BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ NGA
ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG
TRONG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH
Hà Nội, 2012

2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ NGA
ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG
TRONG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn
Hà Nội, 2012
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa
luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại
học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và
làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành
luận văn này.

Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Nguyễn Thị Nga
LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Điểm bất động và ứng
dụng trong bài toán tựa cân bằng” được hoàn thành bởi chính sự nhận
thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Nguyễn Thị Nga
Mục lục
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Mở đầu 5
Chương 1. Các kiến thức cơ bản 8
1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2. Điểm bất động của ánh xạ đơn trị 20
2.1 Điểm bất động của ánh xạ dạng co . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . 24
2.3 Điểm bất động của ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . 29
Chương 3. Điểm bất động của ánh xạ đa trị 39
3.1 Định lý điểm bất động của Nadler . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Định lý Caristi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Định lý điểm bất động của Ky Fan . . . . . . . . . . . . 47
Chương 4. Ứng dụng 54
4.1 Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại một . . . . . . . . . 54
4.2 Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . 58
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
BẢNG KÍ HIỆU
R đường thẳng thực
R đường thẳng thực mở rộng
R
n
không gian Euclid n - chiều
d (x, y) khoảng cách giữa x và y
x, y tích vô hướng của x và y
x chuẩn của x
conv C bao lồi của tập C
intC( hay
o
C
) phần trong của tập C
C bao đóng của tập C
f
−1
hàm ngược của hàm f
inf f cận dưới đúng của hàm f
sup f cận trên đúng của hàm f
min f giá trị nhỏ nhất của hàm f
max f giá trị lớn nhất của hàm f
rge f ảnh của hàm f
Gr f đồ thị của hàm f
dom f miền hữu hiệu của hàm f
Fix f tập các điểm bất động của hàm f
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động ra đời gần một thế kỷ nay và được phát
triển mạnh mẽ trong thập kỷ gần đây. Sự ra đời của Nguyên lý ánh xạ
co Banach (1922) và Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) đã hình
thành hai hướng chính của lý thuyết điểm bất động: sự tồn tại điểm bất
động của ánh xạ dạng co và sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên
tục.
Đến những năm 60, Nguyên lý ánh xạ co Banach tiếp tục được mở
rộng nghiên cứu theo hai hướng: đưa ra khái niệm co mới, ánh xạ co đa
trị và mở rộng ánh xạ co đến ánh xạ không giãn. Từ việc tìm ra mối
quan hệ giữa ánh xạ co với ánh xạ không giãn và sự tồn tại điểm bất
động của ánh xạ co đã định hướng cho những nghiên cứu về điểm bất
động của ánh xạ không giãn được rõ ràng hơn. Tuy nhiên, các nhà khoa
học cũng chỉ ra được rằng sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không
giãn thường gắn với cấu trúc hình học của các không gian Banach, hay
các không gian khác như không gian metric siêu lồi, không gian trắc địa
v.v.
Tiếp đó, mở rộng tự nhiên cho lý thuyết điểm bất động của ánh xạ
không giãn là nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Lipschitz
với hệ số lớn hơn 1. Khởi đầu, Kakutani đã chỉ ra tồn tại ánh xạ Lip-
schitz với hệ số đủ gần 1 trong hình cầu đơn vị đóng của không gian
Hilbert mà không có điểm bất động. Sau đó, bằng việc đưa ra khái niệm
Lipschitz đều, K. Goebel và W. A Kirk (1973) đã nêu ra mở rộng hợp
lý cho ánh xạ không giãn.
6
Song song với sự mở rộng của Nguyên lý ánh xạ co Banach, Nguyên
lý điểm bất động Brouwer cũng được phát triển mạnh. Ban đầu, người
ta mở rộng kết quả này trên các lớp không gian tổng quát như là: định lý
Schauder (1930) trong không gian định chuẩn, định lý Tikhonov (1935)
trong không gian lồi địa phương, Sau đó là sự mở rộng đến ánh xạ đa
trị nửa liên tục trên, mở đầu là kết quả của Kakutani (1941), và tiêu

