LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, tác giả đã
nhận được sự hướng dẫn nhiệt tâm của TS. Trần Văn Vuông
được sự định hướng của thầy mà tác giả thực hiện đề tài "Phương
pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính". Tác giả xin
bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất đến người thầy quá cố của mình.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Trần Văn
Bằng người đã giúp tác giả hồn thành luận văn. Cảm ơn các thầy
cơ giáo đã nhiệt tình cung cấp các tri thức khoa học giúp tác giả
nâng cao trình độ tư duy, hồn thành tốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Tác giả rất biết ơn tới BGH Trung tâm giáo dục thường xuyênhướng nghiệp Đoan Hùng- Phú Thọ và các đồng nghiệp đã quan tâm
giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện kế hoạch
học tập của mình.
Tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động
viên tác giả trong q trình hồn thành luận văn. Do thời gian và
kiến thức có hạn nên Luận văn khơng tránh khỏi những hạn chế và
cịn những thiếu sót nhất định. Tác giả mong được những ý kiến
đóng góp của các thầy giáo, cơ giáo và các bạn học viên.

Hà Nội, tháng 10 năm 2011
Tác giả


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng
tơi dưới sự định hướng của TS. Trần Văn Vng và được hồn
thành dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa
học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết

ơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2011
Tác giả


Mục lục

Mở đầu

4

1 Một số kiến thức chuẩn bị

8

1.1

Tập hợp cộng tính và cấu trúc cộng tính . . . . . . .

8

1.2

Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1

Về tập hợp và hàm . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2


Về hệ thống số . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3

Ký hiệu tiệm cận Landau . . . . . . . . . . . 14

1.2.4

Về cấp cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3

Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4

Không gian Lp , 1 ≤ p ≤ ∞ trong tổ hợp cộng tính . . 24

2 Phương pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính 28
2.1

Độ lệch tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2

Tập hợp Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3


Các Λ(p)- hằng số, Bh - tập hợp và các tập phân ly . 43

2.4

Phổ của tập hợp cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5

Cấp cộng trong các tập tổng . . . . . . . . . . . . . . 59

Kết luận

68

3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tổ hợp cộng tính là một trong những lĩnh vực nghiên cứu về cấu
trúc cộng tính của các tập hợp, đã và đang rất phát triển. Nó có
liên hệ chặt chẽ với nhiều ngành như: giải tích điều hịa, hình học
lồi, lý thuyết đồ thị, lý thuyết xác suất, hình học đại số, lý thuyết
egodic. . . Các bài toán của Tổ hợp cộng tính địi hỏi phải sử dụng
các cơng cụ của một hoặc một số ngành nói trên, thậm chí là của
các ngành khác nữa (xem [3]-[6]). Phương pháp xác suất rất quan
trọng trong lý thuyết tổ hợp cộng tính, trong đó cấu trúc cộng của
một đối tượng ngẫu nhiên được hiểu thơng qua việc tính tốn các
giá trị trung bình hoặc các moment của đối tượng đó. Luận văn
này tìm hiểu về một cơng cụ khác có tầm quan trọng khơng kém,

đó là giải tích Fourier. Đây là một cách khác để tính các giá trị
trung bình và các moment của các đối tượng có cấu trúc cộng. Nó
tương tự như phương pháp xác suất nhưng với một thành phần mới
quan trọng, đó là các đại lượng được tính giá trị trung bình sẽ được
"xoắn" hoặc "được biến điệu" bởi một số hàm pha giá trị phức, gọi
là đặc trưng. Điều này dẫn tới khái niệm hệ số Fourier của một tập
hoặc của một hàm- là cái đo độ lệch của đối tượng đó với một đặc
trưng. Các hệ số Fourier cho phép ta đạt được 2 mục đích:
Thứ nhất, ta khai thác tính trực giao giữa các đặc trưng khác


5

nhau để nhận được các cận (không tầm thường) của các hệ số đó;
tính trực giao này có vai trị tương tự như tính độc lập trong lý
thuyết xác suất.
Thứ hai, các hệ số Fourier rất tốt để điều khiển tích chập của
các hàm, tương tự như phép tốn tổng các tập hợp.
Vì thế, giải tích Fourier là một cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu
các đại lượng số học, đáng chú ý nhất là năng lượng cộng tính.
Sử dụng giải tích Fourier, ta có thể phân chia các tập hợp cộng
tính A theo hai thái cực:
Thái cực thứ nhất, bao gồm các tập hợp giả ngẫu nhiên, là các
tập có biến đổi Fourier rất nhỏ (trừ ra tại điểm 0). Với các tập này
chúng ta sẽ cần tới khái niệm độ lệch tuyến tính A

