1

Lời cảm ơn

Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của cô giáo PGS .TS
Lu Thị Kim Thanh cô đã tận tình hớng dẫn tôi về phơng pháp nghiên cứu
khoa học và nội dung của luận văn này. Cô luôn động viên, khích lệ để tôi
vơn lên trong học tập và vợt qua những khó khăn trong công tác nghiên cứu
chuyên môn.
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối
với Cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trờng Đại học S phạm Hà
Nội 2, Phòng Sau Đại học và Khoa Vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất
cho tôi hoàn thành chơng trình học và luận văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều
kiện, đóng góp những ý kiến, kinh nghiệm quí báu giúp tôi hoàn thành luận
văn này.

Hà nội, ngày tháng năm 2010
Học viên



Nguyễn Đình Tuấn




Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội 2

Nguyễn đình tuấn




Các phân bố thống kê lợng tử

biến dạng và ứng dụng


Chuyên ngành: Vật lí chất rắn
Mã số: 60 44 07


luận văn thạc sĩ vật lí

Ngời hớng dẫn khoa học:
PGS.TS lu thị kim thanh




Hà Nội, 2010
2

Lời cam đoan


Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dới sự
hớng dẫn của cô giáo PGS.TS Lu Thị Kim Thanh. Luận văn này không hề
trùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác.

Hà nội, ngày tháng năm 2010
Học viên


Nguyễn Đình Tuấn

a. mở đầu

1. Lý do chọn đề tài:
Cùng với sự phát triển của xã hội loài ngời, Vật lý học đã trải qua
nhiều giai đoạn phát triển và đạt đợc nhiều thành tựu đáng kể : Thế kỷ XVIII
cơ học cổ điển của Niutơn đã trở thành môn khoa học cơ bản , thế kỷ XIX lý
thuyết điện từ trờng của Macxoen và Faraday ra đời có nhiều ứng dụng trong
đời sống và khoa học , thế kỷ XX là thế kỷ của Vật lý học hiện đại với khuynh
hớng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất . Khi đó ngời ta nhận
thấy không còn có sự thống nhất giữa các quy luật xảy ra trong thế giới vi mô
với các quy luật đã tìm thấy trong thống kê cổ điển.
Trong cơ học lợng tử cũng nh lý thuyết trờng lợng tử, khi có sự sai
khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, ngời ta thờng
dùng các phơng pháp gần đúng để giải quyết. Tuy nhiên nhiều hiện tợng vật
3
lý lại không dễ dàng thấy đợc trong phơng pháp nhiễu loạn, chẳng hạn nh
sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái
Điều đó có đòi hỏi phải có những phơng pháp mới không nhiễu loạn
mà vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ
đợc các yếu tố phi tuyến của lý thuyết nh phơng pháp tác dụng hiệu dụng,

phơng pháp mô men, phơng pháp nhóm lợng tử mà cấu trúc của nó là đại
số biến dạng
Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lợng tử và đại số
lợng tử đã thu hút đợc sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết vì các cấu
trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết nh thống
kê lợng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn Nhóm lợng tử và đại số
lợng tử có thể biểu diễn nhiệt dung thuận lợi trong hình thức dao động tử
điều hòa biến dạng và ứng dụng các phân bố thống kê lợng tử biến dạng.
Xuất phát từ vấn đề nêu trên , tôi lựa chọn đề tài Các phân bố thống kê
lợng tử biến dạng và ứng dụng làm luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Xây dựng phân bố thống kê lợng tử bằng phơng pháp lý thuyết
trờng lợng tử.
- Xây dựng các phân bố thống kê lợng tử biến dạng, tìm đợc hệ thức
nhiệt dung C
V
phụ thuộc vào tham số biến dạng.
- ứng dụng các phân bố thống kê lợng tử biến dạng xác định nhiệt
dung mạng tinh thể biến dạng q, nhiệt dung của electron biến dạng q.
3. Đối tợng nghiên cứu
Các phân bố thống kê lợng tử và tính chất của một số hệ lợng tử.
4. Phơng pháp nghiên cứu:
- Phơng pháp vật lý lý thuyết.
- Phơng pháp đại số biến dạng.
- Phơng pháp toán giải tích.
5. Nội dung nghiên cứu:
4
Ch¬ng 1: X©y dùng ph©n bè thèng kª lîng tö b»ng ph¬ng ph¸p lý thuyÕt
trêng lîng tö
1.1. HÖ lîng tö vµ c¸c tÝnh chÊt cña chóng