biểu là kết quả của Ky Fan (1952), Browder - Ky Fan (1965),
Một điều thú vị là vào năm 1929 ba nhà toán học Knaster, Kura-
towski và Mazurkiewicz đã đưa ra Bổ đề KKM, bổ đề này tương tự với
Nguyên lý Brouwer và chỉ cách chứng minh đơn giản Nguyên lý điểm
bất động Brouwer mà trước đó cách chứng minh của nó khá phức tạp
phải dựa vào một số công cụ của tôpô.
Sự xuất hiện Bổ đề KKM đã mở ra một hướng nghiên cứu mới là
Lý thuyết KKM. Bước ngoặt phát triển của lý thuyết này được đánh
dấu bằng việc Ky Fan (1961) đã chứng minh một dạng tượng tự của Bổ
đề KKM cho không gian vô hạn chiều, gọi là Nguyên lý ánh xạ KKM,
đây được xem như trung tâm của Lý thuyết KKM. Nhờ đó, nó được sử
dụng rộng rãi như một công cụ hữu ích cho lý thuyết điểm bất động, lý
thuyết biến phân, bài toán kinh tế,
Tầm quan trọng của lý thuyết điểm bất động và Lý thuyết KKM
trong các ngành toán học khác nhau cũng như những ứng dụng của nó
cần được chúng ta nghiên cứu, tìm hiểu kỹ hơn nữa. Chính vì vậy, với
sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn đề tài “Điểm bất
động và ứng dụng trong bài toán tựa cân bằng” để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nắm được các khái niệm và ứng dụng của lý thuyết điểm bất động
để bổ sung kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về Toán giải tích và
ứng dụng của nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
7
Tìm hiểu về điểm bất động và ứng dụng trong bài toán tựa cân
bằng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung

nghiên cứu.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày được một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về điểm
bất động và một số tính chất. Nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết
điểm bất động trong bài toán tựa cân bằng và ứng dụng trong lý thuyết
tối ưu.
Chương 1
Các kiến thức cơ bản
Trong toán học, một bài toán được đặt ra luôn gắn với một không
gian nào đó. Chính vì vậy việc nghiên cứu toán học, hay tìm lời giải cho
các bài toán cụ thể, trước hết ta phải quan tâm tới không gian của bài
toán. Trong chương này, ta nhắc lại những không gian cơ bản hay gặp
khi nghiên cứu giải tích hiện đại và các kiến thức liên quan. Phần chi
tiết và chứng minh cho các hệ quả có thể tham khảo trong các tài liệu
số [1], [2], [3].
1.1 Không gian metric
Nhiều vấn đề nghiên cứu của giải tích bản chất chỉ dựa trên tính
chất của khoảng cách, mà không quan tâm tới những tính chất khác
của đường thẳng, mặt phẳng hay không gian 3 chiều thông thường. Vì
vậy, để khảo sát bản chất các vấn đề đó và hiểu sâu hơn về khoảng cách
người ta đưa ra khái niệm không gian metrric.
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi là không gian metric một tập hợp M = ∅
cùng với một ánh xạ d từ không gian tích Descarter M ×M vào tập hợp
số thực R thoả mãn các tiên đề sau đây:
(i) (∀x, y ∈ M) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(ii) (∀x, y ∈ M) d(x, y) = d(y, x);
(iii) (∀x, y, z ∈ M) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Không gian metric ký hiệu là (M, d), (viết tắt là M). Ánh xạ d gọi
là metric trên M, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y.

9
Ví dụ:
(i) Một tập con M bất kỳ của tập số thực R, với khoảng cách
d(x, y) = |x − y| (độ dài đoạn nối x với y), là một không gian met-
ric.
(ii) Tổng quát hơn, trong không gian n chiều R
n
, có thể xác định
khoảng cách giữa hai điểm x = (x
0
, , x
n
) và y = (y
0
, , y
n
) là
d (x, y) =


n
i=1
(x
i
− y
i
)
2
.
Ta thấy rằng trên một tập hợp có thể xây dựng nhiều metric khác

nhau để có những không gian metric khác nhau.
Từ định nghĩa, ta dễ dàng có những tính chất đơn giản sau:
(i) (∀x
i
∈ M, i = 1, 2, , n, n ∈ N
∗
) d (x
1
, x
n
) ≤

n−1
i=1
d (x
i
, x
i+1
);
(ii) (∀x, y, u, v ∈ M) |d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u)+d (y, v), (bất đẳng
thức tứ giác);
(iii) (∀x, y, u ∈ M) |d (x, y) − d (y, u)| ≤ d (x, u), (bất đẳng thức tam
giác).
Định nghĩa 1.1.2. Cho hai không gian metric (M
1
, d
1
), (M
2
, d