u

và các Λ(p)-


hằng số để đo tính giả ngẫu nhiên. Các tập hợp như vậy rất "lộn
xộn" đối với phép cộng tập hợp (cũng như việc xác định các cấp
cộng có độ dài 3) và các thuật ngữ trên cũng cho thấy, ít nhiều
chúng giống như các tập hợp ngẫu nhiên.
Thái cực thứ hai, bao gồm các tập hầu tuần hoàn, gồm các cấp
cộng, các tập hợp Bohr và các tập hợp khác có hằng số kép nhỏ
hoặc có năng lượng cộng tính lớn. Dáng điệu của các tập hợp này
đối với phép cộng và các cấp số có độ dài 3 được mơ tả hầu đầy
đủ bởi một phổ nhỏ Specα (A)- là tập hợp các tần số, ở đó biến đổi
Fourier của hàm đặc trưng 1A là lớn.
Giải tích Fourier có thể được thực hiện trên một nhóm cộng tính
Z bất kỳ (thậm chí cả với các nhóm khơng giao hốn). Tuy nhiên,
luận văn này chỉ xét trên các nhóm hữu hạn, ở đó lý thuyết đơn
giản hơn một chút về mặt kỹ thuật. Các trường hợp Z = ZN , Z =
R/Z, Z = R cũng rất quan trọng trong tổ hợp cộng tính (đặc biệt
là để dẫn đến phương pháp vịng Hardy-Littlewood trong lý thuyết


6

số giải tích), nhưng ta cũng chỉ ra rằng lý thuyết Fourier trên các
nhóm hữu hạn có thể được thay cho lý thuyết Fourier trên các nhóm
vơ hạn trong các ứng dụng của chúng ta.
Bước đầu tìm hiểu về Giải tích tổ hợp, được sự định hướng của thầy
TS . Trần Văn Vng, em chọn đề tài
“Phương pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính”
Đây là một trong ba cơng cụ cơ bản để nghiên cứu Tổ hợp cộng
tính đã được trình bày trong cuốn sách Additive Combinatoric của
Terence Tao và Vũ Hà Văn.



7

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề của tổ hợp cộng tính bằng phương
pháp giải tích Fourier.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu một số khái niệm trong tổ hợp cộng tính.
• Nghiên cứu một số khái niệm trong giải tích Fourier.
• Vận dụng phép biến đổi Fourier để giải quyết một số vấn đề
trong tổ hợp cộng tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Ứng dụng phép biến đổi Fourier trong nghiên cứu tổ hợp cộng
tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu tài liệu tham khảo.
• Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất.
• Hỏi ý kiến chun gia.
6. Những đóng góp của đề tài
Một cách ứng dụng phép biến đổi Fourier trong tổ hợp cộng tính.


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Tập hợp cộng tính và cấu trúc cộng tính

Định nghĩa 1.1.1. Nhóm cộng là một nhóm giao hốn (hay Abel)
Z với phép tốn +.

Từ nay về sau ta luôn giả thiết Z là một nhóm cộng, cịn vành số
ngun, trường số thực, trường số phức lần lượt là Z, R, C.
Định nghĩa 1.1.2. Tập hợp cộng tính là một cặp (A,Z), trong đó
A = ∅ là một tập con hữu hạn của Z. Ta thường ký hiệu đơn giản
(A, Z) là A.
Nếu A, B là các tập hợp cộng tính trong Z thì tập tổng
A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B},
tập hiệu
A − B := {a − b : a ∈ A, b ∈ B},
tập tổng lặp kA, k ∈ Z+ :
kA := {a1 + a2 + · · · + ak : a1 , a2 , . . . , ak ∈ A}.
Để ý rằng tập tổng lặp kA nói chung là khác với tập vị tự k.A
của A,
k.A = {ka : a ∈ A, k ∈ Z+ }.
8


9

Ví dụ 1.1.3. Các ví dụ điển hình về nhóm cộng là tập các số nguyên
Z, nhóm xyclic ZN , khơng gian Euclide Rn hoặc một trường hình
n
học hữu hạn Fp .

