BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
ĐỖ MINH TRÍ
VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA VÀ CÁC
ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CHO BÀI TOÁN CAUCHY
KHÔNG THUẦN NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
ĐỖ MINH TRÍ
VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA VÀ CÁC
ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CHO BÀI TOÁN CAUCHY
KHÔNG THUẦN NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC
Nghệ An - 2014
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và các ví dụ minh họa. . . .4
1.2 Khái niệm chỉnh hóa các bài toá n đặt không chỉnh và ví dụ minh
họa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Chương 2. Chỉnh hoá bài toán Cauchy không thuần nhất ngược
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2.2 Phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . . .14
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1
LỜI NÓI ĐẦU
Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất
hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy động
học, y học, xử lý ảnh, nên được rất nhiều nhà toán học trong và ngoài
nước quan tâm nghiên cứu.
Một trong những đặc trưng cơ bản của các bài toán này là tính không
ổn định của nghiệm, tức là một sai số nhỏ trong dữ kiện đo đạc cũng
có thể dẫn đến một sai lệch lớn về nghiệm của bài toán. Do đó, để giải
quyết bài toán ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa.
Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài
liệu về bài toán ngược, trên cơ sở bài báo "On regularization and error
estimates fo r non-homogeneous backward Cauchy problem" của các tác
giả M. Denche and A. Abdessemed đăng trên tạp chí Arab Journal of
Mathematical Sciences năm 2012, chúng tôi lựa chọn đề tài cho Luận văn
của mình là : "Về phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai
số cho bài toán Cau chy không thuần nhất ngược thời gian".
Mục đích của luận văn nhằm tìm hiểu phương pháp chỉnh hóa bài
toán Cauchy không thuần nhất ngược thời gian

u
t
+ Au = f, 0 < t < T
u(T ) = g
(BCP )
trong đó A là một toán tử dương, tự liên hợp không bị chặn trên không

gian Hilbert H bằng bài toán

u
t
+ Au = f
α
, 0 < t < T
u(T ) = g
α
(ABCP )
2
trong đó
f
α
=

k≥1
e
−λ
k
T
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
f
k

ϕ
k
, g
α
=

k≥1
e
−λ
k
T
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
g
k
ϕ
k
, 0 < α < 1.
Với mục đích như vậy, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham
khảo, Luận văn gồm có hai chương:
Chương 1 nhằm mục đích trình bày một số kiến thức liên quan đến
nội dung chương 2 như: khái niệm về bài toán đặt không chỉnh và các ví
dụ về bài toán đặt không chỉnh, khái niệm về chỉnh hóa các bài toán đặt
không chỉnh và một số ví dụ minh họa.
Chương 2 nhằm mục đích trình bày kết quả chỉnh hóa cũng như các

đánh giá sai số của phương pháp cho bài toán Cauchy không thuần nhất
trong bài báo [4].
Luận vă n được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Đức. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơ n sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân
thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, quý thầy cô trong tổ Giải tích
khoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh, phòng tổ chức Trường
Đại học Sài Gòn và đặc biệt là các anh chị học viên cao học khóa 20
Toán giải tích tại Trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuận lợi
giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập. Mặc
dù có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn không tránh khỏi những
hạn chế thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, năm 2014
Tác giả
Đỗ Minh Trí
3
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và các ví
dụ minh họa
Các kết quả trong phần này được chúng tôi tham khảo trong tài liệu [1].
1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Xét ánh xạ
d : X × X −→ R thỏa mãn các tính chất sau đây:
i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X.
ii) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X.
iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó d được gọi là một mêtric trên X và không gian (X, d) được
gọi là một không gian mêtric

1.1.2 Định nghĩa. Cho phương trình A(x) = f trong đó A là ánh xạ đi
từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y . Phần tử x
0
∈ X được
gọi là nghiệm của phương trình A(x) = f nếu A(x
0
) = f.
1.1.3 Nhận xét. Từ định nghĩa 1.1.2, tồn tại ánh xạ R : Y −→ X xác
định bởi công thức f ∈ Y, R(f) = x ∈ X. Do đó, việc tìm nghiệm x ∈ X
của phương trình A(x) = f dựa vào dữ kiện ban đầu f ∈ Y thường được
xem xét dưới dạng phương trình x = R(f).
4
1.1.4 Định nghĩa. Cho (X, d
X
), (Y, d
Y
) là hai không gian mêtric. Bài
toán tìm nghiệm x = R(f ) được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y )
( hay được gọi là liên tục theo dữ kiện của bài toán ) nếu ∀f
1
, f
2
∈ Y ,
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho d
Y
(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε) thì d

