
(2)



0,25



Từ(1)và(2)suyra:
2
2
16
8 6 2
3
  
t
t
3
3




 

t
t

+)Với

3

t
,tacó
(7;2; 1) 56
  I IA
,mặtcầu(S):
2 2 2
( 7) ( 2) ( 1) 56
     
x y z

0,25
+)Với
3
 
t
,tacó
( 5; 4;5) 56
   I IA
,mặtcầu(S):
2 2 2
( 5) ( 4) ( 5) 56
     
x y z 
0,25
9.a
Cho các số phức
1 2
;



z z
thoả mãn:
1 2 1 2
3; 1
   
z z z z
. Tính
1 2

z z
.
1.00





Tacó:
2
. 
z z z
và
1 2 1 2 1 2 1 2
;
     
z z z z z z z z
.Dođó:
     



2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
3 . . . . .
            
z z z z z z z z z z z z z z z z z z

1 2 2 1
2 . .
  
z z z z

Suyra:
1 2 2 1
. . 1
 
z z z z


0,50
Talạicó:
     


2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
. . . . .
           
z z z z z z z z z z z z z z z z z z


1 2 2 1
2 . . 1
   
z z z z
.Vậy
1 2
1
 
z z
.
0,50
Giáo Viên: NguyễnThanhSơn.
Trường THPT Chuyên Lam Sơn–ThanhHóa.


www.ViettelStudy.vn


B. Theo chương trình nâng cao 3,00
7.b

1

Tìm tọa độ điểm M …. 1,00







d
d
1
d
2
M
A
1
I
A
2

Đườngtròn
( )
C
cótâm
(2; 1),

I
bánkính
2

R
.TacókhoảngcáchtừIđến
đườngthẳng(d)bằng
2 2
2.2 ( 1) 1
6
2

5
2 ( 1)
  
 
 
,suyrađườngtròn(C)không
cắt(d).SuyramọiđiểmMnằmtrên(d)đềunằmngoài(C)hayquaMluônkẻ
đượcđúng2tiếptuyếnphânbiệt
1 2
( );( )
d d

đến(C).
Gọi
1 2
( ; )


d d

làgócgiữahaitiếptuyến.Theođịnhnghĩagócgiữahaiđường
thẳngsuyra:
0 0
0 90

 
.
Vậygiátrịlớnnhấtcủagócgiữahaiđườngthẳng
tiếptuyếnlà
0

90


,hayhaitiếptuyếnvuônggócvớinhau.





0,25
GiảsửMlàđiểmthoảmãnyêucầubàitoánvà
1 2
;
A A
làcáctiếpđiểmtương
ứngcủa
1 2
( );( )
d d

với(C),suyra
1 2
IA MA
làmộthìnhvuông,cạnh
1
2

IA .
Suyra:
2 2

IM
.



0,25
VìMnằmtrên(d)nênsuyratoạđộMcódạng
( ;2 1)

M t t
.
Tacó
2 2
0
( 2) (2 2) 2 2
4
5



     

 

t
MI t t
t




0,25


+)
0 (0;1)
 
t M

+)
4 4 3
;
5 5 5
 
    
 
 
t M


0,25
8.b

Tính độ dài đường cao …


1,00


Đườngthẳng
1

( )
d
điquađiểm
(0;3;1)
M
cóvectơchỉphương
1
(2; 2; 1)
 

u

Đườngthẳng
2
( )
d
điquađiểm
(1;2; 1)

N
cóvectơchỉphương
2
(1; 1;1)


u

Tacó
1 2
, ( 3; 3;0)

 
  
 
 
u u
và
(1; 1; 2)
  

MN
thoảmãn
1 2
, . 0
 

 
  
u u MN

Vậy
1 2
( );( )
d d
đồngphẳng.
Mặtphẳngchứa
1 2
( );( )
d d
cóphươngtrình:
3 0

  
x y
vàtoạđộAthoảmãn
phươngtrìnhđónên
1 2
( );( )
d d
vàAđồngphẳng.



0,25

Giáo Viên: NguyễnThanhSơn.
Trường THPT Chuyên Lam Sơn–ThanhHóa.


www.ViettelStudy.vn
Vì
2
( )

C d
nênnócótoạđộdạng:
( 1; 2; 1)
   
C t t t

GọitrungđiểmAClà
3 3 4

; ;
2 2 2
   
 
 
 
t t t
E

DoEnằmtrênđườngtrungtuyếnđiquaBnêntacó:
3 3 4
3 1
3 3 6
2 2 2
3
2 2 1 4 4 2
   
 
   
      
   
t t t
t t t
t

Suyra
(4; 1;2)

C




0,25
GọiIlàhìnhchiếucủaAlên(d
2
)vàA’làđiểmđốixứngcủaAqua(d
2
).
Do(d
2
)làđườngphângiáctronggócCcủatamgiácABCnênA’nằmtrên
BC.
ToạđộIcódạng
( 1; 2; 1)
   
I u u u
.Tacó
2
. 0

 
AI u
0 (1;2; 1)
   
u I

Suyra
'(0;3;1)
A


0,25

ĐườngthẳngBClàđườngthẳngA’Ccóphươngtrình:
3 1
4 4 1
 
 

x y z

GọivéctơchỉphươngcủaBClà
3
(4; 4;1)
 

u
.
Suyra:
3 3
. ( 18; 18;0); 33
 
   
 
  
CA u u

TacóđườngcaohạtừAcủatamgiácABCchínhlàkhoảngcáchtừAđếnBC
vàbằng:
3
3

.
18 2
33
 
 
 
 

CA u
h
u



0,25

9.b


Tính tổng:
0 2 2 4 3 6 1006 2012
2013 2013 2013 2013 2013
3 3 3 3     S C C C C C

1,00


Xétsốphức:
1 3
cos sin

2 2 3 3
 
   z i i

Tacó:
 
2013
2013
2013
2013
1 3 1
1 3
2 2 2
 
   
 
 
 
z i

ÁpdụngkhaitriểnnhịthứcNewtontađược:



2013
2013
2013
1
1 3
2

  
z i









2 3 4
0 1 2 3 4
2013 2013 2013 2013 2013
2013
1
3 3 3 3
2

     


C i C i C i C i C






2012 2013

2012 2013
2013 2013
3 3

 


i C i C



0,25
Do
4
1 0
1
1 2
3






 

 

 


k n n
khi n
i khi n
i i
khi n
i khi n
nênsuyra:
   
2013 0 2 2 4 1006 2012
2013 2013 2013 2013
2013
1
Re 3 3 3
2
    z C C C C


0,25
Giáo Viên: NguyễnThanhSơn.
Trường THPT Chuyên Lam Sơn–ThanhHóa.


www.ViettelStudy.vn
Mặtkhác,theocôngthứcMoavrơtacó:
2013
2013
2013 2013
cos sin cos sin cos671 sin 671 1
3 3 3 3
   

 
 
       
 
 
z i i i

Suyra:


2013
Re 1
 
z

0,25
Vậytacó:
 
0 2 2 4 1006 2012
2013 2013 2013 2013
2013
1
3 3 3 1
2
     
C C C C

Hay
0 2 2 4 1006 2012 2013
2013 2013 2013 2013

3 3 3 2
     C C C C



0,25

