BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
Trần Thị Phương Lan
PHƯƠNG PHÁP NEWTON - RAPHSON
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60 46 01
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Hùng
Hà Nội - 2010
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2. Trước hết, tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới
thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hùng đã luôn hướng dẫn và chỉ bảo chu đáo, tận
tình, nghiêm khắc trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2 cũng như toàn thể các thầy cô giáo trong trường
đã quan tâm và dành cho tác giả những điều kiện tốt nhất trong thời gian
học tập và nghiên cứu tại đây.
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Ban Giám
Hiệu Trường THPT Tam Đảo, THPT Phúc Yên.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đáng của các thầy
giáo phản biện để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và
tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được
hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của

các nhà khoa học nghiên cứu với sự trân trọng biết ơn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả
Mục lục
Mở đầu 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Sai số thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Chữ số chắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Sai số tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Sai số do phương pháp tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Xấp xỉ ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7. Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8. Các định luật cơ bản của hóa học áp dụng cho các hệ trong
dung dịch chất điện li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8.1. Định luật hợp thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8.2. Định luật bảo toàn vật chất . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.3. Định luật tác dụng khối lượng . . . . . . . . . . . . . . 20
Chương 2. Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương
trình phi tuyến 23
2.1. Cơ sở lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1. Phương pháp lặp Newton-Raphson . . . . . . . . . . . 23
2.1.2. Cách giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp
lặp Newton - Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 3. Ứng dụng của phương pháp Newton - Raphson 32
3.1. Giải hệ phi tuyến 2 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Giải hệ phi tuyến 3 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Tính cân bằng trong các hệ oxi hóa- khử phức tạp . . . . . . . 46
Kết luận 57

Tài liệu tham khảo 58
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong khoa học công nghệ và trong thưc tế có rất nhiều bài toán được
chuyển thành bài toán giải hệ phương trình
f
i
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = 0 (i = 1, 2, . . . , n) (1)
Tuy nhiên, chỉ trong một số trường hợp đặc biệt ta mới có cách tìm nghiệm
đúng của hệ phương trình đó, các trường hợp còn lại đều phải tìm cách giải
gần đúng. Nếu hệ phương trình đó xuất phát từ bài toán thực tế thì biểu
thức f
i
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)(i =
1, n) của hệ (1) thường cũng chỉ biết gần đúng. Vì
thế việc giải đúng hệ phương trình đó chẳng những không thực hiện nổi mà
nhiều khi không có ý nghĩa. Đối với lớp các bài toán đó thì việc xác định sai
số là một vấn đề đáng quan tâm.

Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến là phương
pháp có lời giải hay, có thể áp dụng cho mọi hệ, đặc biệt những hệ càng phức
tạp thì phương pháp này càng tỏ ra ưu việt. Hơn nữa, nếu lựa chọn xấp xỉ
ban đầu tốt thì phương pháp này cho kết quả rất nhanh và chính xác.
Qua nghiên cứu về phương pháp này chúng ta thấy mình hiểu biết về kiến
thức giải tích ở phổ thông một cách rõ ràng, sâu sắc hơn trước rất nhiều.
Đồng thời cũng thấy được một phần ứng dụng ưu việt của nó trong nghành
hóa học phân tích khi tính cân bằng các hệ oxi hóa - khử phức tạp. Vì vậy với
mong muốn tìm hiểu sâu sắc hơn nữa phương pháp này tôi mạnh dạn chọn
nghiên cứu đề tài: "Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương
trình phi tuyến ".
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của phương pháp
Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến. Sau đó vận dụng phương
pháp này giải một số hệ phương trình phi tuyến 2 ẩn, 3 ẩn, tính toán cân
bằng các hệ oxi hóa khử phức tạp.
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Giải hệ phi tuyến bằng phương pháp Newton - Raphson.
- Tính toán cân bằng các hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton -
Raphson .
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của phương pháp
Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến.
- Tính cân bằng các hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton - Raphson.
Luận văn được chia làm 3 chương ( ngoài phần mở đầu, kết luận và tài
liệu tham khảo )
Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ.
Chương 2: Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến.
Chương 3: Ứng dụng của phương pháp Newton - Raphson.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp giải gần đúng của lý thuyết giải tích số.
- Phương pháp phân tích định tính và định lượng của hóa học.
6. Những đóng góp mới của đề tài
- Tính cân bằng các hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton - Raphson
giải hệ phương trình phi tuyến.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối
Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của các
đại lượng. Ta nói a là số gần đúng của a
∗
, nếu a không sai khác a
∗
nhiều. Đại
lượng ∆a = |a − a
∗
| gọi là sai số thật sự của a. Nói chung chúng ta không
biết a
∗
nên ta cũng không biết ∆a. Tuy nhiên ta có thể tìm được ∆a ≥ 0,
gọi là sai số tuyệt đối của a, thỏa mãn điều kiện:
|a − a
∗
| ≤ ∆a (1.1)
hay a −∆a ≤ a
∗
≤ a + ∆a. Đương nhiên ∆a thỏa mãn điều kiện ( 1.1) càng
nhỏ càng tốt.
Hai số gần đúng có cùng sai số tuyệt đối sẽ có mức độ chính xác khác