1.1.1. HÖ lîng tö.
1.1.2. TÝnh chÊt
1.2. C¸c ph©n bè thèng kª lîng tö
1.2.1. Ph©n bè chÝnh t¾c lîng tö
1.2.2. Ph©n bè chÝnh t¾c lín lîng tö
1.2.2.1. Ph©n bè chÝnh t¾c lín lîng tö
1.2.2.2. ¸p dông ph©n bè chÝnh t¾c lín lîng tö
1.2.2.2.1. Thèng kª Bose- Einstein
1.2.2.2.2. Thèng kª Fermi-Dirac
1.2.2.2.3. Thèng kª Maxwell- Boltzmann
1.3. X©y dùng c¸c ph©n bè thèng kª lîng tö b»ng ph¬ng ph¸p lý thuyÕt
trêng lîng tö.
1.3.1. BiÓu diÔn sè h¹t cña dao ®éng tö ®iÒu hßa tuyÕn tÝnh.
1.3.2. C¸c to¸n tö sinh, hñy Boson.
1.3.3. X©y dùng thèng kª Boson - Einstein b»ng ph¬ng ph¸p lý
thuyÕt trêng lîng tö.
1.3.4. Ph©n bè thèng kª lîng tö Fermi – Dirac.
1.4. KÕt luËn ch¬ng 1.
Ch¬ng 2: C¸c ph©n bè thèng kª lîng tö biÕn d¹ng
2.1. Dao ®éng tö ®iÒu hßa biÕn d¹ng – q.
2.1.1. Dao ®éng tö Boson biÕn d¹ng - q.
2.1.2. Dao ®éng Fermion biÕn d¹ng - q:
2.2. Ph©n bè thèng kª Bose - Einstein biÕn d¹ng q.
2.3. Ph©n bè thèng kª Fermi - Dirac biÕn d¹ng q.
2.4. KÕt luËn ch¬ng 2:
5
Chơng 3: Một số ứng dụng của phân bố thống kê lợng tử
3.1. Nhiệt dung của mạng tinh thể khi áp dụng lý thuyết biến dạng q.
3.1.1. Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể của Einstein
3.1.2. Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể của Debye

3.1.3. Nhiệt dung chất rắn theo quan điểm của hình thức luận dao
động tử điều hòa biến dạng - q.
3.2. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến
dạng q.
3.2.1. Cách tính gần đúng đơn giản.
3.2.2. Cách tính đầy đủ và chính xác hơn.
3.2.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp
dụng thống kê biến dạng - q.
3.3. Kết luận chơng 3.
6. Những đóng góp mới của đề tài:
- Xây dựng phân bố thống kê lợng tử bằng phơng pháp lý thuyết
trờng lợng tử.
- Xác định các phân bố thống kê lợng tử biến dạng.
- áp dụng các thống kê lợng tử biến dạng nghiên cứu nhiệt dung của
mạng tinh thể và của khí điện tử tự do trong kim loại.