X
(R(f
1
), R(f
2
)) ≤ ε.
1.1.5 Định nghĩa. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y
được gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian mêtric (X, Y ) nếu
i) Với mỗi f ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X;
ii) Nghiệm x đó là duy nhất;
iii) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X , Y ).
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn bài toán tìm
nghiệm đượ c gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài
toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn.
1.1.6 Ví dụ.
1) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
b

a
K(t, s)ϕ(s)ds = f
0
(t), t ∈ [c, d],
ở đây nghiệm là một hàm ϕ(s), vế phải f
0
(t) là một hàm số cho trước
và hạch K(t, s) của tích phân cùng với
∂K
∂t
được giả thiết là các hàm liên
tục. Ta giả thiết ng hiệm ϕ(s) thuộc lớp các hàm liên tục trên [a, b] với

metric ( còn được gọi là độ lệch ) giữa hai hàm ϕ
1
, ϕ
2
là
d
C[a,b]
(ϕ
1
, ϕ
2
) = max
s∈[a,b]
|ϕ
1
(s) −ϕ
2
(s)|.
Mặt khác sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gia n
L
2
[c, d], tức là khoảng cách giữa hai hàm f
1
(t), f
2
(t) trong L
2
[c, d] được
biểu thị bởi
5

d
L
2
[c,d]
(f
1
, f
2
) =



d

c
|f
1
(t) −f
2
(t)|
2
dt



1
2
.
Giả sử phương trình có nghiệm là ϕ
0

(s). Khi đó với vế phải
f
1
(t) = f
0
(t) + N
b

a
K(t, s) sin(ωs)ds,
phương trình có nghiệm
ϕ
1
(s) = ϕ
0
(s) + N sin(ωs).
Với N bất kỳ và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f
0
, f
1
trong
L
2
[c, d]
d
L
2
[c,d]
(f
0

, f
1
) = |N|



d

c
[
b

a
K(t, s) sin(ωs)ds]
2
dt



1
2
.
có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt
K
max
= max
s∈[a,b],t∈[c,d]
|K(t, s)|,
ta tính được
d

L
2
[c,d]
(f
0
, f
1
) ≤ |N|



d

c
[K
max
1
ω
cos(ωs)|
b
a
]
2
dt



1
2
≤

|N|K
max
c
0
ω
,
ở đây c
0
là một hằng số dương. Ta chọn N và ω lớn tùy ý nhưng
N
ω
lại
nhỏ. Khi đó,
d
C[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) = max
s∈[a,b]
|ϕ
0
(s) −ϕ
1
(s)| = |N|
6
có thể lớn bất kỳ.
Khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ
0

, ϕ
1
trong L
2
[c, d] cũng có thể lớn bất
kỳ. Thật vậy,
d
L
2
[c,d]
(ϕ
0
, ϕ
1
) =



b

a
|ϕ
0
(s) −ϕ
1
(s)|
2
ds




1
2
= |N|



b

a
sin
2
(ωs)ds



1
2
= |N|

b −a
2
−
1
2ω
sin(ω(b −a)) cos(ω(b + a)).
Dễ dàng nhậ n thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho d
L
2
[c,d]

(f
0
, f
1
) rất
nhỏ nhưng vẫn cho kết quả d
L
2
[c,d]
(ϕ
0
, ϕ
1
) rất lớn. Đây là bài toán không
ổn định.
2)Xét chuỗi Fourier
f
1
(t) =
∞

n=0
a
n
cos(nt),
với hệ số (a
0
, a
1
, , a

n
, ) ∈ l
2
được cho xấp xỉ bởi c
n
= a
n
+
ε
n
, n ≥ 1
và c
0
= a
0
. Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng
f
2
(t) =
∞

n=0
c
n
cos(nt),
cũng có hệ số (c
0
, c
1
, , c

n
, ) ∈ l
2
. Và khoảng cách giữa chúng là
ε
1
=

∞

n=0
(c
n
− a
n
)
2

1
2
= ε

∞

n=1
1
n
2

1

2
= ε

π
2
6
.
Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε có
thể lấy nhỏ tùy ý. Trong khi đó,
f
2
(t) −f
1
(t) = ε
∞

n=1
1
n
cos(nt)
7
có thể làm cho lớn bao nhiêu cũng được. Ví dụ tại t = 0 chuỗi phân kỳ.
Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f
1
và f
2
được xét
trong không gian các hàm với độ đo đều thì bài toá n tính tổng của chuỗi
Fourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. Tuy
nhiên nếu xét trong không gian L

