i
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của
GS. TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng.Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng
biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng, người đã quan tâm,
động viên tác giả và hướng dẫn tác giả trong quá trình hoàn thành luận
văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùng
với các thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt
đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả chân thành cảm ơn Sở GD và ĐT Hà Nội, Trường THPT
Liên Hà đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn
thành tốt luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân và bạn bè đã
động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thị Bích Liên
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng. Luận văn không hề
trùng lặp với đề tài khác.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thị Bích Liên
iii
Mục lục
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị. 4

1.1. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Trung bình hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Không gian W
m
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞ . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Không gian
o
W
m
p
(Ω) , 1 ≤ p < ∞ . . . . . . . . . . 12
1.2. Thác triển yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Toán tử đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 14
2.1. Định nghĩa hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 14
2.2. Nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng
cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
iv
2.3. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyper-
bolic đối xứng cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. Sự duy nhất nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hy-
perbolic đối xứng cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1. Toán tử tích phân ma trận . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2. Sự duy nhất nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . 30
3 Phương trình hyperbolic cấp hai 32
3.1. Định nghĩa phương trình hyperbolic cấp hai . . . . . . . 32
3.2. Mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp
một và phương trình hyperbolic cấp hai . . . . . . . . . 34

Kết luận 45
Tài liệu tham khảo 46
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là một môn quan trọng của Toán học.
Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai đặc thù cơ bản. Thứ nhất
là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán Vật lý, vì quá trình nghiên
cứu các bài toán Vật lý dẫn đến các bài toán phương trình đạo hàm
riêng. Những nhà tiên phong trong lĩnh vực này là: J.D’Alembert (1717-
1783), L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli (1700-1782), J.Lagrange (1736-
1813), P.Laplace (1749-1827), S.Poisson (1781-1840), J.Fourier (1768-
1830). . . .Thứ hai là mối liên hệ mật thiết của phương trình đạo hàm
riêng với các ngành Toán học khác như: Giải tích hàm, Lý thuyết hàm,
Tôpô, Đại số, Giải tích phức. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
hiện đại gồm có: phương trình loại eliptic, phương trình loại parabolic,
phương trình loại hyperbolic. Không gian nghiệm đối với ba loại phương
trình này là một vấn đề cơ bản trong việc nghiên cứu về đạo hàm riêng
tuyến tính. Nghiệm cổ điển và nghiệm suy rộng có mối liên hệ mật thiết
với nhau.Với mỗi loại phương trình khi nghiên cứu bao giờ cũng đặt ra
câu hỏi: nghiệm suy rộng của phương trình có tồn tại không, có duy nhất
không, phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã cho của bài toán không?
Trong phương trình loại hyperbolic cũng có nhiều dạng: hệ phương trình
hyperbolic đối xứng cấp một, phương trình hyperbolic cấp hai, phương
2
trình hyperborlic mạnh Khi nghiên cứu về loại hyperbolic tuyến tính
ta thấy phương trình hyperbolic cấp hai có mối quan hệ mật thiết với
hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một.
Để làm sáng tỏ mối quan hệ trên và góp phần giúp cho những người
học phương trình đạo hàm riêng, những người yêu phương trình đạo hàm

riêng hiểu rõ hơn, sâu hơn nên nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn của GS.TSKH.
Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài.
“Mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối
xứng cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là tìm hiểu sâu hơn về phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính, cụ thể là: Mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic
đối xứng cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn
là:
- Nghiên cứu về hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một.
- Nghiên cứu về nghiệm suy rộng của hệ phương trình hyperbolic đối
xứng cấp một.
-Nghiên cứu phương trình hyperbolic cấp hai.
-Nghiên cứu về mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng
3
cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu về hệ phương trình
hyperbolic đối xứng cấp một, nghiên cứu phương trình hyperbolic cấp
hai, nghiên cứu mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng
cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp hàm trung bình.
- Phương pháp đánh giá bất đẳng thức.
- Phương pháp đánh giá hội tụ.
6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của
đề tài
Đề tài nghiên cứu về mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối

xứng cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai.
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị.
1.1. Không gian Sobolev
1.1.1. Trung bình hóa
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử θ(x) là một hàm không âm thuộc
o
C
∞
(R
n
)
sao cho
θ(x) = θ(−x), θ(x) = 0 nếu |x| > 1 và