6
B. NộI DUNG

Chơng 1
Xây dựng phân bố thống kê lợng tử bằng
phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử
1.1. Hệ lợng tử và các tính chất của chúng
1.1.1. Hệ lợng tử
Hệ lợng tử là một hệ cấu thành bởi các hạt lợng tử
- Hạt lợng tử là hạt tuân theo các định luật của cơ học lợng tử
- Cơ học lợng tử mô tả các tính chất và các đặc tính riêng biệt của các
hạt của thế giới vi mô mà thông thờng chúng ta không giải thích đợc nếu
dựa vào quan điểm cổ điển.
1.1.2. Tính chất

- Các hạt vi mô mang cả tính chất sóng lẫn tính chất hạt
Do có đặc tính sóng và hạt nên một hạt vi mô bất kỳ không có toạ độ
xác định tuyệt đối chính xác, nó bị nhoè đi trong không gian. Khi có hai
hoặc nhiều hơn hai hạt đồng nhất tồn tại trong miền không gian nhất định thì
ta không thể phân biệt chúng đối với nhau, vì ta không theo dõi chuyển động
đợc của mỗi hạt. Đó chính là tính đồng nhất nh nhau của các hạt trong cơ
học lợng tử.
- Các đại lợng đặc trng cho hạt vi mô có tính gián đoạn
Để diễn tả một cách toán học các đặc tính đó của đại lợng vật lý, ta
gán cho mỗi đại lợng vật lý một toán tử tơng ứng nhất định. Trong cơ học
lợng tử, các đại lợng vật lý đợc biểu diễn bằng các toán tử và các trị số của
chúng đợc xác định nh là các trị riêng của các toán tử.
- Để diễn tả các tính chất của các đối tợng vi mô, ngoài các tính chất
và thông số mà ta đã dùng để diễn tả các hạt vi mô một cách cổ điển nh khối
7
lợng, điện tích ta phải đa vào các thông số và các tính chất mới, thuần tuý
lợng tử. Đó là spin của hạt, tơng tác trao đổi, nguyên lý Pauli.
1.2. Xây dựng các phân bố thống kê lợng tử bằng phơng pháp Gibbs
Để tìm đợc các định luật phân bố thống kê lợng tử, ngời ta dùng ba
phơng pháp:
- Phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử
- Phơng pháp Gibbs
- Phơng pháp các ô Boltzman
Trong đó phơng pháp các ô Boltzman ra đời sớm nhất, nhng
phơng pháp Gibbs có nhiều u điểm hơn và đợc coi là phơng pháp cơ bản.
Bên cạnh đó phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử cho ta khả năng mở
rộng các thống kê lợng tử với hy vọng giải quyết gần đúng bài toán khi có sự
sai khác lý thuyết và thực nghiệm. Cả ba phơng pháp sẽ hỗ trợ, bổ sung cho
nhau, giúp chúng ta có cách nhìn đầy đủ về hệ vĩ mô lợng tử.
1.2.1. Phân bố chính tắc lợng tử

Do đặc tính của các hạt vi mô và của hệ lợng tử nên khi áp dụng
phơng pháp Gipxơ ta cần có thay đổi thích hợp so với khi áp dụng trong vật
lý thống kê cổ điển.
Đối với hệ đẳng nhiệt, xác suất để hệ nằm ở trạng thái có năng lợng E
k

là:
exp
k
k
E
W







(1.1)
Biểu thức (1) là phân bố chính tắc lợng tử.
Trong đó:
( , )a


là năng lợng tự do

là nhiệt độ thống kê,
kT




Thật vậy, từ điều kiện chuẩn hoá:
8
0
0
1
exp exp 1
K
K
k
K
W
E

















Đặt
0
exp
K
k
E
Z








là tổng trạng thái, ta đợc
nZ



Xét:
. .exp . . exp
1
.exp
k
k
k
k
k
E

Z
lnZ
Z
E
E
E



























Hay:
E






(1.2)
Biểu thức (2) là phơng trình Gipxơ Hemhômxơ
Xét:
exp
1
. exp .
.exp
k
k
k
k k
k
E
E
Z
a Z a a
E E
a





























Theo cơ học lợng tử ta có:

k
k k

k
E
H H
dq
a a a








Khi đó:

H
A
a a




(1.3)
Nhận xét: Ta thấy


có ý nghĩa nhiệt độ tuyệt đối
có ý nghĩa năng lợng tự do
- Đối với hệ có mức năng lợng hoàn toàn không suy biến ta có phân bố:
9


exp
k
k
E
W







(1.4)
- Đối với hệ có mức năng lợng suy biến (giả sử độ suy biến là g
k
) ta có
phân bố:

exp
k
k k k
E
W g E








(1.5)
* Xét trờng hợp đặc biệt: Hệ lợng tử gồm N hạt không tơng tác.
Tơng tự nh trong vật lý thống kê cổ điển, từ phân bố chính tắc lợng tử ta
cũng suy ra phân bố Maxwell- Boltzmann lợng tử:
exp
i
i
kT
W
Z







Trong đó:
i

là năng lợng một hạt của hệ

i
W
là xác suất để một hạt bất kỳ của hệ nằm ở trên mức năng
lợng
i



Z là tổng trạng thái đợc xác định từ điều kiện chuẩn hoá
1
i
i
W



0
exp
i
i
Z
kT









- Trờng hợp mức năng lợng
i

bị suy biến, với độ suy biến là g(
i

).

Khi đó:

exp
.
i
i i
kT
W g
Z







(1.6)
Biểu thức (1.6) là thống kê Maxwell- Boltzmann lợng tử.
1.2.2. Phân bố chính tắc lớn lợng tử
1.2.2.1. Hàm phân bố chính tắc lớn lợng tử
Trong khi tìm phân bố chính tắc lợng tử và phân bố Maxwell-
Boltzmann lợng tử, ta cha xét đến tính đồng nhất nh nhau của các hạt vi
10
mô cũng nh tính đối xứng của các hàm sóng. Do đó, các thống kê vừa tìm
đợc chỉ có thể áp dụng cho một số trờng hợp đặc biệt. Nếu ta chú ý đến toàn
bộ đặc tính đó, ta tìm ra hai loại thống kê lợng tử quan trọng:
- Thống kê Bose- Einstein
- Thống kê Fermi-Dirac
Xét hệ số có hạt thay đổi, tơng tự trong vật lý thống kê cổ điển ta cũng
suy ra hàm phân bố chính tắc lớn lợng tử nh sau:


1
exp
!
k
k k k
N E
W g E
N







(1.7)
1.2.2.2. áp dụng phân bố chính tắc lớn lợng tử
- Xét hệ số có hạt thay đổi, các hạt trong hệ không tơng tác, ta có:
0
k i i
i
E n






Trong đó:

i
n
là số chứa đầy (số hạt có cùng năng lợng
i

)
i là các mức năng lợng của hạt có trị số từ 0 đến



i

là năng lợng của một hạt riêng lẻ của hệ
Do số hạt trong hệ thay đổi nên tơng tự nh trong vật lý thống kê cổ
điển ta phải dùng phân bố chính tắc lớn lợng tử.

0
0 1
,
1
, exp
!
i i
i
k
N n
W n n g
N
















Trong đó:
0
i
i
N n






là thế nhiệt động lớn

là thế hoá học
Ký hiệu:

0 1

,
!
k
g
G n n
N


11
Khi đó:



0
0 1 0 1
, exp ,
i i
i
n
W n n G n n















(1.8)
* Nhận xét:
+ Vế phải của biểu thức (1.8) có thể coi là hàm của n
i
nên ta có thể
đoán nhận ý nghĩa của biểu thức (1.8) là xác suất các số chứa đầy (tức là xác
suất để có n
0
hạt nằm ở mức năng lợng
0

, n
1
hạt nằm ở mức có năng lợng
1

)
Từ công thức này ta có thể tìm đợc số hạt trung bình nằm trên các mức
năng lợng là:

0 1
0 1
,
k k
n n
n n W n n


(1.9)
- Để tính số hạt trung bình
i
n
trên một mức năng lợng
i

bất kỳ ta
dùng thủ thuật toán học sau: Gắn cho đại lợng

chỉ số 1, nghĩa là coi hệ ta
xét có cả một tập hợp các thế hoá học
1

. Khi đến cuối phép tính toán, ta sẽ
đặt tất cả
1

bằng nhau và bằng

.
- Từ đó ta có thể viết điều kiện chuẩn hoá nh sau:

1
0 1
, exp 1
o
n n
W n n Z









Với


1
0
0 1
exp ,
1
exp ln
o
i i i
i
n n
n
Z G n n
Z
Z























(1.10)
1
.
k k
Z
Z






12

Ta có:






1
1
0 0
0 1
0
0 1
exp ,
exp ,
o
o
i i i i i i
i i
n n
k k
i i i
i k
n n
n n
Z
G n n
n
n
G n n









































Mặt khác:


1
0
0 1
exp ,
o
i i i
i
k
n n
k
n
n G n n



















k
k
n




(1.11)
Với
k



1.2.2.2.1. Thống kê Bose- Einstein
Xét với hệ Bôzôn: Số hạt
i
n
trên các mức có thể có trị số bất kỳ từ 0 đến


và

0 1
, 1
G n n

, các hạt này không tuân theo nguyên lý Paoli.
Từ (1.10) ta có:


0 1
0
0 0
0
0
0
exp
exp
1
1 exp
.
.
i i i
i
n n
i i
i
n
i

i i
n
Z
n










































Khi đó
0
ln 1 exp
i i
i
Z















13
1
exp 1
k
k
n












Nếu năng lợng
k

suy biến với độ suy biến
k
g
thì:


1
.
exp 1
k
k
B
k
f g









(1.12)
Biểu thức (1.12) là thống kê Bose- Einstein
Trong đó, thế hoá học

đợc xác định từ điều kiện:
0
i
i
n N






1.2.2.2.2. Thống kê Fermi-Dirac
Xét đối với hệ hạt Fecmi:

1 0,1
i i
n n


0 1
, 1
G n n


Các hạt này tuân theo nguyên lý Pauli.
Từ biểu thức (1.10) ta có:

1
1 1
0
0 0
exp
o
i i i
i
n n
n
Z


















0
0
exp
.
i
i i
i
n
n
















0
1 exp
.
i i
i













Khi đó:
0

1 exp
1
exp 1
i i
i
k
k
k
lnZ
n


























14
Nếu năng lợng
k

suy biến với độ suy biến
( )
k
g

thì:
1
( ) ( )
exp 1
F k k
k
f g










(1.13)
Biểu thức (13) là thống kê Fermi-Dirac
Trong đó thế hoá học

đợc xác định từ điều kiện
0
i
i
n N





1.2.2.2.3. Thống kê Maxwell- Boltzmann
Xét đối với hệ hạt không tơng tác và không đồng nhất, n
i
từ 0 đến



0 1
0 1
1
,
! !
G n n
n n

.

Ta có:

1
0
0 0
0 1
1
exp
! !
o
i i i
i
n n
n
Z
n n




















0
0
0
exp
!
exp exp
.
i i
i
n
i i
i
n
n





























Do
exp( )
!
n
n o
x
x
n






0
0
exp exp
exp
exp
i i
i
i i
i
k
k
k
lnZ
ln
n





































Nếu mức năng lợng
k

suy biến, với độ suy biến
k
g
thì:
15


exp
k
M k k
f g








(1.14)
Biểu thức (14) là biểu thức thống kê Maxwell- Boltzmann
* Nhận xét: Số hạt trung bình trên một mức nào đó tỉ lệ với xác suất tìm
một hạt trên mức đó.
1.3. Xây dựng các phân bố thống kê lợng tử bằng phơng pháp lý
thuyết trờng lợng tử.
1.3.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính.
Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lợng m,
chuyển động dới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = - kx dọc theo một đờng
thẳng nào đó.
Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử diều hòa một
chiều:



2
2
2

2 2
x
p
m
H x
m


(1.15)
Trong đó:


x q x
là toán tử tọa độ.


x
d
p p i
dx


là toán tử xung lợng.
Hệ thức giao hoán giữa

p
và

q
:






, ( )
d d d
p q pq q p i x x i x i x
dx dx dx







, ( )
d d
p q i x i x i
dx dx








,
p q i





(1.16)
Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo

p
và

q
nh sau:



2
2
2
2 2
p m
H q
m


(1.17)
16
Ta ®Æt:

 



2
m
p i a a


 


  


2
q a a
m


 


Khi ®ã ta biÓu diÔn

H
theo

a
vµ

a


nh sau:


  


 


2
2 2
2 2
2
2
1
. . . .
2 2 2 2 2 2
p m m m
H q i a a a a
m m m
  

 
     
 

 


 



2 2
1
.
2 2
a a a a

 
 
   
 
 


 


 


 


 


1
.
2 2

a a a a a a a a

   
 
     
 
 


   


1
. 2 2
2 2
aa a a

 
 


   


2
aa a a

 
 


. (1.18)
Ta biÓu diÔn c¸c to¸n tö

a
vµ

a

ngîc l¹i qua

p
vµ

q
:

 


 


2
2
2
m p
p i a a a a i p
m
m
i




 
      




  


 


2
2
2
q m
q a a a a q
m
i
m



 
     





Tõ ®ã ta thu ®îc:
 

2
m p
a q i
m


 
 
 
 
 

(1.19)
 

2
m p
a q i
m



 
 
 

 
 

. (1.20)
17
Dễ dàng chứng minh đợc các toán tử

a
và

a

thỏa mãn hệ thức giao
hoán:

, 1
a a





. (1.21)
Thật vậy:




,
2 2

m p m p
a a aa a a q i q i
m m

















2 2
m p m p
q i q i
m m


















1
2 2 1
2
i
i pq i q p pq q p





Vậy ta thu đợc toán tử Hamiltonian có dạng:


1
2
H a a








(1.22)
Ta đa vào toán tử


N a a


(1.23)
Hệ thức giao hoán giữa toán tử

N
với các toán tử

a
và

a

là:
+










, 1.
N a N a aN a aa aa a a a aa a a a





Hay




1 .
N a a N

(1.24)
+









, 1.N a N a a N a aa a a a aa a a a a







Hay




1 .
N a a N


(1.25)
Ta ký hiệu
n
là véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng n.
Khi đó ta có phơng trình hàm riêng, trị riêng của toán tử

N
nh sau:

N n n n

(1.26)


|n N n n n n n n n n n


18


0
| |
n N n n a a n
n
n n n n


(1.27)
Vì:

2
|
n
n n r dr







2
0

n
n a a n a r dr






Kết luận 1:
Các trị riêng của toán tử

N
là các số không âm.
Xét các véc tơ trạng thái thu đợc

a n
bằng cách tác dụng toán tử

a

lên véc tơ trạng thái
n
. Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử

N
và sử
dụng công thức (1.24) ta có:







1
N a n a N n aN n a n





1 1 .a n n n a n

(1.28)
Hệ thức trên có nghĩa là:
Véc tơ trạng thái

a n
cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử

N
ứng
với trị riêng (n 1).
Tơng tự nh vậy

2
a n
;

3
a n

cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán
tử

N
ứng với trị riêng (n 2), (n 3)
Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái

a n

, tác dụng lên véc tơ trạng thái này
toán tử

N
, sử dụng công thức (1.25) ta có:







1
N a n a N n a N n a n






1 1 .a n n n a n



(1.29)
Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véc tơ trạng thái

a

cũng là véc tơ trạng thái
riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng (n + 1).
19
Tơng tự

2
a n

;

3
a n

cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử

N

ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)
Kết luận 2:
Nếu

n
là một véc tơ riêng của toán

N
ứng với trị riêng n thì

p
a n

cũng là một véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng n p

1, 2,3
p


Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử

N

thì chuỗi các số không âm n 1, n 2, n 3, cũng là trị riêng của toán tử

N
. Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ thì:

min
0
a n


(1.30)
Vì nếu

min
0
a n

thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng
min min
1
n n
trái với giả thuyết
min
n
là trị riêng nhỏ nhất.
Từ (1.30) ta có:


min min
0
a a n N n


(1.31)
Mặt khác theo định nghĩa:

min min min
0
N n n n


(1.32)
So sánh hai phơng trình (1.31), (1.32) ta đi đến kết luận nh sau:
Kết luận 3:
Trị riêng nhỏ nhất của toán tử

