BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL
NĂM 2012

Môn: TOÁN Lớp: 9 Cấp THCS.
Thời gian thi: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 10/3/2012( TP HCM )

ĐIỂM CỦA TOÀN BÀI THI Các giám khảo
(Họ, tên và chữ kí)
SỐ PHÁCH
(Do Chủ tịch Hội đồng thi khu
vực ghi)
Bằng số Bằng chữ
Chú ý: - Đề thi gồm 05 trang,06 bài . Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
- Nếu đề bài không có yêu cầu riêng thì kết quả làm tròn đến 5 chữ số thập phân .
Bài 1 (5 điểm) :
Câu 1 : Tính giá trị của biểu thức:
98 97 96
32 31 30
1
1
+ + + + +
=
+ + + + +
x x x x
A
x x x x
Khi x = 2

Câu 2 : Rút gọn :
1 1 1 1 1 1

1 5 2 6 5 9 6 10 2009 2013 2010 2014
B = + + + + + +
+ + + + + +
(kết quả làm tròn đến 4 chữ số thập phân)
1. Tóm tắt cách giải
Kết quả : A =
2. Tóm tắt cách giải
Kết quả : A =
1
Bài 2 (5 điểm) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các điểm A và B cùng
thuộc đồ thị hàm số
2
y x 2
3
= −
, các điểm B và C cùng thuộc đồ thị hàm số
5
y x 3
3
= −
, các
điểm C và A cùng thuộc đồ thị hàm số
3
y x 4
2
= − +
Câu 1 : Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Câu 2 : Tính số đo các góc trong B , C của tam giác ABC theo “ độ , phút , giây ”.
1. Kết quả:
2. Kết quả :
Bài 3 (5 điểm) :
Câu 1. Cho một hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O.
đường trung trực d của đoạn thẳng AB tại điểm H cắt BD tại điểm M và cắt AC tại điểm N .
Biết NA = a , MB = b. Tính diện tích S của hình thoi ABCD khi a = 2603,1931cm ,
b = 26032,012cm
Câu 2 . Một mảnh đất phẳng có dạng hình thang cân và chiều dài hai đáy là 40m và
100m còn chiều cao của hình thang đó là 35m.
a) Tính độ dài cạnh bên mảnh đất.
b) Trên mảnh đất đó, người ta làm 2 đường đi có chiều rộng bằng nhau, tim của mỗi
đường tương ứng là đường trung bình của hình thang và trục đối xứng của nó. Xác định chiều
rộng của đường đi, biết rằng diện tích của đường đi chiếm
1
25
diện tích mảnh đất.
1. Tóm tắt cách giải
Kết quả S =
2
2. a) Kết quả :
b) Tóm tắt cách giải
Kết quả :
Bài 4 (5 điểm) Cho dãy số
{ }
n
U
với n là số tự nhiên khác 0 , có U
1
= 1 , U

2
= 2 ,U
3
= 3 và
U
n+3
= 2U
n+2
– 3U
n+1
+ 2U
n
.
Câu 1. Viết quy trình bấm máy để tính U
n+3
rồi tính U
19
, U
20
, U
66,
U
67
; U
68.
Câu 2. Viết quy trình bấm máy để tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của dãy số đó.
1. Viết quy trình bấm máy
Kết quả
2. Viết quy trình bấm máy
Kết quả

3
Bài 5 (5 điểm)
Câu 1. Khi chia đa thức
81 57 41 19
( ) 2 1= + + + + +P x x ax bx cx x
cho (x –1) được
số dư là 5 và khi chia P(x) xho ( x – 2) được số dư là – 4
a) Hãy tìm các số thực A , B biết đa thức
81 57 41 19
( ) = + + + + +Q x x ax bx cx Ax B

chia hết cho đa thức
2
3 2− +x x
b) Với giá trị của A và B vừa tìm được , hãy tính giá trị của đa thức