2
[0, π], thì



π

0
[f
2
(t) −f
1
(t)]
2
dt



1
2
=



π

0
|
∞


n=0
(c
n
− a
n
) cos(nt)|
2
dt



1
2
=

∞

n=0
π
2
(c
n
− a
n
)
2

1
2
= ε

1

π
2
.
Như vậy,bài toán lại ổn định, tức là khi dữ liệu ban đầu a
n
cho xấp xỉ c
n
với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhau
không nhiều trong L
2
[0, π].
3) Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0,
u(x, 0) = f(x),
∂u
∂y




y=0
= ϕ(x), −∞ < x < ∞,
ở đây f (x) và ϕ(x) là các hàm cho trước. Nếu lấy f (x) = f
1
(x) ≡ 0 và
ϕ(x) = ϕ
1
(x) =
1
a
sin(ax), thì nghiệm của bài toán trên là
u
1
(x, y) =
1
a
2
sin(ax)sh(ay), a > 0.
Nếu lấy f(x) = f
2
(x) = ϕ(x) = ϕ
2
(x) ≡ 0, thì nghiệm của bài toán là
u
2
(x, y) ≡ 0. Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được
xét trong độ đo đều ta có
d

C
(f
1
, f
2
) = sup
x
|f
1
(x) −f
2
(x)| = 0
8
d
C
(ϕ
1
, ϕ
2
) = sup
x
|ϕ
1
(x) −ϕ
2
(x)| =
1
a
.
Với a khá lớn thì khoảng cách giữa hai hàm ϕ

1
và ϕ
2
lại khá nhỏ. Trong
khi đó, khoảng cách giữa các nghiệm
d
C
(u
1
, u
2
) = sup
x,y
|u
1
(x, y)−u
2
(x, y)| = sup
x,y
|
1
a
2
sin(ax)sh(ay)| =
1
a
2
sh(ay),
với y > 0 cố định lại lớn bất kỳ. Chính vì vậy, đây cũng là bài toán không
ổn định.

1.2 Khái niệm chỉnh hóa các bài toán đặt không
chỉnh và ví dụ minh họa
1.2.1 Đ ịnh nghĩa. Cho phương trình A(x) = f
0
, với A là một toán
tử từ không gian mêtric X và o không gian mêtric Y , nằm trong một
tập compact M của X và f
0
∈ Y . Gọi x
0
là nghiệm của phương trình
A(x) = f
0
. Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y vào X
được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho phương trình A(x) = f
0
, nếu
i) Tồn tại hai số dương δ
1
và α
1
sao cho toán tử R(f, α) xác định với
mọi α ∈ (0, α
1
) và với mọi f ∈ Y : d
Y
(f, f
0
) ≤ δ, δ ∈ (0, δ
1

);
ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ
1
:
∀f ∈ Y, d
Y
(f, f
0
) ≤ δ ≤ δ
1
, d
X
(x
α
, x
0
) ≤ ε, ở đây x
α
∈ R(f, α(f, δ)).
Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn không phụ thuộc f thì ta gọi
là cách chọn tiên nghiệm. Nếu α được chọn phụ thuộc cả f và δ thì ta
gọi là cách chọn hậu nghiệm.
1.2.2 Nhận xét.
Trong định nghĩa 1.2.1 không đòi hỏi tính đơn trị của toán tử R(f, α).
Phần tử xấp xỉ x
α
∈ R(f
δ
, α) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương
trình A(x) = f

0
, ở đây α = α(f
δ
, δ) = α(δ) được gọi là tham số hiệu
chỉnh. Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa 1.2.1, nghiệm hiệu chỉnh ổn
9
định với dữ kiện ban đầu.
Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải của
phương trình A(x) = f
0
gồm các bước
i) Tìm toán tử hiệu chỉnh R(f, α)
ii) Xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của
bài toán về phần tử f
δ
và sai số δ.
Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phương
pháp hiệu chỉnh.
1.2.3 Ví dụ.
1)Tính giá trị z =
df(t)
dt
trong mêtric C, khi f(t) cho xấp xỉ. Đạo hàm
z tính được dựa vào tỷ sai phân
R(f, α) =
f(t + α) −f(t)
α
.
Nếu thay cho f(t) ta biết xấp xỉ của nó là f
δ

(t) = f(t) + g(t), ở đây
|g(t)| ≤ δ với mọi t, khi đó,
R(f
δ
, α) =
f(t + α) −f(t)
α
+
g(t + α) −g(t)
α
.
Cho α → 0,
f(t + α) −f(t)
α
→ z.
Số hạng thứ hai được đánh giá bởi




g(t + α) −g(t)
α




≤
2δ
α
.

Nếu chọn α sao cho α =
δ
η(δ)
, với η(δ) → 0 khi δ → 0, thì
2δ
α
= 2η(δ) → 0.
Vì vậy, với
α = α
1
(δ) =
δ
η(δ)
, R(f
δ
, α
1
(δ)) → z.
2) Bài toán khôi phục hàm số, khi biết hệ số Fourier của nó. Giả sử
ϕ
k
(t) là một hệ trực chuẩn đầy đủ có sup
t∈[a,b]
|ϕ
k
(t)| ≤ C
0
và hệ số Fourier
10
a = (a

1
, a
2
, ) của hàm
f(t) =
∞

k=1
a
k
ϕ
k
(t)
được cho xấp xỉ bởi c = (c
1
, c
2
, ) sao cho
∞

k=1
(a
k
− c
k
)
2
≤ δ
2
.

