1

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2,
dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng - Trường
ĐHSP Hà Nội, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh
nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và
khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong
chuyên môn cũng như trong cuộc sống. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng,
lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thầy.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2,
khoa Toán, Phòng Sau đại học, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết
thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.




Hà Nội, tháng 09 năm 2010
Tác giả



2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS. TSKH Nguyễn Mạnh Hùng. Luận văn không hề trùng lặp
với những đề tài khác.

Hà Nội, tháng 09 năm 2010
Tác giả



3

MỤC LỤC


Trang
DANH MỤC KÍ HIỆU
04
MỞ ĐẦU
06
NỘI DUNG
Chương 1. Những kiến thức chuẩn bị
09

1.1 Trung bình hoá 09
1.2 Đạo hàm suy rộng 10
1.3 Không gian


m
H



13
1.4 Không gian
 
o
m
H


16
1.5 Không gian


,m k
T
H Q

16
1.6 Bất đẳng thức Gronwall - Bellman 18
1.7 Bất đẳng thức Caratheodory 20
Chương 2. Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn
hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong hình trụ với đáy
là miền với biên không trơn
22
2.1 Đặt bài toán 22
2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng 26
2.3 Tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian 37
KẾT LUẬN
43
TÀI LIỆU THAM KHẢO
44

4

DANH MỤC KÝ HIỆU

*
n

là không gian Euclide n - chiều.
*

là một miền trong
n

, tức là một tập mở liên thông, với biên

.
    
. Nếu

  
sao cho

  
thì ta viết

  
.
Giả sử
0
T

  
. Kí hiệu








0, , : , 0,
T
Q T x t x t T
     là
trụ trong
1
n


. Mặt xung quanh của nó là








0, , : , 0,
T

S T x t x t T
     .
*


1 2
, , , ,
n
x x x x
 


0,
t T
 ,










1 2
, , , , , , ,
s
u x t u x t u x t u x t
 là

hàm vectơ phức.
*


1
, , ,
n
  
 trong đó
i
N


gọi là một đa chỉ số bậc
1

n
  
  
.
Giả sử


1
, ,
n
n
  
 


. Khi đó
1
1

n
n



  
 .
Đạo hàm suy rộng cấp

được kí hiệu là
1
1
1
1
/ .

n
n
x n
n
D D x x
x x



 



     
 

Trường hợp


,
T
x t Q
 , để chỉ đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t ta viết
1
/ , ,
k
k k k
k k
s
k k k
t
u u
t u
t t t
 
  
    
 
  
 
.

* Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hàm đó khác
không và kí hiệu là
supp
.
* Kí hiệu


k
C

là tập hợp tất cả các hàm có các đạo hàm liên tục đến cấp
k

trong miền

,




0
0 , k C C
     
và
     
o
o
k k
C C C
    

, ở đó
 
o
C

là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong

và có giá compact thuộc

.
5

*


, 1 ,
p
L p
   
là không gian bao gồm tất cả các hàm


u x
khả tổng cấp
p
theo Lebesgue trong

với chuẩn
 
1

p
p
p
L
u u dx


 

 
 

.
*


2,1
T
L Q
là không gian với chuẩn
   
2,1 2
0
T
T
L Q L
u u dt

 


 
 

.
*


m
H

là không gian bao gồm tất cả các hàm




2
u x L
 
, sao cho




2
D u x L

 
với mọi
m



và có chuẩn được xác định bởi công thức
 
1
2
2
0
m
m
H
u D u dx





 

 
 
 


