1. Phương pháp phần tử hữu hạn trong bài toán biến dạng lớn
1.1 Mô tả biến dạng lớn trong phần tử hữu hạn
Ma trận phần tử các vectơ tải trọng dẫn xuất từ phương trình Lagrange cải tiến có dạng:

[ ]
}{}{
nr
i
app
i
i
FFuK −=∆
(1)
Ma trận độ cứng tổng (tangent matrix)
[ ]
i
K
được tính bằng:
[ ]
[ ] [ ]
ii
i
SKK +=
(2)
[ ]
i
K
: ma trận độ cứng đã biết trong phần tử hữu hạn:
[ ] [ ] [ ][ ]
∫
= )V(dBDBK

ii
T
ii
(3)
[S
i
]: ma trận độ cứng hình học (geometric stiffness) được tính bằng:
[ ] [ ] [ ][ ]
∫
τ= )V(dGGS
ii
T
ii
(4)
{F
app
}: véctơ tải trọng tác dụng.
[ ]
nr
i
F
: Véctơ lực phục hồi Newton-Raphson
(Newton-Raphson restoring force) được tính bằng:
[ ]
[ ] [ ]
∫
σ= )V(dBF
i
T
i

nr
i
(5)
[G
i
] là ma trận hàm dạng và [τ
i
] là ma trận ứng suất Cauchy trong hệ tọa độ tổng thể.
1.2 Mô tả bài toán góc xoay lớn trong phần tử hữu hạn
Quan hệ ma trận hình học trong bài toán góc xoay lớn với ma trận hình học trong
bài toán góc xoay nhỏ được tính theo công thức
[ ] [ ][ ]
nvn
TBB =
(6)
[ ]
v
B
: ma trận hình học trong bài toán góc xoay nhỏ (ma trận hình học quen thuộc
trong lý thuyết phương pháp phần tử hữu hạn).
[ ]
n
T
: ma trận truyền. Như vậy, trong bài toán góc xoay lớn, ma trận độ cứng phần
tử có dạng:
[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ]
)vol(dTBDBTK
nv
vol
T

v
T
ne
∫
=
(7)
Còn véctơ lực phục hồi Newton-Raphson sẽ có dạng:
1
[ ]
[ ] [ ] [ ]
{ }
)(voldDBTF
el
n
vol
T
v
T
n
nr
e
ε
∫
=
(8)
Trong đó biến dạng được tính bằng :
{ }
[ ]
{ }
d

nV
el
n
uB=
ε
(9)
{ }
d
n
u
: véctơ biến dạng phần tử.
1.3. Tính toán biến dạng của phần tử
Trong bài toán biến dạng lớn (có kể đến biến dạng xoay), trường chuyển vị là sự
kết hợp giữa sự dịch chuyển của vật rắn tuyệt đối, sự quay của vật rắn tuyệt đối và
phần biến dạng của vật rắn biến dạng:
{ }
{ } { }
dr
uuu +=
(10)
Trong đó:
{ }
r
u
: chuyển vị của vật rắn tuyệt đối
{ }
d
u
: chuyển vị biến dạng, bao gồm cả sự dich chuyển và sự xoay, được tính theo
biểu thức:

{ }
[ ]
{ } { }( ) { }
vvn
d
t
xuxRu −+=
(11)
Trong đó:
{ }
d
t
u
: các thành chuyển vị
[ ]
n
R
: ma trận xoay
{ }
v
x
: Hệ tọa độ phần tử trong hệ tọa độ tổng thể.
{ }
u
: véctơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể.
Các thành phần góc quay được phân thành góc quay của nút và góc quay của
phần tử
{ }
u
và