nhau nếu độ lớn của chúng khác nhau, số bé hơn sẽ có độ chính xác kém hơn.
Để biểu diễn chính xác điều này người ta dùng khái niệm sai số tương đối,
được kí hiệu là δa và xác định như sau:
δa =
∆a
|a|
Ví dụ 1.1.
Giả sử a
∗
= π, a = 3, 14. Do 3, 14 ≤ a
∗
≤ 3, 15 = 3, 14 + 0, 01 nên ta có
thể lấy ∆a = 0, 01.
Mặt khác, 3, 14 ≤ π ≤ 3, 141 = 3, 14 + 0, 001 do đó có thể coi ∆a = 0, 001.
Ví dụ 1.2.
Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a = 10cm và b = 1cm với
∆a = ∆b = 0, 01. Khi đó ta có δa =
0,01
10
= 0, 1% còn δb =
0,01
1
= 1% hay
δa = 10δb. Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn hẳn phép đo b mặc dù
4
∆a = ∆b. Như vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương
đối.
1.2. Sai số thu gọn
Một số thập phân a có dạng tổng quát như sau:
a = ±(β

p
10
p
+ β
p−1
10
p−1
+ ··· + β
p−s
10
p−s
)
trong đó 0 ≤ β
i
≤ 9(i = p − 1, p − s); β
p
> 0 là những số nguyên. Nếu
p − s ≥ 0 thì a là số nguyên; p − s = −m(m ≥ 0) thì a có phần thập phân
gồm m chữ số. Nếu s = ∞, a là số thập phân vô hạn. Thu gọn một số a là
vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để được một số a ngắn gọn hơn và gần
đúng nhất với a.
Quy tắc thu gọn:
Giả sử a = β
p
10
p
+ ···+ β
j
10
j

+ ···+ β
p−s
10
p−s
và ta giữ lại đến số hạng
thứ j. Gọi phần vứt bỏ là µ, ta đặt
a = β
p
10
p
+ . . . + β
j+1
10
j+1
+
˜
β
j
10
j
trong đó
˜
β
j
=

β
j
+ 1 nếu 0, 5 × 10
j

< µ < 10
j
β
j
nếu 0 ≤ µ < 0, 5 × 10
j
Nếu µ = 0, 5 × 10
j
thì
˜
β
j
=

β
j
nếu β
j
là chẵn
β
j
+ 1 nếu β
j
là lẻ
Ví dụ 1.3. π ≈ 3, 141592 ≈ 3, 14159 ≈ 3, 1416 ≈ 3, 142 ≈ 3, 14 ≈ 3, 1 ≈ 3.
Sai số thu gọn Γ
a
thỏa mãn điều kiện:
|a − a| ≤ Γ
a

Vì
a = β
p
10
p
+ . . . + β
j
10
j
+ µ
5
còn
a = β
p
10
p
+ ··· + β
j+1
10
j+1
+
˜
β
j
10
j
,
nên
|a − a| = |(β
j

−
˜
β
j
)10
j
+ µ| < 0, 5 × 10
j
.
Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên:
|a − a| ≤ |a
∗
− a| + |a − a| ≤ ∆
a
+ Γ
a
.
1.3. Chữ số chắc
Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác " 0 " và cả "0", nếu nó kẹp giữa hai
chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại.
Ví dụ 1.4.
a = 0,0030140. Ba chữ số " 0 " đầu không có nghĩa.
Mọi chữ số có nghĩa β
i
của a = ±(β
p
10
p
+ β
p−1

10
p−1
+ ···+ β
p−s
10
p−s
) gọi
là chữ số chắc, nếu
∆
a
≤ ω × 10
i
trong đó ω là tham số cho trước. Tham số ω được chọn để một chữ số vốn
đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc. Giả sử chữ số chắc cuối cùng của
a trước khi thu gọn là β
i
. Để β
i+1
và các chữ số trước nó vẫn chắc, phải có
∆
a
+ Γ
a
≤ ω × 10
i+1
. Suy ra ω ×10
i
+ 0, 5 ·10
i+1
≤ ω × 10

i+1
hay ω ≥
5
9
. Ta
sẽ gọi chữ số chắc theo nghĩa hẹp (rộng) nếu ω = 0, 5(ω = 1).
Khi viết số gần đúng, chỉ nên giữ lại một hoặc hai chữ số không chắc để
khi tính toán, sai số chỉ tác động đến chữ số không chắc thôi.
1.4. Sai số tính toán
Khi giải bài toán ta phải thực hiện các phép tính thông thường và luôn
luôn phải làm tròn các kết quả trung gian. Sai số tạo ra bởi tất cả các lần
làm tròn như vậy gọi là sai số tính toán.
Trong tính toán ta thường gặp bốn loại sai số sau:
6
1. Sai số giả thiết: Do mô hình hóa, lí tưởng hóa các bài toán thực tế, sai
số này không loại trừ được.
2. Sai số phương pháp: Các bài toán thường gặp rất phức tạp, không thể
giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng. Sai số này
sẽ được nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể.
3. Sai số các số liệu: Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó
có sai số. Sai số của các số liệu gần đúng đã được nghiên cứu trong mục
1.1.
4. Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên
khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán.
Giả sử tìm được đại lượng y theo công thức:
y = f(x
1
, x
2
, . . . , x