.
*
 
o
m
H


là bao đóng của
 
o
C


trong chuẩn của


m
H

.
6

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Lý thuyết các bài toán biên elliptic trong các miền với biên trơn và
không trơn đã được nghiên cứu khá hoàn thiện. Các bài toán biên đối với
phương trình và hệ phương trình không dừng (prabolic, hyperbolic,
schrödinger) trong các miền với biên trơn cũng đã được nghiên cứu khá hoàn
thiện. Tuy nhiên lý thuyết các bài toán biên tổng quát đối với hệ không dừng
trong các hình trụ với đáy không trơn vẫn được nghiên cứu chưa hoàn thiện
[5], [8], [10]. Các bài toán biên ban đầu đối với phương trình, hệ phương trình
schrödinger trong hình trụ với đáy là miền chứa điểm góc đã được nghiên cứu
trong các công trình [4], [6]. Trong các công trình này đã nhận được các
nghiệm suy rộng trong không gian kiểu Sobolev, hơn nữa còn nhận được các
kết quả về đặc tính nghiệm.

Bài toán biên ban đầu thứ nhất và thứ hai đối với hệ phương trình
hyperbolic đã được nghiên cứu trong các công trình [7], [9], ở đó đã nhận được
các kết quả về tính giải được, tính trơn và biểu diễn tiệm cận nghiệm suy rộng
trong các lân cận điểm kì dị.
Chính vì lý do trên đề tài được chọn là: “Tính trơn của nghiệm suy
rộng của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong hình
trụ với đáy là miền với biên không trơn”.



7

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu tính trơn của nghiệm suy rộng của
bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong trụ với đáy là
miền với biên không trơn, nhận được các định lí về tính trơn của nghiệm suy
rộng theo biến thời gian.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận
văn là:
Nghiên cứu cách đặt bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình
schrödinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn.
Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán
trong không gian Sobolev.
Nghiên cứu tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu


Đối tượng nghiên cứu của luận văn là Bài toán hỗn hợp đối với hệ
phương trình schrödinger trong hình trụ với đáy là miền với biên không trơn;
nghiên cứu không gian Sobolev; nghiên cứu nghiệm suy rộng.



8

5. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp xấp xỉ
Galerkin và phương pháp chọn hàm thử của Ladyzhenskaya để chứng minh sự
tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán, các kết quả về bất đẳng thức nội
suy để đánh giá bất đẳng thức, phương pháp tìm giới hạn.

6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài

Nhận được các định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm; các định lí về
tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian. Góp phần hoàn thiện lý
thuyết giải các bài toán biên trong miền với điểm kì dị của lý thuyết phương
trình đạo hàm riêng.

7. Nội dung

Luận văn bao gồm hai chương
Chương 1: Giới thiệu kiến thức bổ trợ, bao gồm các không gian
hàm.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn trình bày cách đặt bài
toán hỗn hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong trụ với đáy là miền với

biên không trơn; trình bày nghiệm suy rộng, sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy
rộng; tính trơn của nghiệm suy rộng theo biến thời gian của bài toán hỗn hợp.


9

NỘI DUNG

Chương 1
Những kiến thức chuẩn bị

1.1 Trung bình hoá
Định nghĩa 1.1. Giả sử


x

là một hàm không âm thuộc
 
o
n
C


sao cho









, 0, 0
x x x x
   
   
nếu
1
x

và


1
n
x




. ( 1.1 )
Hàm


x

được gọi là nhân trung bình hoá. Để chỉ ra ví dụ, ta có thể
lấy hàm sau:
 

 
2
1
exp , 1,
1
0, 1
C x
x
x
x x



 

 
 

 



 

 




với hằng số

C
được chọn để điều kiện ( 1.1 ) được thoả mãn.
Với
0
h

, ta đặt
 
,
n n
h
x
x h x
h
 

 
 
 
 

.
Khi đó
 
   
o
, 0, 0
n
h h h
C x x

  

  

nếu


, 1.
n
h
x h x dx

 



Định nghĩa 1.2. Nếu hàm


, 1
p
u L p
  
thì hàm
   
n
h
x y
u x h u y dy
h





 

 
 


10

được xác định trong
n


và trơn vô hạn. Nó được gọi là trung bình hoá hay
hàm trung bình của hàm
u
.
Định lí 1.1. Giả sử hàm


p
u L
 
với
1
p


. Khi đó
 
0
lim 0
p
h
L
h
u u


 
.
Định lí 1.2.
i) Nếu


1
,f g L
 
thì








h h

f x g x dx f x g x dx
 

 
.
ii) Nếu


1
f L
 
và




0
f x x dx




với mọi
 
o
C


 
thì

0
f


hầu khắp nơi.