Từ ký hiệu và khái niệm nêu trên, ta có thể hình dung các tập
cộng tính như là những đối tượng chính cần xem xét và chúng có
thể được nhúng trong một số nhóm khác nhau. Các tập hợp cộng
tính ít nhiều có "cấu trúc cộng".
Ví dụ 1.1.4. Một ví dụ điển hình về tập hợp cộng tính có “cấu trúc
cộng ít” là các tập con được chọn một cách ngẫu nhiên của một

nhóm cộng hữu hạn với lực lượng đã cho.
Ví dụ 1.1.5. Đối lập với tập hợp cộng tính có cấu trúc cộng ít là
tập hợp cộng tính có “cấu trúc cộng cao” là “cấp cộng”
a + [0, N ) · r := {a, a + r, . . . , a + (N − 1)r},
trong đó a, r ∈ Z và N ∈ Z+ ; hoặc các “cấp cộng tổng quát d- chiều”
a + [0, N ) · v := {a + n1 v1 + . . . + nd vd : 0 ≤ nj ≤ Nj , ∀1 ≤ j ≤ d},
trong đó a ∈ Z, v = (v1 , . . . , vd ) ∈ Z d , N = (N1 , . . . , Nd ) ∈ (Z+ )d ;
hoặc các “hộp lập phương d- chiều”
a + {0, 1}d · v := {a + ε1 v1 + . . . + εd vd : ε1 , . . . , εd ∈ {0, 1}};
hoặc tập "các tổng- tập con"
a:B⊆A

F S(A) :=
a∈B

của một tập hữu hạn A.
Một trong những nhiệm vụ cơ bản của Tổ hợp cộng tính là tìm


10

ra những cách đo (định lượng) về cấu trúc cộng của một tập hợp và
nghiên cứu xem đối với những đối tượng nào thì những kết quả định
lượng đó tương đương với nhau. Chẳng hạn một trong các khẳng
định sau đây đều là một cách khẳng định “A có cấu trúc cộng”:
• A + A nhỏ;
• A − A nhỏ;
• A − A được phủ bởi một số nhỏ các ảnh tịnh tiến của A;
• kA nhỏ với mọi k cố định;
• Có nhiều bộ 4: (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ A × A × A × A sao cho

a1 + a2 = a3 + a4 ;
• Có nhiều bộ 4: (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ A × A × A × A sao cho
a1 − a2 = a3 − a4 ;
• Tích chập 1A ∗ 1A tập trung cao;
• Tập các tổng- tập con F S(A) := {
cao;

a : B ⊆ A} có tính bội

a∈B

• Biến đổi Fourier 1A tập trung cao;
• Biến đổi Fourier 1A tập trung cao trong một hộp lập phương;
• A có một giao lớn với một cấp cộng suy rộng có cỡ so sánh
được với A;
• A chứa trong một cấp cộng suy rộng có cỡ so sánh được với A;
• A (hoặc A − A hoặc 2A − 2A) chứa một cấp cộng suy rộng lớn.


11

Sau đây ta nghiên cứu một kiểu đặc biệt của nhóm cộng trong
khơng gian Euclide:
Định nghĩa 1.1.6. [Dàn] Một dàn Γ trong Rd là một nhóm con
cộng tính trong Rd , trong đó Γ là rời rạc (nghĩa là mọi điểm thuộc
Γ đều là điểm cô lập).
Nếu không gian tuyến tính sinh bởi dàn Γ có số chiều bằng k thì ta
nói Γ có hạng k, do vậy 0 ≤ k ≤ d.
Nếu k = d ta nói Γ có hạng đầy đủ.
Nếu Γ là một dàn khác trong Rd được chứa trong Γ thì ta nói Γ là

dàn con của Γ.
Ví dụ 1.1.7. Zd là dàn có hạng đầy đủ trong Rd . Tổng qt hơn, ví
dụ điển hình về một dàn hạng k là: Zd ·v, trong đó v = (v1 , v2 , . . . , vk )
là một họ k vectơ độc lập tuyến tính trong Rd với 0 ≤ k ≤ d. Khẳng
định này là một phần của định lý sau:
Định lý 1.1.8. [Định lý cơ bản về dàn] Nếu Γ là một dàn có hạng
k trong Rd thì tồn tại các vectơ độc lập tuyến tính v1 , . . . , vk trong
Rd sao cho Γ = Zk · v. Nói riêng, mọi dàn hạng k đều hữu hạn sinh
và đẳng cấu (qua một phép biến đổi tuyến tính khả nghịch hạng k
từ khơng gian tuyến tính sinh bởi Γ tới Rd ) với dàn Zd . Hơn nữa,
nếu ω là một vectơ bất khả quy trong Γ ta chọn phép biểu diễn trên
là Γ = Zd · v để v = ω.
Định lý 1.1.9. [John] Cho B lồi, đối xứng trong Rd và Γ là dàn
hạng r trong Rd . Khi đó tồn tại w = (w1 , . . . , wr ) ∈ Γr gồm r vectơ
độc lập tuyến tính trong Γ và N = (N1 , . . . , Nr ) gồm r số nguyên
dương thỏa mãn:
(r−2r · B) ∩ Γ ⊆ (−N, N ) · w ⊆ B ∩ Γ ⊆ (−r2r N, r2r N ) · w.