2
). Ánh
xạ F từ không gian metric M
1
vào không gian metric M
2
gọi là đẳng cự
nếu
d
2
(F x, Fy) = d
1
(x, y) (∀x, y ∈ M).
Định nghĩa 1.1.3. Hai không gian metric (M
1
, d
1
), (M
2
, d
2
) gọi là đẳng
cự nếu tồn tại một ánh xạ đẳng cự từ M
1
lên M
2
.
Ví dụ:
Hai không gian metric C
[0,1]

và C
[0,2]
là đẳng cự.
Thật vậy, xét ánh xạ:
F : C
[0,1]
→ C
[0,2]
x (t) → (F x (t)) = x

t
2

.
10
Hiển nhiên, ánh xạ F ánh xạ C
[0,1]
lên C
[0,2]
. Với ∀x(t), y(t) ∈ C
[0,1]
ta có:
d
2
(F x, Fy) = max
0≤t≤2





x

t
2

− y

t
2





= max
0≤s≤1
|x (s) −y (s)| = max
0≤t≤1
|x (t) −y (t)| = d (x, y) .
Do đó F là ánh xạ đẳng cự từ C
[0,1]
lên C
[0,2]
. Vì vậy, hai không gian
metric C
[0,1]
và C
[0,2]
là đẳng cự.
Nhận xét :

Quan hệ đẳng cự trong không gian metric có tính bắc cầu. Đối với
hai không gian metric đẳng cự, một khái niệm hay mệnh đề đã đúng
trong không gian này thì đúng trong không gian kia, nên chúng được coi
là như nhau.
Trong không gian metric, ta có thể đưa ra khái niệm dãy hội tụ như
sau:
Định nghĩa 1.1.4. Ta nói rằng dãy điểm {x
n
} của không gian M hội
tụ tới điểm x
0
của không gian đó nếu với (∀ > 0) (∃n
0
∈ N
∗
) (∀n ≥
n
0
) d(x
n
, x
0
) < , ký hiệu: lim
n→∞
= x
0
hay x
n
→ x
0

(n → ∞).
Ví dụ:
(i) Sự hội tụ trên đường thẳng thực là sự hội tụ của một dãy số theo
nghĩa thông thường.
(ii) Trong không gian R
k
, sự hội tụ của dãy x
n
= (x
n
1
, , x
n
k
) tới
x = (x
1
, , x
k
) có nghĩa là
k

i=1
(x
n
i
− x
i
)
2

→ 0 (n → ∞),
điều này tương đương với x
n
i
→ x
i
, (i = 1, 2, , k). Vậy sự hội tụ trong
không gian R
k
là hội tụ theo toạ độ.
Điều hiển nhiên rằng, nếu một dãy đã hội tụ thì mọi dãy con của nó
11
cũng hội tụ. Ta dễ dàng nhận ra hai tính chất quan trọng sau đây:
(i) Nếu x
n
→ x và x
n
→ x

thì x = x

, nghĩa là giới hạn của một dãy
điểm là duy nhất.
(ii) Nếu x
n
→ x và y
n
→ y thì d(x
n
, y

n
) → d(x, y), nghĩa là khoảng
cách d là một hàm liên tục đối với x và y.
Khi đưa vào tập nền của không gian metric khái niệm các tập mở,
ta có thể xác định tôpô trong metric.
Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric (M, d), a ∈ M, số r > 0. Ta
gọi:
Tập S(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} là hình cầu mở tâm a, bán kính
r;
Tập S

