LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin trân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học;
các Giáo sư, Tiến sĩ cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong Khoa
Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ và tạo
điều kiện thuận lợi để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình
học tập, thực hiện đề tài và nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, em xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn
đề tài và tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn này.
Tác giả xin trân thành cảm ơn UBND tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD - ĐT
tỉnh Vĩnh Phúc, BGH trường THPT Ngô Gia Tự huyện Lập Thạch tỉnh
Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành
luận văn.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót nhất định.Tác giả xin chân thành cảm ơn đã
nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
học viên.
Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2011
Tác giả
Phạm Quốc Huy
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào,
luận văn tốt nghiệp “Cấu trúc (DN) và (DN
ϕ
) của đối ngẫu của
không gian mầm các hàm chỉnh hình” được hoàn thành bởi sự nhận
thức của chính bản thân tác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nào
khác.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2011
Tác giả

Phạm Quốc Huy
Mục lục
MỞ ĐẦU 1
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1. Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Đối ngẫu và tô pô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Pôla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Tích tensor của các không gian lồi địa phương . . . . . . 16
1.4.1. Tích tensor xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Đa thức trên không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . 18
1.6. Ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7. Tô pô trên không gian các ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . 28
1.8. không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . 30
2 CẤU TRÚC (D
¯¯
N
¯
) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN
MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 33
2.1. Khái niệm về bất biến tô pô tuyến tính (D
¯¯
N
¯
) . . . . . . 34
2.1.1. Lưu ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2. Một số điều kiện tương đương . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ii
iii
2.3.1. Không gian dãy K¨othe . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.2. Không gian các dãy giảm nhanh . . . . . . . . . . 46
2.3.3. Không gian các chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . 46
2.4. Cấu trúc (D
¯¯
N
¯
) của không gian [H(O
E
)]
∗
. . . . . . . . . 47
2.5. Cấu trúc (D
¯¯
N
¯
) của không gian [H(K)]
∗
. . . . . . . . . . 51
3 CẤU TRÚC (DN
ϕ
) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG
GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 55
3.1. Một số khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2. Cấu trúc (DN
ϕ
) của không gian [H(O
E
)]
∗
. . . . . . . . 56

3.3. Cấu trúc (DN
ϕ
) của không gian [H(K)]
∗
. . . . . . . . 57
KẾT LUẬN 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO 64
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Từ kết quả của Mujica [10], không gian mầm H(K) là chính quy,
với tập compact K trong không gian Frechet E. Từ đó, ta suy ra rằng
[H(K)]
∗
là một không gian Frechet. Không gian Frechet là một trường
hợp điển hình của không gian lồi địa phương khả metric đầy với nhiều
tính chất đặc trưng của giải tích phức vô hạn chiều. Việc nghiên cứu sâu
về lớp không gian này có được nhờ vào các tính chất tô pô đặc trưng của
nó. Các bất biến tô pô tuyến tính đã được đề xuất từ những năm 1980
và đến nay đã trở thành một hướng nghiên cứu được nhiều nhà Toán
học quan tâm. Các bất biến tô pô tuyến tính đem lại những đặc trưng
đẹp đẽ cho lớp không gian Frechet. Những kết quả đạt được về sự phân
loại lớp các không gian này cũng đem lại nhiều áp dụng cho nhiều lĩnh
vực của Toán học giải tích.
Cấu trúc của không gian [H(K)]
∗
cũng đã được một số tác giả quan
tâm nghiên cứu. Chẳng hạn, khi E = C
n
, Zaharjuta [16] đã chứng tỏ
rằng [H(K)]

∗
có tính chất

Ω

khi và chỉ khi K là tập compact và L
- chính quy. Kết quả của Meise -Vogt [9] về cấu trúc loại (Ω) đối với
các không gian mầm các hàm chỉnh hình xác định trên các không gian
Frechet hạch, đã được P. T. Danh – N. V. Khuê [3] mở rộng tới trường
hợp đối với không gian Frechet. Các cấu trúc loại

Ω

và


Ω

của lớp
không gian này cũng đã được N. V. Đông [6] nghiên cứu. Một số đặc
trưng đối với cấu trúc (LB
∞
), (DN) và


Ω

của lớp không gian mầm
cũng thu được bởi L. M. Hải – P. H. Bằng [7]. Được sự định hướng của
người hướng dẫn em chọn đề tài

“CẤU TRÚC (DN) VÀ (DN
ϕ
) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA
KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH”
2
Bố cục của luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo
được trình bày trong ba chương.
Chương 1. Chương này được bắt đầu bằng việc giới thiệu một số các
khái niệm và đưa ra một số kết quả quan trọng về không gian lồi địa
phương; các khái niệm về cặp đối ngẫu tô pô pôla; tích tensor; đa thức
trên không gian lồi địa phương và một số khái niệm về ánh xạ chỉnh
hình và tô pô trên không gian các ánh xạ chỉnh hình.
Chương 2. Trình bày khái niệm về bất biến tô pô (DN) , đưa ra một
số điều kiện tương đương và ví dụ về bất biến tô pô tuyến tính (DN) .
Trình bày hai kết quả về cấu trúc (DN) của đối ngẫu của không gian
mầm hàm chỉnh hình.
Chương 3. Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm về bất
biến tô pô tuyến tính (DN
ϕ
) trên không gian Frechet. Hai kết quả chính
trong chương này là để không gian [H(O
E
)]
∗
có tính chất (DN
ϕ
) thì E
là một không gian Frechet tiệm cận chuẩn có cơ sở tuyệt đối; đối với đối
ngẫu của không gian mầm của các hàm chỉnh hình [H(K)]
∗