n
)
Gọi x
∗
i
, y
∗
(i = 1, n) và x
i
, y(i = 1, n) là các giá trị đúng và gần đúng của
đối số và hàm số. Nếu f khả vi liên tục thì
|y − y
∗
| = |f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) − f(x
∗
1
, x
∗
2
, . . . , x
∗
n
)| =
n


i=1
|f

i
||x
i
− x
∗
i
|
trong đó f

i
là đạo hàm
∂f
∂x
i
tính tại các điểm trung gian. Do
∂f
∂x
i
liên tục, ∆x
i
khá bé, ta có thể coi
∆y =
n

i=1
|f


i
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)|∆x
i
.
Do đó δy =
∆y
|y|
=
n

i=1
|
∂
∂x
i
lnf|∆x
i
.
Sau đây là sai số của phép tính cơ bản:
a) Sai số các phép tính cộng, trừ:
Giả sử tính
y =
n


i=1
x
i
ta có
∂f
∂x
i
= 1
nên
∆y =
n

i=1
∆x
i
.
7
Trường hợp tổng đại số rất nhỏ, nghĩa là |y| << 1 thì ∂y =
n

i=1
∆x
i
|y|
>> 1, do
đó kết quả không chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa
đến hiệu của hai số gần nhau.
b) Sai số của phép tính nhân chia:
Giả sử

y =
x
1
. . . x
p
x
p+1
. . . x
n
Khi đó lny =
p

i=1
lnx
i
−
n

j=p+1
lnx
j
suy ra δy =
n

i=1
δx
i
. và ∆y = |y|δy.
c) Sai số của phép tính lũy thừa, khai căn, nghịch đảo
Cho y = x

α
, khi đó δy = |
d
dx
lny|∆x = |α|δx.
- Nếu α > 1 ( phép lũy thừa ) thì δy > δx, do đó độ chính xác giảm.
- Nếu 0 ≤ α < 1 ta có phép khai căn, khi đó δy < δx, hay độ chính xác tăng.
- Nếu α = 1, ta có phép nghịch đảo, δy = δx, nghĩa là độ chính xác không
đổi.
Ví dụ 1.5.
Diện tích hình vuông S = 12,34; ∆S = 0, 01 tính cạnh a.
Ta có a =
√
S ≈ 3, 5128.
Vì ∂S =
∆S
S
=
0,01
12,34
≈ 0, 0008
Nên ∆a ≈ 3, 5128 × 0, 0004 ≈ 1, 4 × 10
−3
Như vậy a có 4 chữ số chắc và a ≈ 3, 513.
8
Ví dụ 1.6.
Hãy tính tổng:
A =
1
1

3
−
1
2
3
+
1
3
3
−
1
4
3
+
1
5
3
−
1
6
3
Giải . A là tổng của 6 phân số. Ta có thể tính trực tiếp A mà không cần
phải thay nó bằng một tổng đơn giản hơn. Vì vậy ở đây nó không có sai số
phương pháp. Để tính A ta thực hiện phép chia đến ba chữ số thập phân và
đánh giá các sai số quy tròn tương ứng:
1
1
3
=
1

1
= 1, 000 với θ
1
= 0
1
2
3
=
1
8
= 0, 125 với θ
2
= 0
1
3
3
=
1
27
= 0, 037 với θ
3
= 10
−4
1
4
3
=
1
64
= 0, 016 với θ

4
= 4 × 10
−4
1
5
3
=
1
125
= 0, 008 với θ
5
= 0
1
6
3
=
1
216
= 0, 005 với θ
6
= 4 × 10
−4
Vậy
A ≈ a = 1, 000 − 0, 125 + 0, 037 − 0, 016 + 0, 008 −0, 005 = 0, 899.
|A − a| ≤ |
1
1
3
− 1| + |
1

2
3
− 0, 125| + |
1
3
3
− 0, 037| + |
1
4
3
− 0, 016| + |
1
5
3
− 0, 008|
+|
1
6
3
− 0, 005|
≤ θ
1
+ θ
2
+ θ
3
+ θ
4
+ θ
5

+ θ
6
= 9 × 10
−4
Do đó a = 0, 899 là giá trị gần đúng của A với sai số tính toán 9 × 10
−4
.
Ta viết A ≈ 0, 899 ± 9 × 10
−4
1.5. Sai số do phương pháp tính toán
Khi giải gần đúng một bài toán phức tạp ta phải thay một bài toán đã cho
bằng một bài toán đơn giản hơn có thể giải được thông qua việc thực hiện
9
các phép tính thông thường. Phương pháp thay bài toán phức tạp bằng bài
toán đơn giản hơn như thế gọi là phương pháp gần đúng. Sai số do phương
pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp.
Ví dụ 1.7.
Hãy tính tổng
P =
1
1
3
−
1
2
3
+
1
3
3