81 57 41 19
( ) ( ) ( ) 2 2 2 1= − + + − + + +R x Q x P x x x x x x
tại x = 1,032012
Câu 2. Tìm hai số dương a , b sao cho phương trình
3 2 2
17 0− + − =x x ax b
Có 3 nghiệm nguyên
1
x
,
2
x
,
3

x

Biết rằng nếu phương trình bậc 3
3 2
0+ + + =Ax Bx Cx D
có 3 nghiệm
1
x
,
2
x
,
3
x


thì

1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3

+ + = −



+ + =




= −


B
x x x
A
C
x x x x x x
A
D
x x x
A

1. a) Tóm tắt cách giải
Kết quả :
b) Kết quả :
2. Tóm tắt cách giải
4
Bài 6. ( 5 điểm)
Một tấm vải hình chữ nhật có chiều rộng 1,2m , chiều dài 350m và được cuộn chặt xung quanh
một lõi hình trụ có đường kính là 10cm liên tục cho đến hết, sao cho mép vải theo chiều rộng
luôn song song với trục của hình trụ.
Cho biết độ dày của cuộn vải đó sau khi cuộn hết tấm vải , biết rằng tấm vải có độ dày
như nhau là 0,15mm ( kết quả tính theo xăng- ti- mét và làm tròn đến 3 chữ số thập phân )
Tóm tắt cách giải
Kết quả :
5
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL
NĂM 2012
Môn: Toán Lớp 9 Cấp THCS

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Bài 1 (5 điểm)
Nội dung Điểm
1 Viết được tóm tắt cách giải và kết quả A = 73 786 976 303 428 141 057
2. Viết được tóm tắt cách giải và kết quả B = 21,8325
2,5
2,5
Bài 2 (5 điểm)
Nội dung Điểm
1. Tìm được tọa độ 3 điểm :
A( 4,48622 ; 0,11482 ) ; B = (3,65028 ; –0,27924) ; C ( 4,34410 ; 0,23790)
2.
µ
0
B 11 27 35≈
' ''
;
µ
0 ' ''
C 102 24 26≈
2,5
2,5
Bài 3 (5 điểm)
Nội dung Điểm
1. Viết được tóm tắt cách giải và kết quả S = 5 314 454,712 cm
2
2. a) Kết quả : 46,09772 m
b) Viết được tóm tắt cách giải và kết quả chiều rộng lối đi 0,94178 m
2,5
0,5

2,0
Bài 4 (5 điểm)
Nội dung Điểm
1. Viết đúng quy trình và tính được U
19
= 315 ; U
20
= – 142
U
66
= 2 777 450 630 ; U
67
= –3 447 965 925 ; U
68
= –9 002 867 182
2. Viết quy trình đúng và tính được S
20
= 272
2,5
2,5
Bài 5 (5 điểm)
Nội dung Điểm
1.a) Viết được tóm tắt cách giải và kết quả A = 11 ; B = –13
b) Viết được tóm tắt cách giải và kết quả :
a 80
b 8
=


=


;
a 80
b 10
=


=

;
a 90
b 12
=


=

;
a 88
b 12
=


=

1,5
2,5
Bài 6 (5 điểm)
Nội dung Điểm
Viết được tóm tắt cách giải và kết quả 8,865cm 5,0

Ghi Chú : Các cách giải khác nếu đúng thì giám khảo cho điểm theo từng câu , từng ý
6
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL
NĂM 2012
Môn: Toán Lớp 9 Cấp THCS
HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP SỐ
Bài 1 (5 điểm) :
Câu 1 : Tính giá trị của biểu thức:
98 97 96
32 31 30
1
1
+ + + + +
=
+ + + + +
x x x x
A
x x x x
Khi x = 2
Câu 2 : Rút gọn :
1 1 1 1 1 1

1 5 2 6 5 9 6 10 2009 2013 2010 2014
B = + + + + + +
+ + + + + +
kết quả làm tròn đến 5 chữ số thập phân
1. Tóm tắt cách giải
98 97 96 99
32 31 30 33
( 1)( 1) 1

( 1)( 1) 1
x x x x x x
A
x x x x x x
− + + + + + −
= =
− + + + + + −
=
33 66 33
66 33
33
( 1)( 1)
1
1
x x x
x x
x
− + +
= + +
−
( *)
Thay x = 2 vào (*) ta có : A = 2
66
+2
33
+ 1 = (2
33
)
2
+ 2

33
+ 1 = 8589934592
2
+ 8589934592 + 1
=(85899.10
5
+ 34592)
2
+ 8589934592 + 1
=85899
2
.10
10
+2.85899.34592.10
5
+ 34592
2
+ 8589934592 + 1
85899
2
.10
10
7 3 7 8 6 3 8 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2.85899.34592.10
5
5 9 4 2 8 3 6 4 1 6 0 0 0 0 0
34592
2
1 1 9 6 6 0 6 4 6 4
34592

2
8 5 8 9 9 3 4 5 9 2
1 1
A 7 3 7 8 6 9 7 6 3 0 3 4 2 8 1 4 1 0 5 7
Kết quả : A = 73 786 976 303 428 141 057
2. Ta có :
1 1 1 1 1 1