R
n
θ(x) = 1.
Hàm θ(x) được gọi là nhân trung bình hóa.
Ví dụ 1.1.1. Hàm
θ (x) =



Ce
−
1
1−|x|
2

, |x| < 1,
0, |x| ≥ 1.
với hằng số C được chọn thích hợp để điều kiện trong định nghĩa1.1.1
được thoả mãn.
5
Với h > 0 , ta đặt
θ
h
(x) = h
−n
θ

x
h

, x ∈ R
n
.
Khi đó
θ
h
∈
o
C
∞
(R
n
) , θ
h
(x) ≥ 0, θ

h
(x) = 0 nếu |x| ≥ h,

R
n
θ
h
(x) dx = 1.Do vậy
θ
h
(x) = h
−n
θ

x
h

gọi là nhân trung bình hóa (có bán kính h) .
Định nghĩa 1.1.2. Nếu hàm u ∈ L
p
(Ω), p ≥ 1, thì hàm
u
h
(x) = h
−n

Ω
θ

x − y

h

u(y)dy
được xác định trong R
n
và trơn vô hạn. Khi đó, hàm u
h
(x) được gọi là
trung bình hóa hay hàm trung bình của hàm u.
Định lý 1.1.1. Giả sử hàm u ∈ L
p
(Ω) với p ≥ 1. Khi đó,
lim
h→0
u
h
− u
L
p
(Ω)
= 0
.
Chứng minh. Đặt u(x) = 0 đối với x ∈ R
n
/Ω. Khi đó,
u
h
(x) = h
−n


Ω
θ

x − y
h

u(y)dy =

R
n
θ(z)u(x + hz)dz.
Bởi vậy,
u
h
(x) − u(x) =

R
n
θ(z)[u(x + hz) − u(x)]dz
|u
h
(x) − u(x)|
p
≤ C

|z|<1
|u(x + hz) − u(x)|
p
dz.
6

Sau khi lấy tích phân bất đẳng thức này theo x và đổi thứ tự lấy tích
phân nhờ Định lí Fubuni ta nhận được

Ω
|u
h
(x) − u(x)|
p
≤ C

|z|<1
dz

Ω
|u(x + hz) − u(x)|
p
dx
Do tính liên tục toàn cục của hàm thuộc không gian L
p
(Ω), p ≥ 1, tích
phân sau cùng dần đến không khi h → 0. Định lí được chứng minh.
1.1.2. Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
. Một hàm
v(x) ∈ L
1
(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm u(x) ∈ L
1
(Ω)

nếu

Ω
u(x)D
α
ψ(x)dx = (−1)
|α|

Ω
v(x)ψ(x)dx,
với mọi ψ ∈
◦
C
∞
(Ω), ở đó α = (α
1
, , α
n
), |α| = α
1
+ + α
n
.
Kí hiệu:
D
α
= D
α
x
=

∂
|α|
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
∂x
α
n
n
≡ ∂
|α|
/∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
∂x
α
n
n
Chú ý 1.
1. Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm u(x) có đạo hàm thông

thường liên tục cấp α thì nó có đạo hàm suy rộng cấp α. Từ định
nghĩa đạo hàm suy rộng rút ra hàm v(x) có không quá một đạo
hàm suy rộng.
7
2. Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa
thông thường.Ví dụ xét hàm u(x) = |x|, x ∈ (−1, 1). Dễ thấy tại
x = 0, hàm số không tồn tại đạo hàm cổ điển. Tuy nhiên ta có thể
chỉ ra hàm số có đạo hàm suy rộng tại điểm x = 0.
Thật vậy:
Giả sử v(x) là đạo hàm suy rộng của u(x) = |x|, x ∈ (−1, 1). Khi
đó ta có
1

−1
|x|ψ

(x) dx = −
1

−1
v (x)ψ (x) dx, ∀ψ ∈
o
C
∞
(−1; 1)
T =
1

−1
|x|ψ


(x) dx =
0

−1
−x.ψ

(x) dx +
1

0
x.ψ

(x) dx
= −xψ (x)


0
−1
+


0

−1
ψ (x) dx −
1

0
ψ (x) dx



+ xψ (x)


1
0
= −
1

−1
signx.ψ (x) dx
Vậy v (x) = signx là đạo hàm suy rộng của u(x) = |x|, x ∈ (−1, 1).
3. Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω thì nó cũng có
đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω

⊂ Ω. Thật vậy, giả sử u(x)
có đạo hàm suy rộng trong miền Ω là hàm v(x) và ψ(x) là một hàm
bất kì thuộc
◦
C
∞
(Ω

), Ω

⊂ Ω. Khi coi ψ(x) = 0 với x ∈ Ω\Ω

, ta
8

nhận được ψ ∈
◦
C
∞
(Ω

). Ta có hệ thức:

Ω

u(x)D
α
ψ(x)dx =

Ω
u(x)D
α
ψ(x)dx
= (−1)
|α|

Ω
v(x)ψ(x)dx = (−1)
α|

Ω

v(x)ψ(x)dx
Từ đó ta nhận được u(x) có đạo hàm suy rộng trong miền Ω


cũng
chính là hàm v(x). Đạo hàm suy rộng trong miền Ω

được gọi là thu
hẹp của đạo hàm suy rộng trong Ω vào Ω

.
4. D
α+β
v = D
α
(D
β
v), aD
α
v
1
+ bD
α
v
2
= D
α
(av
1
+ bv
2
), ở đó a, b là các
hằng số tuỳ ý.
5. Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy

rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung, đạo hàm
suy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa
thông thường. Tuy nhiên không phải là tất cả, chẳng hạn từ sự tồn
tại đạo hàm suy rộng cấp α không suy ra được sự tồn tại đạo hàm
suy rộng cấp nhỏ hơn α.
Định lý 1.1.2. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
, Ω

là miền
con của Ω, sao cho khoảng cách giữa Ω

và ∂Ω bằng d > 0. Khi đó, đối
với 0 < h < d và x ∈ Ω

, ta có
(D
α
u)
h
(x) = D
α
u
h
(x).
Chứng minh.
Do 0 < h < d và x ∈ Ω

, còn hàm θ((x − y)/h) ∈
◦

C
∞
(Ω), đối với x ∈ Ω

,
9
nên khi sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng, ta nhận được
D
α
u
h
(x) = D
α
x
h
−n

R
n
θ

x − y
h

u(y)dy
= h
−n

Ω
(−1)

|α|
D
α
y
θ

x − y
h

u(y)dy
= h
−n

Ω
θ

x − y
h

D
α
y
u(y)dy
= (D
α
u)
h
(x).
Định lí được chứng minh.
1.1.3. Không gian W

m
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞
Định nghĩa 1.1.4. Không gian W
m
p
(Ω) là không gian bao gồm tất cả
các hàm u(x) ∈ L
p
(Ω), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α,
|α| ≤ m thuộc L
p
(Ω) và được trang bị chuẩn
u
W
m
p
(Ω)
=



|α|≤m

Ω
|D
α
u(x)|
p
dx



1/p
. (1.1)
Do |D
α
u (x) |
2
=
s

i=1
|D
α
u
i
(x)|
2
nên ta có thể viết
 u 
W
m
p
(Ω)
=



|α|≤m


Ω
s

j=1
| D
α
u
j
(x) |
p
dx


1
p
.
10
Không gian W
m
p
(Ω) là một không gian Hilbert cùng với tích vô hướng
(u, v)
W
m
p
(Ω)
=

Ω


|α|≤m
D
α
u. D
α
v dx
Định lý 1.1.3. Giả sử Ω là một miền trong R
n
và m ≥ 0, 1 ≤ p < ∞.
Khi đó W
m
p
(Ω) là một không gian Banach.
Chứng minh. Dễ kiểm tra được W
m
p
(Ω) là một không gian tuyến tính
định chuẩn với chuẩn (1.1). Bây giờ ta chứng minh nó là không gian đầy.
Giả sử {u
j
}
∞
j=1
là dãy Cauchy trong W
m
p
(Ω), tức là với mỗi số tự nhiên
k:

|α|≤m


Ω
|D
α
(u
j
− u
j+k
)|
p
dx → 0, j → ∞.
Đối với mỗi α dãy {D
α
u
j
}
∞
j=1
là dãy Cauchy trong L
p
(Ω). Bởi vì L
p
(Ω)
là không gian đầy, nên tồn tại một hàm u
α
∈ L
p
(Ω) sao cho

Ω

|D
α
u
j
− u
α
|
p
dx → 0, j → ∞. (1.2)
Đặc biệt u
0
∈ L
p
(Ω), tức là

Ω
|u
j
− u
0
|
p
dx → 0, j → ∞. (1.3)
Theo định nghĩa đạo hàm suy rộng cấp α, ta có hệ thức