1.2 Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.3. Giả sử

là một miền trong không gian
n

. Một hàm




1
v x L
 
được gọi là đạo hàm suy rộng cấp

của hàm




1
u x L
 


nếu












1
u x D x dx v x x dx


 
 
 
 
( 1.2 )
với mọi
 
o
C


 

, ở đó


1 1
, , ,
n n
     
   
.
Đạo hàm suy rộng cấp

được kí hiệu là:
1 2
1 2
1 2
1 2
/

n
n
x n
n
D D x x x
x x x



  
 


      
  
.
Trường hợp


, ,
T
x t Q
 để chỉ đạo hàm suy rộng cấp
k
theo biến
t
ta
viết
1
/ , ,
k
k k k
k k
s
k k k
t
u u
t u
t t t
 
  
    
 

  
 
.
11

Từ nay về sau, nếu không nói gì đặc biệt, ta hiểu hàm là hàm vectơ phức












1 1 2
, , , , , , , , , 0,
s n
u x t u x t u x t x x x x t T
    .
Chú ý 1.1
1) Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm


u x
có đạo hàm thông
thường liên tục cấp


thì nó có đạo hàm suy rộng cấp
D u

. Từ định nghĩa đạo
hàm suy rộng rút ra hàm


u x
có không quá một đạo hàm suy rộng. Thật vậy,
giả sử




1
u x L
 
và


1
,v w L
 
là hai đạo hàm suy rộng của
u
. Khi đó,
theo ( 1.2 ) ta có









0
v x w x x dx


 

,
 
o
C


 
. Theo định lí 1.3,




v x w x
 với hầu khắp
x

.
2) Nếu



u x
đủ trơn để có đạo hàm liên tục
D u

, ta có










1
u x D x dx D u x x dx

 
 
 
 
 
.
Từ đó, đạo hàm cổ điển
D u

cũng là đạo hàm suy rộng. Tuy nhiên,

D u

có thể tồn tại theo nghĩa suy rộng mà không tồn tại theo nghĩa thông
thường. Ví dụ ta lấy hàm




, 1,1
u x x x  , thì


u x
có đạo hàm suy rộng
trong khoảng


1,1
 . Tuy nhiên, hàm này không có đạo hàm thông thường tại
điểm
0
x

.
3) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp
0
x

trong miền


thì nó cũng
có đạo hàm suy rộng cấp

trong miền

  
. Thật vậy, giả sử
D u v



trong

. Cố định
 
o
, C


 
    
. Khi coi


0
x


với
\

x

 
, ta
nhận được
   
o
x C



 
.
Ta có hệ thức:
12

             
     
'
'
1

1 .
u x D x dx u x D x dx v x x dx
v x x dx

 

  


  

  
 
  


Từ đó, ta có
D u v


trong


.
Đạo hàm suy rộng trong miền


được gọi là thu hẹp của đạo hàm suy
rộng trong

vào


.
4)





1 2 1 2
,
D D D aD bD D a b
      
     

   
, ở đó
,
a b
là các
hằng số tuỳ ý.
5) Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy
rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung, đạo hàm suy rộng
bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thường. Tuy
nhiên không phải là tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp


không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn

.
Sau đây ta xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung
bình hoá.
Định lý 1.3. Giả sử

là một miền trong không gian
n

,



là miền con của

, sao cho khoảng cách giữa


và

bằng
0
d

.
Khi đó, đối với
0
h d
 
và
x


, ta có






h
h

D u x D u x
 
 .
Bây giờ ta đi xét trường hợp
1
n

và các mối liên hệ giữa đạo hàm suy
rộng, đạo hàm thông thường và tính liên tục tuyệt đối của một hàm trên một
khoảng hữu hạn