1 5 2 6 5 9 6 10 2009 2012 2010 2014
= + + + + + +
+ + + + + +
B
=
1 1 1 1 1 1

1 5 5 9 2009 2013 2 6 6 10 2010 2014
   
= + + + + + + + +
 ÷  ÷
+ + + + + +
   

( ) ( )
1 1
1 5 5 9 2009 2013 2 6 6 10 2010 2014
4 4
= − − + − + − − − − + + + −
( )
1
1 2013 2 2014 21,83246658

4
= − − + − =
Kết quả : A = 21, 8325
7
Bài 2 (5 điểm) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các điểm A và B cùng
thuộc đồ thị hàm số
2
y x 2
3
= −
, các điểm B và C cùng thuộc đồ thị hàm số
5
y x 3
3
= −
, các
điểm C và A cùng thuộc đồ thị hàm số
3
y x 4
2
= − +
Câu 1. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Câu 2. Tính số đo các góc trong B , C của tam giác ABC theo “ độ , phút , giây ”.
1. + Tọa độ diểm A là nghiệm của hệ pt
2
y x 2
3
3
y x 4
2


= −




= − +


2x 3y 6
3x 2y 8

− =

⇔

+ =


Giải hệ pt trên máy
x 4,486216354
y 0,11482267
≈


≈

Do đó A( 4,48622 ; 0,11482 )
+ Tọa độ diểm B là nghiệm của hệ pt
2

y x 2
3
5
y x 3
3

= −




= −


2x 3y 6
5x 3y 9

− =

⇔

− =


Giải hệ pt trên máy
x 3,65028154
y 0,279240779
≈



≈ −

Do đó B = (3,65028 ; –0,27924)
+ Tọa độ diểm C là nghiệm của hệ pt
5
y x 3
3
3
y x 4
2

= −




= − +


5x 3y 9
3x 2y 8

− =

⇔

+ =


Giải hệ pt trên máy

x 4,344098806
y 0,237900077
≈


≈

Do đó C ( 4,34410 ; 0,23790)
Gọi α
1
, α
2
, α
3
lần lượt là góc tạo bởi các đường thẳng
2
y x 2
3
= −
,
5
y x 3
3
= −
,
3
y x 4
2
= − +
với trục Ox

Ta có :
1
2
tan
3
α
=
;
2
5
tan
3
α
=
;
0
3
3
tan(180 )
2
α
− =
.Khi đó
µ
2 1
B
α α
= −
;
µ

3 2
C
α α
= −
Quy trình bấm máy : SHIFT tan
-1
( 2 ÷ 3 SHIFT STO A

SHIFT tan
-1
( 5 ÷ 3 SHIFT STO B

180
o, , ,
–

SHIFT tan
-1
( 3 ÷ 2 SHIFT STO C
ALPHA B – ALPHA A =
o, , ,
(
µ
0 ' '
11 27 35,36B ≈
)
ALPHA C – ALPHA B =
o, , ,
(
µ

0 ' '
102 24 ,26.5C ≈
)
Kết quả
µ
0
B 11 27 35=
' ''
;
µ
0 ' ''
C 102 24 26=
8
Bài 3 (5 điểm) :
Câu 1. Cho một hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O.
đường trung trực d của đoạn thẳng AB tại điểm H cắt BD tại điểm M và cắt AC tại điểm N .
Biết NA = a , MB = b. Tính diện tích S của hình thoi ABCD khi a = 2603,1931cm ,
b = 26032,012cm
Câu 2 . Mảnh đất phẳng có dạng hình thang cân và chiều dài hai đáy là 40m và 100m
còn chiều cao của hình thang là 35m.
a) Tính độ dài cạnh bên mảnh đất.
b) Trên mảnh đất đó ,người ta làm hai đường đi có chiều rộng bằng nhau, tim của mỗi
đường tương ứng là đường trung bình của hình thang và trục đối xứng của nó. Xác định chiều
rộng của đường đi, biết rằng diện tích của đường đi chiếm
1
25
diện tích mảnh đất.
1. Tóm tắt cách giải
∆ AHN ∼ ∆MBH (g.g)
AN HN a a a

HN HB HA
MB HB b b b
⇒ = = ⇒ = =
(1) ( Do HA =HB)
* ∆ AHN ∼ ∆AOB (g.g)
AH HN
AO OB
⇒ =
OB HN HN a a
OB OA
OA AH HB b b
⇒ = = = ⇒ =
* ∆AHN vuông tại H ⇒ HN
2
+ HA
2
= AN
2
( 2)
Từ ( 1) và ( 2) ⇒
2 2
2 2 2 2 2
2 2
1
a a
HA HA a HA a
b b
 