{ }
r
u
.
[ ] [ ][ ]
T
nnd
TRT =
(12)
2
2. Mô hình vật liệu
Trong các bài toán biến dạng lớn, ứng xử vật liệu được mô tả bằng: phương trình
trạng thái (equation of state - EOS), mô hình bền (strength material model), mô hình phá
hủy (failure model). Có nhiều mô hình vật liệu tương ứng cho một hay một số loại vật liệu
tùy thuộc vào bản chất cơ lý tính của vật liệu đó, hơn nữa với cùng một loại vật liệu có thể
có nhiều mô hình mô tả, dưới đây là một mô hình phổ biến thường dùng của vật liệu:
Bảng 1.Một số mô hình thường dùng của vật liệu.
Equation Of State
(EOS)
Material Strength Failure models
Linear form Elastic Model Directional Failure Models
Mie-Gruneisen form Von Mises Model Johnson-Cook Fracture Model
Polynomial form Johnson-Cook Model Grady Spall Model
Tillotson form Steinberg-Guinan
Model
Tsai - Hoffman - Hill Model
For Porous Materials:
Porous; Compaction;
P-alpha forms.
MO Granular

Model
Stochastic Failure
Rigid RHT Concrete
Model
Cumulative Damage Model
Shock Hyperelastic Johnson Holmquist
…. …. ….
Trong đề tài này, nhóm tác giả sử dụng một số mô hình vật liệu tương ứng với
các vật liệu liệt kê trong bảng dưới đây:
3
Bảng 2: Mô hình vật liệu dùng trong đề tài nghiên cứu
Vật liệu Equation Of State Material
Strength
Failure model
Thép Linear Johnson Cook Johnson Cook
Gốm
(Ceramic)
Linear Drucker-
Prager
Cumulative
Damage
Kevlar-epoxy orthotropic elastic Material
stress/strain
Chì Shock Steinberg-
Guinan
None
Đồng Shock Johnson Cook none
Bê tông P-alpha and
Polynomial
RHT RHT

2.1 Phương trình trạng thái (Equation Of State- EOS)
2.1.1 Phương trình trạng thái dạng tuyến tính (Linear)
Ứng xử đàn hồi được mô tả bằng định luật Hook theo phương trình:

µ
Kp =
(13)
Trong đó µ = (ρ/ρ
0
) − ; K : môđun khối của vật liệu
2.1.2 Mô hình Orthotropic Elastic
Mô tả mối liên hệ gữa ứng suất và tốc độ biến dạng theo bước lặp thời biểu diễn
theo biểu thức:
[ ] [ ] [ ][ ]
tS
nn
∆+=
+
εσσ

1
(14)
Trong đó
[S]: ma trận độ cứng
[ ]
ε

: véc tơ tốc độ biến dạng
Δt: bước thời gian
Đảo của ma trận [S] trong bài toán 2D có dạng:

4

[ ]












−−
−−
−−
=
−
21
3223331
2232112
3311121
1
2/1000
0/1//
0//1/
0///1
G

EEE
EEE
EEE
S
υυ
υυ
υυ
(15)
Thứ tự lần lượt các véctơ tốc độ biến dạng và ứng suất sẽ là:

[ ]












=
12
33
22
11
ε
ε

ε
ε
ε





;
[ ]












=
12
33
22
11
σ
σ
σ

σ
σ
(16)
Trong đó :
E
i
: Mô đun đàn hồi theo trục chính thứ i
ν
ij
: Các hệ số poát xông theo các phương trục
G
12
: mô đun cắt
Hệ số poatxong được tính bằng
i
j
ij
ε
ε
υ
−=










=
j
i
jiij
E
E
υυ
(17)
Các hằng số vật liệu E
1
, E
2
, E
3
, và G
12
là các số dương, đồng thời
1 − ν
12
ν
21
− ν
31
ν
13
− ν
23
ν
32
− 2ν

21
ν
32
ν
13
> 0 (18)
Và đảm bảo yêu cầu
( )
2/1
1221
/ EE<
υ
;
( )
2/1
2332
/ EE<
υ
;
( )
2/1
2113
/ EE<
υ
(19)
2.1.3 Mô hình trạng thái va chạm ( Shock EOS)
Trong bài toán động học, các đại lượng vận tốc vật u
p
và vận tốc va chạm U được
mô tả bằng :

p
sucU +=
0
(20)
Dựa vào đó Mie-Gruneisen thiết lập phương trình:
)(
HH
eepp −Γ+=
ρ
(21)
Trong đó
00
ρρ
Γ=Γ
= constant và
5
[ ]
2
2
00
)1(1
)1(
µ
µµρ
−−
+
=
s
c
p

H
(22)