Khi đó không thể coi
˜
f(t) =
∞

k=1
c
k
ϕ
k
(t)
là xấp xỉ của f(t) được. Để tìm giá trị xấp xỉ của f tại điểm t
0
nào đó ,
tức là tìm f(t
0
), ta dùng phương pháp hiệu chỉnh với
R(c,
1
n
) =
n

k=1
c
k
ϕ
k
(t
0

)(α =
1
n
), trong đó n = n(δ) = [
η(δ)
δ
2
] là phần nguyên
của
η(δ)
δ
2
, ở đây δ, η(δ) → 0, còn n(δ) → ∞ Thật vậy,
|f(t
0
) −
n(δ)

k=1
c
k
ϕ
k
(t
0
)| ≤ |
n(δ)

k=1
(a

k
− c
k
)ϕ
k
(t
0
)| + |
∞

n(δ)+1
a
k
ϕ
k
(t
0
)|.
Vì chuỗi
∞

k=1
a
k
ϕ
k
(t
0
) hội tụ nên phần dư






∞

k=n(δ)+1
a
k
ϕ
k
(t
0
)





→ 0, khi
n(δ) → ∞. Ngoài ra,






n(δ)

k=1

(a
k
− c
k
)ϕ
k
(t
0
)






≤
n(δ)

k=1
|a
k
− c
k
||ϕ
k
(t
0
)|
≤




n(δ)

k=1
|a
k
− c
k
|
2
n(δ)

k=1
|ϕ
k
(t
0
)|
2



1
2
≤ C
0




n(δ)
n(δ)

k=1
|a
k
− c
k
|
2



1
2
≤ C
0

n(δ)δ
2
= C
0

[
η(δ)
δ
2
] → 0
11
khi δ → 0.

1.2.4 Nhận xét. Trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh
có dạng đơn giản sau:
Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh,
nếu:
i) Tồn tại một số dương δ
1
sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi
0 ≤ δ ≤ δ
1
và với mọi f ∈ Y sao cho d
Y
(f, f
0
) ≤ δ;
ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ
0
= δ
0
(ε, f
δ
) ≤ δ
1
sao cho từ d
Y
(f
δ
, f
0
) ≤
δ ≤ δ

0
ta có d
X
(x
δ
, x
0
) ≤ ε ở đây x
δ
∈ R(f
δ
, δ).
Nếu R(f, δ) không phải là đơn ánh, thì x
δ
là một phần tử bất kì của
{R(f, δ)}.
12
CHƯƠNG 2
CHỈNH HOÁ BÀI TOÁN CAUCHY KHÔNG THUẦN
NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN
2.1 Giới thiệu bài toán
Xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế trong vật lý, bài
toán ngược của phương trình truyền nhiệt và các bài toán Cauchy ngược
thời gian đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu từ những năm
1960 (xem [6, 9]). Các bài toán trên không ổn định, một sai số nhỏ trong
dữ kiện có thể dẫn đến một sai lệch lớn về nghiệm. Chính vì vậy, để giải
quyết bài toán, ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hoá. Đối với các
bài toán trên, nhiều phương pháp chỉnh hoá đã được đề xuất như: phương
pháp chỉnh hóa Tikhonov ([9]), phương pháp tựa-đảo (quasi-reversibility)
của Lattes và Lions ([7]), phương pháp tựa giá trị biên ([5, 3]),···

Trong luận văn này, ta xét bài toán Cauchy không thuần nhất ngược
thời gian có dạng

u
t
+ Au = f, 0 < t < T
u(T ) = g
(BCP )
trong đó A là một toán tử dương, tự liên hợp không bị chặn trên không
gian Hilbert H với tích vô hướng ., . và chuẩn . sao cho H có một cơ
sở trực chuẩn gồm các hàm riêng {ϕ
k
}
k∈N
∗
trong H tương ứng với dãy
số dương tăng không bị chặn các giá trị riêng {λ
k
}
k∈N
∗
của toán tử A.
Dữ kiện g ∈ H và f thuộc không gian L
2
((0, T ), H). Bài toán (BCP) đặt
không chỉnh, nghiệm của bài toán không phải khi nào cũng tồn tại. Hơn
13
nữa, khi nghiệm của bài toán tồn tại, nó cũng không phụ thuộc liên tục
vào dữ kiện của bài toán.
2.2 Phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số