,
a b
.
Ta nhắc lại định nghĩa liên tục tuyệt đối: Hàm


: ,u a b


được gọi là
liên tục tuyệt đối, nếu với mọi
0


, tồn tại
0



sao cho với mọi tập hữu hạn
các khoảng rời nhau
13











1 1 2 2
, , , , , , , ,
m m
x x x x x x a b
  

với
1
m
j j
j
x x



 


, ta có
   
1
m
j j
j
u x u x



 

.
Một hàm liên tục tuyệt đối trên một khoảng hữu hạn


,
a b
nếu tồn tại
một hàm khả tổng


g x
trên đoạn này sao cho
     
, ,
x
a
f x g t dt const x a b

  

.
Định lí 1.4. Giả sử


f x
liên tục tuyệt đối trên khoảng hữu hạn


,
a b
. Khi
đó tồn tại đạo hàm thông thường


f x

hầu khắp trong


,
a b
. Hơn
nữa,


f x

là hàm khả tổng trên



,
a b
và
     
.
x
a
f x f a f t dt

 


Định lí 1.5. Nếu hàm


f x
liên tục tuyệt đối trên một khoảng hữu hạn


,
a b

thì nó có đạo hàm suy rộng trên khoảng này.
Định lí 1.6. Giả sử


f x
có đạo hàm suy rộng trên khoảng hữu hạn



,
a b
.
Khi đó


f x
là hàm liên tục tuyệt đối trên khoảng


,
a b
và hầu khắp trong
khoảng


,
a b
nó có đạo hàm theo nghĩa thông thường


f x

.

1.3 Không gian



m
H


Định nghĩa 1.4. Không gian


m
H

là không gian Sobolev bao gồm tất cả
các hàm




2
u x L
 
, sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp
,
m
 

thuộc


2
L


và được trang bị chuẩn
14

 
 
1
2
2
m
H
m
u D u x dx





 

 
 
 


.
Do
   
2 2
1
s

i
i
D u x D u x
 



nên ta có thể viết
 
 
1
2
2
H
1
.
m
s
j
m j
u D u x dx



 

 

 
 

 
 


Không gian


m
H

là một không gian Hilbert cùng với tích vô hướng


 
, .
m
H
m
u v D u D v dx
 







.

Định nghĩa 1.5. Không gian



m
T
H Q
là không gian các hàm




2
,
T
u x t L Q
 với chuẩn
 
1
2
2
H
0
.
m j
T
T
m
Q t
j
Q
u D u dxdt



 
 

 
 
 




Định lí 1.7. Giả sử

là một miền trong
n

và
0
m

. Khi đó


m
H

là
một không gian Banach.


Định lí 1.8. Giả sử

là một miền thuộc
n

và


là miền con của

sao cho

  
. Nếu


m
u H
 
thì
 
0
lim 0
m
h
H
h
u u




 
.


Định lí 1.9. Nếu

là miền sao trong
n

thì không gian


C


trù mật trong


m
H

.
15

Định nghĩa 1.6. Một miền

thuộc
n


gọi là có tính chất đoạn, nếu với mỗi
x
 
, tồn tại tập mở
x
U
và vectơ
0
x
y

sao cho
x
x U

và nếu
x
z U
  
thì
x
z t y
  
với
0 1
t
 
.
Định lí sau đây chỉ ra rằng tính chất đoạn là đủ để đảm bảo rằng
 

o
n
C


trù mật trong không gian


m
H

. Trong trường hợp riêng, không
gian


k
C

trù mật trong


m
H

với
1,
m k m
 
.


Định lí 1.10. Nếu

có tính chất đoạn thì tập hạn chế trên

của các hàm
trong
 
o
n
C


trù mật trong


m
H

với
1
m

.