có tính chất
(DN
ϕ
) thì K phải là tập compact cân trong không gian Frechet Hilbert
tiệm cận chuẩn.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về cấu trúc (DN) và (DN
ϕ
) của đối ngẫu của
không gian mầm các hàm chỉnh hình.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về bất biến tô pô tuyến tính (DN), (DN
ϕ
) trên không
gian Frechet.
Nghiên cứu cấu trúc (DN) và (DN
ϕ
) của không gian [H(O
E
)]
∗
và
không gian [H(K)]
∗
.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
3
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
5. Dự kiến đóng góp luận văn

Trình bày một cách hệ thống về bất biến tô pô tuyến tính trên lớp
không gian Frechet cùng các điều kiện tương đương của nó thông qua
hệ cơ sở lân cận hệ đếm được các nửa chuẩn xác định tô pô của nó.
Đưa ra một số điều kiện tương đương của các tập compact K trong
không gian Frechet E để từ đó xác định cấu trúc (DN) và (DN
ϕ
) của
các không gian Frechet [H(O
E
)]
∗
và [H(K)]
∗
.
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian lồi địa phương
Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một không gian véc tơ và A là một tập
con của E
i) Tập A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có λx+ (1 −λ)y ∈ A,
trong đó λ ≥ 0,
ii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A ta có λx ∈ A khi |λ| ≤ 1.
iii) Tập A được gọi là lồi tuyệt đối nếu nó đồng thời lồi và cân.
iv) Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn
n

i=1
λ
i
x

i
với λ
i
≥ 0,
n

i=1
λ
i
= 1, x
i
∈ A
là một tập lồi chứa A và được gọi là bao lồi của A.
v) Bao tuyệt đối lồi của A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu
hạn
n

i=1
λ
i
x
i
với λ
i
≥ 0,
n

i=1
λ
i

≤ 1 và với mọi x
i
∈ A (là tập tuyệt đối lồi
nhỏ nhất chứa A.)
vi) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ A, tồn tại λ > 0 sao cho
x ∈ µA với mọi µ mà |µ| ≥ λ
Định nghĩa 1.1.2. Một không gian véc tơ có một cơ sở gồm những lân
cận cân lồi của điểm gốc được gọi là không gian véc tơ lồi địa phương
4
5
(không gian lồi địa phương) và tô pô của nó gọi là tô pô lồi địa phương.
Định nghĩa 1.1.3. a) Giả sử E là một không gian véc tơ tô pô lồi địa
phương trên K (K = C hoặc K = R). Một hàm p xác định trên E có
giá trị thực và không âm (hữu hạn) được gọi là nửa chuẩn nếu với mọi
x, y ∈ E và λ ∈ K ta có
+) p(x) ≥ 0.
+) p (λx) = |λ|.p (x) .
+) p (x + y) ≤ p (x) + p (y) .
b) Một nửa chuẩn p tương đương với tập hợp tuyệt đối lồi và hút A
được gọi là hàm cỡ của tập A.
Mệnh đề 1.1.1. Trong một không gian lồi địa phương E, một nửa
chuẩn, p là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm gốc.
Chứng minh. Nếu p liên tục tại điểm gốc và ε > 0 là một số cho trước
thì tồn tại một lân cận V sao cho p (x) < ε khi x ∈ V. Do đó, với a một
điểm tuỳ ý của E, ta có |p (x) − p (a)| ≤ p (x − a) < ε khi x ∈ a + V. 
Định nghĩa 1.1.4. Không gian véc tơ E được gọi là khả định chuẩn
nếu tô pô của nó có thể xác định được bởi một chuẩn p.
Mệnh đề 1.1.2. Không gian lồi địa phương E là khả metric khi và chỉ
khi nó là tách và có một cơ sở lân cận của điểm gốc đếm được. Tô pô của
một không gian khả metric luôn có thể xác định được bởi một metric, bất

biến đối với các phép tịnh tiến.
Chứng minh. Nếu E là khả metric thì dĩ nhiên nó là tách và có một
cơ sở đếm được những lân cận của điểm gốc.
Ngược lại, giả sử E có một cơ sở lân cận đếm được. Khi đó, bởi vì
mỗi lân cận đều chứa một lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn tại một cơ sở
(u
n
) những lân cận tuyệt đối lồi. Gọi p
n
là hàm cỡ của u
n
.
6
Đặt
f (x) =
∞

n=1
2
−n
inf {p
n
(x) , 1}.
Thế thì
f (x + y) ≤ f (x) + f (y) , f (−x) = f (x) .
Hơn nữa bởi vì E là tách nên nếu f (x) = 0 thì p
n
(x) = 0, với mọi n và
x = 0. Đặt d (x, y) = f (x − y) thì d là một metric và
d (x + z, y + z) = d (x, y)

Như vậy d là bất biến đối với các phép tịnh tiến. Trong tô pô metric,
các tập hợp
V
n
=

x : f (x) < 2
−n

lập thành một cơ sở lân cận. Nhưng V
n
là mở đối với tô pô xuất phát
bởi mỗi p
n
và cả f liên tục. Hơn nữa V
n
⊂ U
n
, bởi vì nếu x /∈ U
n
thì
p
n
(x) ≥ 1, vậy f (x) ≥ 2
−n
. Thành thử d xác định một tô pô xuất phát
của E. 
Định nghĩa 1.1.5. Một phiếm hàm dưới tuyến tính ϕ (x) (trong không
gian thực hay phức) là một sơ chuẩn nếu ϕ (αx) = |α|ϕ (x) với mọi
x ∈ X và mọi số α ∈ K.