12

Định lý 1.1.10. [Định lý cơ bản về nhóm cộng hữu hạn] Mọi nhóm
cộng hữu hạn G đều đẳng cấu với tổng trực tiếp của một số hữu
hạn nhóm xyclic ZN = Z N Z.
Chứng minh.
Gọi g1 , . . . , gd là tập hữu hạn các phần tử sinh của G.
Khi đó ánh xạ
φ :Zd −→ G là một toàn ánh
n −→ φ(n) := n · (g1 , . . . , gd )
và do đó G đẳng cấu với Zd φ−1 (0) là một nhóm con của Rd φ−1 (0).

Hạt nhân φ−1 (0) là dàn hạng k với 0 ≤ k ≤ d, do đó theo Định lý cơ
bản về dàn, nó được sinh bởi k vectơ độc lập tuyến tính v1 , . . . , vk
trong Zd .
Ta phải có k = d vì nếu khơng thì Zd φ−1 (0) là vơ hạn và do đó G vơ
hạn. Ta có thể viết φ−1 (0) là một dàn được sinh bởi N1 e1 , . . . , Nd ed
với một bộ số nguyên N1 , . . . , Nd ≥ 1. Do vậy
G

Z N1 Z ⊕ . . . ⊕ Z Nd Z.

Ta có điều phải chứng minh.


13

1.2
1.2.1

Một số ký hiệu
Về tập hợp và hàm

Với một tập A bất kỳ, ta sử dụng các kí hiệu:
Ad := A × A × . . . × A = {(a1 , . . . , ad ) : a1 , . . . , ad ∈ A}
là tích đề các d lần của A, chẳng hạn Zd là dàn số nguyên d- chiều.
Đôi khi ta ký hiệu Ad bởi A⊕d để phân biệt với tập các lũy thừa
bậc d của A là
A·d = A.A . . . A = A∧d := {ad : a ∈ A}.
Với hai tập A, B thì ta kí hiệu
A \ B := {a ∈ A : a ∈ B}
/

là hiệu của A và B.
B A := {ánh xạ f : A −→ B};
2A := {B : B ⊂ A}- họ tất cả các tập con củaA;
|A| lực lượng của tậpA.
Định nghĩa 1.2.1. [Hàm đặc trưng]
Nếu A ⊂ Z thì 1A : Z −→ {0, 1} là hàm đặc trưng (hay hàm chỉ
định) của tập A xác định bởi
1A (x) =

1 nếu x ∈ A
0 nếu x ∈ A.
/

(1.1)

Tương tự như vậy, nếu P là một tính chất nào đó thì đặt
I(P ) =
chẳng hạn 1A (x) = I(x ∈ A).

1 nếu P xảy ra
0 nếu trái lại

(1.2)


14

1.2.2

Về hệ thống số


Ta thường xuyên làm việc với tập các số nguyên Z và các tập
con của nó như:
Z+ := {1, 2, . . .}, N := Z≥0 = {0, 1, 2, . . .};
tập số thực R và các tập con của R như:
R+ := {x ∈ R : x > 0}, R≥0 := {x ∈ R : x ≥ 0};
tập các số phức C và nhóm đường tròn
R Z := {x + Z : x ∈ R}.
Với số tự nhiên N ∈ N, ta kí hiệu ZN := Z N Z là nhóm xyclic cấp
N và sử dụng kí hiệu n −→ n mod N cho phép chiếu chính tắc từ
Z lên ZN .
Nếu q là một lũy thừa nguyên tố thì Fq là trường hữu hạn cấp q.
Nói riêng nếu p là số ngun tố thì Fp có thể được đồng nhất với
Zp .
Với x ∈ R thì [x] là phần nguyên của x.
1.2.3

Ký hiệu tiệm cận Landau

Cho n là biến dương (thường lấy giá trị trên N, Z+ , R≥0 hoặc R+
và thường được giả thiết là lớn) và gọi f (n), g(n) là các hàm giá trị
của n. Khi đó
• g(n) = O(f (n)) nghĩa là f không âm và ∃C > 0 sao cho
|g(n)| ≤ Cf (n), ∀n.


15

• g(n) = Ω(f (n)) nghĩa là f, g khơng âm và ∃c > 0 sao cho
g(n) ≥ cf (n), ∀n đủ lớn.