)1(2
0
µρ
µ
+
=
H
H
p
e
(23)
Chú ý rằng nếu s > 1 biểu thức này cho giá trị giới hạn áp suất nén như là áp suất
tới hạn. Nếu 1 - (s - 1) µ = 0 giá trị áp suất là không xác định. Giá trị lớn nhất của khối
lượng riêng sẽ là: ρ = s ρ
0
(s - 1).
Dẫu sao, việc giả thiết Γρ là hằng số là không chính xác. Để giải quyết vấn đề
này, trong phần mềm mô phỏng số biến dạng lớn, định nghĩa 2 hàm quan hệ vận tốc :
vận tốc và vận tốc va chạm (va chạm lớn: shock) thể hiện như hình dưới. Một đường
cho va chạm cường độ thấp định nghĩa bởi v > VB và đường còn lại cho va chạm cường
độ cao v < VE.
Vùng đệm giữa VE và VB thể hiện bằng đường cong nội suy giữa 2 đường tuyến
tính đã cho.
Hình1 : Mối liên hệ vận tốc vật và vận tốc va chạm lớn (Shock Velocity)
C
1
, C

2
, S
1
, S
2
, VE/V
0
, VB/V
0
, Γ
0
và ρ
0
là các đại lượng không đổi:
P
uscU
111
+=
6
P
uscU
222
+=
U = U
1
nếu v ≥ VB; U = U
2
nếu v ≤ VE (24)
VBVE
VBvUU

UU
−
−−
+=
))((
12
1
nếu VE < v < VB (25)
Mô hình dạng này được dùng phổ biến cho nhiều loại vật liệu. Ngoài ra còn có
mô hình có dạng bậc cao :
2
210 PP
uSuSCU ++=
nhưng không nhiều.
2.1.4 Mô hình P-alpha và dạng đa thức ( Polynomial)
Thường dùng cho vật liệu dạng hạt, có độ xốp ban đầu. Ứng xử vật liệu rắn
(không còn độ xốp) được mô tả bằng đa thức mô tả ở phương trình 26, các A
i
và B
i
là
các hằng số. Còn khi vật liệu có độ xốp thì ứng xử vật liệu được mô tả bằng phương
trình 27 (xem hình 2). Về thực chất thì khi vật liệu là rắn (độ xốp α = 1 ) áp lực p =
P
lock
(ở phương trình 27). P
crush
ở phương trình 27 là áp suất gây nứt bê tông.
eBBAAAP
010

3
3
2
21
)(
ρµµµµ
++++=
với
1
0
−=
ρ
ρ
µ
(26)
),(),( efPefP
porous
ραρ
= →=
với
n
crushlock
lock
init
PP
PP







−
−
−+= )1(1
αα
(27)
7
Hình 2: Mô hình P-alpha
2.2 Mô hình độ bền vật liệu (Material Strength)
2.2.1 Mô hình Johnson and Cook
Với mô hình này, ứng suất chảy của vật liệu thay đổi phụ thuộc vào biến dạng,
tốc độ biến dạng và nhiệt độ. Giá trị này được tính bằng
[ ][ ]
[ ]
m
Hp
n
p
TCBAY −++= 1ln1
*
εε
(28)
Trong đó
ε
p
= biến dạng dẻo
ε
p
*

= Tốc độ biến dạng dẻo
T
H
= Nhiệt độ tương đương: T
H
= (T - T
room
) / (T
melt
- T
room
) (29)
T
room
: Nhiệt độ phòng
T
melt
: Nhiệt độ nóng chảy
A, B, C, n và m là các hằng số của vật liệu
8
Hình 3: Mô hình Johnson and Cook
2.2.2 Mô hình Drucker-Prager Model
Mô hình này sử dụng để mô tả ứng xử của các vật liệu như: đất cứng khô, sỏi đá,
bê tông và các loại gốm (ceramics) Với 3 mô hình được dùng khá phổ biến:
2.2.2.1 Mô hình tuyến tính
Ứng suất chảy là hàm tuyến tính với áp suất
Hình 4: Mô hình Drucker-Prager dạng tuyến tính
2.2.2.2 Mô hình dạng rời rạc
Ở mô hình này, giá trị ứng suất chảy và giá trị áp lực tạo thành các điểm rời rạc
như ở hình vẽ dưới đây :