Trong phần này, chúng ta sẽ chỉnh hóa bài toán Cauchy không thuần
nhất ngược thời gian bởi bài toán

u
t
+ Au = f
α
, 0 < t < T
u(T ) = g
α
(ABCP )
trong đó
f
α
=

k≥1
e
−λ
k
T
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
f
k

ϕ
k
,
g
α
=

k≥1
e
−λ
k
T
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
g
k
ϕ
k
và 0 < α < 1.
2.2.1 Định nghĩa. ([4]) Một nghiệm cổ điển của bài toán (BCP) là một
hàm u : [0, T ] → Hthỏa mãn u(t) ∈ D(A) với mọi t ∈ (0, T ), u ∈ C
1
((0, T ), H)
và thỏa mãn phương trình u
t

+ Au = f, 0 < t < T và điều kiện cuối
u(T ) = g.
2.2.2 Bổ đề. ([4])Với g ∈ H và f ∈ L
2
((0, T ), H), bà i toán (BCP) có
nghiệm cổ điển nếu và chỉ nếu

k≥1


g
k
e
λ
k
T
−
T

0
e
λ
k
s
f
k
(s)ds


2

< +∞. (2.1)
Chứng minh. Giả sử rằng bài toán (BCP) có nghiệm cổ điển. Khi đó ta có
u(t) =

k≥1
u
k
(t)ϕ
k
, u(t) ∈ D (A) với mọi t ∈ (0, T ) và u ∈ C
1
((0, T ), H).
Từ phương trình và điều kiện giá trị cuố i trong bài toán (BCP), ta đạt
14
được
u(t) =

k≥1


g
k
e
λ
k
(T −t)
−
T

t

e
λ
k
(s−t)
f
k
(s)ds


ϕ
k
(2.2)
trong đó f
k
và g
k
là các hệ số Fourier-Bessel của f và g trong H. Vì
u(t) ∈ H với mọi t ∈ [0, T ] nên
u(t)
2
=

k≥1
(g
k
e
λ
k
(T −t)
−

T

t
e
λ
k
(s−t)
f
k
(s)ds)
2
< +∞.
Đặc biệt với t = 0 ta có
u(0)
2
=

k≥1
(g
k
e
λ
k
T
−
T

0
e
λ

k
s
f
k
(s)ds)
2
< +∞.
Ngược lại, giả sử điều kiện (2.1) được thỏa mãn. Khi đó, chúng ta xác định
hàm u(t) bởi công thức (2.2). Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwat, ta
có
u(t)
2
≤ 2

k≥1
(g
k
e
λ
k
T
−
T

0
e
λ
k
s
f

k
(s)ds)
2
+ 2T f 
2
L
2
((0,T ),H)
.
Vì
Au(t)
2
=

k≥1
λ
k
2
e
−2λ
k
t
(g
k
e
λ
k
T
−
T


t
e
λ
k
s
f
k
(s)ds)
2
nên ta có
Au(t)
2
≤ 2

k≥1
(g
k
e
λ
k
T
−
T

0
e
λ
k
s

f
k
(s)ds)
2
+ 2T f 
2
L
2
((0,T ),H)
.
Do đó u(t) ∈ D (A) với mọi t ∈ (0, T ). Vì
u

(t) =

k≥1
[f
k
(t) −λ
k
e
−λ
k
t
(g
k
e
λ
k
T

−
T

t
e
λ
k
s
f
k
(s)ds)]ϕ
k
,
chúng ta thấy rằng u ∈ C
1
((0, T ), H). Cuối cùng, bằng cách kiểm tra
trực tiếp ta thấy rằng u
t
+ Au = f, 0 < t < T và u(T ) = g.
Bổ đề được chứng minh.
15
2.2.3 Nhận xét. Công thức u(0) trong phần chứng minh Bổ đề 2.2.2,
trong bài báo ([4]) là không chính xác. Và trong chứng minh trên chúng
tôi đã sửa lại.
2.2.4 Định lý. ([4]) Nếu g ∈ H và f ∈ L
2
((0, T ), H) thì bài toán xấp xỉ
(ABCP) có nghiệm cổ điển duy nhất u
α
(t) và nghiệm này phụ thuộ c liên

tục vào dữ kiện g ∈ H và f ∈ L
2
((0, T ), H). Hơn nữa, với mọi t ∈ [0, T ]
và p ∈ R
∗
+
ta có đánh giá
u
α
(t)
H

1
α

T
log
T
pα

p

g
H
+
√
T f 
L
2
((0,T ),H)


. (2.3)
Chứng minh. Nếu g ∈ H và f ∈ L
2
((0, T ), H), nghiệm duy nhất của bài
toán (ABCP) tồn tại và được xác định bởi
u
α
(t) =

k≥1
e
−λ
k
t
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T


g
k
−
T

t

e
λ
k
(s−T )
f
k
(s)ds


ϕ
k
. (2.4)
Chúng ta có
u
α
(t) ≤






k≥1
e
−λ
k
t
αλ
p
k

+ e
−λ
k
T
g
k
ϕ
k





+







k≥1
e
−λ
k
t
αλ
p
k
+ e

−λ
k
T
T

t
e
λ
k
(s−T )
f
k
(s)dsϕ
k






. (2.5)
Xét hàm số
h(λ) =
1
αλ
p
+ e
−λT
.
Ta thấy tồn tại λ

0
thỏa mãn h(λ
0
) = sup
λ≥0
h(λ) với λ
0
là nghiệm của phương
trình
log
T
pα
= λT