+ = ⇒ + =
 ÷

 
⇒
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
4
4
a b a b
HA AB HA
a b a b
= ⇒ = =
+ +
* ∆AOB vuông tại O ⇒ OA
2
+ OB
2
= AB
2
⇒
2
2 2
2
a
OA OA
b
+
=
2 2
2 2
4a b

a b+
⇒
2 4
2
2 2 2
4
( )
a b
OA
a b
=
+
⇒
2
2 2
2ab
OA
a b
=
+
và
2 2
2 2 2 2
2 2
.
a ab a b
OB
b a b a b
= =
+ +

Vậy S
ABCD
= 2 OA.OB = 2.
2
2 2
2ab
a b+
.
2
2 2
2a b
a b+
=
3 3
2 2 2
8
( )
a b
a b+
=
Kết qủa S =5314454,712 cm
2
2. a) ta có :
2 2
35 30 46,09772229+ ≈

Kết quả : độ dài cạnh bên : 46,09772 m
b) Gọi chiều rộng lối đường đi là x ( m ) ĐK 0 < x < 35
Diện tích đường đi dạng hình chữ nhật: 35x
Diện tích đường đi dạng hình thang : 70x ( đường trung bình x chiều cao)

Diện tích cả hai đường đi là : 35x +70x –x
2
Diện tích hình mảnh đất :
70.35 2450
=
Theo đề bài ta có phương trình : 35x +70x – x
2
=
1
25
.2450
⇔ x
2
– 105x + 98 = 0 ; giải phương trình ta có :
0,94178048
104,0582195
x
x
≈


≈

Kết quả x = 0,94178 m
9
D
N
O
H
M

C
B
A
30m
30m
100m
40m
35m
x
x
Bài 4 (5 điểm) Cho dãy số
{ }
n
U
với n là số tự nhiên khác 0 , có U
1
= 1 , U
2
= 2 ,U
3
= 3 và
U
n+3
= 2U
n+2
– 3U
n+1
+ 2U
n
.

Câu 1. Viết quy trình bấm máy để tính U
n+3
rồi tính U
19
, U
20
, U
66
, U
67
; U
68.
Câu 2. Viết quy trình bấm máy để tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của dãy số đó.
1. Viết quy trình bấm máy
tính U
19
, U
20
, U
67
; U
68.
1 SHIFT STO A
2 SHIFT STO B
3 SHIFT STO C
3 SHIFT STO D ( biến đếm )
D = D + 1: A = 2C–3B + 2A : D = D+1: B = 2A–3C +2B : D = D +1: C= 2B–3A + 2C = = =
Kết quả U
19
= 315 ; U

20
= –142 ;
U
66
= 2 777 450 630 U
67
= –347 965 925 ; U
68
= -9 006 867 182.

2. Viết quy trình bấm máy
1 SHIFT STO A
2 SHIFT STO B
3 SHIFT STO C
3 SHIFT STO D ( biến đếm )
6 SHIFT STO E ( tổng 3 số hạng đầu tiên )
D = D + 1: A = 2C – 3B + 2A: E = E +A : D = D+1: B = 2A–3C +2B: E = E + B : D = D+1:
C = 2B – 3A + 2C : E = E + C = = =
Kết quả : S
20
= 272
Bài 5 (5 điểm)
Câu 1. Khi chia đa thức P(x) =
81 57 41 19
( ) 2 1= + + + + +P x x ax bx cx x
cho (x –1) được
số dư là 5 và khi chia P(x) xho ( x – 2) được số dư là –4
a) Hãy tìm các số thực A , B biết đa thức
81 57 41 19
( ) = + + + + +Q x x ax bx cx Ax B


chia hết cho đa thức
2
3 2− +x x
b) Với giá trị của A và B vừa tìm được , hãy tính giá trị của đa thức

81 57 41 19
( ) ( ) ( ) 2 2 2 1= − + + − + + +R x Q x P x x x x x x
tại x = 1,032012
Câu 2. Tìm hai số dương a , b sao cho phương trình
3 2 2
17 0− + − =x x ax b
Có 3 nghiệm nguyên
1 2 3
, , x x x
.
Biết rằng nếu phương trình bậc 3 :
3 2
0+ + + =Ax Bx Cx D
có 3 nghiệm
1 2 3
, , x x x

thì
10

1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3


+ + = −



+ + =



= −


B
x x x
A
C
x x x x x x
A
D
x x x
A

1. Tóm tắt cách giải
a)
81 57 41 19
( ) 2 1= + + + + +P x x ax bx cx x
cho (x –1) được số dư là 5
⇒
(1) 1 2.1 1 5P a b c= + + + + + =
⇒
1a b c+ + =