Định lí 1.11. Giả sử

là miền bị chặn trong
n

có tính chất đoạn. Khi đó với

0


tồn tại hằng số


C

sao cho bất đẳng thức sau đúng

   
 
 
2
2 2
2 2
2
p p
L
L L
p k p m
D u D u C u
 

 
 
 
 



với mọi
1, , 1
k m
 
; mọi


m
u H
 
.
Bổ đề 1.1. Giả sử
n


là miền bị chặn có tính chất đoạn. Khi đó tồn tại
một hằng số


,
K K p
 
sao cho với mọi

số cho trước, miền

  

thoả mãn
     

1
p p
L H L
u K u K u


  
 
với mọi


1
u H
 
.
Định lí 1.12. Giả sử

là miền bị chặn trong
n

có tính chất đoạn hoặc tính
chất nón và giả sử
0
0 , 1 ; ,
p j m

     
là các số nguyên với
0 1
j m

  
. Khi đó tồn tại hằng số


0
, , ,
K K m p

 
và
0
, 0
  
 
với

  
sao cho bất đẳng thức
16

   


 
1
j m
p
j m
H H L
u K u K u


 
 
  
  ( 1.3 )
đúng với mọi


.
m
u H
 


1.4 Không gian
 
o
m
H


Định nghĩa 1.7. Không gian
 
o
m
H

là bao đóng của
 
o

C


trong chuẩn
của không gian


m
H

.

Định lí 1.13.( Friedrichs). Giả sử

là một miền bị chặn trong
n

. Khi đó tồn
tại một hằng số
C

phụ thuộc vào

, sao cho
 
1
1
p
p
p

n
L
j
j
u
u C dx
x




 

 


 
 



với mọi hàm
 
o
m
u H
 
.
Định lí 1.14. Giả sử





m
u x H
 
,
1
p

và


supp u x
 
. Khi đó
   
o
m
u x H
 
.
Định lí 1.15. Không gian


m n
H

và
 

o
m n
H

trùng nhau.

1.5 Không gian


,m k
T
H Q

Ta dùng kí hiệu


,m k
T
H Q
thay cho


,
2
m k
T
W Q
. Giả sử

là một miền

trong
n

và
0
T const
 
.
Kí hiệu








0, , : , 0,
T
Q T x t x t T
     và gọi nó là trụ với
chiều cao
T
và đáy

.
17

Định nghĩa 1.8.



,m k
T
H Q
là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm




2
, ,
T
u x t L Q
 sao cho tồn tại tất cả các đạo hàm suy rộng theo
x
đến cấp
m

và theo
t
đến cấp
k
thuộc


2
T
L Q
, tức là:





2 2
, /
j j
T T
D u L Q u t L Q

    , ,1
m j k

  

với chuẩn
 
,
1/2
2
2
1
m k
T
T T
j
k
j
H Q
m j
Q Q

u
u D u dxdt dxdt
t


 
 

 
 
 

 
 
 
.
Trường hợp
0
k

, số hạng thứ hai trong vế phải coi như không có.


,m k
T
H Q
là một không gian Banach. Hơn nữa nó là không gian Hilbert
với tích vô hướng sinh ra bởi chuẩn trên.
Định nghĩa 1.9.
 

o
,m k
T
H Q
là không gian con của


,m k
T
H Q
, bao gồm tất cả
các hàm


,
u x t
thuộc


,m k
T
H Q
và bằng không gần biên


0,
T
S T
  .
Điều đó có nghĩa là

   
o
,
,
m k
T
u x t H Q
 khi và chỉ khi tồn tại một dãy
 


 
1
, ,
k T
k
u x t C Q






, 0
k
u x t

khi



,
T
x t Q

 với








, : , , ,
T T T
Q x t Q dist x t S


  


là số dương đủ bé và
k
u u

trong


,m k
T

H Q
khi
k
 
.
 
o
,m k
T
H Q
cũng là một không gian Hilbert.