Mệnh đề 1.1.3. Một hàm p : X → R là sơ chuẩn khi và chỉ khi nó là
hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút; nó là một sơ chuẩn khi và chỉ khi nó
là một hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút và không chứa trọn một đường
thẳng nào.
Chứng minh. Nếu B là một tập lồi, cân, hút thì hàm cỡ p
B
của nó
nghiệm đúng đẳng thức
p
B
(−x) = p
B
(x) .
Do đó
p
B
(αx) = −αp
B
(−x) , với mọi α < 0.
7
Điều đó chứng tỏ rằng p
B
(αx) = |α|p
B
(x) ; với mọi α và p
B
là một sơ
chuẩn.
Ngược lại, nếu p là một sơ chuẩn thì tập B = {x : p (x) < 1} lồi vì
với x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có

p (αx + (1 − α) y) ≤ αp (x) + (1 −α) p (y) < 1.
Hơn nữa B là cân đối vì p (x) < 1 kéo theo p (−x) = p (x) < 1 và B
cũng là hút vì nếu x ∈ X và λ > p(x) thì p (x/λ) = p (x) /λ < 1. Dễ
thấy p (x) = inf {λ > 0 : x ∈ λB} cho nên p (x) = p
B
(x) . Sau cùng, nếu
p là một chuẩn thì với mọi x = 0, p (x) > 0 cho nên p (αx) = αp (x) ≥ 1
(với α đủ lớn), tức là αx = B, chứng tỏ B không chứa chọn đường thẳng
nào qua 0 và x. 
Mệnh đề 1.1.4. Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơ
chuẩn Γ tùy ý. Trên X có một tô pô tương thích với cấu trúc đại số,
trong đó mỗi sơ chuẩn thuộc họ Γ đều liên tục. Tô pô ấy lồi địa phương
và nhận làm cơ sở lân cận của gốc họ tất cả các tập có dạng

x : sup
1≤i≤n
p
i
(x) < ε

(ε > 0, p
i
∈ Γ) . (1.1)
Nó là một tô pô Hausdorff khi và chỉ khi
(x = 0) (∃p ∈ Γ) p (x) > 0. (1.2)
Chứng minh. Cho B
0
là họ tất cả các tập có dạng V = {x : p (x) < 1},
với p ∈ Γ. Khi đó, các tập V lồi cân, hút nên có một tô pô trên X tương
hợp với cấu trúc đại số, mà trong đó mỗi tập V là một lân cận, tức là

theo mệnh đề 1.1.3, mỗi sơ chuẩn p ∈ Γ là liên tục. Tô pô ấy lồi địa
phương, với cơ sở lân cận là họ tất cả các tập có dạng
ε
n
∩
i=1
V
i
(ε > 0, V
i
∈ B
0
) .
8
Nhưng rõ ràng
ε
n
∩
i=1
V
i
= {εx : p
i
(x) < 1, i = 1, 2, 3, , n}
= {εx : p
i
(x) < ε, i = 1, 2, 3, , n}
=

x : sup

1≤i≤n
p
i
(x) < ε

Nghĩa là tập ε
n
∩
i=1
V
i
(ε > 0, V
i
∈ B
0
) chính là các tập (1.1).
Mặt khác, X là không gian Hausdorrff khi và chỉ khi giao của tất cả các
tập (1.1) là {0}, mà điều này lại tương đương với: bất kỳ x = 0 tồn tại
một tập (1.1) không chứa x, tức là tồn tại một số ε > 0 và một p ∈ Γ
sao cho p (x) > ε. 
Định nghĩa 1.1.6. a) Một không gian lồi địa phương mà tô pô được
xác định bởi một họ sơ chuẩn Γ hữu hạn hoặc đếm được, và thoả mãn
điều kiện tách (1.2) gọi là không gian đếm được chuẩn.
b) Một không gian đếm được chuẩn và đủ gọi là không gian Frechet.
Như vậy mọi không gian Banach (Không gian định chuẩn đủ) đều là
không gian Frechet.
c) Một tập lồi, cân đối, đóng và hấp thu trong một không gian lồi
địa phương gọi là một thùng. Một không gian lồi địa phương trong đó
mọi thùng đều là lân cận của điểm gốc gọi là không gian thùng với mọi
không gian Frechet là không gian thùng.