• g(n) = θ(f (n)) nghĩa là ∃c, C > 0 sao cho
cf (n) ≤ g(n) ≤ Cf (n), ∀n.
• g(n) = o(f (n)) nghĩa là f khơng âm và g(n) = O(a(n)f (n))
với một hàm a(n) −→ 0 khi n → ∞; nếu f (n) > 0 thì điều đó
có nghĩa là
g(n)
= 0.
n→∞ f (n)
lim

• g(n) = ω(f (n)) nghĩa là f, g không âm và f (n) = o(g(n)).
Nếu các hằng số c, C hoặc hàm suy giảm a(n) phụ thuộc vào tham
số khác thì ta sẽ chỉ ra sự phụ thuộc đó bởi chỉ số dưới. Chẳng hạn
g(n) = Ok (f (n)) nghĩa là tồn tại hằng số dương Ck phụ thuộc vào
k sao cho g(n) ≤ Ck f (n), ∀n, . . ..
1.2.4

Về cấp cộng

Trong mục thứ nhất ta đã nhắc đến khái niệm cấp cộng và cấp
cộng suy rộng. Ở đây ta sẽ đề cập một cách chi tiết hơn. Với các số
nguyên a ≤ b ta gọi đoạn [a, b] là khoảng đóng rời rạc
[a, b] := {n ∈ Z : a ≤ n ≤ b}.
Tương tự
[a, b) := {n ∈ Z : a ≤ n < b}, . . .
Tổng quát hơn, nếu a = (a1 , . . . , ad ) và b = (b1 , . . . , bd ) ∈ Zd sao cho
aj ≤ bj , ∀j = 1, 2, . . . , d thì ta định nghĩa hộp rời rạc
[a, b] := {(n1 , . . . , nd ) ∈ Zd : aj ≤ nj ≤ bj , ∀1 ≤ j ≤ d},



16

[a, b) := {(n1 , . . . , nd ) ∈ Zd : aj ≤ nj < bj , ∀1 ≤ j ≤ d}, . . .
Định nghĩa 1.2.2. [Cấp cộng] Nếu Z là một nhóm cộng, thì ta
định nghĩa cấp cộng suy rộng (gọi tắt là cấp cộng) là tập hợp bất
kỳ có dạng P = a + [0, N ] · v, trong đó
a ∈ Z, N = (N1 , . . . , Nd ) ∈ Nd , [0, N ] ⊂ Zd
là một hộp rời rạc, v = (v1 , . . . , vd ) ∈ Zd , ánh xạ
· : Zd × Z d −→ Z là tích chấm
(n1 , . . . , nd ) · (v1 , . . . , vd ) := n1 v1 + . . . + nd vd ,
và [0, N ] · v := {n · v := n ∈ [0, N ]}.
Nói cách khác,
P := {a + n1 v1 + . . . + nd vd : 0 ≤ nj ≤ Nj , ∀1 ≤ j ≤ d}.
Ta gọi a là điểm nền của P , v = (v1 , . . . , vd ) là các vectơ cơ sở của
P , N là chiều của P , d là số chiều hay hạng của P và
d

vol(P ) := |[0, N ]| =

(Nj + 1)
j=1

là thể tích của [0, N ].
Định nghĩa 1.2.3. [Cấp cộng proper] Ta nói cấp cộng P là proper
nếu ánh xạ n −→ n · v là đơn ánh trên [0, N ] hay nếu lực lượng của
P bằng thể tích của P . Trường hợp P khơng là proper xảy ra khi
các vectơ cơ sở của nó phụ thuộc tuyến tính trên Z.
Ta nói P là đối xứng nếu −P = P , chẳng hạn
[−N, N ] · v = −N · v + [0, 2N ] · v
là một cấp cộng đối xứng.



17

Định nghĩa 1.2.4. [Năng lượng cộng tính] Nếu A, B là các tập
cộng tính trong cùng một nhóm Z, ta định nghĩa năng lượng cộng
tính E(A, B) là lượng
E(A, B) := |{(a, a , b, b ) ∈ A × A × B × B : a + b = a + b }|.
Định lý 1.2.5. [Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz] Cho A, B là các
tập cộng tính. Ta có
E(A, B) ≤ E(A, A)1/2 E(B, B)1/2 .


18

1.3

Biến đổi Fourier

Cho Z là nhóm cộng hữu hạn (ví dụ như nhóm xyclic ZN ). Trong
mục này ta nhắc lại lý thuyết cơ bản của biến đổi Fourier trên các
nhóm hữu hạn đó. Giải tích Fourier dựa trên tính đối ngẫu giữa
một nhóm Z và đối ngẫu Pontryagin Z của nó, Z là khơng gian tất
cả các đồng cấu từ Z vào nhóm R/Z. Trong trường hợp Z là nhóm
hữu hạn, thì ta sẽ chỉ ra rằng Z và Z ln đẳng cấu, do đó ta sẽ
đồng nhất hai nhóm này với nhau. Điều này được thực hiện nhờ
dạng song tuyến tính khơng suy biến.
Định nghĩa 1.3.1. [Dạng song tuyến tính] Một dạng song tuyến
tính trong nhóm cộng Z là một ánh xạ (ξ, x) −→ ξ · x từ Z × Z vào
R/Z sao cho nó là một đồng cấu theo từng biến ξ, x.