− ··· + (−1)
n−1
1
n
3
···
với sai số tuyệt đối không vượt quá 5 × 10
−3
.
Giải . Vế phải của P là một chuỗi số đan dấu hội tụ. Do đó việc tính P là
hợp lí. Nhưng vế phải của P có vô hạn số hạng, ta không thể cộng hết số này
đến số khác mãi được. Do đó để tính P ta phải sử dụng một phương pháp
gần đúng, cụ thể P thay bằng tổng n số hạng đầu
P ≈
1
1
3
−
1
2
3
+
1
3
3
− ··· + (−1)
n−1
1
n
3

.
Bài tính P
n
đơn giản hơn bài toán tính P. Lúc đó |P −P
n
| là sai số phương
pháp, và số n được chọn sao cho sai số phương pháp ấy cộng với sai số tính
toán vẫn còn nhỏ hơn 5 × 10
−3
. Ta có:
|P −P
n
| ≈ |
1
(n + 1)
3
−
1
(n + 2)
3
+ ···| <
1
(n + 1)
3
.
(theo lí thuyết chuỗi đan dấu). Vì vậy với n = 6 ta thấy :
|P −P
n
| ≤
1

7
3
=
1
343
< 3 × 10
−3
.
Ta chú ý rằng P
6
= A đã tính ở trên (xem ví dụ 1.6 )
P
6
≈ A ≈ 0, 899 ± 9 ×10
−4
.
Vậy có thể lấy P ≈ 0, 899. Để xét sai số ta có
P −0, 899 = P − P
6
+ A − 0, 899.
|P −0, 899| ≤ |P − P
6
| + |A − 0, 899|.
|P −0, 899| ≤ |3 × 10
−3
+ 9 × 10
−4
≤ 4 × 10
−3
.

10
Vậy ta tính đượcP ≈ 0, 899. với sai số tuyệt đối không vượt quá 4 ×10
−3
P = 0, 899 ± 9 × 10
−4
.
Qua ví dụ 1.6 và ví dụ trên ta thấy sai số tổng hợp cuối cùng có phần của
sai số phương pháp và có phần của sai số tính toán.
1.6. Xấp xỉ ban đầu
Thông thường quá trình tìm nghiệm r của phương trình
f(x) = 0 (1.2)
( ở đây f ( x ) là hàm thực một biến x ) được chia làm hai phần. Một là,
phần xấp xỉ ban đầu của nghiệm ( thường được gọi là nghiệm xấp xỉ ). Hai
là, tinh chế nghiệm xấp xỉ đó để có được một nghiệm xấp xỉ mới có độ chính
xác mong muốn.
Việc tìm xấp xỉ ban đầu x
0
cho nghiệm r của phương trình (1.2) thường
do sự dự đoán dựa trên thông tin về hàm f có được, hoặc bằng cách vẽ đồ
thị tìm điểm x
0
sao cho f(x
0
) ≈ 0. Ngoài ra, ta cũng có thể tìm được x
0
dựa
vào định lý sau:
Nếu f ( x ) là một hàm thực liên tục trên [ a ; b], (a < b ), có f(a)·f(b) < 0
thì tồn tại ít nhất một nghiệm r của f( x ) trong khoảng (a;b).
Việc tìm một đoạn [ a ; b] như vậy gọi là cô lập nghiệm.

Bây giờ ta xét một số thuật toán tìm xấp xỉ ban đầu cho nghiệm thực của
phương trình đại số có dạng:
f(x) = P
n
(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ··· + a
n−1
x + a
n
= 0 (1.3)
với các hệ số thực a
i
(i = 0, n). Phương trình đại số (1.3) nói chung , có thể
có các ngiệm thực khác nhau hoặc nghiệm thực kép. Nếu ta kí hiệu nghiệm
của (1.3) là các số r
1
, r
2
, . . . , r
n
thì P
n
(x) có thể viết dưới dạng:

P
n
(x) = a
0
(x − r
1
)(x − r
2
)(x − r
3
) ···(x − r
n
)
Giả thiết rằng: |r
1
| > |r
2
| > . . . > |r
n
|
11
Nếu các nghiệm r
i
có môđun khác nhau nhiều, thì xấp xỉ ban đầu của
nghiệm có thể lấy từ định lý :
a
1
a
0
= −


r
i
;
a
2
a
0
= −

i<j
r
i
r
j
;
a
3
a
0
= −

i<j<k
r
i
r
j
r
k
; . . . ;

a
n
a
0
= (−1)
n
r
1
r
2
. . . r
n
.
Vì r
1
có môđun lớn hơn nhiều so với các nghiệm khác, cho nên từ đẳng
thức đầu tiên ta có
a
1
a
0
= r
1
(1 +
r
2
r
1
+ . . . +
r

n
r
1
)
Suy ra a
1
≈ −r
1
a
0
Từ đẳng thức thứ hai của hệ trên suy ra:
a
2
a
0
= r
1
r
2
[(1 +
r
3
r
2
+ . . . +
r
n
r
2
) + (

r
3
r
1
+ . . . +
r
n
r
1
) +
r
3
· r
4
r
1
· r
2
+ . . . +
r
n−1
· r
n
r
1
· r
2
]
Suy ra a
2