1 +
p −1
T
log λ
λ

.
Với α đủ nhỏ, ta có thể lấy λ
0
xấp xỉ
1
T
log
T
pα
. Khi đó

h(λ
0
) =
1
αλ
p
0

1 +
p
T λ
0

≤
1
α

T
log
T
pα

p
.
16
Kết hợp đánh giá này với đánh giá (2.5) và bất đẳng thức Cauchy-Schwat,
ta đạt được đánh giá sau với mọi p ∈ R
∗
+
u

α
(t) ≤
1
α

T
log
T
pα

p
(g
H
+
√
T f 
L
2
((0,T ),H)
).
Do đó u
α
(t) ∈ H với mọi t ∈ [0, T ]. Bằng cách lập luận tương tự như
chứng minh của Bổ đề 2 .2.2 , ta khẳng định rằng u(t) ∈ D(A) với mọi
t ∈ (0, T ) và u
α
∈ C
1
((0, T ), H).
Định lý được chứng minh.

Tính ổn định nghiệm của bài toán theo dữ kiện g ∈ H có thể được
viết lại như hệ quả dưới đây
2.2.5 Hệ quả. ([4]) Nếu g
1
và g
2
là các dữ kiện đã cho thuộc H tương
ứng với các nghiệm u
1α
(t) và u
2α
(t) thì
u
1α
(t) −u
2α
(t) ≤
1
α

T
log
T
pα

p
g
1
− g
2

, ∀p ∈ R
∗
+
.
Chứng minh. Sử dụng nghiệm tương ứng u
α
(t) được xác định theo công
thức (2.4) và đánh giá cận trên trong Định lý 2.2.4 ta có
u
1α
(t) −u
2α
(t)
2
=

k≥1
e
−2λ
k
t
(αλ
p
k
e
−λ
k
T
)
2

(g
1k
− g
2k
)
2
≤
1
α
2

T
log
T
pα

2p
g
1
− g
2

2
.
2.2.6 Nhận xét. ([4]) Với bài toán Ca uchy ngược thời gian (BCP),
theo Định lý 2.2.4, nếu ta chọn f = 0 ta sẽ đạt được một sự mở rộng của
phương pháp tựa biên (quasi-boundary method) đã được trình bày trong
các bài báo [3, 5] với đánh giá ổn định tốt hơn và có bậc là
1
α


T
log
T
pα

p
,
17
p ∈ R
∗
+
. Các bài báo [3, 5] xử lý với p = 1 và p = 0 tương ứng. Trong
trường hợp p = 0, Định lý 2 .2.4 vẫn đúng. Kết qủa của Định lý 2.2.4
trong trường hợp p = 0 là một sự mở rộng của [5] cho trường hợp không
thuần nhất với đánh giá
u
α
(t) ≤
1
α
(g
H
+
√
T f 
L
2
((0,T ),H)
).

2.2.7 Định lý. Cho g ∈ H và f ∈ L
2
((0, T ), H). Giả thiết rằng bài toán
(BCP) có nghiệm cổ điển u(t). Khi đó nghiệm cổ điển u
α
(t) của bài toá n
(ABCP) thỏa mãn:
u
α
(t) ≤
u(t)
αλ
p
1
e
λ
1
T
+ 1
, ∀t ∈ [0, T ], ∀α > 0
Chứng minh. Ta có:
u
α
(t) =

k≥1
e
−λ
k
t

αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
(g
k
−

T
t
e
λ
k
(s−T )
f
k
(s)ds)ϕ
k
=

k≥1
e
−λ
k
(T +t)
αλ
p

k
+ e
−λ
k
T
(g
k
e
λ
k
T
−

T
t
e
λ
k
s
f
k
(s)ds)ϕ
k
.
Suy ra
u
α
(t) =

k≥1

e
−λ
k
T
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
(g
k
e
λ
k
(T −t)
−

T
t
e
λ
k
(s−t)
f
k
(s)ds)ϕ
k
.

