- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 6
Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 6_2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (101.53 KB, 2 trang )
PHÒNG GD- ĐT ĐỨC PHỔ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN – LỚP 6
Thời gian 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 07/4/2013
Câu 1: ( 4 điểm)
a)
1 1 1 1
10 15 21 120
A = + + + +
b) Tìm các số nguyên x và y biết rằng
( ) ( )
2 1 5x xy− − =
Câu 2: ( 5 điểm)
a) Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức
17
2 1
A
n
=
+
là số nguyên
b) Tìm số tự nhiên x biết rằng
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 100 8080x x x x x+ + + + + + + + + =
Câu 3: ( 5 điểm)
a) Cho hai phân số có tổng bằng 2013 lần tích của hai phân số đó. Tính
tổng số các nghịch đảo của hai phân số đó.
b) Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 và khi
chia 836 cho a có số dư là 8
Câu 4: ( 2 điểm)
Chứng tỏ rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì
2
1a −
chia hết cho 6
Câu 5: ( 4 điểm)
a)Trên đường thẳng xy lấy các điểm M, N, P sao cho độ dài MN = a và NP = 2a
( với a > 0) . Tính độ dài đoạn thẳng MP theo a
b) Cho tia Ox là phân giác của
·
MON
trong nửa mặt phẳng có chứa tia ON với bờ
là đường thẳng chứa tia OM, vẽ tia Oy sao cho
·
·
MOy MON>
. Chứng tỏ rằng:
·
·
·
2
MOy NOy
xOy
+
=
Giải:
Câu 1: a)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 15 21 120 2.5 5.3 7.3 7.4 15.7 15.8
A = + + + + = + + + + + +
1 1 1 1 1 1
2.5 5.3 7.3 7.4 15.7 15.8
= + + + + + +
÷ ÷ ÷
1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 2 3 7 3 4 15 7 8
= + + + + + +
÷ ÷ ÷
1 1 1 1 1 1 1 1 3
6 12 56 2.3 3.4 7.8 2 8 8
= + + + = + + + = − =
b) Ta có
( ) ( )
5 1 5 1.5= − − =
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1 5 1.5x xy⇒ − − = − − =
2x
−
-1 -5 1 5
1xy −
-5 -1 5 1
x
1 -3 3 7
y
-4 0 2
2
7
( loại)
Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 1; 4 ; 3;0 ; 3;2x y = − −
Câu 2: Để biểu thức
17
2 1
A
n
=
+
là số nguyên thì
17 2 1n +M
. Ta có Ư(17)
{ }
1; 17= ± ±
nên
2 1n +
-17 -1 1 17
n -9 -1 0 8
Vậy
{ }
9; 1;0;8n∈ − −
b)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 100 8080x x x x x+ + + + + + + + + =
( 1)
Từ 0 đến 100 có 101 số hạng của x nên ta có
101x
và từ 1đến 100 có tổng
100.101
101.50 5050
2
= =
nên vế trái của (1) là
101 5050x
+
ta có
3030
101 5050 8080 101 3030 30
101
x x x+ = ⇒ = ⇒ = =
. Vậy
30x
=
là số tự nhiên cần tìm
Câu 3:
a) Gọi hai phân số cần tìm là
x
và y với
; 0x y ≠
0xy⇒ ≠
. Theo đề ta có
2003x y xy+ =
(1) Do
0xy ≠
nên chia hai vế của (1) cho xy ta được
2013 1 1
2013
x y xy
xy xy x y
+
= ⇒ + =
. Nên tổng các nghịch đảo của hai phân số đó là 2013
b) Theo đề khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 nên ta có
355 . 13a m= +
với
*m N∈
và
13a >
hay
. 342 18.19a m = =
(2) và khi chia 836 cho a ta được số dư là 8 nên
ta có
836 . 8 . 828 18.46a n a n= + ⇒ = =
với
*n N∈
(3). Từ (2) và (3) suy ra
18a =
là số tự
nhiên cần tìm.
Câu 4: Khi a là một số lẻ không chia hết cho 3 nên a có dạng:
6 1a k= −
và
6 1a k= +
với
k N∈
. Khi
6 1a k= −
⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1 6 1 1 6 1 6 1 1 6 6 1 6 1 1a k k k k k k− = − − = − − − = − − − −
=
( )
2 2
36 6 6 1 1 36 12 6 6 2 6k k k k k k k− − + − = − = − M
với mọi k. Vậy
2
1 6a − M
.
Khi
6 1a k= +
⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1 6 1 1 6 1 6 1 1 6 6 1 6 1 1a k k k k k k− = + − = + + − = + + + −
=
( )
2 2
36 6 6 1 1 36 12 6 6 2 6k k k k k k k+ + + − = + = + M
với mọi k. Vậy
2
1 6a − M
.
Câu 5:a)
• Trường hợp N và P nằm khác phía với M
ta có M nằm giữa N và P nên ta có
2MN MP NP MP NP MN a a a
+ = ⇒ = − = − =
• Trường hợp N; P nằm cùng phía với M ta có N
nằm giữa M và P nên
2 3MP MN NP a a a= + = + =
b) Do Ox là tia phân giác của
·
MON
nên
·
·
1
2
xON MON=
. Do
·
·
MOy MON>
(gt) nên tia ON nằm
giữa hai tia OM và Oy nên
·
·
·
·
·
·
NOy NOM MOy NOy MOy MON+ = ⇒ = −
·
·
·
·
· ·
·
·
1 1
2 2
xOy yON NOx MOy MON MON MOy MON= + = − + = −
·
·
2
2
MOy MON−
=
· ·
·
·
·
2 2
MOy MOy MON MOy NOy+ − +
= =