Dạng song tuyến tính đó gọi là khơng suy biến nếu ∀ξ = 0 ánh xạ
x −→ ξ · x không đồng nhất bằng 0 và với ∀x = 0 ánh xạ ξ −→ ξ · x
không đồng nhất bằng 0; là đối xứng nếu ξ · x = x · ξ.
Ví dụ 1.3.2. Nếu Z là một nhóm xyclic ZN thì dạng song tuyến
tính xξ =

xξ
N

là đối xứng và khơng suy biến. Nếu Z là một không

gian vectơ F n trên trường hữu hạn F thì dạng song tuyến tính
(x1 , x2 , . . . , xn ) · (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) = φ(x1 ξ1 + . . . + xn ξn )
là đối xứng và không suy biến khi φ : F −→ R/Z là đồng cấu
khơng tầm thường từ F vào R/Z (ví dụ nếu F = Zp ta có thể lấy
φ(x) = x ).
p
Với sự lựa chọn cụ thể này ta còn có aξ · x = ξ · ax, ∀a ∈ F ; x, ξ ∈ Z.
Bổ đề 1.3.3. [Sự tồn tại dạng song tuyến tính] Mỗi nhóm cộng
hữu hạn Z có ít nhất một dạng song tuyến tính đối xứng không suy
biến.


19

Chứng minh. Từ Định lý cơ bản của nhóm cộng hữu hạn 1.1.10 ta
có mỗi nhóm cộng hữu hạn là tổng trực tiếp của các nhóm xyclic.
Trong ví dụ 1.3.2 ta lại có mỗi nhóm xyclic đều có một dạng song
tuyến tính đối xứng khơng suy biến. Hơn nữa, nếu Z1 và Z2 có dạng
song tuyến tính đối xứng khơng suy biến thì tổng trực tiếp Z1 ⊕ Z2

cũng có dạng song tuyến tính đối xứng khơng suy biến, được định
nghĩa bởi
(ξ1 , ξ2 ) · (x1 , x2 ) = ξ1 · x1 + ξ2 · x2 .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.3.4. Mỗi nhóm cộng tính Z thường có nhiều dạng song
tuyến tính nhưng theo giải tích Fourier thì chúng đều tương đương
nhau. Tính đối xứng có một vài ưu thế nhưng khơng phải là nhất
thiết đối với lý thuyết Fourier. Vì biến khơng gian và biến tần số
nói chung có vai trị rất khác nhau.
Từ nay trở đi, ta cố định một nhóm cộng hữu hạn Z, cùng với
một dạng song tuyến tính khơng suy biến ξ · x.
Để trình bày về giải tích Fourier, sẽ thuận lợi hơn khi ta dùng ký
hiệu của lý thuyết "ergodic".
Gọi CZ là không gian các hàm giá trị phức f : Z −→ C. Nếu
f ∈ CZ , ta định nghĩa giá trị trung bình hay kỳ vọng của f bởi
EZ (f ) = Ex∈Z f (x) :=

1
|Z|

f (x)

(1.3)

x∈Z

Tương tự, nếu A ⊆ Z, ta xác định mật độ hay xác suất của A, là
giá trị
PZ (A) = Px∈Z (x ∈ A) = EZ (1A ) =


|A|
|Z|

(1.4)


20

Ta cũng có thể sử dụng các ký hiệu này đối với một tập hữu hạn,
khác rỗng bất kỳ, chẳng hạn
Ex∈A,y∈B f (x, y) :=

1
|A||B|

f (x, y).
x∈A,y∈B

Ký hiệu này không chỉ gợi ý đến mối liên hệ giữa giải tích Fourier,
lý thuyết ergodic và xác suất mà nó cịn rất gọn vì ngồi việc lấy
tổng nó cịn bao gồm các thủ tục chuẩn hóa (chia cho |Z|). Nói
chung, ta sẽ sử dụng ký hiệu ergodic cho các biến không gian và sử
dụng ký hiệu rời rạc

ξ∈Z

f (ξ) và |A| (không có chuẩn hóa theo

|Z|) cho biến tần số. Ta cũng sẽ thường xuyên sử dụng hàm số mũ
e : R/Z −→ C được định nghĩa bởi

e(θ) = e2πiθ .
Hai tính chất trực giao sau tạo thành nền móng cho giải tích Fourier.
Bổ đề 1.3.5. [Tính trực giao]
Với bất kỳ ξ, ξ ∈ Z, ta có
Ex∈Z e(ξ · x)e(ξ · x) = I(ξ = ξ )
và với mọi x, x ∈ Z, ta có
e(ξ · x)e(ξ · x ) = |Z|I(x = x ).
ξ∈Z