Hình 5: Mô hình Drucker-Prager dạng đường cong rời rạc
Ứng suất chảy là hàm tuyến tính rời rạc đối với ứng suất. thông thường số các
điểm rời rạc thường là 10 điểm, thể hiện bằng các điểm tròn trên đồ thị, các giá trị này
thường xác định bằng thực nghiệm
9
Trong bài toán kéo (áp lực dương), vật liệu dạng này thường có độ bền kéo thấp,
đồ thị thể hiện rõ điều này, khi áp lực p tăng đến một giá trị tới hạn (về giá trị tuyệt
đối) thì ứng suất giảm dần về 0.
2.2.2.3 Mô hình liên tục phi tuyến (stassi)
Hình 6: hình Drucker-Prager dạng liên tục phi tuyến
Hàm ứng suất Y(p) có dạng:

[ ]
pkkY
Y
J
Y
)1(3
3
0
0
2
−+=
(30)
Trong đó
J
2Y
: đại lượng bất biến thứ 2 của tenxơ ứng suất lệch Y
0


k : hệ số liên hệ giữa giới hạn ứng suất chảy khi nén và khi kéo
p : áp lực
2.2.3 Mô hình Steinberg-Guinan
Với mô hình này, ứng suất chảy thay đổi phụ thuộc vào biến dạng, tốc độ biến
dạng và nhiệt độ
Dưới đây là các hàm mô đun cắt và ứng suất chảy phụ thuộc vào tốc độ biến
dạng lớn:

10
Khi P > f
c
/3, với
ε

= 30x10
-6
s
-1
Khi P < f
c
/3, với
ε

= 3x10
-6
s
-1








−








+








+= )300(1
0
'
3/1
0
'
0
T

G
G
p
G
G
GG
TP
η
(31)







+−








+









+=
n
TP
t
G
G
p
Y
Y
YY )1)(300(1
0
'
3/1
0
'
0
βε
η
(32)
Với giả thiết: Y
0
[1 + βε]
n
≤ Y
max
(33)

Trong đó
ε = biến dạng dẻo
T = nhiệt độ (K)
η = độ nén = v
0
/ v
2.2.4 Mô hình RHT
Mô hình được dùng mô tả ứng xử bền và phá hủy của vật liệu dạng hạt có độ xốp
(bê tong, gốm…). Ứng suất phá hủy là tích số của hàm độ bền nén Y
*
TXC
(P) với hàm
tốc độ biến dạng và hàm số tỷ lệ R
3
(θ) như mô tả dưới đây:
)()()(),,(
3
*
θεεθ
RFPYPY
rate
TXC
fail

=
(34)
Y
*
TXC
(P) là hàm của áp lực nén theo ba phương chia cho hệ số bền nén tới hạn f

c
.
Ở công thức 20, P
*
và P
*
spall
lần lượt là các giá trị áp suất và độ bền phá hủy, A và N là
các hằng số vật liệu xác định băng thực nghiệm.
[ ]
N
rate
*
spall
*
c
TXC
*
TXC
)FP(PA
f
)P(Y
)P(Y −==
(35)
Hệ số tốc độ biến dạng
)(F
rate
ε

được tính theo biểu thức dưới
























=
δ
α
ε
ε
ε
ε

ε
0
0
)(





RATE
F
(36)
11
θ: góc xoay trục thủy tĩnh trên bề mặt phá hủy, R
3
(θ): hàm hệ số, được tính bằng
[ ]
2
2
22
2
2
1
2
2
2
22
22
2
2

3
)21(cos)1(4
45cos)1(4)12(cos)1(2
)(
QQ
QQQQQ
R
−+−
−+−−+−
=
θ
θθ
θ
(37)
Q
2
là khoảng cách từ trục thủy tĩnh đến giá trị kéo tới hạn chia cho khoảng cách từ
trục trục thủy tĩnh đến giá trị nén tới hạn. Q
2
được tính theo biểu thức:
*
0,22
P.BQQQ +=
với
1Q51.0
2
≤≤
và BQ = 0.0105 (38)
Sự phá hủy của vật liệu gia tăng khi mà điểm tính ứng suất vượt qua mặt phá hủy
được mô tả theo phương trình 39 và 40. Trong đó biến dạng dẻo ∆ε

p
được so sánh với
biến dạng phá hủy ε
p
failure
với giá trị áp lực cho bởi phương trình 40 và hai hằng số vật
liệu D
1
và D
2
. Tại giá trị áp lực nhỏ nhất có thể gây biến dạng nhỏ nhất được định
nghĩa bằng E
f,min
.
∑
ε
ε∆
=
failure
P
p
D
(39)
2
D
*
spall
*
1
failure