N
là
min
n
có giá bằng 0. Véc tơ trạng thái
ứng với trị riêng nhỏ nhất của

N
đợc ký hiệu
0
. Véc tơ trạng thái này thỏa
mãn điều kiện

0 0
a

.
Ta có:
+

0 0
a



tỉ lệ với véc tơ riêng
1
của

N
ứng với trị riêng n = 1.
Thật vậy ta có:

1 1 1
N
. (*)
Mà

0
a

là một véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng 0 +1=1,
tức là


0 1. 0
N a a


. (**)
20
Từ (*), (**) ta thấy:

1
là véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng là 1.

0
a

là véc tơ riêng của toán tử

N
ứng với trị riêng là 1.
Vì vậy

0
a

phải tỉ lệ với véc tơ riêng
1
của toán tử

N
ứng với trị
riêng n = 1.
+ Tơng tự

2
0
a


tỉ lệ với véc tơ riêng
2
của toán tử

N
ứng với trị
riêng n = 2, ,

0
n
a

tỉ lệ với véc tơ riêng
n
của toán tử

N
ứng với trị riêng
n.
Từ biểu thức:



1 1
2 2 2
H a a N N













0 0
2
H N





vì

0 0 0 0
N



0
0 0 0
2
H E




.
Nên:
0
là véc tơ riêng của

H
ứng với trị riêng
0
1
2
E





1
là véc tơ riêng của

H
ứng với trị riêng
1
1
1
2
E










n
là véc tơ riêng của

H
ứng với trị riêng
1
2
n
E n






.
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lợng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lợng giữa hai trạng
thái kề nhau luôn luôn bằng một lợng tử năng lợng


.
2
1 5

2
2 2
E







21
1
1 3
1
2 2
E







12 2 1
E E E



Trạng thái
0

có năng lợng thấp nhất
0
E
, trạng thái
1
có năng lợng
0
E


có thể đợc xem nh là kết quả của việc thêm một lợng tử năng
lợng


vào trạng thái
0
. Trạng thái
2
ứng với năng lợng
1 0
2
E E


có thể đợc xem nh là kết quả của việc thêm một lợng
tử năng lợng


vào trạng thái
1

, cũng có nghĩa là thêm hai lợng tử năng
lợng


vào trạng thái
0
. Nếu ta lấy gốc tính năng lợng là
0
E
thì có thể
coi trạng thái
0
là trạng thái không chứa lợng tử nào. Vì vậy
0
đợc gọi là
trạng thái chân không,
1
là trạng thái chứa một lợng tử,
n
là trạng thái
chứa n lợng tử. Toán tử

N
có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một
đơn vị đợc đoán nhận là toán tử số năng lợng. Toán tử

a
khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ với

1
n

do đó đợc đoán nhận là toán tử hủy
lợng tử năng lợng. Toán tử

a

khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ
với
1
n

do đó đợc đoán nhận là toán tử sinh lợng tử năng lợng. Nếu ta
tởng tợng rằng lợng tử năng lợng là một hạt thì toán tử

N
sẽ là toán tử số
hạt,

a
sẽ là toán tử hủy hạt,

a

sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái
n
với

năng lợng
n
E


sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao
động tử điều hòa.
Ta tính các hệ số tỉ lệ
, ,
n n n

trong các hệ thức:

1
n
a n n




1
n
a n n




22

0

n
n
n a




§Ó cho c¸c vÐc t¬ lµ trùc giao vµ chuÈn hãa th×:
,
1
,
0
m n
khi m n
m n
khi m n



 




+ T×m
n

: Chóng ta cã
 
,

|
m n
n N n n N n
n
n n

 

V×: m = n nªn
,
1
m n




 
n n N n n a a n

  

MÆt kh¸c

*
1
n
n a n


 