Ω
u
j
D
α

ψdx = (−1)
|α|

Ω
D
α
u
j
ψdx, ∀ψ ∈
◦
C
∞
(Ω). (1.4)
Từ (1.2) và (1.3) suy ra có thể chuyển qua giới hạn đẳng thức (1.4) khi
j → ∞. Kết quả nhận được

Ω
u
0
D
α
ψdx = (−1)
|α|

Ω
u
α
ψdx, ∀ψ ∈
◦
C

∞
(Ω).
11
Điều đó chứng tỏ rằng, u
α
là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm u
0
trong
miền Ω và
u
j
− u
0

W
m
p
(Ω)
→ 0, j → ∞.
Định lí được chứng minh.
Định lý 1.1.4. Giả sử Ω là một miền thuộc R
n
và Ω

là miền con của
Ω sao cho Ω

⊂⊂ Ω. Nếu u ∈ W
m
p

(Ω) thì
lim
h→0
u
h
− u|
W
m
p
(Ω

)
= 0.
Chứng minh. Do Định lí 1.1.2, ta có
u
h
− u
W
m
p
(Ω

)
=




|α|≤m


Ω

|D
α
(u
h
− u)|
p
dx



1/p
=




|α|≤m

Ω

|(D
α
u)
h
− D
α
u|
p

dx



1/p
.
(1.5)
Đặt v
α
= D
α
u. Từ Định lí 1.1.1 ta nhận được

Ω

|(v
α
)
h
− v
α
|
p
dx → 0, h → 0.
(1.6)
Từ đây và từ (1.5) nhận được
u
h
− u
W

m
p
(Ω

)
→ 0, h → 0.
Định lí được chứng minh.
12
1.1.4. Không gian
o
W
m
p
(Ω) , 1 ≤ p < ∞
Định nghĩa 1.1.5. Không gian
◦
W
m
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞ là bao đóng của
◦
C
∞
(Ω) trong chuẩn của không gian W
m
p
(Ω).
Định lý 1.1.5. Giả sử u(x) ∈ W
m
p

(Ω), p ≥ 1 và suppu(x) ⊂⊂ Ω. Khi
đó u(x) ∈
◦
W
m
p
(Ω).
Chứng minh. Giả sử u
h
(x) là trung bình hoá của hàm u(x). Bởi vì u
h
(x)
khả vi vô hạn với giá compact. Hơn nữa, giả sử u
h
(x) → u(x) trong
không gian W
m
p
(Ω) khi h → 0. Từ đó nhận được điều khẳng định của
Định lí. Định lí được chứng minh.
Định lý 1.1.6. Không gian
◦
W
m
p
(R
n
) và W
m
p

(R
n
) trùng nhau.
Chứng minh. Giả sử u(x) ∈
◦
W
m
p
(R
n
) và θ(t) ∈ C
1
(R
1
) là hàm sao cho
θ(t) = 1 với t < 1 và θ(t) = 0 với t > 2. Đặt u
k
(x) = u(x)θ(|x| − k). Khi
đó

|α|≤m

R
n
|D
α
(u
k
− u)|
p

dx ≤ C

|x|>k+1

|α|≤m
|D
α
u|
p
dx → 0
khi k → ∞. Do Định lí 1.1.5 hàm u
k
(x) ∈
◦
W
m
p
(R
n
) với mọi k. Từ đây
suy ra u(x) ∈
◦
W
m
p
(R
n
). Định lí được chứng minh.
13
1.2. Thác triển yếu

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử u ∈ (L
2
(Q))
s
, nếu tồn tại hàm υ ∈ (L
2
(Q))
s
sao cho
(u, T
∗
ω)
2,Q
= (υ, ω)
2,Q
với mọi ω ∈

o
C
∞
(Q)

s
,ở đây (, )
2,Q
là kí hiệu tích vô hướng trong
(L
2
(Q))
s

, thì coi rằng u ∈ J
s
W
và kí hiệu là υ = T
W
u khi đó T
W
gọi là
thác triển yếu của toán tử T từ (C
∞
(Q) ∩ L
2
(Q))
s
đến J
s
W
⊂ (L
2
(Q))
s
và J
s
W
gọi là miền xác định của T
W
1.3. Toán tử đóng
Định nghĩa 1.3.1. ChoA và B là hai không gian Banach, F là một tập
con tuyến tính của A, T là toán tử tuyến tính từ F vào B , T được gọi
là toán tử đóng trên F nếu từ