(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán
kính r.
Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian metric (M, d). Ta gọi là lân cân của
điểm x ∈ M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r nào đấy.
Nhờ định nghĩa này ta có thể phân loại các điểm trong không gian
metric như sau:
Cho không gian metric (M, d), tập A ⊂ M, điểm x ∈ M:
Điểm x gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại lân cận của điểm x
bao hàm trong tập A;
Điểm x gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại lân cận của điểm x
không chứa điểm nào của tập A;
Điểm x gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm x đều
chứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A. Tập
tất cả các điểm biên của tập A ký hiệu là ∂A;
Điểm x gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của tập A, nếu mọi lân
cận của điểm x đều chứa ít nhất một điểm của tập A khác x. Tập tất cả
các điểm giới hạn của tập A được gọi là tập dẫn suất và ký hiệu là A

;

12
Điểm x gọi là điểm cô lập của tập A, nếu x ∈ A và x không là điểm
giới hạn của tập A.
Định nghĩa 1.1.7. Cho không gian metric (M, d) và tập A ⊂ M:
Tập A gọi là tập mở trong không gian (M, d), nếu mọi điểm thuộc
A đều là điểm trong của A;
Tập A gọi là tập đóng trong không gian (M, d), nếu mọi điểm không
thuộc A đều là điểm ngoài của A.
Định lý 1.1.1. (Xem [1]). Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình
cầu mở là tập mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng.
Định lý 1.1.2. (Xem [2]). Cho không gian metric (M, d), tập A ⊂ M,
A = ∅. Tập A đóng trong không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm
{x
n
} ⊂ A hội tụ tới điểm x thì x ∈ A.
Hệ quả 1.1.1. Trong không gian metric (M, d), phần bù của một tập
mở là tập đóng, phần bù của một tập đóng là tập mở. Các tập M, ∅ vừa
là đóng vừa là mở.
Hệ quả này dễ dàng suy ra từ hai định lý trên.
Định nghĩa 1.1.8. Cho không gian metric (M, d) và tập A ⊂ M:
Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A, và
ký hiệu
o
A
hay intA;
Giao của tất cả các tập đóng chứa A gọi là bao đóng của A và ký
hiệu A hay [A].
Dựa vào định nghĩa ta dễ dàng có những tính chất sau đây:
(i)
o

φ = φ, φ = φ;
(ii)
o
M
= M, M = M;
(iii) A ⊂ B ⇒
o
A
⊂
o
B, A ⊂ B;
(iv)
o
A ∩B =
o
A
∩
o
B
, A ∪B = A ∪ B;
13
(v) A ⊂ M là tập mở khi và chỉ khi
o
A
= A;
(vi) A ⊂ M là tập đóng khi và chỉ khi A = A.
Định lý 1.1.3. (Xem [2]). Cho không gian metric (M, d) và tập A ⊂ M,
phần trong
o
A

của tập A là tập tất cả các điểm trong của A, còn bao
đóng A của A là tập tất cả các điểm giới hạn của tập A.
Hệ quả 1.1.2. (Xem [2]). Trong không gian metric (M, d) phần trong
của một tập hợp là tập mở, bao đóng của một tập hợp là tập đóng.
Định lý 1.1.4. (Xem [1]). Cho không gian metric (M, d) và tập A ⊂ M.
Khi đó
o
A
= M\

M\A

.
Ví dụ:
Trong không gian R bao đóng của tập số hữu tỉ Q và bao đóng của
tập số vô tỉ R\Q đều là số thực R; còn phần trong của tập Q và phần
trong của tập R\Q đều là tập φ.
Định nghĩa 1.1.9. Cho một tập M bất kỳ, ta nói một họ T những tập
con của M là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên M nếu:
(i) Hai tập ∅ và X đều thuộc họ T .
(ii) Giao của một số hữu hạn tập thuộc họ T thì cũng thuộc họ đó.
(iii) Hợp của một số bất kỳ tập thuộc họ T thì cũng thuộc họ đó.
Một tập M cùng với một tôpô T trên M gọi là không gian tôpô
(M, T ).
Các khái niệm lân cận, hội tụ, tập mở, tập đóng đều xác định trên
không gian metric cùng một cấu trúc ta gọi là cấu trúc tôpô.
Định lý 1.1.5. (Xem [1]). Trong không gian metric (M, d), họ tất cả
các tập mở trong M lập thành một tôpô trên M.
14
Định nghĩa 1.1.10. Họ T tất cả các tập mở trong không gian metric