Chứng minh. Ta chỉ chứng minh đồng nhất thức thứ nhất, đồng
nhất thức thứ hai làm tương tự.
Vì e(ξ · x)e(ξ · x) = e((ξ − ξ ) · x) nên ta chỉ cần chứng minh trong
trường hợp ξ = 0, nghĩa là chứng minh Ex∈Z e(ξ · x) = I(ξ = 0).
Điều này đúng trong trường hợp ξ = 0. Nếu ξ = 0 thì do tính không
suy biến, ∃h ∈ Z sao cho e(ξ · h) = 1. Thay x bởi x + h ta có:
Ex∈Z e(ξ · x) = Ex∈Z e(ξ · (x + h)) = e(ξ · h)Ex∈Z e(ξ · x)


21

nên Ex∈Z e(ξ · x) = 0 = I(ξ = 0) như mong muốn. Với mỗi ξ ∈ Z ta
có thể định nghĩa một đặc trưng liên kết eξ ∈ CZ bởi eξ (x) = e(ξ ·x).
Bổ đề trên chứng tỏ rằng eξ là một hệ trực chuẩn trong CZ , với
cấu trúc không gian Hilbert phức
f, g

CZ

= EZ (f g) = Ex∈Z f (x)g(x).


Vì số các đặc trưng |Z| bằng với số chiều của không gian, nên ta
thấy hệ đó là một hệ trực chuẩn đầy đủ. Từ đây ta có:
Định nghĩa 1.3.6. [Biến đổi Fourier] Nếu f ∈ CZ , thì ta định
nghĩa biến đổi Fourier f ∈ CZ bởi công thức
f (ξ) := f, eξ

CZ

= Ex∈Z f (x)e(ξ · x).

Ta gọi f (ξ) là hệ số Fourier của f tại tần số ξ.
Vì eξ là cơ sở trực chuẩn đầy đủ nên ta có đồng nhất thức Parseval
1

1

(EZ |f |2 ) 2 =

|f (ξ)|2 2 ,

(1.5)

ξ∈Z

định lý Plancherel
f, g

CZ

=


f (ξ)g(ξ),

(1.6)

ξ∈Z

và cơng thức Fourier ngược
f=

f (ξ)eξ .

(1.7)

ξ∈Z

Nói riêng, hai hàm là bằng nhau nếu và chỉ nếu các hệ số Fourier
của chúng bằng nhau tại mọi tần số.
Nói cách khác: biến đổi Fourier là một song ánh từ CZ vào CZ .


22

Từ Bổ đề 1.3.5 ta thấy các hệ số Fourier của đặc trưng eξ chính là
hàm delta Kronecker: eξ (ξ ) = I(ξ = ξ ).
Trường hợp đặc biệt 1(ξ) = I(ξ = 0). Một vai trò đặc biệt trong
lý thuyết cộng tính của biến đổi Fourier được thực hiện bởi tần số
khơng ξ = 0.
Đó là vì, hệ số Fourier khơng chính là khái niệm kỳ vọng
f (0) = f, 1


CZ

= EZ (f ).

Nếu S là tập con của Z thì phần bù trực giao S ⊥ ⊆ Z của S là tập
S ⊥ := {ξ ∈ Z : ξ · x = 0, ∀x ∈ S}.
Dễ thấy S ⊥ là một nhóm con của Z. Hơn nữa, ta có đồng nhất thức
1G = PZ (G)1G⊥ ,
với mọi nhóm con G của Z.
Bây giờ ta đưa ra khái niệm cơ bản là tích chập, là khái niệm liên
kết biến đổi Fourier với lý thuyết về các tập tổng.
Định nghĩa 1.3.7. [Tích chập] Nếu f, g ∈ L2 (Z) là các biến ngẫu
nhiên, ta định nghĩa tích chập của chúng là biến ngẫu nhiên f ∗ g
f ∗ g(x) = Ey∈Z f (x − y)g(y) = Ey∈Z f (y)g(x − y).
Ta cũng định nghĩa giá supp(f ) của f là tập hợp
supp(f ) = {f = 0} = {x ∈ Z : f (x) = 0}.
Ý nghĩa của tích chập đối với các tập tổng nằm trong phép nhúng
hiển nhiên sau
supp(f ∗ g) ⊆ supp(f ) + supp(g)


23

và đặc biệt là trong đẳng thức
A + B = supp(1A ∗ 1B ).
Thật vậy, ta có khẳng định cụ thể hơn nữa
1A ∗ 1B (x) = PZ (A ∩ (x − B)).
Sự liên quan của biến đổi Fourier với tích chập nằm trong cơng thức
sau

f ∗ g = f · g.