≈ r
1
r
2
a
0
Quá trình này được tiếp tục cho đến đẳng thức cuối cùng ta được:
a
1
≈ −r
1
a
0
, a
2
≈ r
1
r
2
a
0
,
a
3
≈ −r
1
r
2
r
3

a
0
, . . . , a
n
≈ r
1
r
2
. . . r
n
a
0
.
Từ đây suy ra:
a
1
+ r
1
a
0
≈ 0 , , a
2
+ r
2
a
1
≈ 0 ,
a
3
+ r

3
a
2
≈ 0 , . . . , a
n
+ r
n
a
n−1
≈ 0 ;
Vì vậy:
r
1
≈ −
a
1
a
0
, r
2
≈ −
a
2
a
1
, r
3
≈ −
a
3

a
2
, . . . , r
n
≈ −
a
n
a
n−1
.
Nguyên lí Decard:
Nếu trong phương trình (1.3) hai hệ số cạnh nhau khác dấu, ta nói rằng có
sự đổi dấu. Nếu hai hệ số cạnh nhau cùng dấu, ta nói rằng có sự giữ nguyên
dấu.
Lưu ý ở đây ta chỉ nói đến các hệ số khác 0.
12
Phương trình (1.3) được gọi là đầy đủ nếu nó không có hệ số a nào bằng
0.
Nguyên lí Decard được phát biểu như sau:
Số nghiệm dương của phương trình (1.3) bằng hoặc kém hơn một số chẵn
số lần đổi dấu trong dãy hệ số của phương trình đó, những hệ số là số 0 không
tính đến.
Số nghiệm âm của phương trình (1.3) bằng hoặc kém hơn một số chẵn số
lần đổi dấu trong hệ số của phương trình f(- x) = 0.
Nếu phương trình là đầy đủ, thì số nghiệm âm bằng số lần giữ nguyên dấu
trong hệ số của phương trình hoặc kém hơn nó một số chẵn.
i. Tìm nghiệm có môđun lớn hoặc bé nhất của phương trình đại số
(1.3):
Nghiệm đơn của (1.3), với a
0

= 1, có môđun lớn nhất cũng có thể được
xấp xỉ từ phương trình
x
2
+ a
1
x + a
2
= 0 hoặc x + a
1
= 0
Nếu nghiệm đơn có môđun lớn hơn nhiều so với các nghiệm khác thì các
xấp xỉ này cho ta kết quả tương đối chính xác.
Nghiệm có giá trị môđun nhỏ nhất của (1.3) cũng có thể tính xấp xỉ từ
phương trình
a
n−2
x
2
+ a
n−1
x + a
n
= 0 hoặc a
n−1
x + a
n
= 0.
ii. Lược đồ Horner
Lược đồ horner dùng để chia một đa thức

a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ··· + a
n−1
x + a
n
cho một nhị thức x − x
0
. Kết quả sau phép chia sẽ là một đa thức bậc n - 1
là b
0
x
n−1
+ b
1
x
n−2
+ ··· + b
n−2
x + b
n−1
và phần dư sẽ là R, sẽ chỉ cho một số
sao cho thỏa mãn:
a

0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ···+ a
n−1
x + a
n
= (x −x
0
)(b
0
x
n−1
+ ···+ b
n−2
x + b
n−1
) + R
13
So sánh các hệ số của hai đa thức bằng nhau ta được:
b
0
= a
0
, b
1

= a
0
x
0
+ a
1
, b
2
= b
1
x
0
+ a
2
, . . . ,
b
n−1
= b
n−2
x
0
+ a
n−1
, R = b
n−1
x
0
+ a
n
.

Thông thường lược đồ chia đa thức cho một nhị thức được sắp xếp như sau:
a
0
a
1
a
2
a
3
. . . a
n−1
a
n
x
0
b
0
x
0
b
1
x
0
b
2
x
0
. . . b
n−2
x

0
b
n−1
x
0
b
0
= a
0
b
1
b
2
b
3
. . . b
n−1
R
1.7. Ma trận nghịch đảo
Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n là một ma trận, kí hiệu
A
−1
thỏa mãn điều kiện:
AA
−1
= A
−1
A = I
Ma trận có ma trận nghịch đảo A
−1

khi và chỉ khi detA = 0 và khi đó ta
có thể tìm A
−1
bằng cách tính giá trị các phần bù đại số A
ij
, i, j = 1, 2, . . . , n
sau đó ta có thể áp dụng các công thức:
A
−1
=
1
detA