(M, d) gọi là tôpô sinh bởi metric d.
Định lý 1.1.6. (Xem [2]). Trong không gian metric (M, d), tôpô T sinh
bởi metric d là tôpô có cơ sở lân cận đến được.
Định nghĩa 1.1.11. Cho hai không gian metric (M
1
, d
1
) và (M
2
, d
2
),
ánh xạ f từ không gian M
1
đến không gian M
2
:
Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x
0
∈ M
1
nếu (∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈
M
1
: d
1
(x, x
0
) < δ) d
2

(f(x), f(x
0
)) < ε;
Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A ⊂ M, nếu ánh xạ f liên tục tại
mọi điểm x ∈ A. Khi A = M thì ánh xạ f gọi là liên tục;
Ánh xạ f gọi là liên tục đều trên tập A ⊂ M, nếu (∀ε > 0) (∃δ >
0) (∀x, x

∈ A : d
1
(x, x

) < δ) d
2
(f(x), f(x

)) < ε.
Dễ dàng thấy, nếu ánh xạ f liên tục đều trên tập A ⊂ M, thì ánh
xạ f liên tục trên tập A.
Định lý 1.1.7. (Định lý năm mệnh đề tương đương về ánh xạ liên tục).
(Xem [1]). Cho ánh xạ f từ không gian metric (M
1
, d
1
) đến không gian
metric (M
2
, d
2
). Năm mệnh đề sau đây là tương đương:

(i) f liên tục;
(ii) Tạo ảnh của một tập đóng bất kỳ trong M
2
là một tập đóng
trong M
1
;
(iii) Tạo ảnh của một tập mở bất kỳ trong M
2
là một tập mở trong
M
1
;
(iv) Với mọi tập A ⊂ M
1
đều có f(A) ⊂ f(A);
(v) Với mọi tập B ⊂ M
2
đều có f
−1
(
o
B) ⊂
o
f
−1
(B).
Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian metric (M, d), dãy {x
n
} được gọi

là dãy cở bản nếu lim
n,m→∞
d(x
n
, x
m
) = 0, tức là với ∀ε > 0, ∃N ∈ N
∗
sao
15
cho ∀n, m ≥ N thì d(x
n
, x
m
) < ε.
Dễ thấy mọi dãy (x
n
) ⊂ M hội tụ trong M đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.13. Không gian metric (M, d) gọi là không gian đầy
đủ, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ.
Ví dụ :
(i) Không gian metric R là không gian đầy đủ.
(ii) Không gian C
[a,b]
(không gian các hàm bị chặn trên đoạn [a, b])
là không gian đầy đủ.
1.2 Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.1. Tập M khác rỗng được gọi là không gian tuyến tính
trên trường K = {R, C}, các phần tử x, y ∈ M được gọi là các véctơ
nếu trên M xác định hai phép toán

(+) : M × M → M : (x, y) → x + y;
( . ) : K ×M → M : (λ, x) → λx,
thoả mãn tám tiên đề sau:
(i) x + y = y + x, (∀x, y ∈ M);
(ii) (x + y) + z = x + (y + z) , (∀x, y, z ∈ M);
(iii) (∃θ ∈ M) x + θ = θ + x, (∀x ∈ M);
(iv) (∀x ∈ M) (∃ −x ∈ M) x + (−x) = θ;
(v) λ (x + y) = λx + λy, (∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ K);
(vi) (α + β) x = αx + βx, (∀x ∈ M, ∀α, β ∈ K);
(vii) α (βx) = (αβ) x, (∀x ∈ M, ∀α, β ∈ K);
(viii) (∃1 ∈ M) 1x = x, (∀x ∈ M).
θ và 1 lần lượt được gọi là phần tử không và phần tử đơn vị của M.
16
Ví dụ:
Tập R
n
với phép cộng và phép nhân thông thường là một không gian
tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.2. Không gian tuyến tính định chuẩn là cặp (M, .),
trong đó M là một không gian tuyến tính còn (.) là một ánh xạ M → R
thoả mãn:
(i) x ≥ 0, ∀x ∈ M, x = 0 ⇔ x = θ;
(ii) λx = |λ|. x;
(iii) x + y ≤ x + y.
Số x được gọi là chuẩn của x.
Ví dụ:
Không gian định chuẩn C
[a,b]
(không gian các hàm bị chặn trên đoạn
[a, b]) với chuẩn x = max