(1.8)

Áp dụng (1.8) tại tần số khơng ta có công thức cơ bản
EZ (f ∗ g) = (EZ f ) · (EZ g).

(1.9)

Nói riêng, nếu f hoặc g có kỳ vọng bằng khơng thì f ∗ g cũng có
kỳ vọng bằng không. Như một hệ quả của (1.8), ta thấy rằng tích
chập là song tuyến tính, đối xứng và kết hợp. Ta cũng có cơng thức
f ∗ g(ξ) =

f (η)g(ξ − η).
η∈Z

Cơng thức này chuyển tích từng điểm thành tích chập.
Định lý 1.3.8. [Markov] Cho X là biến khơng âm. Khi đó với mọi
số thực dương λ,
E(X)
.
λ
Hệ quả 1.3.9. Cho H là nhóm nhân con của Fp thỏa mãn
P(X ≥ λ) ≤

|H| ≥ pδ , ∀ 0 < δ ≤ 1.
Khi đó tồn tại ε = ε(δ) > 0 chỉ phụ thuộc vào δ, sao cho
E(A, H) ≤ p−ε |A||H|2 , ∀A ⊆ Fp , 1 ≤ |A| ≤ p1−δ
nếu p đủ lớn và phụ thuộc δ.



24

Không gian Lp, 1 ≤ p ≤ ∞ trong tổ hợp cộng
tính

1.4

Chúng ta quay trở lại lý thuyết giải tích về biến đổi Fourier và
tích chập, bắt đầu với lý thuyết Lp và sau đó ứng dụng nó vào bài
tốn xác định cấp số học của các tập hợp tổng.
Định nghĩa 1.4.1. Cho p ∈ R với 1 ≤ p < ∞; ta định nghĩa
Lp (Ω) = {f : Ω −→ R hoặc C; f đo được và |f |p khả tích},
L∞ (Ω) = {f : Ω −→ R hoặc C; f đo được và ∃C : |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi}.
Và ký hiệu
f

p

|f (x)|p dx

=

1
p

,

Ω


f

∞

= inf{|f (x)| ≤ C hầu khắp nơi}.

Nhận xét 1.4.2. Nếu f ∈ L∞ (Ω) thì |f (x)| ≤ ||f ||∞ tại hầu hết
x ∈ Ω.
Định lý 1.4.3. Lp là một không gian vectơ và

·

p

là một chuẩn

với 1 ≤ p ≤ ∞.
Định nghĩa 1.4.4. Nếu f ∈ CZ và 0 < p < ∞, ta định nghĩa
Lp (Z)- chuẩn của f là giá trị
f
Chẳng hạn f

1

Lp (Z)

L2 (Z)

1


:= (EZ |f |p ) p = (Ex∈Z |f (x)|p ) p .

là độ dài trong không gian Hilbert của f .

Ta cũng định nghĩa
f

L∞ (Z)

= sup |f (x)|.
x∈Z


25

Tương tự, ta định nghĩa
1
p


f

lp (Z)

|f (ξ)|p  , 0 < p < ∞

=
ξ∈Z


và
f

l∞ (Z)

:= sup |f (ξ)|.
ξ∈Z

Ta có hai Lp - đánh giá đối với biến đổi Fourier và tích chập như
sau:
Định lý 1.4.5. Cho f, g : Z −→ C là các hàm trong nhóm cộng Z.
Khi đó với mọi 1 ≤ p ≤ 2 ta có bất đẳng thức Hausdorff- Young
f

lp (Z)

≤ f

Lp (Z) ,

ở đó số mũ đối ngẫu p của p được định nghĩa bởi
Hơn nữa, với bất cứ 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ thoả mãn

1
p

1
p

+


+
1
q

1
p

=

= 1.
1
r

+ 1 ta có

bất đẳng thức Young
f ∗g

Lr (Z)

≤ f

Lp (Z)

g

Lq (Z) .

Từ khái niệm năng lượng cộng tính E(A, B) giữa hai tập hợp

cộng tính A, B trong Z ta thấy:
E(A, B) = |Z|3 1A ∗1B

2
L2 (Z) .

Theo đồng nhất thức Parseval (1.5) và mối liên hệ giữa biến đổi
Fourier và tích chập, ta có đồng nhất thức cơ bản
E(A, B) = |Z|3 E(1A , 1B ) = |Z|3

|1A (ξ)|2 |1B (ξ)|2 .
ξ∈Z

Cơng thức này có thể làm sáng tỏ một vài thuộc tính của năng
lượng cộng tính, thí dụ như tính đối xứng
E(A, B) = E(B, A) = E(A, −B)