A
11
A
21
. . . A
n1
A
12
A
22
. . . A

n2
· · . . . ·
A
1n
A
2n
. . . A
nn







Ngoài ra cũng có thể áp dụng phương pháp dưới đây hay được dùng trong
lập trình tính toán bằng máy tính.
Viết thêm ma trận I vào bên phải ma trận A
(A, I) =







a
11
a
12

. . . a
1n
1 0 . . . 0
a
21
a
22
. . . a
2n
0 1 . . . 0
· · . . . · · · . . . ·
a
n1
a
n2
. . . a
nn
0 0 . . . 1







(1.4)
14
Bằng cách biến đổi sơ cấp lên hàng của matrận [ A, I ] này cho đến khi
ta được ma trận dạng:








1 0 . . . 0 C
1,n+1
C
1,n+2
. . . C
1,2n
0 1 . . . 0 C
2,n+1
C
2,n+2
. . . C
2,2n
· · . . . · · · . . . ·
0 0 . . . 1 C
n,n+1
C
n,n+2
. . . C
n,2n








Khi đó:
A
−1
=







C
1,n+1
C
1,n+2
. . . C
1,2n
C
2,n+1
C
2,n+2
. . . C
2,2n
· · . . . ·
C
n,n+1
C
n,n+2

. . . C
n,2n







Để tìm các thành phần C
ij
ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
đối với ma trận [ A, I ] sao cho ma trận A trở thành ma trận đơn vị. Muốn
vậy, ở bước thứ l = 1,2,. . . ,n-1 ta phải chia các thành phần của hàng thứ l
cho a
(l−1)
ll
và dùng phép biến đổi sơ cấp theo hàng như thế nào để cho tất cả
các thành phần ở cột thứ l bằng 0 trừ a
(l−1)
ll
. Cũng lưu ý rằng mỗi lần chia
cho a
(l−1)
ll
phải bắt buộc kiểm tra xem a
(l−1)
ll
có khác 0 hay không.
Cụ thể sau khi chia hàng thứ nhất của (1.4) cho a

11
ta có
a
(1)
ij
=
a
ij
a
11
ta có:







1 a
12
/a
11
. . . a
1n
/a
11
1/a
11
0 . . . 0
a

21
a
22
. . . a
2n
0 1 . . . 0
· · . . . · · · . . . ·
a
n1
a
n2
. . . a
nn
0 0 . . . 1







Tiếp theo nhân hàng đầu của ma trận trên đối với −a
21
, sau đó cộng vào
hàng thứ hai theo từng thành phần một ta được:








1 a
12
/a
11
. . . a
1n
/a
11
1/a
11
0 . . . 0
0 a
(1)
22
. . . a
(1)
2n
a
(1)
2,n+1
1 . . . 0
· · . . . · · · . . . ·
a
n1
a
n2
. . . a
nn

0 0 . . . 1







15
ở đây
a
(1)
2j
= a
2j
− a
21
a
1j
a
11
, j = 2, 3, . . . , n + 1.
Cách làm này được áp dụng vào hàng 3,4,. . . cho đến hàng cuối cùng là
hàng thứ n để cho a
31
, a
41
, . . . , a
n1
trở thành số 0.

Vì vậy, với mỗi hàng i:
a
(1)
ij
= a
ij
− a
i1
a
1j
a
11
, j = 2, 3, . . . , n + 1.
Bây giờ giả thiết là ta đã đưa được ma trận về dạng







1 0 . . . a
(l−1)
1l
. . . a
(l−1)
1n
a
(l−1)
1,n+1

. . . 0
0 1 . . . a
(l−1)
2l
. . . a
(l−1)
2n
a
(l−1)
2,n+1
. . . 0
· · . . . · · · . . . ·
0 0 . . . a
(l−1)
nl
. . . a
(l−1)
nn
a
(l−1)
n,n+1
. . . 1







Hai bước cơ bản cần được tiến hành đối với ma trận này là:

1. Với mỗi hàng thứ l, chia tất cả a
(l−1)
ij
cho a
(l−1)
ll
, j = l, l + 1. . . . , l + n.
2. Với mỗi i = 1, 2,. . . , n, i = l thay cho a
(l−1)
ij
bằng:
a
(l)
ij
= a
(l−1)
ij
− a
(l−1)
il
a
(l−1)
lj
a
(l−1)
ll
, j = l, l + 1, . . . , l + n.
Và vấn đề tìm A
−1
trở thành tìm:

a
(l)
ij
=
a
(l−1)
lj
a
(l−1)
ll
, l = 1, 2, . . . , n; j = l, l + 1, . . . , l + n.
a
(l)
ij
= a
(l−1)
ij
− a
(l−1)
il
a
(l)
lj
, i = 1, 2, . . . , l, . . . , n; j = l, . . . , l + n.
Thông thường i chỉ số hàng, j là chỉ số cột còn l gán cho giá trị 0 và sau
đó được thay ngay bằng l +1 là chỉ số của các phần tử đường chéo chính
hiện tại. Nên thay a
(l−1)
ll
bằng Q để dễ dàng với mỗi l cố định các thành phần