P
)PP(D −=ε
(40)
Độ bền dư
*
residual
Y
của vật liệu ở trạng thái rắn của bê tông được tính bằng biểu
thức 41.
M**
residual
)P.(BY =
(41)
*
residual
*
failure
*
fractured
Y.DY)D1(Y +−=
(42)
12
Hình 7 : Mô hình độ bền và phá hủy RTH
2.3 Mô hình phá hủy (failure model)
2.3.1 Mô hình phá hủy tích lũy (Cumulative Damage)
Mô hình này dùng mô tả ứng xử của vật liệu không đàn hồi như các gốm,
bêtông…độ bền vật liệu giảm khi xảy ra hiện tượng nứt gẫy.
Các vật liệu loại này chủ yếu là chịu nén, thông thường mô hình này thường đi
liền với mô hình độ bền Mohr-Coulomb với mô tả ứng suất chảy là hàm của áp lực.
Việc mô tả quá trình phá hủy của vật liệu thông qua việc tính toán hệ số phá hủy

(damage factor) thường có liên hệ đến lượng biến dạng của vật thể. Hệ số này cho biết
sự giảm sút về môđun đàn hồi cũng như ứng suất chảy trong quá trình phá hủy.
Thông thường, đối với việc mô tả sự phá hủy vật liệu thông qua tham số D, D =
0 nếu là biến dạng dẻo khi mà giá trị biến dạng dẻo nhỏ hơn giá trị EPS1 trong đồ thị
dưới. Khi giá trị biến dạng đạt tới EPS1 thì tham số D bắt đầu tăng tuyến tính đạt đến
giá trị D
max
(<1) từ đó D luôn đạt giá trị Dmax dù biến dạng tăng.
Hình 8: Mô hình phá hủy tích lũy
Giá trị D được tính theo biểu thức







−
−
=
12
1
max
EPSEPS
EPSEPS
DD
(43)
13
a) Sự giảm của giá trị ứng suất tuân theo áp lực:
- Nếu áp lực là dương (chịu kéo)

)1( DYY
dam
−=
(44)
- Nếu áp lực là âm (chịu nén)
)1(
max
D
D
YY
dam
−=
(45)
Hình 9: Ứng suất chảy là hàm của hệ số phá hủy tích lũy
b) Môđun chính và mô đun cắt không bị ảnh hưởng trong bài tóan nén trong khí
ở trạng thái chịu kéo các giá trị này về 0 khi kết thúc quá trình phá hủy. Trong bài
toán kéo, các giá trị này giảm theo hệ số (1 - D/D
max
) như mô tả bằng đồ thị dưới đây.
14
Hình 10: Mô đun khối và môđun cắt là hàm của hệ số phá hủy tích lũy
15
2.3.2. Mô hình phá hủy ứng suất/biến dạng (Material stress/strain)
Theo mô hình này, tại một điểm nào đó, nếu ứng suất hay biến dạng đạt đến các
giá trị giới hạn thì:
• Nguyên tắc ứng suất vật liệu theo hướng phá hủy thiết lập về 0
• Mô đun cắt G thiết lập về 0.
• Ứng suất cắt σ
12
thiết lập về 0

• Ứng suất trung bình được tính toán lại sử dụng biểu thức sau:
p = -(σ
11
+ σ
22
+ σ
33
) / 3 (46)
2.3.3 Mô hình phá hủy Johnson and cook
Quy luật sự phá hủy được mô tả theo biểu thức dưới đây
∑
∆
=
f
D
ε
ε
(47)
[ ]
[ ][ ]
*
5
*
4
*
21
1)ln(1
3
TDDeDD
D

f
+++=
εε
σ

(48)
ε
∆
lượng gia tăng biến dạng dẻo tương ứng với lượng gia tăng tải trọng
f
ε
,
*
σ

là giá trị trung bình ứng suất, Các tham số D
1
,D
2
,D
3
,D
4
và D
5
là các hằng số vật liệu.
16
Thành phần
phụ thuộc
áp suất