Định nghĩa 1.1.7. Cho I là tập chỉ số định hướng tuỳ ý. Với mỗi α ∈ I
và υ
α
: E → E
α
là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ E vào
không gian lồi địa E
α
. Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô yếu nhất trên E
sao cho tất cảc các ánh xạ υ
α
là liên tục.
Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính
η : G → E của một không gian véc tơ G vào E là liên tục khi và chỉ khi
υ
α
◦ η là liên tục với mọi α ∈ I.
Định nghĩa 1.1.8. Cho I là tập chỉ số định hướng. Với mỗi α ∈ I, cho
9
E
α
là một không gian lồi địa phương và giả sử rằng với mỗi α ≤ β, tồn
tại một ánh xạ tuyến tính liên tục u
αβ
: E
α
→ E
β
sao cho
i) u

αα
là ánh xạ đồng nhất, với mỗi α ∈ I.
ii) u
αβ
◦ u
βγ
= u
αγ
, với mọi α ≤ β ≤ γ.
Khi đó họ các không gian và các ánh xạ tuyến tính {E
α
, u
αβ
} được gọi
là một hệ xạ ảnh. Không gian con
E = {{x
α
} ∈

α∈I
E
α
: u
αβ
(x
β
) = x
α
, với mọi α ≤ β}
của


α∈I
E
α
với tô pô cảm sinh được gọi là giới hạn xạ ảnh của {E
α
, u
αβ
}
và ta viết là
E = lim poj
α
E
α
.
Mệnh đề 1.1.5. Mỗi không gian lồi địa phương là giới hạn xạ ảnh của
một họ không gian định chuẩn.
Chứng minh. Cho X là một không gian lồi địa phương bất kỳ, Γ là
một họ sơ chuẩn ứng với một cơ sở lân cận B của X. Ta biết trong một
không gian lồi địa phương, họ các tập bị chặn yếu trùng với họ các tập
bị chặn nên ta thấy rằng với mỗi p ∈ Γ tập p
−1
(0) là một không gian con
của X và p xác định một chuẩn trên không gian thương X
p
= X/p
−1
(0) .
Khi ấy, gọi u
p

là ánh xạ cho tương ứng với x ∈ X phần tử ˜x ∈ X
p
( ˜x
là lớp các x

∈ X với p (x

− x) = 0 ) và theo mệnh đề 1.1.4 ta thấy X
chính là giới hạn xạ ảnh của các X
p
đối với u
p
. 
Mệnh đề 1.1.6. [12] Giới hạn xạ ảnh của họ các không gian lồi địa
phương đầy là đầy.
Mệnh đề 1.1.7. [12] Nếu E là không gian lồi địa phương Hausdorff và
đầy thì
E = lim proj
α

E/ ker α
ở đây, α chạy trên tất cả các nửa chuẩn liên tục trên E.
10
Mệnh đề 1.1.8. [12] Cho E là giới hạn xạ ảnh của các không gian lồi
địa phương E
α
đối với các ánh xạ υ
α
. Một tập M trong E bị chặn khi và
chỉ khi υ

α
(M) cũng bị chặn.
Định nghĩa 1.1.9. Cho I là một tập chỉ số định hướng tuỳ ý. Với mỗi
α ∈ I, cho υ
α
: E
α
→ E là một ánh xạ tuyến tính từ không gian lồi địa
phương E
α
vào không gian véc tơ E =
∪
α
υ
α
(E
α
) . Tô pô quy nạp trên E
là tô pô mạnh nhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ υ
α
là liên tục.
Tô pô quy nạp trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính
η : E → C là liên tục khi và chỉ khi η ◦ υ
α
là liên tục với mọi α ∈ I.
Định nghĩa 1.1.10. Cho không gian véc tơ E là hợp của một họ các
không gian lồi địa phương {E
α
} được định hướng bởi quan hệ bao hàm
và mỗi ánh xạ bao hàm E

α
→ E
β
là liên tục. Khi đó, E được trang bị
bởi tô pô quy nạp với các ánh xạ bao hàm E
α
→ E được gọi là giới hạn
quy nạp của các không gian con E
α
và được ký hiệu bởi
E = lim ind
α
E
α
.
Ví dụ 1.1.1. Ví dụ đơn giản và quan trọng về giới hạn quy nạp là không
gian thương. Cho X
0
là một không gian lồi địa phương, M là một không
gian tuyến tính con của X
0
và X = X
0
/M. Gọi υ là ánh xạ chính tắc từ
X
0
vào X (tức là ánh xạ cho tương ứng với mỗi x ∈ X
0
lớp tương đương
˜x chứa nó), thì dễ thấy rằng tô pô thương chính là tô pô lồi địa phương

mạnh nhất để η liên tục.
Định nghĩa 1.1.11. Cho E = lim ind
α
E
α
là giới hạn quy nạp của các
không gian con E
α
. Khi đó ta nói rằng
i) E là giới hạn quy nạp chặt nếu E
α
có tô pô cảm sinh của F
β
mỗi
khi E
α
⊂ E
β
.
ii) E là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E là hội tụ.
iii) E là giới hạn quy nạp chính quy nếu mọi tập bị chặn của E là bị
chứa và bị chặn trong E
α
.
11
iv) E là giới hạn quy nạp chính quy Cauchy nếu cho trước B ⊂ E bị
chặn thì tồn tại α sao cho B bị chứa và bị chặn trong E
α
và ngoài ra
mọi lưới {x

α
} ⊂ B là E - Cauchy nếu và chỉ nếu nó là E
α
- Cauchy.
Mệnh đề 1.1.9. [12] Cho E = lim ind
n
E
n
là giới hạn quy nạp chặt của
một dãy các không gian con E
n
thì
i) Mỗi E
n
có tô pô cảm sinh của E.
ii) Nếu E
n
trong E
n+1
với mọi n thì E = lim ind
n
E
n
là giới hạn quy
nạp chính quy Cauchy.
iii) Nếu mỗi E
n
là Hausdorff và đầy thì E là Hausdorff và đầy.
1.2. Đối ngẫu và tô pô yếu
Định nghĩa 1.2.1. Một cặp đối ngẫu là bộ ba (E, F ; ·) hoặc viết