ở hàng thứ l có thể chia cho a
(l−1)
ll
. Nếu không chuyển a
(l−1)
ll
đến chỗ Q, thì
a
(l)
ij
= a
(l−1)
ll
/a
(l−1)
ll
= 1, i = l, j = l và các thành phần a
(l)
ij
khác còn lại j = l,
l+1,. . . sẽ giữ nguyên giá trị vì nó chỉ chia cho 1 thôi.
16
1.8. Các định luật cơ bản của hóa học áp dụng cho các hệ trong
dung dịch chất điện li
1.8.1. Định luật hợp thức
• Tọa độ phản ứng
Tọa độ phản ứng x là tỉ số giữa độ biến đổi số mol ∆n ( hoặc độ biến đổi
nồng độ ∆C) và hệ số hợp thức (hệ số tỉ lượng α).
x =
∆n

α
hoặc x =
∆C
α
Tọa độ phản ứng x đặc trưng cho các cấu tử tham gia phản ứng và có giá trị
như nhau với mọi cấu tử tham gia phản ứng.
Nếu gọi n ( hoặc C) là số mol ( hoặc nồng độ ) ban đầu
và n’ ( hoặc C’ ) là số mol (hoặc nồng độ ) sau phản ứng thì:
n

= n + ∆n và C

= C + ∆C
Thường quy ước:
α > 0 đối với các sản phẩm phản ứng.
α < 0 đối với các sản phẩm tham gia phản ứng.
Ví dụ 1.8.
+ Xét phản ứng từ 0,5 mol FeCl
3
và 0,2 mol SnCl
2
tạo được 0,2 mol FeCl
2
.
Ta có phản ứng sau:
2FeCl
3
+ SnCl
2
 2FeCl

2
+ SnCl
4
↑
α -2,0 -1,0 2,0 1,0
n
0
0,5 0,2 0,0 0,0
∆n -0,2 -0,1 0,2 0,1
n 0,3 0,1 0,2 0,1
Tọa độ phản ứng x =
∆n
α
là đại lượng chung cho bất kì cấu tử nào, do đó giá
trị n
F eCl
2
= 0, 2. Suy ra ∆n
F eCl
2
= n − n
0
= 0, 2
⇒ Tọa độ phản ứng x =
∆n
α
=
0,2
2
= 0, 1.

Từ đó ta tính được ∆n = αx và số mol của từng cấu tử như trên
17
• Tọa độ cực đại
Thông thường các hệ số hợp thức và nồng độ của các chất trong một phản
ứng là rất khác nhau .
Một phản ứng xảy ra hoàn toàn ( với hiệu suất max ) khi nồng độ của các
chất ban đầu bị triệt tiêu.
Trong một phản ứng, khi nồng độ ban đầu của các chất khác nhau thì
mức độ phản ứng phụ thuộc vào tỉ số nồng độ ( hoặc số mol ) ban đầu với
hệ số hợp thức tương ứng của từng chất ban đầu. Tỉ số có giá trị bé nhất là
tọa độ cực đại của phản ứng.
x
max
= min{
C
0
i
|α
i
|
, α < 0} hoặc ξ
max
= min{
n
0
i
|α
i
|
, α < 0}

(Đối với các chất đầu α
i
< 0)
Ví dụ 1.9.
Xét hỗn hợp phản ứng gồm có Cr
2
O
2
7
0,1M, NO
−
2
0,12M, H
+
0,4M
3NO
−
2
+ CrO
2−
7
+ 8H
+
 3NO
−
3
+ 2Cr
3+
+ 4H
2

O
α -3 -1 -8 3 2
C
0
0,12 0,1 0,4 0,0 0,0
∆C -3x -1x -8x 3x 2x
C 0,12 - 3x 0,10 - x 0,40 - 8x 3x 2x
x là tọa độ phản ứng.
Phản ứng đạt hiệu suất cao nhất nếu sau phản ứng nồng độ các chất bị
triệt tiêu. Khi đó:
Đối với NO
−
2
0, 12 − 3x = 0 → x =
0, 12
3
= 0, 04
Cr
2
O
2−
7
0, 10 − x = 0 → x = 0, 01
H
+
0, 40 − x = 0 → x =
0, 40
8
= 0, 05
Vậy x

max
= x
NO
−
2
= 0, 04 và phản ứng sẽ diễn ra cho đến hết NO
−
2
.
• Thành phần giới hạn
18
Thành phần giới hạn là thành phần của hệ sau khi phản ứng xảy ra với
tọa độ cực đại.
Trong ví dụ 1.9, nếu ta thay x = 0,04 ta sẽ tính được thành phần giới hạn:
C
NO
−
2
= 0, 12 − 3x = 0M
C
Cr
2
O
2−
7
= 0, 1 − x = 0, 06M
C
H
+
= 0, 4 − 8x = 0, 08M