Thành phần
phụ thuộc
tốc độ biến
dạng
Thành phần
phụ thuộc
nhiệt độ
2.4 Thông số mô hình vật liệu của một số vật liệu chính dùng trong đề tài
2.4.1 Thông số mô hình vật liệu thép
Reference density 7.83 kg/cm
3
Equation of State: Linear Strength: Johnson and Cook
Bulk Modulus 1.59x10
8
kPa Shear Modulus 7.7x10
7
kPa
Reference temperature 300 K Yield stress 7.92x10
5
kPa
Specific heat 477 J/kgK Hardening constant 5.1x10
5
kPa
Thermal conductivity 0 J/mKs Hardening exponent 0.26 None
Compaction exponent 3 Strain rate constant 0.014 None
Failure: Johnson and Cook Thermal softening exponent 1.03 None
Damage constant, D
1
0.05 None Melting temperature 1.793x10
3

K
Damage constant, D
2
3.44 None Ref. Strain rate (/s) 1 None
Damage constant, D
3
-2.12 None Strain rate correction 1
st
order
Damage constant, D
4
0.002 None
Damage constant, D
5
0.61 None
Melting temperature 1.793x10
3
K
Ref. Strain rate (/s) 1 None
17
2.4.2 Thông số mô hình vật liệu gốm (Ceramic)
Reference density 3.72 kg/cm
3
Equation of State: Linear Strength: Drucker prager
Bulk Modulus 1.72x10
8
kPa Shear Modulus 1.24x10
8
kPa
Reference temperature 293 K Pressure hardening type Piecewise

Specific heat 0 J/kgK Pressure #1 1.72x10
8
kPa
Thermal conductivity 0 J/mKs Pressure #2 1.72x10
8
kPa
Failure: Cumulative Damage
Pressure #3
1.72x10
8
kPa
Pressure #4 1.72x10
8
kPa
Plastic Strain at Dam=0 0.01 none Pressure #5 0 kPa
Plastic Strain at
Dam=maximum
0.03 none Pressure #6 0 kPa
Maximum Damage (0 to
1)
0.7 none Pressure #7 0 kPa
Pressure #8
0
kPa
Pressure #9
0
kPa
Pressure #10
0
kPa

Yield stress (zero plastic
strain)
0 kPa
Yield stress #2
1.72x10
8
kPa
Yield stress #3
1.72x10
8
kPa
Yield stress #4
1.72x10
8
kPa
Yield stress #5
0
kPa
Yield stress #6
0
kPa
Yield stress #7
0
kPa
Yield stress #8
0
kPa
Yield stress #9
0
kPa

Yield stress #10 0 kPa
18
2.4.3 Thông số mô hình vật liệu compozit (Kevlar-epoxy)
Reference density 1.40 kg/cm
3
Equation of State: ortho Failure: Material Stress/strain
Stiffness Engineering constant Tensile failure stress 11 5x10
4
kPa
Youngs modulus 11 4.5x10
6
kPa Tensile failure stress 22 3.01x10
5
kPa
Youngs modulus 22 2.4x10
7
kPa Tensile failure stress 33 3.01x10
5
kPa
Youngs modulus 33 2.4x10
7
kPa Maximum shear stress 12 1x10
5
kPa
Poissons ratio 12 0.26 none Maximum shear stress 23 3.01x10
4
kPa
Poissons ratio 23 0.26 none Maximum shear stress 31 3.01x10
4
kPa

Poissons ratio 31 0.25 none Tensile failure strain 11 0.01
Shear modulus 12 6.5x10
3
kPa Tensile failure strain 22 0.2
Shear modulus 23 6.5x10
3
kPa Tensile failure strain 33 0.2
Shear modulus 31 1.77x10
4
kPa Maximum shear strain 12 3.01x10
4
kPa
Material axes IJK space Maximum shear strain 23 3.01x10
4
kPa
Rotation angle about 11
(degrees)
0 none Maximum shear strain 31 3.01x10
4
kPa
Volumetric response Polynomial Material axes option IJK space
Bulk modulus A1 1.63x10
7
kPa Rotation angle about 11
(degree)
0
Parameter A2 4x10
7
kPa Post failure option orthotropic
Parameter A3 0 kPa Residual shear stiffness fracion 0.2 none