a≤t≤b
|x(t)|.
Ta thấy rằng mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric
với d(x, y) = x − y.
Định nghĩa 1.2.3. Cho không gian tuyến tính M và .
1
, .
2
là hai
chuẩn trên M. Hai chuẩn .
1
và .
2
gọi là tương đương nếu tồn tại hai
số dương a, b sao cho
ax
1
≤ x
2
≤ bx
1
, ∀x ∈ M.
Ví dụ:
Cho không gian vectơ n chiều E
n
, với E = {R, C}. Ta xác định hai
chuẩn sau:
x
1
=



n
i=1
|x
i
|
2
, ∀x = (x
1
, , x
n
) ∈ E
n
;
x
2
= max
1≤i≤k
|x
i
|, ∀x = (x
1
, , x
n
) ∈ E
n
.
Khi đó, hai chuẩn .
1

, và .
2
là tương đương vì
x
2
≤ x
1
≤
√
nx
2
, ∀x ∈ E
n
.
17
Định lý 1.2.1. (Xem [1]). Hai chuẩn .
1
và .
2
cho trên không gian
tuyến tính M là tương đương khi và chi khi hai chuẩn đó sinh cùng một
tôpô trên M.
Định nghĩa 1.2.4. Không gian Banach là không gian định chuẩn và
đầy đủ.
Các ví dụ ở trên cũng là các không gian Banach.
1.3 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.1. Cho M là không gian tuyến tính trên trường K =
{R, C}. Hàm ., . : M ×M → K được gọi là tích vô hướng trên M nếu:
(i) y, x = x, y, ∀x, y ∈ M;
(ii) x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ M;

(iii) λx, y = λ x, y, ∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ K;
(iv) x, x ≥ 0, x, x = 0 ⇔ x = θ, ∀x ∈ M.
Ta có một số tính chất đơn giản sau:
(i) (∀x ∈ M) θ, x = 0.
Thật vậy, θ, x = 0.x, x = 0. x, x = 0.
(ii) (∀x, y ∈ M) (∀λ ∈ K) x, λy = λ x, y.
Thật vậy, x, λy = λy, x = λ y, x = λy, x = λ x, y.
(iii) (∀x, y, z ∈ M) x, y + z = x, y+ x, z.
Thật vậy, x, y + z = y + z, x = y, x + z, x = x, y+ x, z.
Định lý 1.3.1. (Bất bẳng thức Schwarz). (Xem [1]). Đối với mỗi x ∈ M
ta có
x =

x, x.
Khi đó, ∀x, y ∈ M ta có bất bẳng thức Schwarz
|x, y| ≤ x. y.
18
Định nghĩa 1.3.2. Không gian M được trang bị một tích vô hướng
được gọi là không gian tiền Hilbert.
Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Ví dụ:
(i) Không gian R
n
, C
n
với tích vô hướng x, y =
n

i=1
x

i
y
i
là các không
gian Hilbert.
(ii) Không gian l
2
(không gian vectơ các dãy số phức x = (x
n
) sao
cho chuỗi số
∞

i=1
|x
n
|
2
hội tụ ) với tích vô hướng x, y =
∞

i=1
x
i
y
i
là không
gian Hilbert.
1.4 Ánh xạ đa trị
Cho M là tập hợp bất kỳ. Ký hiệu 2

M
là tập gồm các tập con của M.
Định nghĩa 1.4.1. Mỗi ánh xạ T từ tập X vào Y được gọi là ánh xạ
đa trị từ X vào Y , ký hiệu T : X → 2
Y
.
Miền định nghĩa, đồ thị và miền ảnh của T được định nghĩa lần lượt
như sau:
domT = {x ∈ A|T x = φ} với A ⊂ X;
Gr (T ) = {(x, y) ∈ A × Y |y ∈ T x};
rgeT = {y ∈ Y |∃x ∈ X sao cho y ∈ T x}.
Ví dụ:
Cho a, b là các số thực, T : R → 2
R
được xác định bởi
T x =