C
NO
−
3
= 3x = 0, 12M
C
C
r
3+
= 2x = 0, 08M
Thành phần giới hạn có thể là thành phần cân bằng nhưng thường chưa
là thành phần cân bằng vì sau đó còn có thể xảy ra các quá trình phụ.
1.8.2. Định luật bảo toàn vật chất
• Định luật bảo toàn nồng độ ban đầu:
Dạng thuận tiện nhất của định luật bảo toàn vật chất áp dụng cho dung
dịch các chất điện li là định luật bảo toàn nồng độ ban đầu. Theo định luật
này, nồng độ ban đầu của một cấu tử bằng tổng nồng độ cân bằng của dạng
tồn tại của cấu tử đó có mặt trong dung dịch khi cân bằng.
C
i
=

[i]
( Nồng độ ban đầu là nồng độ chất trong hỗn hợp trước khi phản ứng xảy
ra )
Trong trường hợp khi cấu tử ban đầu tồn tại ở dạng đơn nhân M
j
(OH)
(nj−k)+
k

(j = 1) còn trạng thái cân bằng lại có dạng liên hợp ( đa nhân ) (j > 1) thì
trong biểu thức định luật bảo toàn nồng độ ban đầu nồng độ ở dạng liên hợp
phải nhân với hệ số tương ứng.
Ví dụ 1.10.
Định luật bảo toàn nồng độ ban đầu đối với ion K
+
, C
r
O
2−
4
trong dung
dịch K
2
C
r
O
4
0, 1M khi có mặt axít mạnh, biết rằng dung dịch Crom tồn tại
dưới dạng C
r
O
2−
4
, HC
r
O
2−
4
, Cr

2
O
2−
7
. được biểu diễn như sau:
19
Đối với ion K
+
:
C
+
K
= 2C
K
2
CrO
4
= 0, 2 = [K
+
]
Đối với ion C
r
O
2−
4
:
C
C
r
O

2−
4
= C
K
2
CrO
4
= 0, 1 = [C
r
O
2−
4
] + [HCrO
−
4
] + 2[Cr
2
O
2−
7
]
• Định luật bảo toàn Proton:
Theo định luật này, nếu ta chọn một trạng thái nào đó của dung dịch
làm chuẩn ( thường gọi là trạng thái quy chiếu hay là mức không ) thì tổng
nồng độ Proton mà các cấu tử ở mức không giải phóng ra bằng tổng nồng
độ Proton mà cấu tử thu vào để đạt tới trạng thái cân bằng.
Ví dụ 1.11.
Với dung dịch CH
3
COONa C

1
mol/l và NaOH C
2
mol/l thì các quá trình
phân ly sẽ là:
NaOH  Na
+
+ OH
−
C
2
CH
3
COONa  Na
+
+ CH
3
COO
−
C
1
Chọn mức không là: CH
3
COO
−
(C
1
), H
2
O.

H
2
O  H
+
+ OH
−
K
W
(cho P roton)
CH
3
COO
−
+ H
+
 CH
3
COOH K
−1
a
(thu P roton)
Chỉ tính nồng độ OH
−
bằng cách :
[OH
−
] ( do cấu tử ở mức không giải phóng ra) =

[OH
−

]( có trong dung
dịch ) - [OH
−
] ( ở dung dịch gốc mà NaOH phân ly ra )
Biểu thức điều kiện Proton được viết như sau:
[H
+
] = [OH
−
] − C
2
− [CH
3
COOH]
Ví dụ 1.12.
20
Với dung dịch CH
3
COOH C
1
mol/l và CH
3
COONa C
2
mol/l thì các quá
trình phân ly sẽ là:
CH
3
COONa  Na
+

+ CH
3
COO
−
C
2
C
2
Chọn mức không là: CH
3
COOH(C
1
), H
2
O
H
2
O  H
+
+ OH
−
K
W
(cho P roton) (1.5)
CH
3
COOH  CH
3
COO
−

+ H
+
K
a
(thu P roton) (1.6)
Từ phương trình (1.5) ta có [H
+
] = [OH
−
]
Từ phương trình (1.6) ta có [H
+
] = [CH
3
COO
−
]( trong dung dịch ) -
[CH
3
COO
−
] ( được phân ly từ CH
3
COONa ).
Biểu thức điều kiện Proton được viết như sau:
[H
+
] = [OH
−
] − C

2
+ [CH
3
COO
−
]
1.8.3. Định luật tác dụng khối lượng
Đối với phản ứng:
aA + bB  cC + dD
khi đạt tới trạng thái cân bằng thì ta có biểu thức của định luật tác dụng
khối lượng:
K =
(C)
c
(D)
d
(A)
a
(B)
b
trong đó, K là hằng số cân bằng nhiệt động, chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ, bản
chất của các phản ứng và dung môi, hầu như không phụ thuộc vào áp suất
và thành phần của hệ.
(i) chỉ hoạt độ của cấu tử i.
(i) = [i]f
i
( f
i
là hệ số hoạt độ của cấu tử i , [ ] chỉ nồng độ ở trạng thái
cân bằng. )

Đặt
K
c
=
[C]
c
[D]
d
[A]
a
[B]
b