(E, F ) trong đó
i) E và F là hai không gian véc tơ trên cùng một trường vô hướng.
ii) · : E × F → K là dạng song tuyến tính thoả mãn
D
E
) nếu x, u = 0, với mọi u ∈ F thì x = 0.
D
F
) nếu x, u = 0, với mọi x ∈ E thì u = 0.
Ta có · : E × F → K là song tuyến tính nếu
a) Với mọi u ∈ F ánh xạ x → x, u là dạng tuyến tính trên E.
b) Với mọi x ∈ E ánh xạ u → x, u là dạng tuyến tính trên F.
Ví dụ 1.2.1. NếuE, F là cặp đối ngẫu thì dạng (u, x) → x, u xác
định cặp đối ngẫu F, E.
Ví dụ 1.2.2. Giả sử E là không gian véc tơ và E
∗
là đối ngẫu đại số của
nó. Khi đó dạng (x, u) → u (x) , x ∈ E, u ∈ E
∗
xác định cặp đối ngẫu
E, E
∗
.
12
Ví dụ 1.2.3. Giả sử E là không gian lồi địa phương Hausdorff với đối
ngẫu tô pô E

. Khi đó dạng (x, u) → u (x) , x ∈ E, u ∈ E

cho ta cặp đối

ngẫu E, E

.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử E, F  là cặp đối ngẫu. Với mọi u ∈ F xác
định nửa chuẩn p
u
trên E.
p
u
(x) = |x, u|, x ∈ E.
Tô pô lồi địa phương trên E sinh bởi các nửa chuẩn p
u
, u ∈ F ký hiệu
là σ (E, F) gọi là tô pô yếu trên E của cặp đối ngẫu E, F .
Mệnh đề 1.2.1. Nếu E, F  là cặp đối ngẫu thì σ (E, F ) là tô pô lồi
địa phương Hausdorff yếu nhất trên E thoả mãn
(E, σ (E, F ))

= F.
Chứng minh. Do (D
E
, σ (E, F )) là Hausdorff. Vì p
u
liên tục với mọi
u ∈ F, suy ra F ⊂ (E, σ (E, F))

. Mặt khác giả sử f ∈ (E, σ (E, F ))

,
khi đó tồn tại u

1
, u
2
, , u
n
và ε > 0 sao cho
|f (x)| ≤ 1; với mọi x ∈ W (u
1
, u
2
, , u
n
, ε) .
Đặc biệt
f (x) = 0; với mọi x ∈ E.
Do đó u
1
(x) = u
2
(x) = = u
n
(x) = 0. Vậy f là tổ hợp tuyến tính của
u
1
, u
2
, , u
n
, tức là f ∈ F. Từ đó suy ra σ (E, F ) là tô pô lồi địa phương
yếu nhất trên E để

(E, σ (E, F ))

∈ F.

Định nghĩa 1.2.3. Giả sử E, F  là cặp đối ngẫu. Tô pô lồi địa phương
ξ trên E gọi là tô pô của cặp đối ngẫu E, F. Nếu (E, ξ)

= F.
13
Mệnh đề 1.2.2. Nếu E, F  là cặp đối ngẫu và A là tập con lồi của E,
thì A có cùng bao đóng trong mọi tô pô của cặp đối ngẫu E, F .
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng tỏ
c
ξ
A = c
σ(E,F )
A,
với mọi tô pô ξ của cặp đối ngẫu E, F . Trong đó c
ξ
A ký hiệu bao
đóng của A đối với ξ. Trước hết do σ (E, F ) ≤ ξ nên c
ξ
A ⊆ c
σ(E,F )
A.
Giả sử a /∈ c
ξ
A, chọn lân cận lồi mở U của 0 ∈ E đối với tô pô ξ
sao cho (a + U) ∩ A = ∅. Do đó, tồn tại f ∈ (E, ξ)


= F sao cho
f (a + U) ∩f (A) = ∅. Do đó f(U) là mở, nên f (a) /∈ f (A). Suy ra tồn
tại δ > 0 để
|f (x − a)| = |f (a) − f (x)| ≥ δ; ∀x ∈ A.
Vậy nếu W = {x ∈ E : |f (x)| < δ}, thì a + W là lân cận của a đối với
σ (E, F ) không giao với A. 
1.3. Pôla
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử (E, E

) là một cặp đối ngẫu, A ⊂ E. Khi đó
tập hợp
{x

∈ E

: sup {x, x

 ≤ 1 : x ∈ A}}
được gọi là một pôla (trong E

) của A và ký hiệu bởi A
0
.
Mệnh đề 1.3.1. Giả sử (E, E

) là một cặp đối ngẫu. Pôla trong E

của
các tập con của E có các tính chất sau đây
i) A

o
là lồi, cân và σ (E, E

) - đóng.
ii) Nếu A ⊂ B thì B
0
⊂ A
0
.
iii) Nếu λ = 0 thì (λA)
0
= |λ|
−1
A
0
.
iv)