(a, b) nếu x = 0
{a} nếu x = 0
khi đó T ánh xạ đa trị.
19
Định nghĩa 1.4.2. Cho T : X → 2
Y
, ánh xạ T
−1
: Y → 2
X
xác định

bởi
T
−1
y = {x ∈ X : y ∈ T x},
được gọi là ánh xạ ngược của T .
Như vậy, khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạ
ngược.
Định nghĩa 1.4.3. Cho X, Y là hai không gian tôpô, T : X → 2
Y
là
một ánh xạ đa trị:
Ánh xạ T gọi là nửa liên tục trên tại điểm x
0
∈ X nếu với mọi tập
hợp G mở chứa Tx
0
, tồn tại lân cận U của x
0
sao cho T x ⊂ G với mọi
x ∈ U. Ánh xạ T được gọi là nửa liên tục trên nếu nó nửa liên tục trên
tại mọi điểm của X;
Ánh xạ T được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x
0
∈ X nếu với mọi
tập hợp G mở thoả mãn G ∩ T x
0
= φ, tồn tại lân cận U của x
0
sao cho
G ∩ T x = φ với mọi x ∈ U. Ánh xạ T được gọi là nửa liên tục dưới nếu

nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm của X;
Ánh xạ T được gọi là liên tục nếu nó vừa liên tục trên vừa liên tục
dưới.
Hiển nhiên, nếu T là ánh xạ đơn trị thì cả ba khái niệm: liên tục,
liên tục trên, liên tục dưới trùng nhau.
Chương 2
Điểm bất động của ánh xạ đơn trị
Tiếp tục nghiên cứu và phát triển nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)
và nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), các nhà toán học đã hình
thành hai hướng chính của lý thuyết điểm bất động: sự tồn tại điểm bất
động của ánh xạ dạng co và sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên
tục. Theo đó, họ phân loại lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đơn trị
theo dạng của ánh xạ. Đó là, điểm bất động của ánh xạ dạng co, dạng
ánh xạ không giãn và dạng ánh xạ liên tục.
2.1 Điểm bất động của ánh xạ dạng co
Ánh xạ dạng co là trường hợp đặc biệt của ánh xạ Lipschitz khi hệ
số Lipschitz bị giới hạn. Ta hãy nhắc lại khái niệm ánh xạ Lipschitz để
có cái nhìn khái quát hơn về ánh xạ dạng co.
Định nghĩa 2.1.1. Cho (M, d) là một không gian metric. Một ánh xạ
F : M → M được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại α không âm sao
cho:
d(F x, F y) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ M. (2.1)
Số α nhỏ nhất thoả mãn (2.1) được gọi là hệ số Lipschitz của ánh
xạ F và ký hiệu là α(F ).
Nếu α(F ) < 1 thì ánh xạ F : M → M được gọi là ánh xạ co.
Định lý 2.1.1. (Banach, 1922). Cho (M, d) là một không gian metric
đầy đủ và F : M → M là một ánh xạ co. Khi đó, F có duy nhất một
21
điểm bất động trong M, và với mọi x
0

∈ M dãy {F
n
x
0
} hội tụ đến điểm
bất động này.
Khi hệ số Lipschitz được thay đổi ta có khái niệm ánh xạ mới.
Định nghĩa 2.1.2. Cho (M, d) là không gian metric. Một ánh xạ
F : M → M được gọi là ánh xạ co yếu nếu
d(F x, F y) < d(x, y), ∀x, y ∈ M, x = y.
Để Nguyên lý ánh xạ co Bancach vẫn đúng khi F là ánh xạ co yếu
thì ta cần điều kiện bổ sung là tính compact của không gian.
Định lý 2.1.2. (Edelstein, 1962). Cho (M, d) là không gian metric đầy
đủ và F : M → M là ánh xạ co yếu, và với x
0
∈ M dãy {F
n
x
0
} có dãy
con hội tụ. Khi đó, F có duy nhất một điểm bất động trong M và với
mọi x
0
∈ M dãy {F
n
x
0
} hội tụ đến điểm bất động này.
Chứng minh. Lấy x
0