Do đó ta có :
u
α
(t)
2
=

k≥1
(
e
−λ
k
T
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
2
(g
k
e
λ
k
(T −t)
−


T
t
e
λ
k
(s−t)
f
k
(s)ds)
2
≤ sup
k≥1
(
e
−λ
k
T
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
2

k≥1
(g
k

e
λ
k
(T −t)
−

T
t
e
λ
k
(s−t)
f
k
(s)ds)
2
= sup
k≥1
(
1
αλ
p
k
e
λ
k
T
+ 1
)
2


k≥1
(g
k
e
λ
k
(T −t)
−

T
t
e
λ
k
(s−t)
f
k
(s)ds)
2
= (
1
αλ
p
1
e
λ
1
T
+ 1

)
2

k≥1
(g
k
e
λ
k
(T −t)
−

T
t
e
λ
k
(s−t)
f
k
(s)ds)
2
18
= (
1
αλ
p
1
e
λ

1
T
+ 1
)
2
u(t)
2
(do {λ
k
}
k∈N
∗
là dãy số dương, tăng và không bị chặn).
Điều này kéo theo rằng
u
α
(t) ≤
u(t)
αλ
p
1
e
λ
1
T
+ 1
, ∀t ∈ [0, T ], ∀α > 0.
Định lí được chứng minh.
2.2.8 Định lý. ([4]) Giả sử g ∈ H và f ∈ L
2

((0, T ), H). Khi đó với mọi
p ∈ R
∗
+
, 0 < α < 1 và t ∈ [0, T ], ta có
u
α
(t) ≤
1
α
1−
t
T

T
log
T
pα

p(1−
t
T
)
(g
H
+
√
T −tf
L
2

((0,T ),H)
).
Chứng minh. Sử dụng đánh giá
e
−2λ
k
t
(αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
2
=
e
−2λ
k
t
[(αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
t

T
(αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
1−
t
T
]
2
≤
1
(αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
2(1−
t
T
)
và đánh giá cận trên như trong Định lý 2.2.4, ta đạt được







k≥1
e
−λ
k
t
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
g
k
ϕ
k





≤
1
α
1−

t
T

T
log
T
pα

p(1−
t
T
)
g
H
.
Mặt khác, ta có







k≥1
e
−λ
k
t
αλ
p

k
+ e
−λ
k
T
T

t
e
λ
k
(s−T )
f
k
(s)dsϕ
k






≤
1
α
1−
t
T





T
log
T
pα




p(1−
t
T
)
×

(T −t)f
L
2
((0,T ),H)
.
Kết hợp các đánh giá trên với bất đẳng thức (2.5), ta đạt được kết quả
mong muốn.
19
2.2.9 Định lý. ([4])Với mọi g ∈ H, dãy u
α
(T ) hội tụ tới g trong H khi
α tiến tới 0.
Chứng minh. Với mọi α ∈ (0, 1) và p ∈ R
∗

+
, ta có
u
α
(T ) −g
2
=

k≥1

αλ
p
k
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T

2
g
2
k
.
Lấy ε > 0 bé tuỳ ý, chọn N ∈ N sao cho

k≥N+1
g

2
k
≤
ε
2
. Ta có
u
α
(T ) −g
2
=
N

k=1

αλ
p
k
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T

2
g
2
k

+

k≥N+1

αλ
p
k
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T

2
g
2
k
.
Điều này kéo theo
u
α
(T ) −g
2
≤ α
2
N

k=1

λ
2p
k
e
2λ
k
T
g
2
k
+
ε
2
.
Do đó, nếu ta chọn α thỏa mãn α <

ε
2

N

k=1
λ
2p
k
e
2λ
k
T
g

2
k

−
1
2
thì ta có
u
α
(T ) −g
2
≤ ε.
Định lý được chứng minh.
2.2.10 Định lý. ([4]) Nếu tồn tại ε ∈ (0, 2) sao cho chuỗi

k≥1
λ
εp
k
e
ελ
k
T
g
2
k
hội tụ với p ∈ R
∗
+
thì u

α
(T ) −g hội tụ tới 0 với bậc ε
−1
α
ε
2
.
Chứng minh. Từ (2.4) ta có đẳng thức sau với β ∈ (0, 2)
u
α
(T ) −g
2
=

k≥1
[
αλ
p
k
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
]
2
g
2

k
= α
2−β

k≥1
λ
2p
k
α
β
(αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
2
g
2
k
.
Đặt
h
k
(α, β) =
α
β
(αλ

p
k
+ e
−λ
k
T
)
2
.
Hàm số trên có cực đại tại
α
0
=
β
2 −β
1
λ
p
k
e
−λ
k
T
, ∀p ∈ R
∗
+
.
20
Do đó nếu chọn β = 2 −ε, ta có đánh giá
u

α
(T ) −g
2
=

β
2 −β

β
α
2−β

k≥1
λ
2p
k
λ
βp
k
e
−βλ
k
T
(α
0
λ
p
k
+ e
−λ

k
T
)
2
g
2
k
=

β
2 −β

β
α
2−β

k≥1
λ
(2−β)p
k
e
(2−β)λ
k
T
(α
0
λ
p
k
+ 1)