∪
α∈I
A
α

0
=
∩
α∈I
A
0
α

.
14
Chứng minh. (i) Ta có A là lồi, cân trong F. Mặt khác từ hệ thức
A
0
=
∩
x∈A
{u ∈ F : |x, u| ≤ 1}
và từ tính σ (E, F ) - đóng của {u ∈ F : |x, u| ≤ 1} đối với mọi x ∈ E,
ta suy ra A
0
là σ (E, F) - đóng.
(ii) ta có
A
0
=
∩
x∈A
{u ∈ F : |x, u| ≤ 1}, B
0
=
∩
x∈B
{u ∈ F : |x, u| ≤ 1}.
Bởi vì A ⊂ B nên B
0
⊂ A
0
(iii) Bởi vì u ∈ (tA)

0
nên u ∈ (|t|A)
0
và ||t|x, u| ≤ 1; ∀x ∈ A. Do đó,
ta có
||t|x, u| ≤ 1; ∀x ∈ A.
Điều đó chứng tỏ
u ∈
1
|t|
A
0
.
(iv) Hiển nhiên ta có

∪
α∈I
A
α

0
=
∩
α∈I
A
0
α
.

Định lý 1.3.1. Giả sử E, F  là cặp đối ngẫu và M ⊂ E là tập lồi, cân.

Khi đó, ta có
M
00
= c
ξ
M,
mọi tô pô ξ của cặp đối ngẫu và M
00
=

M
0
F

0
E
.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh
M
00
= c
σ(E,F )
M.
Thật vậy do M ⊂ M
0
và M
00
là σ (E, F) - đóng ta có c
σ(E,F )
M ⊂ M

00
.
Mặt khác nếu a /∈ c
σ(E,F )
M nên tồn tại dạng song tuyến tính
f ∈ (E, σ (E, F ))

= F
15
sao cho
|a, f| ≤ 1, ∀x ∈ M, hay f ∈ M
00
và
|a, f| > 1.
Do đó
a /∈ M
00
⇒ M
00
⊂ c
σ(E,F )
M.
Vậy
M
00
= c
σ(E,F )
M.

Mệnh đề 1.3.2. Giả sử ξ là tô pô của cặp đối ngẫu (E, F) trên E. Khi

đó
i) U
0
= U
0
E
#
với mọi lân cận U của 0 ∈ E đối với ξ.
ii) F = U

U
0
: U ∈ u

ở đây u là cơ sở lân cận bất kỳ của 0 ∈ E.
Chứng minh. (i) Do F ⊂ E
#
, ta có U
0
⊂ U
0
E
#
. Mặt khác với mọi
f ∈ U
0
E
#
ta có
|x, f| ≤ P

U
(x) ; ∀x ∈ E,
ở đây P
U
là nửa chuẩn kết hợp với U. Do P
U
là liên tục với ξ, suy ra
U
E
#
⊂ U
0
.
Vậy
U
E
#
= U
0
E
#
.
(ii) Từ (i) và hệ thức (E, ξ)

= F ta có F = U

U
0
: U ∈ u


. 
Mệnh đề 1.3.3. Giả sử E là không gian véc tơ. Khi đó E
#
là đầy đối
với σ

E
#
, E

- tô pô.
Chứng minh. Thật vậy cho {u
α
}
α∈I
là dãy suy rộng Cauchy trong

E
#
, σ

E
#
, E

. Khi đó {x, u
α
} là dãy suy rộng Cauchy trong K.
Vì K là đầy, dãy suy rộng này hội tụ tới x, u ∈ K. Hiển nhiên dạng
16

x → x, u xác định u ∈ E
#
và {u
α
} hội tụ tới u đối với σ

E
#
, E

- tô
pô. 
Mệnh đề 1.3.4. Nếu E là không gian lồi địa phương tách và U là một
cơ sở lân cận của 0 ∈ E thì đối ngẫu (tô pô) E

của E là tập hợp
E

= ∪

U
0
, u ∈ U

. Trong đó U
0
được lấy trong đối ngẫu đại số E
∗
.
Chứng minh. Với mọi x


∈ E

thì x

là một dạng tuyến tính liên tục trên
E. Nên có thể tìm được u ∈ U sao cho |x, x

| ≤ 1. Vậy x

∈ U
0
, u ∈ U
và do đó x

∈ ∪

U
0
, U ∈ u

. Ngược lại giả sử x

∈ E
∗
và x

∈ U
0
với

U ∈ u nào đó, thế thì x

liên tục trên E, Vậy x

∈ E. 
1.4. Tích tensor của các không gian lồi địa phương
1.4.1. Tích tensor xạ ảnh
Giả sử E, F, G là các không gian véc tơ trên cùng một trường K và
h : E × F → G
ánh xạ h gọi là song tuyến tính nếu với mỗi y ∈ F cố định ánh xạ
h
y
: E → G
cho bởi
h
y
(x) = h(x, y), x ∈ E
là tuyến tính và cũng như vậy ánh xạ
h
x
: F → G
cho bởi
h
x
(y) = h(x, y), y ∈ F
là tuyến tính. Trường hợp G = K thì h được gọi là dạng song tuyến tính.
Ký hiệu
T
∗
= { h : E ×F → K : h là dạng song tuyến tính }.

17
Khi đó T
∗
là các không gian véc tơ với các phép toán cảm sinh từ các
phép toán của E, F, K sao cho
(h
1
+ h
2
) (x, y) = h
1
(x, y) + h
2
(x, y)
(th) (x, y) = th(x, y)
xét (T
∗
)
#
là đối ngẫu đại số của T
∗
và ánh xạ chính tắc
ϕ : E × F → (T
∗
)
#
cho bởi
(ϕ(x, y)) (h) = h(x, y), (x, y) ∈ (E × F), h ∈ T
∗
.