Parameter B0 0 none Maximum residual shear
stress
3x10
5
kPa
Parameter B1 0 none Decomposition temperature 700 K
Parameter T1 1.63x10
7
kPa Matrix melt temperature 1x10
20
K
Parameter T2 0 kPa Failure in 11, failure mode 11 only
Reference temperture 300 K Failure in 22, failure mode 22 only
Specific heat 0 J/kgK Failure in 33, failure mode 33 only
Themal conductivity 0 J/mKs Failure in 12, failure mode 12 & 11 only
Strength elastic Failure in 23, failure mode 23 & 11 only
Shear modulus 1.54x10
6
kPa Failure in 31, failure mode 31 & 11 only
Melt matrix failure mode
Bulk
Stochastic failure No
2.4.4 Thông số mô hình vật liệu chì (Pb)
Reference density 11.34 kg/cm
3
Equation of State: shock Strength: Steinberg Guinan
Gruneisen coefficient 2.74 none Shear modulus 8.6x10
5
kPa
Parameter C1 0.006 x10

3
m/s Yield stress 8x10
3
kPa
Parameter S1 1.429 none Maximum Yield stress 1x10
5
kPa
Parameter quadratic S2 0 s/m Hardening constant 110 None
Relative volume VE/V0 0 None Hardening exponent 0.52 None
Relative volume VB/V0 0 none Derivative dG/dP 1 None
19
Parameter C2 0 m/s Derivative dG/dT -9.98x10
3
kPa
Parameter S2 0 None Derivative dY/dP 9.304x10
-4
None
Reference temperature 300 K Melting temperature 760 K
Specific heat
124
J/kgK
Thermal conductivity
0
J/mKs
2.4.5 Thông số mô hình vật liệu đồng
Reference density 8.45 kg/cm
3
Equation of State: shock Strength: Johnson Cook
Gruneisen coefficient 2.04 none Shear modulus 3.74x10
7

kPa
Parameter C1 3.726 x10
3
m/s Yield stress 1.12x10
5
kPa
Parameter S1 1.434 none Hardening constant 5.05x10
5
kPa
Parameter quadratic S2 0 s/m Hardening exponent 0.42 None
Relative volume VE/V0 0 None Strain rate constant 1 None
Relative volume VB/V0 0 none Thermal softening exponent -9.98x10
3
kPa
Parameter C2 0 m/s Melting temperature 1.189x10
3
None
Parameter S2 0 None Ref. strain rate(/s) 760 K
Reference temperature 300 K Strain rate correction 1
st
Order
Specific heat
385
J/kgK
Thermal conductivity
0
J/mKs
2.4.6 Thông số mô hình vật liệu bê tông
Reference density 2,75 kg/cm
3

Equation of State: P alpha Strength: RHT concrete
Porous density 2.52 kg/cm
3
Shear modulus 2.21x10
7
kPa
Porous soundspeed 3.242x10
3
m/s Compressive Strength(fc) 1.4x10
5
kPa
Initial compaction
pressure
9.33x10
4
kPa Tensile Strength (ft/fc) 0.1 None
Solid compaction
pressure
6x10
6
kPa Shear strength (fs/fc) 0.18 None
Compaction exponent 1.5 Intact failure surface constant
A
1.6 None
Solid EOS: Polynomial Intact failure surface
exponent N
0.61 None
Bulk modulus A1 3.527x10
7
kPa Tens./Comp. Meridian Ratio