u
n
− u
A
→ 0, T u
n
− υ
B
→ 0, u
n
∈ F, u ∈ A, υ ∈ B
suy ra u ∈ F và Tu = υ .
Định nghĩa 1.3.2. Cho A và B là hai không gian Banach, F là một
tập con tuyến tính của A, T là toán tử tuyến tính từ F vào B , T được
gọi là toán tử khả đóng trên F nếu có thể mở rộng miền xác định F để
T trở thành toán tử đóng
14
Chương 2
Hệ phương trình Hyperbolic đối
xứng cấp một
2.1. Định nghĩa hệ phương trình Hyperbolic đối
xứng cấp một
Kí hiệu (x, t) = (x
1
, , x
n
, t) ∈ R
n+1
. Giả sử
a

i
αβ
= a
i
αβ
(x, t) , i = 1, , n + 1;
b
αβ
= b
αβ
(x, t) ; α, β = 1, , s,
là các hàm đã cho phụ thuộc vào biến (x, t) ∈ R
n+1
. Xét hệ phương trình
đạo hàm riêng cấp một sau:
s

α=1
a
n+1
αβ
∂u
α
∂t
+
n

i=1
s


α=1
a
i
αβ
∂u
α
∂x
i
+
s

α=1
b
αβ
u
α
= f
β
(x, t) , β = 1, , s, (2.1)
ở đó u
α
= u
α
(x, t) , f
β
(x, t) là các hàm của biến (x, t) ∈ R
n+1
Hệ (2.1) được gọi là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp
15
một nếu thỏa mãn:

a
i
αβ
= a
i
βα
, i = 1, , n + 1; α, β = 1, , s (2.2)
Hệ (2.1) được gọi là hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một nếu
(2.1) là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một và thỏa
mãn thêm điều kiện:
s

α,β=1
a
n+1
αβ
(x, t) ξ
α
ξ
β
> 0 (2.3)
với mọi
ξ = (ξ
1
, , ξ
s
) ∈ R
s
\ {0} , {x, t} ∈ R
n+1

Ta đưa vào kí hiệu các ma trận
A
i
=

a
i
αβ

s
α,β=1
, i = 1, , n + 1,
B =

b
αβ

s
α,β=1
Khi đó phương trình (2.1) được viết dưới dạng ma trận
n+1

i=1
A
i
∂u
∂x
i
+ Bu = f (2.4)
ở đó x

n+1
= t và u = u (x, t) = (u
1
(x, t) , , u
s
(x, t))
∂u
∂x
i
=

∂u
1
∂x
i
, ,
∂u
s
∂x
i

, f = f (x, t) = (f
1
(x, t) , , f
s
(x, t)) .
Vậy, nếu A
i
là các ma trận đối xứng,i = 1, , n + 1 thì hệ (2.4) là
hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một, còn nếu thêm giả

thiết A
n+1
là xác định dương, thì (2.4) là hệ phương trình Hyperbolic
đối xứng cấp một.
16
2.2. Nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyper-
bolic đối xứng cấp một
Xét toán tử vi phân ma trận
T u ≡
n+1

i=1
A
i
∂u
∂x
i
+ Bu (2.5)
Giả thiết tồn tại các đạo hàm riêng
∂a
i
αβ
∂x
i
, i = 1, , n + 1
Khi đó có toán tử vi phân liên hợp hình thức của toán tử T:
T
∗
ω = −
n+1


i=1
∂
∂x
i
(A
∗
i
ω) + B
∗
ω,
ở đó A
∗
i
và B
∗
là các ma trận liên hợp tương ứng với A
i
và B.
Giả sử Q là miền bất kì trong R
n
. Ta đưa vào không gian (L
2
(Q))
s
tích vô hướng
(u, υ)
2,Q
=


Q
uυdx =
s

j=1

Q
u
j
υ
j
dx
với mọi hàm u = (u
1
, , u
s
) , υ = (υ
1
, , υ
s
) thuộc (L
2
(Q))
s
. Khi đó
chuẩn được sinh ra từ tích vô hướng này là:
 u
2,Q
=