Khi đó Imϕ nói chung không là không gian vé tơ con của (T
∗
)
#
. Không
gian véc tơ con của (T
∗
)
#
sinh bởi Imϕ được ký hiệu là E ⊗F và gọi là
tích tensor của E và F. Ta ký hiệu ϕ(x, y) = x ⊗ y.
(T
∗
, E ⊗ F ) là một cặp đối ngẫu với dạng song tuyến tính cho bởi

h,

1in
x
i
⊗ y
i

=

1in
h (x
i
, y
i

).
Hơn nữa T
∗
là đối ngẫu đại số của E ⊗ F : T
∗
= (E ⊗F)
#
.
Thật vậy mỗi phần tử của T
∗
là dạng song tuyến tính trên (T
∗
)
#
và do
đó nó là dạng tuyến tính trên E ⊗F nên nó thuộc (E ⊗ F )
#
. Ngược lại,
với mỗi dạng tuyến tính f trên E ⊗F tường ứng với phần tử f ◦ϕ ∈ T
∗
.
Vậy tích tensor E ⊗F có tính chất đối ngẫu đại số của nó là không gian
các dạng song tuyến tính trên E × F.
Mệnh đề 1.4.1. [1] Giả sử E, F, G là các không gian trên véc tơ trên
trường K và ϕ là ánh xạ chính tắc từ E × F vào E ⊗ F. Khi đó mỗi
ánh xạ tuyến tính f : E ⊗F → G tương ứng với ánh xạ song tuyến tính
f ◦ ϕ : E × F → G. Tương ứng đó xác định một đẳng cấu của không
gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính của E ⊗ F vào G lên không gian véc
tơ các ánh xạ song tuyến tính của E × F vào G.
18

Mệnh đề 1.4.2. [1] Giả sử E và F là hai không gian lồi địa phương
trên cùng một trường K và ϕ : E ×F → E ⊗F là ánh xạ chính tắc. Tồn
tại một tô pô lồi địa phương mạnh nhất trên E ⊗ F để ϕ liên tục.
Nếu u và v là các cơ sở lân cận trong E và F thì các bao lồi, cân của
các tập hợp ϕ (U, V ) (U ∈ u, V ∈ v) lập thành một cơ sở lân cận của tô
pô ấy trên E ⊗F. Một ánh xạ tuyến tính f của E ⊗F với tô pô ấy vào
không gian lồi địa phương G là liên tục khi và chỉ khi ánh xạ song tuyến
tính f ◦ ϕ của E × F vào G là liên tục.
Mệnh đề 1.4.3. [1] Nếu E và F là các không gian lồi địa phương
Hausdorff thì E ⊗
π
F cũng là không gian lồi địa phương Hausdorff.
Mệnh đề 1.4.4. [1] Giả sử E và F là hai không gian lồi địa phương
khả metric, khi đó E
ˆ
⊗
π
F là không gian Frechet và với mỗi tập hoàn toàn
bị chặn A trong E
ˆ
⊗
π
F tồn tại hai dãy {x
n
} ⊂ E và {y
n
} ⊂ F sao cho
x
n
→ 0, y

n
→ 0 và mỗi phần tử của A có dạng

n1
t
n
(x
n
⊗ y
n
) với

n1
|t
n
|  1.
Mệnh đề 1.4.5. [1] Giả sử s là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không
gian Frechet E là không gian Frechet F. Khi đó đối với mọi không gian
Frechet G, ánh xạ
S
ˆ
⊗
π
id : E
ˆ
⊗
π
G → F
ˆ
⊗

π
G
cho bởi

E
ˆ
⊗
π
id



i
x
i
⊗ y
i

=

i
s(x
i
) ⊗ y
i
là lên.
1.5. Đa thức trên không gian lồi địa phương
Định nghĩa 1.5.1. Cho E và F là hai không gian véc tơ trên trường số
phức. Một ánh xạ L : E
n

→ F được gọi là n tuyến tính trên E nếu nó
19
tuyến tính theo từng biến, mỗi khi cố định các biến còn lại. Ta ký hiệu
L
a
(
n
E; F ) là tập hợp tất cả các ánh xạ n tuyến tính từ E vào F.
Định nghĩa 1.5.2. Một ánh xạ n tuyến tính L : E
n
→ F được gọi là
đối xứng nếu
L (x
1
, x
2
, , x
n
) = L

x
σ(1)
, x
σ(2)
, , x
σ(n)

,
với mọi x
1

, x
2
, , x
n
∈ E và σ là phép hoán vị bất kỳ của n số tự nhiên
đầu tiên. Ta ký hiệu L
s
a
(
n
E; F ) là không gian véc tơ của tất cả các ánh
xạ n tuyến tính đối xứng từ E vào F.
Một ánh xạ n tuyến tính đối xứng có thể liên kết với ánh xạ n tuyến
tính bởi toàn ánh chính tắc s : L
a
(
n
E; F ) → L
s
a
(
n
E; F ) được xác định
bởi công thức
s (L) (x
1
, x
2
, , x
n

) =
1
n!