+ khi chia P(x) xho ( x – 2) được số dư là – 4
⇒
81 57 41 19
(2) 2 2 2 2 2.2 1 4P a b c= + + + + + = −
⇒
81 57 41 19
2 2 2 2 9a b c+ + + = −
+ Có
81 57 41 19
( ) = + + + + +Q x x ax bx cx Ax B
chia hết cho đa thức
2
3 2− +x x
=
( 1)( 2)x x− −
⇒
(1) 0 1Q a b c A B= = + + + + +
⇒
2A B+ = −
( 1)

81 41 19 19
(2) 0 2 2 2 2 2Q a b c A B= = + + + + +
⇒ 2
2 9A B
+ =
( 2)
Giải hệ phương trình ( 1) và (2) ⇒ A = 11 ; B = –13
Kết quả : A = 11 ; B = –13


b) Kết quả : R(1,032012) = 13,57512
2. Tóm tắt cách giải
Do a , b dương nên
3 2 2
17 0x x ax b− + − <
với mọi
0x
≤
nên phương trình có các nghiệm
nguyên thì các nghiệm đó đều là nguyên là số dương.
Ta có :
1 2 3
1 2 1 3 2 3
2
1 2 3
17x x x
x x x x x x a
x x x b

+ + =

+ + =


=



vì
1 2 3

17x x x+ + =
với
1 2 3
; ;x x x
là các số nguyên dương , ta có các khả năng xãy ra :
1
x
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
2
x
1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5
3
x
15 14 13 12 11 10 9 8 13 12 11 10
1
x
2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5
2
x
6 7 3 4 5 6 7 4 5 6 5 6
3
x
9 8 11 10 9 8 7 9 8 7 7 6
Kiểm tra trên máy :
1 2 3
x x x b=
Ta được :
( ) { }
, (80,8);(80,10);(90,12);(88,12)a b ∈
tương ứng với các nghiệm ( 1, 8, 8) ;(2, 5, 10) ;( 3, 6, 8) ; ( 4, 4, 9)

Kết quả :
80
8
a
b
=


=

;
80
10
a
b
=


=

;
90
12
a
b
=


=


;
Bài 6. ( 5 điểm)
11
Một tấm vải hình chữ nhật có chiều rộng 1,2m , chiều dài 350m và được cuộn chặt quanh một
lõi hình trụ có đường kính là 10cm liên tục cho đến hết, sao cho mép vải theo chiều rộng luôn
song song với trục của hình trụ.
Cho biết độ dày của cuộn vải đó sau khi cuộn hết tấm vải , biết rằng tấm vải có độ dày
như nhau là 0,1 5mm ( kết quả tính theo xăng ti mét và làm tròn đến 3 chữ số thập phân )
Tóm tắt cách giải
Giả sử sau khi cuộn hết tấp vải ta được n vòng, khi đó :
Chiều dài của vòng thứ 1 của cuộn vải là : 2πR
1
= π.100mm
Chiều dài của vòng thứ 2 của cuộn vải là : 2πR
2
= π.( 100 + 2.0,15) mm
Chiều dài của vòng thứ 3 của cuộn vải là : 2πR
3
= π( 100 + 4.0,15) mm
Chiều dài của vòng thứ 4 của cuộn vải là : 2πR
4
= π( 100 + 6.0,15) mm

Chiều dài của vòng thứ n của cuộn vải là : 2πR
n
= π[100 +2(n –1).0,15] mm
Tổng chiều dài n vòng của cuộn vải là :
S
n
= π.100 + π.(100 + 2.0,15) + π( 100 + 4.0,15) + π(100 + 6.0,15) + + π[100 +2(n –1).0,15]

= 350 000
⇔ 100 π.n + 2.0,15.π ( 1 + 2 + 3 + 4 + + n -1) = 350 000
⇔ 100 π.n + 2.0,15. π
( 1)
2
n n −
= 350 000
⇔ 0,15π n
2
+ 99,85π n – 350 000 = 0
⇒ n ≈ 591,0178969 vòng
Do đó chiều dày của cuộn vải ( trừ lõi ) là : 591,0178969 . 0,15 = 8,865 cm
Kết quả : 8,865 cm
12