thuộc M. Đặt x
1
= F x
0
, x
n
= F x
n−1
, ∀n ≥
2, (x
n
= F
n
x
0
).
Xét d(F
n
x
0
, F
n+1
x
0
) ≤ d(F
n−1
x
0
, F
n

x
0
) ≤ ≤ d(x
1
, x
0
) = d(F x
0
, x
0
).
Từ đó suy ra dãy

d(F
n
x
0
, F
n+1
x
0
)

hội tụ.
Mặt khác, do {F
n
x
0
} ⊂ M có dãy con {F
n

k
x
0
} hội tụ, giả sử
F
n
k
x
0
→
y.
Từ d(F
n
k
x
0
, F
n
k+1
x
0
) → 0, ta có d(y, F y) = 0. Vậy F y = y. Định lý
được chứng minh.

Định lý 2.1.3. Cho (M, d) là không gian metric đầy đủ và F : M → M
là ánh xạ không nhất thiết liên tục. Giả sử điều kiện sau được thoả mãn
(*) Với mọi e > 0, tồn tại δ(e) > 0, sao cho:
Nếu d(x, F x) < δ(e) thì F [B(x, e)] ⊂ B(x, e).
22
Khi đó, nếu d(F

n
u, F
n+1
u) → 0 với u nào đó thuộc M, thì {F
n
u}
hội tụ đến điểm bất động của F .
Chứng minh. Đặt u
n
= F
n
u. Đầu tiên, ta sẽ chỉ ra rằng {u
n
} là dãy
Cauchy.
Thật vậy, cho e > 0, chọn N đủ lớn sao cho d(u
n
, u
n+1
) < δ(e) với mọi
n ≥ N. Vì d(u
N
, F u
N
) < δ nên theo tính chất (*) ta có F [B(u
N
, e)] ⊂
B(u
N
, e). Suy ra F u

N
= u
N+1
∈ B(u
N
, e), và bằng quy nạp ta có
F
k
u
N
= u
N+k
∈ B(u
N
, e), với mọi k ≥ 0.
Như vậy, d(u
k
, u
s
) < 2e với mọi s, k ≥ N và ta có {u
n
} là dãy
Cauchy. Vì M là không gian metric đầy đủ nên dãy này hội tụ, chẳng
hạn đến điểm z ∈ M. Để chứng tỏ z là điểm bất động của F ta
chứng minh bằng phản chứng: nếu d(z, Fz) = a > 0, ta có thể chọn
u
n
∈ B(z,
a
3

) sao cho d(u
n
, u
n+1
) < δ(
a
3
). Khi đó, bởi tính chất (*) ta
có F[B(u
n
,
a
3
)] ⊂ B(u
n
,
a
3
), do đó F z ∈ B(u
n
,
a
3
). Nhưng mâu thuẫn với
d(F z, u
n
) ≥ d(F z, z) − d(u
n
, z) ≥
2a

3
. Suy ra d(z, F z) = 0 và ta có điều
phải chứng minh.

Trong Nguyên lý ánh xạ co Banach, hệ số α(F ) nhận giá trị trong
[0, 1). Nên đã có những ý tương mở rộng tự nhiên cho nguyên lý này là
mở rộng miền giá trị của hệ số α(F ) hay thay hệ số đó bởi một hàm
thực với miền giá trị xác định để ánh xạ F vẫn có điểm bất động. Từ
đó có sự khái quát hoá của Nguyên lý ánh xạ co Banach.
Định lý 2.1.4. (Matkowski, 1975). Giả sử (M, d) là không gian metric
đầy đủ và F : M → M là một ánh xạ thoả mãn
d(F x, F y) ≤ ϕ(d(x, y)), ∀x, y ∈ M,
trong đó ϕ : R
+
→ R
+
là một hàm bất kỳ không giảm (không nhất thiết
liên tục) sao cho ϕ
n
(t) → 0 với mỗi t > 0.