σ∈S
n
L

x
σ(1)
, x
σ(2)
, , x
σ(n)

,
ở đó S
n
ký hiệu là tập tất cả các phép hoán vị của n số tự nhiên đầu
tiên.
Định nghĩa 1.5.3. Giả sử E và F là hai không gian véc tơ tô pô lồi
địa phương trên C. Một ánh xạ P : E → F được gọi là một đa thức n
thuần nhất nếu tồn tại một ánh xạ n tuyến tính L : E → E
n
sao cho
P = L ◦ ∆, trong đó ∆ (x) = x
n
; x ∈ E. Ký hiệu P
a
(

n
E; F ) là không
gian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất từ E vào F .
Một đa thức từ E vào F là một tổng hữu hạn của các đa thức thuần
nhất từ E vào F. Ta ký hiệu P
a
(E; F ) là không gian véc tơ tất cả các
đa thức từ E vào F.
Ví dụ 1.5.1. Giả sử L : C
n
× C
n
→ C là một ánh xạ 2 tuyến tính trên
C
n
. Khi đó tồn tại một ma trận A = (a
ij
)
1≤i≤n,1≤j≤n
sao cho
L (z, w) =

1≤i≤n
1≤j≤n
a
ij
z
i
w
j

,
20
với mọi z = (z
1
, z
2
, z
n
) ∈ C
n
và w = (w
1
, w
2
, w
n
) ∈ C
n
. Do đó, một
đa thức 2 thuần nhất P : C
n
→ C trên C
n
có dạng
P (z) = L (z, z) =

1≤i≤n
1≤j≤n
a
ij

z
i
z
j
.
Trong trường hợp tổng quát không có sự tương ứng 1-1 giữa các đa thức
n thuần nhất và các ánh xạ n tuyến tính. Tuy nhiên nếu chỉ hạn chế
trên tập hợp các ánh xạ n tuyến tính đối xứng chúng ta thu được một
tương ứng duy nhất. Theo định nghĩa của các đa thức n thuần nhất và
toán tử đối xứng biểu đồ sau giao hoán
L
a
(
n
E; F ) → L
s
a
(
n
E; F )
 ↓ ∧
P
a
(
n
E; F )
Như một hệ quả của bổ đề phân rã dưới đây, chúng ta chứng minh được
ánh xạ ∧ là một đơn ánh. Do đó, chúng ta nhận được một song ánh
chính tắc giữa không gian các ánh xạ n tuyến tính đối xứng và không
gian các đa thức n thuần nhất trên E.

Định lý 1.5.1 (công thức phân rã). Cho E và F là hai không gian lồi
địa phương trên C. Khi đó, nếu L ∈ L
s
a
(E
n
; F ) và x
1
, x
2
, , x
n
∈ E, thì
L (x
1
, x
2
, , x
n
) =
1
2
n
n!

ε
i
=±1
ε
1

ε
n
ˆ
L

n

j=1
ε
j
x
j

.
Chứng minh. Bởi tính đối xứng, ta có
ˆ
L

n

j=1
ε
j
x
j

= L

n


j=1
ε
j
x
j
, ,
n

j=1
ε
j
x
j

=

0≤m
i
≤n

m
i
=n
ε
m
1
1
.ε
m
2

2
ε
m
n
n
n!
m
1
! m
n
!
L(x
1
)
m
1
(x
2
)
m
2
(x
n
)
m
n
.
Do đó
1
2

n
n!

ε
i
=±1
ε
1
ε
n
ˆ
L

n

j=1
ε
j
x
j

=
21
=
1
2
n

0≤m
i

≤n

m
i
=n
ε
m
1
1
ε
m
n
n
n!
m
1
! m
n
!
L(x
1
)
m
1
(x
n
)
m
n







ε
j
=±1
i≤j≤n
ε
m
1
+1
1
ε
m
n
+1
n





Nếu m
1
= m
2
= = m
n

= 1 thì

ε
j
=±1
i≤j≤n
ε
m
1
+1
1
ε
m
n
+1
n
= 2
n
và các hệ số của L (x
1
, x
2
, , x
n
) trong khai triển trên bằng 1.
Nếu m
i
> 1 với i nào đó thì m
j
= 0 với j nào đó. Khi đó chúng ta

nhận được

ε
j
=±1
1≤i≤n
ε
m
1
+1
1
ε
m
n
+1
n
=

ε
j
=±1
ε
j

ε
j
=±1
1≤i≤n,i=j
ε
m

1
+1
1
ε
m
j−1
+1
j−1
ε
m
j+1
+1
j+1
ε
m
n
+1
n
= 0
Do đó, tất cả các số hạng khác triệt tiêu và công thức phân rã được
chứng minh. 
Hệ quả 1.5.1. Ánh xạ ∧ : L
s
a
(
n
E; F ) → P
a
(
n

E; F ) là một song ánh
tuyến tính.
Chứng minh. Bởi công thức phân rã L ∈ L
s
a
(
n
E; F ) đồng nhất bằng
0 nếu và chỉ nếu
ˆ
L đồng nhất bằng 0. Do đó, ánh xạ ∧ là tuyến tính có
hạt nhân bằng 0 và là đơn ánh.
Vậy ∧ là một song ánh tuyến tính. 
Cho A là một tập con của không gian lồi địa phương E và hàm
f : A → F và β là một nửa chuẩn trên F ta đặt
f
β,A
= sup
x∈A
β (f (x)) .
Định lý 1.5.2. Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên C và
A là một tập lồi, cân trong E và β là một nửa chuẩn trên F. Khi đó, ta
có



ˆ
L




β,A
≤ L
β,A
n
≤
n
n
n!



ˆ
L



β,A
,