Giả sử
1 2 1 2
,
         
,


1 1
0, ,
S T
  


2 2
0, .
S T
  
Định nghĩa 1.10.



1
,C

 
là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên

và
bằng 0 gần
1

.
18

Định nghĩa 1.11.


1
,
m
H
 
là không gian con của


m
H

sao cho



1
,C

 
trù mật trong


1
,
m
H
 
theo chuẩn của không gian


m
H

.

Định nghĩa 1.12.


,
1
,
m k
T

H Q S
là không gian con của


,m k
T
H Q
sao cho tập
hợp


T
C Q

bao gồm các hàm khả vi vô hạn và bằng 0 gần
1
S
trù mật trong
nó.

1.6 Bất đẳng thức Gronwall - Bellman ( Dạng tích phân )

Bổ đề 1.2. Giả sử
,
u

là những hàm không âm, khả tích trên đoạn


0

,
t T
và
thoả mãn
     
 
0
0
, , ,
t
t
u t t L u t dt t t T
   


ở đó
0
L const
 
. Khi đó
   
 
 
 
0
0
, ,
t
L t s
t

u t t L e s ds t t T

    

.
Hơn nữa, nếu


t
 có đạo hàm


t

 và


t

 khả tích trên đoạn


0
,
t T
thì
 
 
   
 

 
0
0
0 0
, ,
t
L t t L t s
t
u t t e e s ds t t T
 

    

.
Chứng minh. Đặt
   
0
t
t
y t u t dt


, ta có











0
, ,
y t u t t Ly t t t T

      ,
hay








0
, , .
y t Ly t t t t T

    
Đặt




Lt
z t y t e


 ta nhận được










.
Lt Lt
z t y t Ly t e t e
 
 
   
19

Từ đây, với để ý rằng




0 0
0
z t y t
 
, ta có
   

 
0
0
, , .
t
Ls
t
z t e s ds t t T

   


Suy ra
 
 
 
 
0
0
, , .
t
L t s
t
y t e s ds t t T

   


Do đó
       

 
 
 
0
0
, , .
t
L t s
t
u t t L y t t L e s ds t t T

        


Từ đó suy ra khẳng định thứ nhất của bổ đề.
Nếu


t
 có đạo hàm


t

 khả tích trên


0
,
t T

thì bằng cách tích phân
từng phần ta có
 
 
 
 
 
 
0
0 0
t t
t
L t s L t s L t s
t
t t
L e s ds e s e s ds
  

     
 


 
 
   
 
0
0
0
t

L t t L t s
t
t t e e s ds
 

     

.
Từ đây suy ra khẳng định thứ hai của bổ đề. Bổ đề được chứng minh.

Nhận xét: Nếu
C const
  
trên


0
,
t T
thì ta có
     
 
 
0
0
0
, ,
t
L t t
t

u t C L u s ds u t Ce t t T

     

.
Đặc biệt nếu


0
t
 
trên


0
,
t T
thì ta có
     
 
0
0
0, ,
t
t
u t L u s ds u t t t T
    

.


20

1.7 Định lí Caratheodory
Với
0
n
x 

và
0
t


đã cho, xét bài toán giá trị ban đầu





 
0 0
( ) , , ,
x t f t x t t U
x t x


 






( 1.4 )
và phương trình tích phân tương ứng
   
 
0
0
, , .
t
t
x t x f s x s ds t U
  

( 1.5 )
Giả sử
U J

, trong đó




0 0 0
: , K= : ,
n
J t t t r x x x r
       

ở đó

0
, 0, n 1
r r
 
. Giả xử


1
, ,
n
x
 
 và


1
, ,
n
f f f
 .
Khi đó bài toán ( 1.4 ) có thể viết dưới dạng:






 
0
'

, , 1, , , ,
.
i i
i i
t f t x t i n t U
x t



  