Do ®ã
* 2 2
1 1 1 1
n n n n
n n n n n
   
      

Coi
n

lµ thùc nªn
n
n


.
+ T×m
n

: Ta cã

   
1n n N n n a a n n aa n
 
   

MÆt kh¸c


*
1
n
n a n

 

Do ®ã:

  
1n n N n n a a n n aa n
 
   

* 2
1 1 1 1
n n n
n n
  
     

Coi
n

lµ sè thùc nªn
2
1 1
n n
n n
 

    

+ T×m
n

: Ta cã
 



1
0 0
n
n n
n a a a
 

  
 







 


1 2 2

0 0 0 1
1 1 2
n n n
n n n
n a a a a
      
  
   
   




2
0 1
2
n
n
n a
  


 

0 1 3 1

n n
n n
    


 

1.2.3 !
n n
n n n n n
 
  

23
1
.
!
n
n



Vậy ta thiết lập đợc các công thức sau:

N n n n



1
a n n n

(1.33)

1 1
a n n n



(1.34)

1
0
!
n
n a
n


(1.35)
1.3.2. Các toán tử sinh, hủy Boson.
Chúng ta tìm đợc các toán tử sinh hạt, hủy hạt:

, 1
a a







, , 0
a a a a








(1.36)
Mở rộng hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau nh sau:

,
v
v
a a








(1.37)

, , 0
v v
a a a a









(1.38)
Hệ thức giao hoán trên đợc thực hiện trong không gian Fock với véc tơ
cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử

N
.

1
0
!
n
n a
n



Tác dụng toán tử

a
và

a

lên véc tơ trạng thái
n
ta đợc:

1

a n n n



1 1
a n n n



Với toán tử số hạt

N
đợc biểu diễn theo các toán tử sinh hạt, hủy hạt:
24


.N a a



Ta sẽ xem xét xem là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyênthì nó có
tuân theo các hệ thức giao hoán hay không?
Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng
thái khác nhau v và

:

0
v
v a a





(1.39)

0
v
v a a




. (1.40)
Trong đó
0
là trạng thái chân không không chứa hạt nào.
Từ biểu thức (1.36) ta có:

v v
a a a a



do đó suy ra
v v


.
Nh vậy véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứng

với phép hoán vị hai hạt. Ta biết rằng những hạt đợc mô tả bởi hàm sóng đối
xứng là những hạt có Spin nguyên, tức là các hạt Boson.
Kết luận 4:
Các toán tử sinh htạ, hủy hạt Boson phải tuân theo hệ thức giao hoán:

, 1
a a







,
v
v
a a










, , 0
v v

a a a a







Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson

a

, hủy Boson

a
và toán tử số hạt

N
:
Bằng cách áp dụng liên tiếp (1.33), (1.34) ta có các đẳng thức sau:



1
aa n n n




a a n n n




25
Nh vậy các trị riêng của các tích những toán tử

aa

và

a a

lần lợt
bằng n +1 và n. Do đó ma trận của các toán tử này trong biểu diễn riêng của
chúng là những ma trận chéo.

( ) ( 1)
mn mn
aa n



và

( )
mn mn
aa n





Giả sử biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson

a

, hủy Boson

a
là:

00 01 02
10 11 12
20 21 22




a a a
a a a
a
a a a










00 01 02
10 11 12
20 21 22




a a a
a a a
a
a a a











(1.41)
Ta có:

' 1 1 1 ' | 1
n a n n n n n n n




Mà
', 1
1 ' 1
' | 1
0 ' 1
n n
khi n n
n n
khi n n









Do đó
1 ' 1
1 ' | 1
0 ' 1
n khi n n
n n n
khi n n










Tơng tự ta cũng có:

' 1 ' | 1
n a n n n n n n n


Mà
', 1
1 ' 1
' | 1
0 ' 1
n n
khi n n
n n
khi n n









Do đó
' 1

' | 1
0 ' 1
n khi n n
n n n
khi n n









Vậy biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson

a

, hủy Boson

a
và
toán tử số hạt có dạng: