1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2








LÊ THỊ HỒNG THỦY






NGHIÊN CỨU KHE NĂNG LƯỢNG
CỦA TRẠNG THÁI SIÊU DẪN BẰNG LÝ THUYẾT
NHIỄU LOẠN MỚI

Chuyên ngành: Vật lý chất rắn
Mã số: 60 44 01 04


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT



Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Minh Hạnh

HÀ NỘI, 2013
2
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban
chủ nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
tạo mọi điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn.
Đặc biệt tôi vô cùng cảm ơn tới Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình
hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
thiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những
người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả



LÊ THỊ HỒNG THỦY











3
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin
trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả



LÊ THỊ HỒNG THỦY













4
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa

1
Lời cảm ơn

2
Lời cam đoan 3
Mục lục

4
MỞ ĐẦU 6
NỘI DUNG 8
Chương 1: TỔNG QUAN VỀ SIÊU DẪN 8
1.1. Các đặc điểm cơ bản của trạng thái siêu dẫn 8
1.1.1. Hiệu ứng Meissner, từ trường tới hạn


8
1.1.2. Hiệu ứng đồng vị 9
1.2. Lý thuyết London

10
1.3. Lý thuyết BCS

11
1.4. Lý thuyết Ginzburg – Landau 16
1.5. Siêu dẫn loại I và siêu dẫn loại II

20
1.6. Hiệu ứng Josephson 22
1.6.1. Hiệu ứng Josephson dừng…

24
1.6.2. Hiệu ứng Josephson không dừng

24
1.7. Siêu dẫn nhiệt độ cao

25
Chương 2: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN MỚI 27
2.1. Lý thuyết nhiễu loạn trong cơ học lượng tử 27
2.1.1. Phương trình Schrodinger 27
2.1.2. Phương pháp nhiễu loạn 28
2.1.3. Nhiễu loạn dừng không suy biến

29

2.1.4. Nhiễu loạn dừng có suy biến 34
2.2. Lý thuyết nhiễu loạn mới

36
5
2.2.1. Cơ sở toán học của lý thuyết nhiễu loạn mới 36
2.2.2. Dao động tử Fermion biến dạng –q

38
2.2.3. Thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q

39
Chương 3: NGHIÊN CỨU KHE NĂNG LƯỢNG CỦA TRẠNG
THÁI SIÊU DẪN BẰNG LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN MỚI

43
3.1. Lý thuyết biến phân mới dựa trên dao động tử điều hòa biến
dạng –q

43

3.2. Nghiên cứu khe năng lượng của trạng thái siêu dẫn bằng lý
thuyết nhiễu loạn mới

52
KẾT LUẬN 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO 68
6
MỞ ĐẦU


1. Lý do chọn đề tài.
Một đặc tính kỳ diệu của một số vật liệu là dưới một nhiệt độ nhất
định (tùy theo từng chất) điện trở suất của vật liệu bằng không, độ dẫn điện
trở nên vô cùng lớn. Đó là hiện tượng siêu dẫn. Hiện tượng lý thú này được
phát hiện lần đầu tiên ở thủy ngân cách đây hơn một thế kỷ (năm 1911) ở
vùng nhiệt độ gần không độ tuyệt đối (≤ 4,2 K). Sau này, tính chất siêu dẫn
đã được tìm thấy ở hàng loạt kim loại, hợp kim và hợp chất. Ngoài đặc tính
siêu dẫn, các nhà khoa học còn phát hiện thấy, với chất siêu dẫn từ trường
bên trong nó luôn luôn bằng không …
Các Fermion phải tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli, cũng chính
nguyên lý này cùng với thống kê Fermi – Dirac đã được ứng dụng để giải
thích các hiện tượng vật lý như hiện tượng siêu dẫn, siêu chảy Hiện tượng
kỳ lạ của chất siêu dẫn đó được lý giải bằng lý thuyết vi mô, theo đó, khác
với các chất dẫn điện thông thường, ở trạng thái siêu dẫn, hiện tượng dẫn
điện là do các cặp điện tử kết hợp với nhau và khi chuyển động tạo nên dòng
điện, các cặp không bị mất mát năng lượng và điện trở suất bằng không. Đặc
điểm đặc trưng quan trọng nhất của vật liệu ở trạng thái siêu dẫn là năng
lượng kích thích một cặp electron có xung lượng và spin ngược chiều nhau
để chuyển cặp electron này từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường luôn
luôn lớn hơn một giới hạn 2∆ nào đó. 2∆ gọi là bề rộng của khe năng lượng
trong lý thuyết siêu dẫn.
Hiện tượng siêu dẫn đã được rất nhiều các nhà khoa học trên thế giới
và trong nước quan tâm nghiên cứu cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm, và đã
đạt được nhiều thành tựu to lớn. Sau thời gian học tập tôi nhận thấy nghiên
cứu về hiện tượng siêu dẫn có ý nghĩa khoa học và ứng dụng cao, vì vậy tôi
7
chọn đề tài “Nghiên cứu khe năng lượng của trạng thái siêu dẫn bằng lý
thuyết nhiễu loạn mới” làm đề tài nghiên cứu của luận văn thạc sĩ.
2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu một cách có hệ thống các tính chất và các đại lượng đặc

trưng trạng thái siêu dẫn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Trong luận văn của mình, chúng tôi nghiên cứu về khe năng lượng,
phương trình khe bằng lý thuyết nhiễu loạn mới: là lý thuyết dựa trên cơ sở
dao động tử phi điều hòa được biểu diễn bằng dao động tử điều hòa biến
dạng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
4.1. Đối tượng nghiên cứu:
- Trạng thái siêu dẫn.
4.2. Phạm vi nghiên cứu:
- Vật liệu siêu dẫn và các lý thuyết vi mô về vật liệu siêu dẫn.
5. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp giải tích toán học.
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
- Các phương pháp nghiên cứu của vật lý chất rắn.
6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài.
- Xác định được phương trình khe năng lượng bằng lý thuyết nhiễu
loạn mới.


8
NỘI DUNG
Chương 1: TỔNG QUAN VỀ SIÊU DẪN
Năm 1908, H.K. Onnes khởi xướng lĩnh vực vật lý nhiệt độ siêu thấp
qua việc hóa lỏng Hêli trong phòng thí nghiệm ở Leiden (Hà Lan). Năm
1933, Meissner và Ochsenfield khám phá ra tính nghịch từ lý tưởng của chất
siêu dẫn. Đến năm 1935 anh em nhà London đề xuất phương trình giải thích
hiệu ứng này. Một bước tiến quan trọng về mặt lý thuyết xảy ra vào năm
1950 với lý thuyết Ginzburg – Landau. Lý thuyết này mô tả hiện tượng siêu
dẫn thông qua tham số trật tự và cho chúng ta cách rút ra các phương trình

London. Hiện tại sự hiểu biết của chúng ta trên phương diện lý thuyết về tính
chất siêu dẫn chủ yếu dựa vào lý thuyết vi mô do J. Bardeen, L. Cooper và J.
R. Schrieffer (BCS) đề xuất năm 1957. Năm 1986, đánh dấu bước phát triển
vượt bậc trong quá trình tìm hiểu về chất siêu dẫn đó là tìm ra các chất siêu
dẫn nhiệt độ cao. Lý thuyết BCS đã không giải thích được đầy đủ các tính
chất của vật liệu này. Nó đòi hỏi sự ra đời của những lý thuyết mới hoặc ít
nhất là sự mở rộng lý thuyết BCS. Vấn đề này đang là một đề tài thời sự đầy
hấp dẫn các nhà khoa học [2], [6], [7].
1.1. Các đặc điểm cơ bản của trạng thái siêu dẫn.
1.1.1. Hiệu ứng Meissner, từ trường tới hạn.
Năm 1933, H.Meissner và R.Ochsenfeld phát hiện thấy: khi hạ nhiệt
độ của một mẫu chất sang trạng thái siêu dẫn, các đường sức từ lập tức bị
đẩy ra khỏi bên trong mẫu. Khi mẫu đang ở trạng thái siêu dẫn mà gài từ
trường vào thì các đường sức từ cũng bị đẩy ra.Với tính chất đó chất siêu
dẫn được coi là chất nghịch từ lý tưởng. Từ trường chỉ đâm xuyên vào mẫu ở
độ sâu cỡ
 
8
5.10
L
m



và cơ bản từ trường bị đẩy ra khỏi mẫu (hình 1.1)
9

Hình 1.1 Hiệu ứng Meissner
Tính chất nghịch từ lý tưởng này của vật dẫn được giải thích như sau.
Khi vật ở trạng thái siêu dẫn đặt trong từ trường ngoài yếu thì từ trường

ngoài gây trên bề mặt của vật siêu dẫn một dòng siêu dẫn có mômen từ
ngược chiều với từ trường ngoài làm cho cảm ứng từ bên trong vật ở trạng
thái siêu dẫn bằng không. Khi tăng cường độ từ trường ngoài thì mật độ
dòng siêu dẫn trên bề mặt vật siêu dẫn cũng tăng để cho cảm ứng từ ở bên
trong vật ở trạng thái siêu dẫn luôn luôn bằng không. Nếu đặt vật ở trạng
thái siêu dẫn trong từ trường ngoài đủ mạnh thì trạng thái siêu dẫn của vật bị
phá vỡ và chuyển sang trạng thái thường. Khi đó từ trường ngoài không bị
đẩy ra ngoài khối siêu dẫn mà xuyên qua toàn bộ vật dẫn. Từ trường
c
H
cần
thiết để chuyển từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thường của vật siêu dẫn
gọi là từ trường tới hạn. Độ lớn của từ trường tới hạn
c
H
phụ thuộc vào
nhiệt độ T theo công thức

   
2
2
0 1
c c
c
T
H T H
T
 
 
 

 
. (1.1)
1.1.2. Hiệu ứng đồng vị.
Một đặc điểm quan trọng nữa của các chất siêu dẫn là hiệu ứng đồng
vị. Giá trị quan trọng của hiệu ứng đồng vị là cho chúng ta một phương
hướng mới tìm hiểu bản chất của các hiện tượng siêu dẫn. Thực nghiệm cho
10
thấy, rất nhiều chất siêu dẫn được chế tạo từ các đồng vị khác nhau của một
nguyên tố có nhiệt độ tới hạn
c
T
khác nhau tuân theo qui luật,
1/2
c
T A


, (1.2)
trong đó A là khối lượng nguyên tử đồng vị. Hiệu ứng đồng vị khẳng định
vai trò dao động của mạng tinh thể (tức phonon) trong việc tạo ra trạng thái
siêu dẫn, cụ thể như sau. Do một electron gần mặt Fermi hút các ion mạng
điện tích dương ở quanh nó mà tinh thể bị biến dạng để tập trung các điện
tích dương về gần electron đã cho. Khi đó mật độ điện tích dương gần
electron đó lớn hơn mật độ điện tích dương của tinh thể. Một electron khác
cũng ở gần mặt Fermi chuyển động gần vùng có mật độ điện tích dương lớn
sẽ hút vào vùng này và như vậy giữa hai electron đó (một electron đã cho,
một electron chuyển động gần vùng có mật độ điện tích dương lớn) có một
lực hút hiệu dụng nào đó. Lực này xuất hiện là do hai electron tương tác với
các ion dao động trong mạng tinh thể.
1.2. Lý thuyết London.

Theo lý thuyết Maxwell về trường điện từ thì chất siêu dẫn sẽ không
đẩy từ trường ra khỏi nó nếu từ trường gài vào trước rồi mới hạ nhiệt độ để
mẫu chuyển sang trạng thái siêu dẫn. Điều này hoàn toàn mâu thuẫn với hiệu
ứng Meissner. Năm 1935, dựa trên mô hình hai chất lỏng của Gorter và
Casimer, London đã đưa ra lý thuyết giải thích được hiệu ứng Meissner. Lý
thuyết của họ dẫn ra hai phương trình, một mô tả tính dẫn điện lý tưởng và
một mô tả tính nghịch từ lý tưởng,
2
s
mc d J
E
n e dt
 

 
 


, (1.3)
2
0 s
m
H J
n e

  
  
, (1.4)
11
với

s
n
là mật độ các điện tử siêu dẫn,
s
J n e


 
là mật độ dòng siêu dẫn,
,m e

là khối lượng và điện tích của điện tử,
0

là độ từ thẩm. Kết hợp (1.4) với
các phương trình Maxwell
 
0, .4 /H H J c

   
   
, ta dẫn ra được hiệu
ứng Meissner,
     
0 exp /
y y L
H x H x

 
. (1.5)

Ở đây bề mặt của mẫu siêu dẫn được chọn trùng với mặt phẳng
Oyz
,
từ trường ngoài
/ / ,

L
H Oy

là độ xuyên sâu London,
1/2
2
0
L
s
m
n e


 

 
 
. (1.6)
Mặt khác nếu đưa vào thế vectơ
A

với
0
H A


 
  
thì ta có thể viết
(1.4) thành
2
s
n e
J A
m
 
 
. (1.7)
Thực ra (1.4), (1.5) chỉ dùng trong trường hợp sự biến thiên của
J

và
A

trong không gian là chậm. Trong chất siêu dẫn, chuyển động của hai điện
tử không tương quan với nhau. Sự tương quan trong không gian của chuyển
động hai điện tử được đặc trưng bởi khoảng cách
0

, nghĩa là nếu hai điện tử
cách xa nhau một đoạn nhỏ hơn
0

thì chúng còn tương quan nhau. Phương
trình (1.4), (1.5) chỉ áp dụng khi

0

 
đó chính là trường hợp của siêu dẫn
loại II (hay còn gọi là siêu dẫn loại London).
1.3. Lý thuyết BCS.
Năm 1957, Bardeen, Cooper và Schrieffer (BCS) đã đưa ra lý thuyết
vi mô tiên đoán được nhiều tính chất của siêu dẫn ở nhiệt độ thấp.
12
Lý thuyết vi mô của họ dựa trên các luận điểm cơ bản sau:
- Nếu các điện tử ở lân cận mặt Fermi có tương tác hút nhau dù là
nhỏ, thì trạng thái cơ bản của hệ điện tử thông thường (tức là trạng
thái mà mọi mức ở trong mặt Fermi đều bị chiếm, các mức ở ngoài
đều trống và phổ của trạng thái kích thích là liên tục) không thể tồn
tại bền vững được. Hiện tượng này gọi là hiện tượng Cooper.
- Tương tác hút của các điện tử ở lân cận mặt Fermi có thể xảy ra do
nhiều cơ chế. Một trong những cơ chế khả dĩ và hay gặp nhất ở đa
số các chất siêu dẫn là sự tương tác của các điện tử qua trường
phonon.
- Khi xảy ra hiện tượng Cooper, tức là sự kết cặp điện tử thì trong
phổ năng lượng sẽ xuất hiện khe năng lượng.
Năm 1956, khi xét tương tác giữa hai điện tử trên mặt Fermi, Cooper
cho rằng giữa chúng có lực hút, đặc trưng bởi thế V. Bằng tính toán trong
gần đúng tương tác yếu, Cooper đã tìm được trị riêng năng lượng của hệ tính
từ mức
F

là

 

2
2 exp
D
F
E
VD E

 

 
 
 

, (1.8)
trong đó
 
F
D E
là mật độ trạng thái ở mức Fermi,
D

là tần số Debye. Kết
quả này khẳng định trạng thái kết cặp luôn có năng lượng thấp hơn trạng thái
cơ bản thông thường cho dù số hạng tương tác V nhỏ tùy ý. Điều này cho
thấy trạng thái cơ bản thông thường kém bền so với trạng thái kết cặp
Cooper.
Khi xét đến nguyên nhân gây ra lực tương tác giữa các điện tử, lý
thuyết BCS cho rằng trong các chất siêu dẫn tồn tại cơ chế tương tác giữa
điện tử và phonon.
13

- (k+q)
q
k
(k+q)
- k

Hình 1.2 Tương tác giữa hai điện tử do trao đổi phonon
Theo cơ chế này, một điện tử ở trạng thái


k
phát ra phonon
q

và
chuyển sang trạng thái
( ) 
 
k q
. Điện tử còn lại
k

hấp thụ phonon
q

và
chuyển sang trạng thái
( )k q
 
(hình 1.2). Tương tác giữa hai điện tử gồm

phần tương tác Colomb
c
V
và tương tác do trao đổi phonon
ph
V
. Lý thuyết
lượng tử hóa lần hai chứng minh được,



2
2
'
2
0
c
k k
FT
e
V
q k



 

, (1.9)
 
     

2
2
'
2 2
2
'
ph
k k q
q
V M
k k q

  

 
 
 
  


  

, (1.10)
trong đó
0

là năng lượng điện tử khi
0k 

,

 
1/2
2
0
3 / 2
FT F
k ne
 

và
q
M


biểu thị cường độ tương tác điện tử - phonon. Vậy năng lượng tương tác
giữa hai điện tử là,


 
     
2
2
2
2
'
2
2 2
0
2
'

k k q
FT
q
e
V M
q k
k k q


  
 
 

 
 
  



  

. (1.11)
Rõ ràng
'k k
V
 
có thể âm nếu
2
q
M


đủ lớn và
     
2
2 2
'
k k q
  
 
 
 
  

. Biểu thức trên giúp ta hiểu một cách định tính là
14
các kim loại
, ,Au Ag Cu
có điện trở lý tưởng rất nhỏ nhưng không phải là
các chất siêu dẫn, vì nếu
2
q
M

đủ nhỏ thì khó có thể làm cho
'k k
V
 
trở thành
âm để gây ra hiện tượng Cooper. Cũng từ (1.11) nếu gọi
D


đặc trưng cho
phổ phonon, thì sự kết cặp chỉ có thể xảy ra khi các điện tử không ở xa mức
Fermi một khoảng lớn hơn
D


. Do đó với cùng một chất nhưng với các
đồng vị có A khác nhau thì
D

sẽ khác nhau (vì
1/2
q
A




), nghĩa là khoảng
D


để xảy ra lực hút là khác nhau. Kết quả là
c
T
sẽ phụ thuộc vào khối
lượng đồng vị. Hiện tượng Cooper cũng dẫn đến sự xuất hiện khe năng
lượng trong phổ của hệ lượng tử. Dựa trên cơ chế phonon, lý thuyết BCS đã
xây dựng được biểu thức Hamiltonian của hệ dưới dạng,


 
, , '
, , '
1
2
ph
k s k k k k
k s k k
H k n V b b


 
 
    
  

, (1.12)
trong đó
,k s
n

là toán tử số hạt,
,
k k
b b

 
lần lượt là toán tử sinh và hủy một cặp
Cooper ở trạng thái

( , )k k  
 
còn
, '
ph
k k
V
 
là thế tương tác điện tử - phonon
(1.10). Hàm riêng

của toán tử Hamiltonian được viết dưới dạng,
 
0
k k k
k
u b
 

 

  



, (1.13)
trong đó
k



là trọng số của trạng thái có cặp Cooper,
k
u

là trọng số của trạng
thái không có cặp Cooper và chúng thỏa mãn phương trình
2 2
1
k k
u

 
 
. Ở
trạng thái cơ bản năng lượng nhận giá trị cực tiểu tương ứng với,

 
 
 
 
2 2
1 1
1 , 1
2 2
k k
k k
u
E k E k
 


   
   
   
   
   
 
 
 
, (1.14)
trong đó
15

   
1/2
2
2
k
E k k

 
  
 
 

 
, (1.15)

' ' '
'
/ 2

k kk k k
k
V E
   

   

. (1.16)
Một cách gần đúng, ta xem khe năng lượng
k


không phụ thuộc vào
hướng của véc tơ sóng
k

và chỉ khác không trong lân cận mặt Fermi:

0
k
  

khi
   
'
D
k k
  
 
 


. (1.17.1)

0
k
 

cho các trường hợp còn lại. (1.17.2)
Trong giới hạn tương tác yếu
D

  
, giá trị khe năng lượng


bằng,
 
0
2 .exp 1/ 1.76
D F B c
VD E k T

   
 
 

, (1.18)
0

chính là giá trị khe năng lượng ở nhiệt độ

0
0T K
, là năng lượng
tối thiểu để kích thích một điện tử từ trạng thái cơ bản của siêu dẫn. Lý
thuyết BCS còn tiên đoán trị số khe năng lượng
 
T
giảm xuống khi nhiệt
độ tăng và khi ở gần nhiệt độ chuyển pha nó có dạng,

 
1/2
c
0 c
Δ T
T
1.74 1- ,T T
Δ T
 
 
 
 
. (1.19)
Kết quả này của lý thuyết BCS hoàn toàn phù hợp so với thực nghiệm.
Ngoài ra, lý thuyết BCS cũng giải thích tốt nhiều hiện tượng trong đó có cả
hiện tượng điện trở bằng không và hiệu ứng Meissner. Nhiệt độ tới hạn
c
T

của các chất siêu dẫn được tiên đoán bởi lý thuyết BCS không vượt quá

0
30 K
.
Mặc dù rất thành công nhưng lý thuyết BCS vẫn bộc lộ những hạn chế
và có thể bế tắc đối với một số sự kiện thực nghiệm. Chẳng hạn nó không
16
xét chi tiết phổ phonon trong tinh thể mà chỉ chọn một tần số Debye
D

(tần
số cực đại của dao động mạng). Nó không xét đến các đặc điểm của sự phân
bố các điện tử theo các mức năng lượng trong tinh thể tạo bởi các ion nằm ở
các nút mạng mà thay phân bố đó bằng phân bố Fermi cho chất khí điện tử,
còn môi trường thì không quan trọng.
1.4. Lý thuyết Ginzburg – Landau.
Năm 1950, Ginzburg và Landau đã đưa ra lý thuyết hiện tượng luận
mô tả rất tốt hiện tượng siêu dẫn. Thuyết Ginzburg – Landau (GL) dựa trên
nền tảng là lý thuyết chuyển pha loại II của Landau, để mô tả quá trình
chuyển pha, Landau đưa ra khái niệm tham số trật tự - là đại lượng vật lý có
giá trị bằng không trong pha mất trật tự và khác không trong pha trật tự. Đối
với hiện tượng siêu dẫn, tham số trật tự là hàm sóng phức
 
r


,
     
exp
r r i
  


 
, (1.20)
trong đó
2
s
n


mang ý nghĩa là mật độ điện tử siêu dẫn,

là pha của
tham số trật tự và là một đại lượng thực. Theo GL, trong trạng thái siêu dẫn,
dòng điện tử siêu dẫn có khối lượng
s
m
, điện tích
s
e
và mật độ
s
n
thỏa mãn
các hệ thức:

 
2 , 2 , 1/ 2
s e s s e
m m e e n n   
, (1.21)

trong đó
, ,
e e
m e n
lần lượt là khối lượng, điện tích và mật độ điện tử.
Để mô tả tính chất nhiệt động của trạng thái siêu dẫn, Ginzburg và
Landau đã dùng biểu thức năng lượng tự do Gibbs. Theo GL, ở lân cận dưới
c
T
, mật độ năng lượng tự do Gibbs
s

có thể được khai triển như một phiếm
hàm địa phương của tham số trật tự

,

 
 
2
2
2 4
2
1
2 8
s n s
s
H
i e A
m


    

        



, (1.22)
17
trong đó
n

là mật độ năng lượng tự do của trạng thái thường,
2
8
H

là mật
độ năng lượng của từ trường ngoài,
 
2
1
2
s
s
i e A
m

 




là động năng của
dòng siêu dẫn liên quan đến sự không đồng nhất của tham số trật tự
, A


là
thế vectơ,
H

là từ trường ngoài,

và

là các hàm của nhiệt độ,

   
0 0 0
1 , 0, 0
c
T
T T
T
    
 
    
 
 
. (1.23)

Lấy đạo hàm của
 
s


ở (1.22) đối với

, còn

giữ không đổi, ta
được phương trình GL thứ nhất,

 
2
2
1
. . . . 0
2
s
s
i e A
m
     
    



. (1.24)
Sử dụng hiệu chuẩn Colomb
. 0A 



và lưu ý năng lượng cũng cực
tiểu với thế vectơ
A

, trong đó
B A 

 
và
0
J B

 
  
ta tìm được
phương trình GL thứ hai,
 
2
2
* *
0
2
s s
s s
i e e
J A
m m
     

    

  

. (1.25)
Hai phương trình (1.24) và (1.25) biểu thị mối liên hệ giữa tham số
trật tự

với thế vectơ
A

. Hai đại lượng này là nền tảng của lý thuyết GL.
Từ hai phương trình GL ta có thể rút ra một số hệ quả quan trọng sau:
 Đầu tiên là khái niệm lượng tử từ thông. Xét một vòng xuyến siêu dẫn
được đặt trong một từ trường ngoài
0B 

. Từ (1.20) ta có
 
i
i e r

  
    
  

. (1.26)
Dòng toàn phần từ (1.25) chuyển thành
2
2 2

0
s s
s s
e e
J A
m m
   
  

 

. (1.27)
18
Chia (1.27) cho
2
2
/
s s
e m

và lấy tích phân dọc theo đường cong kín ta được
0
2
2 2
. . .
s
s s
m J
dl dl A dl
e e




  
  

  



. (1.28)
Do tham số trật tự phải xác định đơn trị nên tích phân đường của pha

theo đường cong kín phải là bội số của
2


. 2
 
 




dl n
, (1.29)
với n nguyên. Ta viết lại (1.29) như sau:
0
0
2

2
.
s
s
m J
dl Adl n
e


  
 

 

 
, (1.30)
trong đó
0
/
s
h e 
được gọi là đơn vị lượng tử từ thông. Nếu để ý đến định
lí Stoke
Adl BdS
 
 

 



ta biến đổi (1.30) thành

0
0
2
2
.
s
s
m J
dl n
e


   




. (1.31)
Biểu thức này cho thấy từ thông toàn phần gửi qua hệ bị lượng tử hóa
bằng nguyên lần
0

.
 Thứ hai: lý thuyết GL cho ta một độ dài đặc trưng thứ nhất gọi là độ
dài kết hợp GL
 
 
1/2

2
s
T
m T




. (1.32)
Đại lượng này có thể thu được từ phương trình GL thứ nhất (1.24) khi
ta xét đến sự phụ thuộc vào tọa độ của tham số trật tự ở gần bề mặt của chất
siêu dẫn.
 
T

đặc trưng cho sự biến đổi của tham số trật tự

trong không
gian. Giá trị của

tại
0
0T K
chính là
0

đã nói ở trên.
19
Gần nhiệt độ chuyển pha,
 

T

tiến đến không. Điều này dẫn đến
 
T

phân kì theo hàm
 
1/2
c
T T


ở gần điểm tới hạn. Đây cũng chính là
đặc trưng chung của độ dài tương quan trong chuyển pha loại II.
 Thứ ba, lý thuyết GL đưa ra một độ dài đặc trưng thứ hai gọi là độ
xuyên sâu GL
 
1/2
2
2
4
s
s
m c
e T


 
 


 
 
 
. (1.33)
Độ xuyên sâu

được rút ra từ phương trình GL thứ hai khi xét sự
thâm nhập vào mẫu siêu dẫn của từ trường ngoài (Hình 1.3).

phụ thuộc
vào nhiệt độ và phân kì theo hàm mũ
 
1/2
c
T T


ở gần điểm chuyển pha.
 Thứ tư, lý thuyết GL chỉ ra mật độ dòng tới hạn
c
J
mà tại đó trạng
thái siêu dẫn của hệ bị phá vỡ. Từ phương trình GL thứ hai, ta rút ra được

 
 
3/2
0
8 2 0

1
3 3 0
c
c
c
B
T
J
T
 
 
 
 
 
. (1.34)


Hình 1.3. Qui luật giảm theo hàm mũ của từ trường ngoài
khi đi vào trong siêu dẫn với trường hợp
 


O x
H
0
/
0
x
H e








S
 
Hz x


20
Rõ ràng dòng
c
J
triệt tiêu khi hệ ở trạng thái tới hạn và đạt cực đại khi
nhiệt độ
0T 
, điều này là hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm.
Tuy không giải thích được nguồn gốc vi mô song lý thuyết hiện tượng
luận GL đã thành công trong việc giải thích nhiều tính chất cơ bản của hiện
tượng siêu dẫn. Lý thuyết này đã giải quyết được hai đặc điểm nằm ngoài
tầm với của lý thuyết London, đó là: (i) các hiệu ứng phi tuyến của từ trường
đủ mạnh làm thay đổi
s
n
(hay
2

) và (ii) sự thay đổi theo không gian của

s
n
. Ngoài ra, lý thuyết GL cũng đã giải quyết được trạng thái trung gian của
các chất siêu dẫn, trong đó các vùng siêu dẫn thường cùng tồn tại ở từ trường
ngoài tới hạn
c
H H
.
1.5. Siêu dẫn loại I và siêu dẫn loại II.
Khi đặt từ trường ngoài
H
lớn hơn giá trị tới hạn
c
H
vào mẫu siêu
dẫn, từ trường sẽ thấm qua mẫu và ở vùng này tồn tại một trạng thái “hỗn
hợp” gồm từ trường và điện tử siêu dẫn. Ta sẽ khảo sát trạng thái này bằng
việc xét một mặt phân cách giữa pha thông thường lấp đầy nửa không gian
bên trái
0x 
và pha siêu dẫn lấp đầy nửa không gian bên phải
0x 
như ở
hình 1.4.
Ta biết rằng tham số trật tự siêu dẫn sẽ triệt tiêu tại bề mặt của mẫu và
đạt giá trị xác định trong khoảng độ dài kết hợp

. Mặt khác, các dòng bề
mặt chỉ xuất hiện ở lớp bề mặt dày


còn ở sâu trong mẫu siêu dẫn từ
trường bị đẩy hoàn toàn. Ở đây ta chỉ xét ảnh hưởng của mặt phân cách lên
năng lượng tự do, trong đó đại lượng quan trọng cần xác định là năng lượng
bề mặt.
21

Hình 1.4. Mặt phân cách giữa một vật liệu thường
và một vật liệu siêu dẫn
Năng lượng bề mặt
ns

chính là hiệu số giữa năng lượng tự do của pha
hỗn hợp với pha “đồng nhất” (pha thường hoặc pha siêu dẫn). Dễ thấy đóng
góp chính vào năng lượng bề mặt chỉ được giới hạn trong miền
0 x

 
.
Nếu
0
ns


, pha đồng nhất có năng lượng tự do thấp hơn pha hỗn hợp và do
đó hệ vẫn là hệ siêu dẫn khi từ trường chưa vượt quá từ trường tới hạn
c
H
.
Siêu dẫn dạng này gọi là siêu dẫn loại I. Nếu
0

ns


, tức pha hỗn hợp trở
thành trạng thái bền hơn, thì hệ sẽ tự động hạ thấp năng lượng tự do xuống
đến giá trị cực tiểu bằng việc hình thành tối đa một cách tự phát các vùng
chứa từ thông. Siêu dẫn dạng này gọi siêu dẫn loại II. Tính toán gần đúng
cho thấy giá trị năng lượng bề mặt bằng,
 
2
0
2
c
ns
H
  

 
. (1.35)
Biểu thức cho thấy, nếu
 

thì năng lượng bề mặt dương và ta có
siêu dẫn loại I. Ngược lại, nếu
 

thì
ns

là âm và siêu dẫn loại II xuất

hiện.
Từ độ dài kết hợp và độ dài xuyên sâu, Ginzburg và Landau đã đưa ra
tham số không thứ nguyên

có dạng
Vật liệu
siêu dẫn
Vật liệu
thường
O x
22




. (1.36)
Tham số này được gọi là tham số GL. Từ các tính toán, Ginzburg và
Landau chỉ ra rằng năng lượng bề mặt
ns

sẽ bị triệt tiêu khi
1
2


. Vì thế
tham số GL

chính là cơ sở để phân biệt hai loại siêu dẫn.
 Siêu dẫn loại I ứng với

1
2


.
 Siêu dẫn loại II ứng với
1
2


.
1.6. Hiệu ứng Josephson.
Năm 1962, B. Josephson tiên đoán: Nếu lớp điện môi ở giữa hai lớp
siêu dẫn đủ mỏng (nm) thì trong trạng thái siêu dẫn nhờ hiệu ứng đường
ngầm, các cặp Cooper có thể “xuyên rào thế” và tạo nên dòng siêu dẫn trong
mạch ngay cả khi hiệu ứng điện thế V bằng không. Hệ tạo bởi hai lớp siêu
dẫn được ngăn bởi một lớp điện môi mỏng được gọi là cầu Josephson.
Xét hai mẫu siêu dẫn loại I và II được ngăn bởi lớp điện môi mỏng
(hình 1.5). Phương trình Schrodinger theo thời gian cho các điện tử siêu dẫn
ở mỗi bên là


Hình 1.5. Cầu Josephson

Điện môi
Siêu dẫn 1 Siêu dẫn 2
23
1
1 1
ˆ

d
i H
dt



, (1.37.1)
2
2 2
ˆ
d
i H
dt



, (1.37.2)
trong đó
i

và
ˆ
i
H
là các hàm sóng và Hamiltonian ở mỗi bên của rào thế.
Gọi
V
là hiệu điện thế giữa hai mẫu siêu dẫn. Cho điện thế ở giữa lớp điện
môi bằng 0. Khi điện thế và thế năng của mặt Cooper tương ứng với mẫu 1
là

/ 2V
và
eV
, ở mẫu 2 là
/ 2V
và
eV
. Với sự có mặt của rào thế,
(1.37) trở thành
1
1 2
d
i eV K
dt

 
 
, (1.38.1)
1
2 1
d
i eV K
dt

 
  
, (1.38.2)
trong đó
K
là hệ số liên kết cho các hàm sóng xuyên rào. Vì bình phương

môđun hàm sóng chính là biên độ xác suất phát hiện các điện tử siêu dẫn nên
ta có thể viết được
 
1
1/2
1 1
i
s
n e



, (1.39.1)
 
2
1/2
2 2
i
s
n e



, (1.39.2)
2 1
  
  
, (1.39.3)
với
1s

n
,
2s
n
là mật độ các điện tử siêu dẫn ở mỗi bên và


là độ lệch pha
của hàm sóng hai bên rào thế. Thay (1.39) vào (1.38), tách phần thực và
phần ảo ta được
 
 
1/2
1 1 2
2 sin
s s s
d
n K n n
dt

 

, (1.40.1)
 
 
1/2
2 1 2
2 sin
s s s
d

n K n n
dt

  

, (1.40.2)
 
2
d
eV
dt




, (1.41)
24
Ta định nghĩa mật độ dòng siêu dẫn như sau:
 
2 1s s
d
J e n n
dt
 
. (1.42)
Từ (1.40) ta suy ra:
 
sin
c
J J


 
, (1.43)
trong đó
 
1/2
1 2
4
c s s
eK
J n n

là giá trị cực đại của mật độ dòng siêu dẫn có
thể chạy qua cầu nối. Giải phương trình (1.41) ta được độ lệch theo thời gian
   
0
2e
t V t dt
 
  


, (1.44)
trong đó
0

là độ lệch pha tại thời điểm ban đầu.
1.6.1. Hiệu ứng Joesphson dừng.
Khi hiệu điện thế đặt vào quả cầu bằng không
0V 

, từ phương trình
(1.41) ta được
0
onsc t
 
  
từ phương trình (1.43) cho thấy mật độ dòng
điện chạy qua quả cầu Josephson không đổi. Như vậy, chính độ lệch pha
giữa hai cầu Josephson
2 1
  
  
đã gây nên dòng điện một chiều. Hiện
tượng này gọi là hiệu ứng Josephson dừng.
1.6.2. Hiệu ứng Josephson không dừng.
Khi hiệu điện thế đặt vào cầu Josephson khác không
ons 0V c t 
,
biểu thức (1.41) trở thành

 
0
2
e
t Vt
 
  

. (1.45)
Dòng siêu dẫn chạy qua cầu Josephson có dạng


 
0 0
2
sin sin 2 . .
c c
e
J J Vt J f t
  
 
   
 
 

, (1.46)
với
0
2
eV V
f
h
 

là tần số Josephson,
0

là lượng tử từ thông.
25
Như vậy, một hiệu điện thế không đổi giữa hai cầu Josephson gây ra
một dòng điện xoay chiều. Hiệu ứng này được gọi là hiệu ứng Josephson

dừng.
Cần chú ý là độ lệch pha


không phải là một đại lượng bất biến
Gauge. Nghĩa là với một trạng thái vật lý cho trước,


không xác định đơn
trị mà có thể sai khác một hằng số. Do vậy nó không thể dùng để xác định
mật độ dòng siêu dẫn
J
, là một đại lượng bất biến Gauge. Để tránh khỏi khó
khăn này, người ta đưa ra khái niệm độ lệch pha bất biến Gauge, được định
nghĩa như sau:
 
2 /
Ads
 
    



, (1.47)
trong đó
A

là thế vectơ và tích phân đường được lấy từ đầu này sang đầu kia
của cầu Josephson. Dòng siêu dẫn và hiệu điện thế bây giờ được viết lại
thành

sin
c
J J
 
, (1.48)
2
d
V
e dt



. (1.49)
1.7. Siêu dẫn nhiệt độ cao.
Kể từ khi khám phá ra hiện tượng diêu dẫn (1911), đến cuối năm 1985
người ta đã tìm được khá nhiều kim loại và hợp kim siêu dẫn, song nhiệt độ
tới hạn
c
T
của chúng đều dưới 24K. Thực nghiệm có vẻ khẳng định lý thuyết
BCS, nếu thế thì hiện tượng siêu dẫn chỉ xảy ra ở vùng nhiệt độ rất thấp,
nằm ngoài khả năng ứng dụng thực tế.
Thế nhưng ngày 27 tháng 1 năm 1986, tại phòng thí nghiệm của hãng
IBM ở Zurich (Thụy Sỹ), Muller và G.Bednorz đã tìm được chất siêu dẫn có
nhiệt độ tới hạn vượt quá 30K (khoảng 35K). Phát minh này đánh dấu một
giai đoạn mới trong lịch sử nghiên cứu chất siêu dẫn: thới kì siêu dẫn nhiệt
độ cao.