Định lí 1.16. Giả sử
i) Hàm
: K
f


thoả mãn điều kiện Caratheodory, tức là với mọi i,



,
i
t f t x


đo được trên
J
với mỗi
x K

,



,
i
x f t x

liên tục trên
K
với hầu khắp
t J

;
ii) Tồn tại một hàm khả tích
:
M J


sao cho






,
i
f t x M t
 với mọi


,
t x J K
 
và mọi
i
.
Khi đó
a) Tồn tại một lân cận mở
U
của
0
t
và một hàm liên tục


. :
n
x U 


là nghiệm của phương trình tích phân ( 1.5 ).
b) Với hầu khắp
t U


, đạo hàm


'
x t
tồn tại và ( 1.4 ) thoả mãn.
21

c) Các thành phần




1
. , , .
n
 
của


.
x
có đạo hàm suy rộng trên
U

và


.
x

là một nghiệm của ( 1.4 ) trên
U
theo nghĩa của đạo hàm suy rộng.
Các kết quả này vẫn đúng nếu
J
là lân cận một phía của
0
t
, tức là


0 0
:0 .
J t t t r
    

Khi đó


0 1
:0 .
U t t t r
    

Nếu các giả thiết
)
i
, ii) được thoả mãn với
n
K



thì
U J

.
22

Chương 2
Tính trơn của nghiệm suy rộng của bài toán hỗn
hợp đối với hệ phương trình schrödinger trong hình
trụ với đáy là miền với biên không trơn

2.1 Đặt bài toán
Giả sử

là miền bị chặn trong
n

với biên

:
1 2 1 2
,
       
, hơn nữa

thoả mãn tính chất đoạn.
Với mỗi
, 0

T T
  
, kí hiệu


0,
T
Q T
  là trụ đáy

với chiều
cao
T
,


0,
T
Q T
  ,


0,
T
S T
  là mặt xung quanh,


1 1
0, ,

S T
  


2 2
0, .
S T
   Xét toán tử vi phân ma trận cấp
2
m



   
 
| |,| | 0
, , ,
m
p q
pq
p q
L x t D D a x t D



, ( 2.1 )

ở đó



,
pq pq
a a x t
 là ma trận cấp
s s

với các phần tử là các hàm giá trị phức
đo được, bị chặn trong
 
* *
, 1 ,
p q
T pq qp qp
Q a a a

  là ma trận chuyển vị liên
hợp phức của
pq
a
. Giả thiết thêm rằng khi
p q m
 
,
pq
a
liên tục theo
x

, đều theo



0,
t T
 .
Giả thiết toán tử


, ,
L x t D
thoả mãn điều kiện
   
2
0
, , ,
pq q p p T
p q m p m
a x t C x t Q
  
  
 
 
( 2.2 )

23

với mọi bộ vectơ


\ 0 ,
s

p
p m

 

và
0
0
C const
 
không phụ thuộc vào
bộ vectơ


,
p
p m


.
Giả sử




2 1
, , , , 0, , 1
j j j
m j
N N x t D b x t D j m




  
   


là một hệ các toán tử ( vi phân ) biên dạng ma trận, trong đó
j
b

là các ma trận
cấp
s s

với phần tử là các hàm giá trị phức đo được, bị chặn trên
T
S
. Hơn
nữa, ta giả sử hệ


, 0, , 1
j
N j m
 
thoả mãn đẳng thức tích phân
( Green ) sau
   
1

, 0 0
1 ,
j
m m
p
q p
pq j
j
p q j
Lu dx a x t D uD dx N u ds
v

 

 
  

  

 
  

với mọi


, u C


 
và hầu khắp



0,
t T
 , trong đó
v
là trường vectơ pháp
tuyến đơn vị ngoài trên biên

.
Nếu các ma trận
pq
a
hệ số của toán tử
L
đủ trơn trong
T
Q
( thuộc lớp


2m
T
C Q
chẳng hạn ) thì tồn tại toán tử
j
N
xác định như trên và thoả mãn
công thức Green ở trên.
Trong hình trụ

T
Q
ta xét bài toán sau:









1
1 , , , , ,
m
t T
i L x t D u u f x t x t Q

    ( 2.3 )
 
1
2
,0 0, ,
0, 0, , 1,
0, 0, , 1.
j
j
S
j
S

u x x
u
j m
N u j m


 




  




  


( 2.4 )
Hệ ( 2.3 ) với các điều kiện ( 2.4 ) được gọi là bài toán hỗn hợp đối với hệ
phương trình Schrödinger tổng quát trong trụ hữu hạn
T
Q
; ở đó


, ,
L x t D
là

24

toán tử trong ( 2.1 ); :
s
T
f Q 

là các hàm vectơ cho trước trong
T
Q
;
1
i
 
;
v
là pháp vectơ đơn vị ngoài mặt
1
S
. Trong ( 2.4 ),
1
0, 0, , 1
j
j
S
u
j m


  


được gọi là điều kiện Dirichlet và
2
0, 0, , 1
j
S
N u j m
  
được gọi là điều kiện Neumann của bài toán
( 2.3 ) – ( 2.4 ).
Hàm


,
u x t
được gọi là nghiệm suy rộng trong không gian


,1
1
,
m
T
H Q S
của bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình ( 2.3 ) - ( 2.4 ) khi
và chỉ khi





,1
1
, ,
m
T
u x t H Q S
 và thoả mãn
   
1
, 0
1 1
T T T
m
m p
q p
pq t
p q
Q Q Q
i a D uD dxdt u dxdt f dxdt
  


   

  
( 2.5 )
với mọi hàm thử







,1
1
, , , , 0
m
T
x t H Q S x T
 
 
.
Trường hợp đặc biệt: Khi
1
m

bài toán hỗn hợp đối với hệ ( 2.3 ) là bài toán
sau:
 
00
, 1
, ,
n
pq t T
p q
p q
u
i a a u u f x t Q
x x


 
 
   
 
 
 
 

( 2.6 )



,0 0, ,
u x x
 
( 2.7 )

1 2
0, 0,
S S
u Nu
 
( 2.8 )
ở đó
 
 
, 1
, , os ,
n
x pq p

p q
q
u
Nu N x t u a c x
x



  



với

là vectơ đơn vị ngoài với mặt
2
S
,
f
là hàm số cho trước và phương
trình thoả mãn điều kiện Schrödinger đều trong miền
T
Q
:
25

 
2
, 1
,

n
pq p q
p q
a x t
   




với
2
2 2
1
0, ,
n pq qp
const a a
   
     
.
Hàm


,
u x t
được gọi là nghiệm suy rộng trong không gian


1,1
1
,

T
H Q S

của bài toán ( 2.6 ) - ( 2.8 ) khi và chỉ khi




1,1
1
, ,
T
u x t H Q S
 và thoả mãn

00
, 1
T T T
n
pq
p q
q p
Q Q Q
u
i a a u dxdt u dxdt f dxdt
x x t
 
 

 

  
   
 
 
  
 

  
( 2.9 )
với mọi hàm thử






1,1
1
, , , , 0.
T
x t H Q S x T
 
 

Nhận xét: Nghiệm suy rộng


,
u x t
như vậy sẽ thoả mãn phương trình ( 2.6)

và các điều kiện ( 2.7 ) - ( 2.8 ) trong nghĩa đồng nhất thức tích phân ( 2.9 ).
Thật vậy, từ ( 2.6 ) ta có
00
, 1
n
pq t
p q
p q
u
i a a u u f
x x
  

 
 
  
 
 
 
 



00
, 1
T T T T
n
pq t
p q
p q

Q Q Q Q
u
i a dxdt i a u dxdt u dxdt f dxdt
x x
   

 
   
 

   

với mọi






1,1
1
, , , , 0
T
x t H Q S x T
 
 
.
Áp dụng công thức tích phân Ostrogradski đối với thành phần thứ nhất của vế
phải đẳng thức trên ta được