(Q)
0.6805 None
Parameter A2 3.958x10
7
kPa Brittle to ductile transition 0.0105 None
Parameter A3 9.04x10
6
kPa G (elas.)/(elas.plas) 2 None
Parameter B0 1.22 None Elastic strength /ft 0.7 None
Parameter B1 1.22 None Elastic strength /fc 0.53 None
Parameter T1 3.527x10
7
kPa Fracture strength constant B 1.6 None
Parameter T2 0 kPa Fracture strength exponent M 0.61 None
Reference 300 K Compressive strain rate Exp. 0.0091 None
20
temperature Alpha
Specific Heat 654 J/kgK Tensile strain rate exp. delta 0.0125 None
Thermal
conductivity
0 J/mKs Max. Fracture strength ratio 1x10
20
None
Compaction curve Standard Used CAP on Elastic Surface Yes
Failure: RHT Concrete
Damage contant D1 0.04 None
Damage contant D2 1 None
Minimum strain to
failure
0.01 None

Residual shear
modulus fraction
0.13 None
Tensile failure Hydro (Pmin)
21
3. Bài toán 1: Nghiên cứu khả năng chống đạn của tấm 2 lớp
Tính toán mô phỏng số, nghiên cứu ảnh hưởng tương tác giữa đầu đạn AK47 ở
các giá trị vận tốc khác nhau với tấm giáp hai lớp tương ứng hai cấu hình:
ceramic/Kevlar-epoxy và thép/ Kevlar-epoxy. Vận tốc đầu đạn đạt vận tốc lớn nhất là
815m/s. Tấm có kích thước bao 60 x 30 (mm). Cấu hình mỗi lớp được mô tả trong
bảng sau:
Bảng 1: Cấu hình áo giáp
STT Cấu hình Chiều dày các lớp
(h1/h2)
mm
1 Ceramic/Kevlar-epoxy 10/7
2 Thép/ Kevlar-epoxy 3/15
Đầu đạn sử dụng trong mô hình bài toán là đầu đạn sử dụng cho súng AK-47,
có lớp vỏ làm bằng vật liệu đồng, lõi trong là chì. Khối lượng đầu đạn là 0,0079 kg,
vận tốc đầu đạn lớn nhất 815m/s, đầu đạn có hình côn, chiều dài phần côn là 11mm,
chiều dài tổng đầu đạn là 26,5 mm, đường kính lớn nhất đầu đạn: 7,62mm và đường
kính đầu nhọn là 1,5mm (hình 9).
Hình 11: Thông số kích thước hình học đầu đạn AK47
Viên đạn bắn đạt vận tốc v (m/s) theo hướng vuông góc với tấm kích thước
30*60 mm, có hai mô hình tấm với cấu hình tương ứng cho trong bảng 1. Hình vẽ
dưới đây mô tả mô hình phần tử hữu hạn của bài toán.
22
∅7,62mm
∅1,
5m

m
11mm
26,5mm
Hình 12: Cấu hình Thép/ Kevlar-epoxy
Hình13: Cấu hình Ceramic/Kevlar-epoxy
Sử dụng kiểu chia lưới Lagrange cho cả hai đối tượng áo giáp và viên đạn. Vận
tốc viên đạn sử dụng trong bài toán lần lượt lấy các giá trị: 400m/s; 600m/s; 700 m/s;
815 m/s cho cả hai mô hình tương ứng với các trường hợp đạn bắn vào tấm từ các
23
khoảng cách khác nhau. Có nhiều các loại kết quả số có thể khai thác được như: ứng
suất, biến dạng, phá hủy, vận tốc, tiếng ồn…. Ở đây nhóm tác giả đưa ra các ba kết
quả chính đó là ứng suất tương đương (Von mises), quá trình phá hủy và vận tốc còn
lại đầu đạn. Các giá trị trên được nghiên cứu theo yếu tố thời gian thực cho hai cấu
hình tấm giáp. Các kết quả số được mô tả bằng các hình vẽ dưới đây
3.1 Cấu hình tấm giáp Ceramic/Kevlar-epoxy.
3.1.1 Ứng suất von-mise.
Vận tốc đầu đạn v = 815m/s
Tại bước lặp 20000
Thời gian 2.3x10
-2
ms
Tại bước lặp 40000
Thời gian 4.9x10
-2
ms
24
Tại bước lặp 60000
Thời gian 8.58x10
-2
ms

Vận tốc đầu đạn v = 700m/s
Tại bước lặp 40000
Thời gian 5.77x10
-2
ms
Tại bước lặp 60000
Thời gian 9.26x10
-2
ms
25