ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012-2013
Đề Số 4
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(C) của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1).
Câu II (2,0 điểm):
1. Giải phương trình:
2. Giải phương
trình:
Câu III (1,0 điểm): Tính tích
phân:
Câu IV (1,0 điểm):Cho hai hình
chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh S và S’ nằm
về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung
điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng
SH = S’K =h.
Câu V(1,0 điểm): Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:

PHẦN RIÊNG(3,0
điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy, cho đường tròn (C) có phương
trình: .
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với
(C) tại A.

2. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7;
-2; 3) và đường thẳng d có phương
trình . Tìm trên d những điểm M sao
cho tổng khoảng cách từ M đến A và
B là nhỏ nhất.
Câu VII.a (1,0 điểm): Giải phương trình
trong tập số phức:
B. Theo chương trình nâng cao.
2 4

1
x
y
x
−
=
+
2
2
1 3 2
1 3
x x
x x
= + + −
+ + −
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
2
1

ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
 
= +
 ÷
+
 
∫
9 9 9 9 9 9
6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6
x y y z z x
P
x x y y y y z z z z x x
+ + +
= + +
+ + + + + +
2 2
4 3 4 0x y x+ + − =
2 3
2 (t R)
4 2
x t
y t
z t
= +



= − ∈


= +

2
0z z+ =
Câu VI.b (2,0 điểm):
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0,
đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của
hình chữ nhật.
2. Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng:
.Chứng minh rằng hai
đường thẳng () và () cắt
nhau. Viết phương trình
chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của các góc tạo bởi () và ().
Câu VII.b (1,0 điểm): Giải hệ
phương trình: .

Hết

2 1 0 3 3 0
( ) ; ( ')
1 0 2 1 0
x y x y z
x y z x y
+ + = + − + =
 

∆ ∆
 
− + − = − + =
 
∆
'∆
∆
'∆
2 2 2
3 3 3
log 3 log log
log 12 log log
x y y x
x x y y
+ = +


+ = +

ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điể
m
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
CâuI 2.0
1. TXĐ: D = R\{-1}
Chiều biến thiên:
=> hs đồng biến trên mỗi khoảng
và , hs không có cực trị 0.25
Giới hạn:
=> Đồ thị hs có tiệm cận

đứng x= -1, tiệm cận ngang y = 2
BBT
x - -1 +
y’ + +
y

+ 2
2 -
0,25
0.25
+ Đồ thị (C):
0.25
2
6
' 0 x D
( 1)
y
x
= > ∀ ∈
+
( ; 1)−∞ −( 1; )− +∞
1 1
lim 2, lim , lim
x
x x
y y y
− +
→±∞
→− →−
= = +∞ = −∞

∞∞
∞
∞
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm , trục tung tại điểm (0;-4)
Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng
2. Gọi 2 điểm cần tìm là
A, B có 0.25
Trung điểm I của AB: I
Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0
0.25
Có :
0.25
=>
0,25
CâuII 2.0
( )
2;0
f(x)=(2x-4)/(x+1)
f(x)=2
x(t)=-1 , y(t)=t
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4

5
6
7
8
9
x
y
6 6
;2 ; ;2 ; , 1
1 1
A a B b a b
a b
   
− − ≠ −
 ÷  ÷
+ +
   
2 2
;
2 1 1
a b a b
a b
+ − −
 
+
 ÷
+ +
 
. 0AB MN
I MN


=


∈


uuur uuuur
0 (0; 4)
2 (2;0)
a A
b B
= −
 
=>
 
=
 
1. TXĐ: x 0,25
Đặt t==>
0,25
đc pt: t
3
- 2t - 4 = 0  t=2 0,25
Với t = 2 
0,25
2. 1,0
TXĐ: D =R
0,25
+ Với

0,25
+ Với , đặt t =
được pt : t
2
+ 4t +3 = 0
0.25
t = -1
Vậy :
0,25
Câu III 1,0
I
1
=, Đặt t = ,… Tính được I
1
=
0,5
, lấy tích phân từng phần 2 lần được
I
2
= e - 2 0,25
I = I
1
+ I
2
=
0,25
Câu IV 1,0
SABS’ và
SDCS’ là
hình bình

hành => M,
N là trung
điểm SB,
S’D :
[ ]
1;3∈ −
1 3 , t > 0x x+ + −
2
2
4
3 2
2
t
x x
−
+ − =
1
1 3 =2 ( / )
3
x
x x t m
x
= −

+ + − ⇔

=

2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +

2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
[ ]
sin 0
(sin ). 2 2(sin ) sin . 0
2 2(sin ) sin . 0
x cosx
x cosx x cosx x cosx
x cosx x cosx
− =

⇔ − + + + = ⇔

+ + + =

sin 0 ( )
4
x cosx x k k Z
π
π
− = ⇔ = + ∈
2 2(sin ) sin . 0x cosx x cosx+ + + =
sin (t 2; 2 )x cosx
 
+ ∈ −
 
1
3( )
t
t loai

= −

⇔

= −

2
( )
2
2
x m
m Z
x m
π π
π
π
= +


⇒ ∈

= − +

( )
4
2 ( )
2
2
x k k Z
x m m Z

x m
π
π
π π
π
π

= + ∈


= + ∈


= − +


2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
 
= +
 ÷
+
 

∫
1
ln
1 ln
e
x
dx
x x+
∫
1 ln x+
4 2 2
3 3
−
( )
2
2
1
ln
e
I x dx=
∫
2 2 2
3 3
e − −
M
N
A
B
D
C

S
S'
H
K
. .S ABCD S AMND
V V V= −
0,25
;
0.25
;
0.25
0.25
CâuV Có x, y, z >0, Đặt : a = x
3
, b = y
3
, c = z
3
(a, b, c >0 ; abc=1)đc :
0.25
mà (Biến đổi tương đương)
0.25
Tương tự:
=> (BĐT Côsi)
0.25
=> P
Vậy: minP = 2 khi x = y
=z =1
0.25
II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm)

A. Chương trình chuẩn
CâuVI.
a
2.0
1. A(0;2), I(-2 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’ 0,25
Pt đường thẳng IA : , => I’(),
0,25

0,25
(C’):
0.25
2. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t), AB//d. 0.25
Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB A’B
(MA+ MB)
min
= A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB
0.25
0,25
MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4) 0,25
CâuVII
.a
1.0
z = x + iy (), z
2
+ 0,25
0,25
. . .S AMND S AMD S MND
V V V= +
. .
. .

1 1
; . ;
2 4
S AMD S MND
S ABD S BCD
V V
SM SM SN
V SB V SB SC
= = = =
. . .
1
2
S ABD S ACD S ABCD
V V V= =
. . .
3 5
8 8
S AMND S ABCD S ABCD
V V V V= ⇒ =
2
5
24
V a h⇒ =
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
P
a ab b b bc c c ca a
+ + +
= + +

+ + + + + +
3 3 2 2
2 2 2 2
( )
a b a ab b
a b
a ab b a ab b
+ − +
= +
+ + + +
2 2
2 2
1
3
a ab b
a ab b
− +
≥
+ +
2 2
2 2
1
( ) ( )
3
a ab b
a b a b
a ab b
− +
=> + ≥ +
+ +

3 3 3 3
2 2 2 2
1 1
( ); ( )
3 3
b c c a
b c c a
b bc c c ca a
+ +
≥ + ≥ +
+ + + +
3
2
( ) 2. 2
3
P a b c abc≥ + + ≥ =
2, 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1P≥ = ⇔
3
2 3
2 2
x t
y t

=


= +


'I IA∈

2 3 ;2 2t t +
1
2 ' '( 3;3)
2
AI I A t I= ⇔ = =>
uur uuur
( )
( )
2
2
3 3 4x y− + − =
d
∈
≥
,x y R∈
2 2 2 2
0 2 0z x y x y xyi= ⇔ − + + + =
2 2 2 2
2 0
0
xy
x y x y
=


⇔

− + + =



(0;0); (0;1) ; (0;-1). Vậy: z = 0, z = i, z = - i 0,5
B. Chương trình nâng cao
Câu
VI.b
2.0
1. , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0
,
I = là trung
điểm của AC, BD.
0,25
I 0,25
M, A, C thẳng hàng  cùng phương
=> c
2
– 13c +42 =0 
0,25
c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 0.25
2.
Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất, ()
() = A 0.5
, Lấy N, sao cho: AM = AN => N
cân tại A, lấy I là trung điểm MN
=> đường phân giác của các góc tạo bởi () và () chính là đg thẳng AI 0.25
Đáp số:
0,25
Câu
VII.b
TXĐ:
0.25
0.25

0.25
(t/m TXĐ)
0,25
(7;3)BD AB B∩ =
(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c∈ ⇒ + ∈ ⇒ − ≠ ≠
2 1 2 17
;
2 2
a c a c+ + − +
 
 ÷
 
3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c∈ ⇔ − − = ⇔ = − ⇒ − −
,MA MC
uuur uuuur
7( )
6
c loai
c
=


=

∆
∩
'∆
1 3
;0;
2 2

 
−
 ÷
 
(0; 1;0) ( )M − ∈ ∆
( ')∈ ∆
AMN
∆
∆
'∆
1 2
1 3 1 3
2 2 2 2
( ) : ;( ) :
1 1 2 2 3 5 1 1 2 2 3 5
14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30
x z x z
y y
d d
+ − + −
= = = =
− − − −
+ + + − − −
0
0
x
y
>



>

2 2 2
3 3 3
log 3 log log
3 . 2 .
log 12 log log
12 . 3 .
x y
x y
x y y x
y x
x x y y
x y

+ = +
=


⇔
 
+ = +
=



2
3 . 2 .
x y
y x

y x
=

⇔

=

4
3
4
3
log 2
2log 2
x
y
=


⇔

=