Q
|u (x)|
2
dx



1
2
=



s

j=1

Q
|u
j
(x)|
2
dx



1

2
Tất cả các khái niệm đã đưa vào ở trên trong R
n+1
được chuyển vào
Q. Khi đó toán tử T được cho bởi công thức (2.5) là một toán tử tuyến
17
tính từ (C
∞
(Q) ∩ L
2
(Q))
s
vào trong (L
2
(Q))
s
. Tuy nhiên nó chưa phải
là toán tử đóng trên (C
∞
(Q) ∩ L
2
(Q))
s
. Do đó ta có thể mở rộng miền
xác định của toán tử T
Bổ đề 2.2.1. Toán tử T được cho bởi công thức (2.5) là toán tử khả
đóng
Chứng minh. *Trước hết ta mở rộng miền xác định của toán tử T
Giả sử u ∈


W
1
2
(Q)

s
= J
s
W
, ∀ω ∈

o
C
∞
(Q)

s
, ta có
(u, T
∗
ω)
2,Q
=

Q
uT
∗
ωdx,
=


Q
u

−
n+1

i=1
∂
∂x
i
A
∗
i
ω + B
∗
ω

dx
= −

Q
u
n+1

i=1
∂
∂x
i
A
∗

i
ωdx +

Q
uB
∗
ωdx
= −
n+1

i=1

Q
u
∂
∂x
i
A
∗
i
ωdx +

Q
uB
∗
ωdx
=
n+1

i=1


Q
∂u
∂x
i
A
∗
i
ωdx +

Q
uB
∗
ωdx
=
n+1

i=1

Q
A
i
∂u
∂x
i
ωdx +

Q
Buωdx
=


Q
n+1

i=1
A
i
∂u
∂x
i
ωdx +

Q
Buωdx
18
=

Q

n+1

i=1
A
i
∂u
∂x
i
ω + Buω

dx

=

Q

n+1

i=1
A
i
∂u
∂x
i
+ Bu

ωdx
= (T u, ω)
⇒ ∃v = T u ∈ (L
2
(Q))
s
để (u, T
∗
ω)
2,Q
= (v, ω)
2,Q
Thác triển yếu toán tử T ta được toán tử T
W
từ (C
∞

(Q) ∩ L
2
(Q))
s
đến J
s
W
⊂ (L
2
(Q))
s
với J
s
W
là miền xác định của T
W
.
* Bây giờ ta đi chứng minh T
W
là toán tử đóng trên

W
1
2
(Q)

s
= J
s
W

Giả sử u
n
∈ J
s
W
,u ∈ (L
2
(Q))
s
, v ∈ (L
2
(Q))
s
, ta có u
n
− u
2,Q
→ 0
và T u
n
− v
2,Q
→ 0,
Từ u
n
− u
2,Q
→ 0 suy ra (u
n
− u, T

∗
ω)
2,Q
→ 0, ∀ω ∈

o
C
∞
(Q)

s
hay
(u
n
, T
∗
ω)
2,Q
− (u, T
∗
ω)
2,Q
→ 0, ∀ω ∈

o
C
∞
(Q)

s

suy ra
(u
n
, T
∗
ω)
2,Q
→ (u, T
∗
ω)
2,Q
, ∀ω ∈

o
C
∞
(Q)

s
Mặt khác vì u
n
∈ J
s
W
nên theo cách thác triển ở trên:
(u
n
, T
∗
ω)

2,Q
= (T u
n
, ω)
2,Q
nên suy ra
(T u
n
, ω)
2,Q
→ (u, T
∗
ω)
2,Q
Ta lại có T u
n
− v
2,Q
→ 0 suy ra (T u
n
− v, ω)
2,Q
→ 0, ∀ω ∈

o
C
∞
(Q)

s

19
Vì (T u
n
− v, ω)
2,Q
= (T u
n
, ω)
2,Q
− (v, ω)
2,Q
nên
(T u
n
, ω)
2,Q
→ (v, ω)
2,Q
Từ đây ta suy ra được
(u, T
∗
ω)
2,Q
= (v, ω)
2,Q
Do đó u ∈

W
1
2

(Q)

s
và T
W
u = v ∈ (L
2
(Q))
s
Vậy T
W
là toán tử đóng.
Bổ đề được chứng minh.
Bây giờ cùng với (2.5) ta xét phương trình sau:
T
λ
u = T u + λA
n+1
u =
n

i=1
A
i
∂u
∂x
i
+ B
λ
u = f, (2.6)