2
g
2
k
≤

β
2 −β

β
α
2−β

k≥1
λ
(2−β)p
k
e
(2−β)λ
k
T
g
2
k
.
Vì

k≥1
λ
εp

k
e
ελ
k
T
g
2
k
< +∞ ta kết luận rằng
u
α
(T ) −g ≤
c
ε
α
ε
2
.
Định lý được chứng minh.
Hai định lý tiếp theo sẽ chứng tỏ rằng với các điều kiện yếu hơn áp
đặt lên dữ kiện g cũng có thể đưa ra đánh giá sai số về tốc độ hội tụ của
dãy u
α
(T ) tới g trong không gian Hilbert H.
2.2.11 Định lý. ([4]) Giả sử rằng g ∈ D(A
s
), ∀s ∈ (0, 1]. Khi đó tồn tại
một hằng số c > 0 phụ thuộc vào g ∈ H sao cho
u
α

(T ) −g ≤
c
log
s
(
T
sα
)
.
Chứng minh. Ta viết
u
α
(T ) −g
2
=

k≥1
[
αλ
p
k
αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
]
2

g
2
k
=

k≥1
α
2
λ
2p−2s
k
(αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
2
λ
2s
k
g
2
k
.
Hàm số
h(λ) =
λ

(p−s)
(αλ
p
+ e
−λT
)
, (2.6)
21
đạt cực đại tại λ
0
là nghiệm của phương trình
log
T
sα
= λT + (p − 1) log λ + log

1 +
p −s
λT

.
Với α đủ nhỏ ta có thể chọn λ
0
≈
1
T
log
T
sα
. Khi đó ta có

sup
λ>0
h(λ) = h(λ
0
) =
1
α
λ
−s
0
1 +
s
λ
0
T +(p−s)
≤
1
α
λ
−s
0
.
Do đó, ta khẳng định rằng
u
α
(T ) −g ≤
c
log
s
(

T
sα
)
,
trong đó hằng số c
2
là

k≥1
λ
2s
k
g
2
k
= A
s
g
2
.
Định lý được chứng minh.
2.2.12 Định lý. ([4]) Giả sử rằng

k≥1
log
2s
λ
k
g
2

k
< +∞ với s > 0. Khi đó
tồn tại một hằng số c > 0 phụ thuộc và o dữ kiện g ∈ D(log
s
A) sao cho
u
α
(T ) −g ≤
c
log
s
(
1
T
log
T
sα
)
.
Chứng minh. Ta viết
u
α
(T ) −g
2
=

k≥1
α
2
λ

2p
k
(αλ
p
k
+ e
−λ
k
T
)
2
g
2
k
=

k≥1
α
2
λ
2p
k
log
2s
λ
k
(αλ
p
k
+ e

−λ
k
T
)
2
log
2s
λ
k
g
2
k
.
Hàm số
h(λ) =
λ
p
log
s
λ(αλ
p
+ e
−λT
)
, λ ≥ e, s > 0,
thỏa mãn
h(λ) ≤ h
1
(λ), trong đó h
1

(λ) =
λ
p
αλ
p
log
s
λ+e
−λT
. Hàm số h
1
(λ) đạt cực đại
tại điểm λ
0
là nghiệm của phương trình
log
T
sα
= λT

1 +
(p −1)
T
log λ
λ
+
(s −1)
T
1
T

log log λ +
1
λ
log

1 +
p
λT


.
22
Với α đủ nhỏ ta có thể chọn λ
0
≈
1
T
log
T
sα
. Khi đó ta có
sup
λ≥e
h
1
(λ) = h
1
(λ
0
) ≤

1
α
1
log
s
λ
0
.
Do đó
u
α
(T ) −g
2
≤
1
log
2s
λ
0

k≥1
log
2s
λ
k
g
2
k
.
Vì


k≥1
log
2s
λ
k
g
2
k
< +∞ ta khẳng định rằng tồn tại hằng số c sao cho
u
α
(T ) −g ≤
c
(log(
1
T
log(
T
sα
)))
s
.
Định lý được chứng minh.
Các định lý tiếp theo sẽ khẳng định sự hội tụ cũng như đánh giá tốc
độ hội tụ của phương pháp với mọi t ∈ [0, T ].
2.2.13 Định lý. ([4]) Giả sử g ∈ H và f ∈ L
2
((0, T ), H). Khi đó, bài
toán không thuần nhất (BCP) có nghiệm u(t) nếu và chỉ nếu dãy u

α
(0)
hội tụ trong H. Hơn nữa, dãy u
α
(t) hội tụ tới u(t) đều theo t.
Chứng minh. Giả sử rằng lim
α→0
u
α
(0) = u
0
∈ H. Đặt
u(t) =

k≥1


u
0k
+
t

0
e
λ
k
s
f
k
(s)ds



e
−λ
k
t
ϕ
k
,
trong đó
u
0
=

k≥1
u
0k
ϕ
k
.
Lấy t ∈ [0, T ], ta có
23