ở đó λ là một số nào đó, T là toán tử cho bởi công thức (2.5),
B
λ
= B + λA
n+1
, còn f ∈ (L
2
(Q))
s
Một hàm u (x, t) được gọi là nghiệm suy rộng trong không gian
(L
2
(Q))
s
của phương trình (2.6) nếu u (x, t) ∈ (L
2
(Q))
s
và thỏa mãn
đẳng thức
(u, T
∗
λ
ω)
2,Q
= (f, ω)
2,Q
, ∀ω ∈

o

C
∞
(Q)

s
ở đây T
∗
λ
= T
∗
+ λA
∗
n+1
. Khi đó ta viết (T
λ
)
W
u = f và (T
λ
)
W
là thác
triển yếu của toán tử T
λ
20
2.3. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của hệ phương
trình Hyperbolic đối xứng cấp một
Trong phần này ta giả thiết a
i
αβ

liên tục trong Q còn ∂a
i
αβ

∂x
i
, b
αβ
là các hàm liên tục và bị chặn trong Q. Kí hiệu ∂A =

n+1
i=1
∂A
i

∂x
i
và
giả thiết tồn tại các số γ
0
, γ
1
dương sao cho
ξA
n+1
ξ ≥ γ
1
|ξ|
2
, ξ ∈ R

s
, (2.7)




ξ

B −
1
2
∂A

ξ




≤ γ
0
|ξ|
2
, ξ ∈ R
s
, (2.8)
Bổ đề 2.3.1. Giả sử thực hiện được các điều kiện (2.7)và (2.8). Nếu
λ
γ
1
> γ

0
thì
ω
2,Q
≤ (λ
γ
1
− γ
0
)
−1
T
∗
λ
ω
2,Q
(2.9)
với mọi ω ∈

o
C
∞
(Q)

s
, ở đó .
2,Q
là kí hiệu chuẩn trong không gian
(L
2

(Q))
s
Chứng minh. Với mọi ω ∈

o
C
∞
(Q)

s
, ω = (ω
1
, , ω
s
):

A
i
∂ω
∂x
i
, ω

2,Q
=
s

α,β=1

Q

a
i
αβ
∂ω
β
∂x
i
ω
α
dxdt
= −

Q
s

β=1
ω
β
∂
∂x
i

s

α=1
a
i
αβ
ω
α


dxdt
= −
s

α,β=1

Q
a
i
αβ
ω
β
∂ω
α
∂x
i
dxdt −
s

α,β=1

Q
∂a
i
αβ
∂x
i
ω
α

ω
β
dxdt
= −

A
i
∂ω
∂x
i
, ω

2,Q
−

∂A
i
∂x
i
ω, ω

2,Q
.
21
Do đó,
n+1

i=1

A

i
∂ω
∂x
i
, ω

2,Q
= −
1
2
(∂Aω, ω)
2,Q.
(2.10)
Từ đây suy ra
Áp dụng (2.7) và (2.8) vào hệ thức này, ta nhận được



(ω, T
∗
λ
ω)
2,Q



=




(T
λ
ω, ω)
2,Q



≥ λγ
1
ω
2
2,Q
− γ
0
ω
2
2,Q
.
Hơn nữa,



(ω, T
∗
λ
ω)
2,Q




≤ ω
2,Q
T
∗
λ

2,Q
Bởi vậy, ta có
ω
2
2,Q
(λγ
1
− γ
0
) ≤ ω
2,Q
T
∗
λ
ω
2,Q
Từ đây ta nhận được (2.9). Bổ đề được chứng minh.
Định lý 2.3.1. Giả sử thực hiện các điều kiện (2.7),(2.8) và giả sử
λγ
1
≥ γ
0
. Khi đó đối với bất kì hàm f (x, t) ∈ (L
2

(Q))
s
phương trình
(2.6) có ít nhất một nghiệm suy rộng trong không gian (L
2
(Q))
s
Chứng minh. Kí hiệu F = T
∗
λ

o
C
∞
(Q)

s

. Đối với một hàm bất kì
υ ∈ F do bổ đề 2.3.1, tồn tại duy nhất hàm ω = (T
∗
λ
)
−1
υ sao cho
ω
2,Q
≤ (λγ
1
− γ

0
)
−1
υ
2,Q
Đặt
(f, ω)
2,Q
=

f, (T
∗
λ
)
−1
υ

2,Q
= ψ
f
(υ) (2.11)
Bởi vì
|ψ
f
(υ)| =



(f, ω)
2,Q




≤ f
2,Q
ω
2,Q